矩阵不等式】
矩阵的柯西施瓦茨不等式
矩阵的柯西施瓦茨不等式
矩阵的柯西施瓦茨不等式是线性代数的一个重要不等式，它适用于任意两个向量的内积。
对于任意两个n维向量x和y，柯
西施瓦茨不等式可以表达为：
|x·y| ≤ ||x|| ||y||
其中，x·y表示向量x和y的内积，即x1y1 + x2y2 + ... + xnyn，||x||表示向量x的范数（也就是向量的长度），表示为√(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
柯西施瓦茨不等式也可以用矩阵的形式表示。
对于两个列向量
x和y，它们可以组成一个矩阵A=[x y]。
那么柯西施瓦茨不等式可表示为：
|A'| ≤ ||x|| ||y||
其中，A'表示矩阵A的转置矩阵，||x||和||y||表示向量x和y的
范数。
柯西施瓦茨不等式的一个重要推论是当且仅当x和y线性相关时，等号成立。
也就是说，向量x和y平行时，它们的内积的绝对值等于它们的范数之积。
柯西施瓦茨不等式在很多领域有广泛的应用，特别是在数学分析和信号处理等领域。
它可以用来证明向量范数的性质，以及推导其他重要不等式，如三角不等式等。
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用
矩阵不等式理论及其在控制理论中的应用矩阵不等式理论是现代数学中的一个重要分支，其在控制理论领域中扮演着重要角色。
本文将介绍矩阵不等式理论的基本概念，讨论其在控制理论中的应用，并探讨相关研究的前沿发展。
一、矩阵不等式理论的基本概念1.1 矩阵基础知识在讨论矩阵不等式理论之前，我们首先需要了解一些矩阵的基础知识。
矩阵是由一些数构成的矩形阵列，可以表示为$m\times n$的矩阵$A$：$A=[a_{ij}]_{m\times n}$，其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 矩阵不等式定义矩阵不等式是对矩阵中元素的一种约束条件。
常见的矩阵不等式有大于等于不等式、小于等于不等式、严格大于不等式和严格小于不等式。
比如对于两个矩阵$A$和$B$，$A\geq B$表示对应元素满足$a_{ij}\geq b_{ij}$。
二、矩阵不等式理论在控制理论中的应用2.1 线性矩阵不等式线性矩阵不等式是矩阵不等式理论的重要应用之一。
在控制理论中，通过线性矩阵不等式可以描述线性系统的性能和稳定性。
线性矩阵不等式的求解可以通过线性矩阵不等式方法或凸优化方法来实现。
2.2 非线性矩阵不等式除了线性矩阵不等式，非线性矩阵不等式也在控制理论中起到关键作用。
非线性矩阵不等式可以描述非线性系统的性能和稳定性。
然而，非线性矩阵不等式的求解相较于线性矩阵不等式更加复杂，需要运用数值计算和最优化等方法。
2.3 随机矩阵不等式随机矩阵不等式是指矩阵不等式中包含随机变量的情况。
在控制理论中，随机矩阵不等式可用于描述带有随机干扰的系统的性能和鲁棒稳定性问题。
随机矩阵不等式的求解方法包括最优化方法和随机矩阵计算方法。
三、矩阵不等式理论的前沿发展矩阵不等式理论在控制理论中的应用仍在不断发展。
近年来，针对矩阵不等式理论的研究趋势主要体现在以下几个方面：3.1 非线性矩阵不等式的求解算法改进由于非线性矩阵不等式的求解复杂度较高，需要运用数值计算和最优化等方法。
矩阵不等式
(5.1.3) (5.1.4)
推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。 事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4） 知 Im( )=0,即 为实数； 当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re( )=0,即为 为零或纯虚数。 定义.5.1 设 A (ars ) C
a1
h
p O q ak
定理 5.5 （Schur’s inequality） 设 A=(ars)Cn×n 的特征值为1，…，n，则有
| r |2
r 1
n
r ,s 1
| a
n
rs
|2 || A ||2 F
(5.1.9)
证明：根据定理 1.43,存在酉矩阵 U 使得 A=UTUH 其中 T 为上三角矩阵。因此 T 的对角元素为 A 的特征值，且有
b
i 1 j i
n 1
ij
( xi y j x j yi ) |2
2
n (2M) | xi y j x j yi | i 1 j i
2
(利用(a1+a2+…+an)2 n((a1)2+(a2)2+…+(an)2)
n 2 (2M) (n(n1)/2) | xi y j x j yi | i 1 j i
xT x yT x
(求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy|||x||2 ||B||2||y||2 从而 ||||x||2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y||2)2) 利用 ab/(a2+b2)1/2 可得 ||||B||2 /2. 2). 由于|xTBy|||Bx||1 ||y||||B||1||x||1 ||y|| 从而 ||||B||1 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||1 ||y|| /((||x||2)2 +(||y||2)2) n /2. (显然，不妨假设(||x||2)2 +(||y||2)2=1, 设||y||=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？） ， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x||2)2=1t2 这样有均值不等式||x||1 n ||x||2=
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
LMI线性矩阵不等式
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。