江西省赣州一中2019-2020学年度高二下学期月考数学(理科)试题.
江西省赣州一中2019-2020学年高二下学期线上教学质量检测数学(理科)试题
C．
D．
6. A．56
的展开式中
的系数是（） B．84
C．112
D．168
7. 已知圆的渐开线的参数方程为
A．
B．
,( 为参数），则此渐开线的基圆的周长是（ ）
C．
D．
8. 已知实数 ， ， 满足 A． C．
，则
的最小值为 B． D．
9. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的
16. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底 面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.
三、解答题
江西省赣州一中2019-2020学年高二下学期线上教学质量检测数学（理科）试题
17. 已知函数 （1）求不等式
查，将收集的数据分成
六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分
钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有
关？
（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育
B．
C．2
，且 D．
，则 的
12. 已知 A．
，若 B．
, C．
二、填空题
13. 由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是 ．
，则 的取值范围是（ ） D．
14. 已知在等差数列 中，
江西省赣州市2019_2020学年高二数学12月月考试题文(无答案)
江西省赣州市2019-2020学年高二数学12月月考试题文（无答案）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知空间中两点A（2，﹣1，4），B（4，1，﹣2），则AB长为（）A．B．C．D．2．某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．系统抽样D．按地区分层抽样3．若命题p是真命题，￢q是真命题，则下列命题中，真命题是（）A．p∧q．B．￢p∨q C．￢p∧￢q D．p∨q4．用斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图为△OAB（如图），且OA＝OB＝1，则原三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．5．已知直线l1：ax+y+a＝0，l2：x+ay+a＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也非必要条件6．2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件7．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为（）A．17.32 B．16.32 C．8.68 D．7.688．若椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与右顶点的连线l1垂直于下顶点与右焦点连线l2，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．9．不等式2x2+5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣6＜x＜1 B．C．﹣3＜x＜0 D．10．已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，则两圆的公共弦|AB|＝（）A．2 B．C．D．11．已知命题p：∃x0∈[0，π]，使得sin x0＜a，命题q：对∀x∈[，3]，+1＞a，若p ∧q为真命题，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，3）C．（1，）D．（1，3）12．已知椭圆：和圆：有四个不同的公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如下算法中，输出i的值为．14．甲、乙两人下中国象棋，下成和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲输棋的概率是15．有下列四个命题：①若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；②若命题p：∀x≥0，x2+1＞0，则￢p：∃x0＜0，x02+1≤0；③在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件；④命题：当1＜t＜4时方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，为真命题．其中真命题的序号是．16．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA ⊥面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为．三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（1）求m，n的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差S和S，并由此分析两组技工的加工水平；18．（本小题满分12分）现从A，B、C，D，E五人中选取三人参加一个重要会议，五人中每个人被选中的机会均相等，求：（1）A和B都被选中的概率；（2）A和B至少有一个被选中的概率．19．（本小题满分12分）已知p：﹣2＜a＜2，q：关于x的方程x2﹣x+2a＝0有实数根．（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形．（1）证明：A1C1∥平面ACD1；（2）求异面直线CD与AD1所成角的大小；（3）已知三棱锥D1﹣ACD的体积为，求AA1的长．21．（本小题满分12分）2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台SCTV﹣4“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差x（℃）10 11 13 12 8 6 就诊人数y（人）22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：＝，（x i﹣）（y i﹣）＝36，（x i﹣）2＝14，＝）22．（本小题满分12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，△AF2B的周长为8，（1）求该椭圆C的方程．（2）设P为椭圆C的右顶点，Q为椭圆C与y轴正半轴的交点，若直线l：y＝x+m，（﹣1＜m＜1）与圆C交于M，N两点，求P、M、Q、N四点组成的四边形面积S的取值范围．。
江西省赣州市南康区2019-2020学年高二下学期开学考试数学(理)试题Word版含解析
【解析】
分析：命题 为真，那么 都为真，分别求出取交集即可.
详解：命题 为真，那么 都为真，
对 ， ，使得 成立，那么 ；
对 ， ，不等式 恒成立，那么 ，
又 〔当且仅当 时取等〕，
，
故 .
故答案为 .
点睛：此题考查函数的性质，复合命题的真假判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
15.某人5次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x，y，10,11,9，这组数据的平均数为10，方差为2，那么 的值为.
【解析】
【分析】
作出图形，利用三角形的面积公式求出等边 的边长，利用该三角形的周长可计算出 的值，利用等边三角形三线合一的思想可得出 的值，可得出 的值，进而得出 的值，由此可求出椭圆的标准方程.
【详解】设椭圆 的焦距为 ，如以下图所示：
由于 是面积为 的等边三角形，那么 ，
得 ，即 是边长为 的等边三角形，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
那么圆心到渐近线的距离 ，
，解得 ．
应选：B．
【点睛】此题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
是抛物线 上一点， 为其焦点， 为圆 的圆心，那么 的最小值为〔 〕
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
设出抛物线的准线方程，问题求 的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点 ，使 到 点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．
，
，
面 ， 面
面 ， 面
面 面
〔2〕由〔1〕知平面 平面
又 平面 平面
， 平面
平面
那么 为直线 与平面 所成的角
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
江西省赣州一中2019-2020学年高二下学期线上教学质量检测数学(理)试题含解析
赣州一中2019-2020学年度第二学期线上教学质量检测高二数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题)一、单选题1.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.点M 的球坐标为（8，3π，6π），则它的直角坐标为（ ） A. （6，33） B. （6，4，3 C. （6，33） D. （6，3，4）【答案】D 【解析】 【分析】直接利用转化公式求解即可 【详解】38sin cos66ππ⋅⋅=8sinsin2363ππ⋅⋅=，8cos43π⋅=，所以M 的直角坐标为(6,4) 故选D.【点睛】本题主要考查球坐标与直角坐标的互化公式，属于基础题. 3.函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( )A. B. )+∞ C. (,-∞， D.[，(0,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出f (x )的导数f ′(x )，令f ′(x ) ≤0即可解出答案（注意定义域） 【详解】由题意知，函数f (x )定义域为x >0，因为f ′(x )＝2x －1x ＝221x x -，由f ′(x )≤0得20210x x >⎧⎨-≤⎩解得0<x 【点睛】本题主要考察利用导数解决函数单调性的问题．属于基础题4.已知正三棱柱111ABC A B C -，若1AB AA =，则异面直线1AB 与1CA 所成角的余弦值为（ ） A.13B. 14-C.14D.12【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正三棱柱111ABC A B C -的各棱长为2，可得11A A B C 、、、点的坐标，可得1AB 与1CA 的值，由空间向量知识可得异面直线1AB 与1CA 所成角的余弦值.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，建立以AC 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，在ABC 平面与AC 垂直的直线为x 轴的空间直角坐标系，设正三棱柱111ABC A B C -的各棱长为2， 可得(0,0,0)A ,1(3,1,2)B ,1(0,0,2)A ,(0,2,0)C ,1(3,1,2)AB =,1(0,2,2)AC =-,异面直线1AB 与1CA 所成角为θ，可得111121cos 488AB AC AB AC θ⋅-===， 故选：C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的相关问题，属于基础题，注意运算准确. 5.已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ） A. 6B. 3C.93222D.93222+【答案】B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线21y x =--O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．6.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A. 56B. 84C. 112D. 168【答案】D 【解析】因为8(1)x +的展开式中2x 的系数为28C ，4(1)y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22x y 的系数为2284168C C =.故选D.【考点定位】二项式定理7.已知圆的渐开线的参数方程为4(cos sin ),4(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩,(ϕ为参数），则此渐开线的基圆的周长是（ ） A. π B. 2πC. 4πD. 8π【答案】D 【解析】【分析】根据圆的渐开线的参数方程，得到基圆的半径，计算得到其周长.【详解】由圆的渐开线的参数方程，知基圆的半径4r =，则基圆的周长为28r ππ=. 【点睛】本题考查了渐开线的基圆知识点，属于简单题.8.已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为A. 114B. 1C. 334D.734【答案】C 【解析】由柯西不等式，可得))][()22222223321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ． 9.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A. 100种 B. 60种 C. 42种 D. 25种【答案】C 【解析】 【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C.【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体 该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个 故22222(2)(2)22R =++=，2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=． 故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11.已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.32C. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为1,F 运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为1,F由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒， 即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠ 222214424()122c c c c =+--=，即有1||MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c =，可得c e a ==． 故选D ．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.已知()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,,x x x x ∀∈+∞≠,[]2,3a ∃∈()()21122f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是（ ）A. 194m ≥-B. m ≥C. m ≥D. m ≤【答案】A 【解析】 【分析】 把不等式()()21122f x f x m x x -<-转化为()()112222f x mx f x mx +>+，令()()2g x f x mx =+，得到()g x 在[0,)+∞上单调递增，得到()0g x '≥在[4,)+∞恒成立，转化为a m x x -≤+在[4,)+∞上恒成立，求出函数a y x x=+在[4,)+∞上的最大值，即可求解. 【详解】设12x x >，把()()21122f x f x m x x -<-转化为()()112222f x mx f x mx +>+，令()()2g x f x mx =+，得到()g x 在[0,)+∞上单调递增， 则()g x 在区间[4,)+∞上单调递增，所以()0g x '≥在[4,)+∞上恒成立，整理得am x x-≤+在[4,)+∞上恒成立， 因为[]2,3a ∈，所以函数a y x x =+在区间[4,)+∞上单调递增，故44am -≤+，因为[]2,3a ∃∈，所以max 19(4)44a m -≤+=，即194m ≥，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求解方程的根问题，其中解答中把()()21122f x f x m x x -<-转化为函数()()2g x f x mx =+，利用函数()g x 单调性与最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题13.由曲线y=x 2和y 2=x 围成的封闭图形的面积是 ． 【答案】 【解析】试题分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x 2与y 2="x" 所围成的图形的面积． 解：先将y 2=x 化成：，联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x 2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x 2）dx=﹣x 3|01=故答案为．考点：定积分在求面积中的应用．14.已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________. 【答案】39 【解析】 【分析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.15.设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的任一排列，则123452345x x x x x ++++的最小值是_____． 【答案】35 【解析】 【分析】利用反序排列，推出结果即可．【详解】由题意可知：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的反序排列时，123452345x x x x x ++++取得最小值，即152433425135⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为35．【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】3227π【解析】 【分析】根据题意，设小圆柱体底面半径为cos θ，则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，小圆柱体体积()2cos 1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()321V t t t π=⋅--++，利用导数性质能求出小圆柱体体积的最大值. 【详解】根据题意画出图象：由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ， 则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，， 小圆柱体体积()2cos1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，， 则()()()232111V tt tt t ππ=⋅-+=⋅--++则()()()2321311V t t t t ππ'=⋅--+=⋅-++当13t =时，max 3227V π=故答案为：3227π【点睛】本题考查圆柱体体积的最值问题，根据圆柱体积公式构建函数，求导研究函数的性质，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题. 三、解答题17.已知函数()|21||25|f x x x =++-. （1）求不等式()10f x 的解集； （2）a ，b 均为正实数，若41a b+为函数()f x 的最小值，求实数2+a b 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）13⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求出()f x 的最小值为6，即416a b+=，结合基本不等式求解最值得到取值范围.【详解】（1）()|21||25|f x x x =++-1,24410x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩或15,22610x ⎧-<<⎪⎨⎪⎩或5,24410xx ⎧⎪⎨⎪-⎩ 解得3722x -≤≤.所以解集为37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()|21||25||21(25)|6f x x x x x =++-+--=.所以416a b +=，1411812(2)6(6216663b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当a =时等号成立.所以2+a b 的范围为1,3⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最小值，利用基本不等式求取值范围，需要注意考虑最值等号成立的条件.18.在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213cos 4ρθ+=．()1当π2ϕ=时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；()2若直线l 与曲线C 相切于点B ，求AB 的值．【答案】()1直线l 与曲线C 相离；()22. 【解析】 【分析】()1当π2ϕ=时，直线l 的方程为2x =-，根据已知条件可得2223cos 4ρρθ+=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，替换写成标准式得2214y x +=，进而判断出直线l 与曲线C 相离；()2将直线l 的参数方程代入2214y x +=中，整理得()2213cos 16cos 120t t ϕϕ+-+=，根据直线l 与曲线C 相切，可得cos 7ϕ=±，进而算出AB 的值. 【详解】()1当π2ϕ=时，直线l 的方程为2x =-， 由()2213cos 4ρθ+=，得2223cos 4ρρθ+=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，得22234x y x ++=，即2214y x +=，所以曲线C 是椭圆，左顶点为()1,0-，因为直线l 过点()2,0A -且垂直于x 轴， 所以直线l 与曲线C 相离．()2解法一：将直线l 的参数方程代入2214y x +=中，得()22242cos sin 40t t ϕϕ-++-=，整理得()2213cos 16cos 120t t ϕϕ+-+=，因为直线l 与曲线C 相切，所以()()2216cos 41213cos 0ϕϕ∆=--⨯+=，化简得：27cos 3ϕ=，cos 7ϕ=±， 因为点()2,0A -在直线l 上，所以()21616cos 792213cos 217AB t ϕϕ⨯====⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 解法二：显然直线l 的斜率存在且过点()2,0A -， 设直线l 的方程为()2y k x =+，将其代入22440x y +-=，并整理得：()222244440k x k x k +++-=，因为直线l 与曲线C 相切，∴()()422216444448640k k k k ∆=-+-=-+=， ∴243k =，所以2161640333x x ++=，即24410x x ++=，()2210x +=，12x =-， 所以()2y k x =+=，所以1,2B ⎛-⎝，2AB ==． 【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，属于中档题.19.某中学为研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关(2) 分布列为故ξ的数学期望为：9 ()4 Eξ=【解析】试题分析：（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出22006.060 33K=≈，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为6人，在达标学生中抽取人数为2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()Eξ试题解析：（1）由题意得“课外体育达标”人数：()2000.020.0051050⎡⎤⨯+⨯=⎣⎦，则不达标人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200∴()22200602030902006.060 6.635150509011033K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人，在“课外体育不达标”抽取人数为2人，则题意知：ξ的取值为1，2，3.()()()1221362626333888630201,2,3565656C C C C CP P PC C Cξξξ=========故ξ的分布列为故ξ的数学期望为：()6302091235656564Eξ=⨯+⨯+⨯=20.如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，60DAB∠=︒，12PD AD AB==，PD⊥底面ABCD．()1证明：PA BD ⊥；()2求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．【答案】()1证明见解析；()260︒. 【解析】 【分析】()1由余弦定理得3BD AD =，从而BD AD ⊥，由PD ⊥底面ABCD ，得PD BD ⊥，从而BD ⊥平面PAD ，由此能证明PA BD ⊥;()2以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法能法出平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．【详解】解：()1证明：60DAB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得3BD AD =，从而222BD AD AB +=，∴BD AD ⊥，又PD ⊥底面ABCD ，可得PD BD ⊥，=,PDAD D PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥.()2如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()3,0B，()3,0C -，()0,0,1P()3,0AB =-，()0,3,1PB =-，()1,0,0BC =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则3m PB y z m BC x⎧⋅=-⎪⎨⋅=-⎪⎩，取0x =，1y =，得(=m ， ∴1cos ,2n mn m n m ⋅==⋅， 故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为60︒.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点()0,1A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.【答案】（1）2214x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程；（2）设点0(P x ，0)y ，则0(2x M ，0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →→⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上．【详解】（1）由题意可知，2221b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=.（2）设点0(P x ，0)y ，则0(2x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：002(1)1y y x x -=+， 令1y =-得，01x x y =-， ∴点N 的坐标为0(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为00(2(1)x y -，1)-，∴0(2x OM DM →→⋅=，2220000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-+=+-+--， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上，∴220014x y +=，220044x y =-，∴2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y →→-⋅=-+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．【点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．22.已知函数()211e 122xf x ax ax =---(a 为常数)，曲线()y f x =在与y 轴的交点A 处的切线与x 轴平行．(1)求a 的值及函数()y f x '=的单调区间；(2)若存在不相等的实数12,x x 使12()()f x f x ''=成立，试比较12x x +与2ln 2的大小． 【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．（2）x 1＋x 2＜2ln 2 【解析】 【分析】(1)由导数的几何意义得到1(0)1002f a =--='，求出a 的值，再求函数()y f x ='的单调区间.(2) 令g (x )＝f ' (x )－f '(2ln 2－x )＝e x－4x e－4x ＋4ln 2(x ≥ln 2)，利用导数得到函数g(x) 在(ln 2，＋∞)上单调递增，即f '(x )＞f '(2ln 2－x )，不妨设x 1＜ln 2＜x 2，所以f '(x 2)＞f '(2ln 2－x 2)，再证明x 1＋x 2＜2ln 2． 【详解】(1)由()211122xf x e ax ax =---， 得1()2xf x e ax a =--'．且f(x)与y 轴交于A(0.0) 所以1(0)1002f a =--='，所以a=2，所以()21xf x e x '=--,)2x f x e =''-（． 由)2xf x e =''-（＞0，得x ＞ln 2． 所以函数()y f x '=在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增． (2)证明：设x ＞ln 2，所以2ln 2－x ＜ln 2，f '(2ln 2－x )＝e (2ln 2－x )－2(2ln 2－x )－1＝4x e＋2x －4ln 2－1． 令g (x )＝f ' (x )－f '(2ln 2－x )＝e x－4xe －4x ＋4ln 2(x ≥ln 2)， 所以g ′(x )＝e x ＋4e －x －4≥0， 当且仅当x ＝ln 2时，等号成立，所以g (x )＝f '(x )－f '(2ln 2－x )在(ln 2，＋∞)上单调递增．又g (ln 2)＝0，所以当x ＞ln 2时，g (x )＝f '(x )－f '(2ln 2－x )＞g (ln 2)＝0， 即f '(x )＞f '(2ln 2－x )，不妨设x 1＜ln 2＜x 2，所以f '(x 2)＞f '(2ln 2－x 2)， 又因f '(x 1)＝f '(x 2)，所以f '(x 1)＞f '(2ln 2－x 2)，由于x 2＞ln 2，所以2ln 2－x 2＜ln 2，因为x 1＜ln 2，由(1)知函数y ＝f '(x )在区间(－∞，ln 2)上单调递减， 所以x 1＜2ln 2－x 2， 即x 1＋x 2＜2ln 2．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。
2019-2020学年 江西省赣州一中 高二下学期月考数学(理)试题(解析版)
然后再求当 x 10 的函数值即可．
详解：由题意得 x 1 (2 4 5 6 8) 5, y 1 (30 40 50 60 70) 50 ，
5
5
∴样本中心为 (5,50) ．
∵回归直线 yˆ 7x aˆ 过样本中心 (5,50) ， ∴ 50 75 aˆ ，解得 aˆ 15 ， ∴回归直线方程为 yˆ 7x 15 ．
A．4 或 3
B．4 或 11
C．4
D． 3
第 1 页 共 20 页
【答案】C
【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于 a, b 的方程组，解方程组并进行验证
可得所求．
详解：∵ f (x) x3 ax2 bx a2 ，
∴ f (x) 3x2 2ax b ．
f (1) 3 2a b 0
想到构造 g x f x .一般：（1）条件含有 f x f x ，就构造 g x ex f x ,
x
（2）若
f
x
f x，就构造 g x
f x ，（3） 2 f
ex
x
f x ，就构造
g x e2x f
x ，（4）2 f
x
f x 就构造 g x
f x ，等便于给出导数时联想
2019-2020 学年江西省赣州一中高二下学期月考数学（理） 试题
一、单选题
1．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1 i) 2i ，则| z | ( )
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
【答案】B 【解析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可． 【详解】
由 z(1 i) 2i ，得 z 2i 2i(1 i) 2i 2 1 i ， 1 i (1 i)(1 i) 2
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
江西省赣州市2019_2020学年高二数学12月月考试题理
江西省赣州市2019-2020学年高二数学12月月考试题理一．选择题（每小题5分，共60分）1．如图是根据x，y的观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，10）得到的点图，由这些点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图（）A．①②B．①④C．②③D．③④2．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4＜0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∃x0∈R，x02﹣2x0+4≥0C．∀x∉R，x02﹣2x0+4≥0D．∃x0∉R，x02﹣2x0+4≥03．顶点在原点，焦点是（0，3）的抛物线的方程是（）A．y2＝12x B．x2＝12y C．D．4．为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为100的样本，则每名学生成绩人样的机会是（）A．B．C．D．5．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2] D．[2，+∞）6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（）A．B．C．D．7．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．B．1 C．D．28．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为（）A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.329．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）A．B．C．D．10．圆与圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．外切D．内切11．已知三棱锥A﹣BCD中，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（）A．B．24πC．D．6π12．直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题5分，共20分）13．已知圆与圆．求两圆公共弦所在直线的方程．14．如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中O'A'＝6，C'D'＝2，则原图形面积是．15．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的是．①EF∥平面ABCD；②△AEF的面积与与△BEF的面积相等③平面ACF⊥平面BEF；④三棱锥E﹣ABF的体积为定值；16．如图，己知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，若|QF2|＝2|OQ|，则椭圆离心率的范围是．三．解答题（共6小题，共70分）17．(本小题满分10分）已知命题P：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：∃x∈（﹣1，1），使x2﹣x﹣m＝0成立，命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆（1）若命题s为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．18．（本小题满分12分）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩（分）80 85 71 92 87乙的成绩（分）90 76 75 92 82（2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰．已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，∠ABC＝60°，E是BC中点，若H为PD上的点，AH＝．（1）求证：EH∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣ABH的体积．20．（本小题满分12分）1．已知点A（1，1），B（﹣1，3）．（1）求以AB为直径的圆C的方程；（2）若直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，求m值．21．（本小题满分12分）如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．（1）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；（2）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．22．（本小题满分12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与椭圆C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标．数学（理）试卷答案1-6：B B B A B C 7-12：A C D B C A11、解：三棱锥A﹣BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成（如图）设长方体的棱长分别为a，b，c，则a2+b2＝5，b2+c2＝4，a2+c2＝3，则该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R＝＝．V=＝．选：C．12、解：由，取y＝0，得x＝﹣，取x＝0，得y＝1，∴F（，0），C（0，1），设A（x0，y0），则，，由，得，∴，即，即A（）．把A的坐标代入椭圆，可得，即．又b2＝a2﹣3，解得，又c2＝3，∴，∴e＝．故选：A．13、x﹣y﹣1＝0 14、24．15、解：①在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD，且BD⊂平面ABCD，B1D1∉平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故①正确；②点A到EF的距离大于BB1，∴△AEF的面积与与△BEF的面积不相等，故②错；③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥AC，∴AC⊥面BB1D1D，又面BB1D1D与面BEF是同一面，AC⊂面ACF，∴平面ACF⊥平面BEF，故③正确；④△BEF中，EF＝，EF边上的高BB1＝1，∴△BEF的面积为定值，∵AC⊥面BDD1B1，∴AO⊥面BDD1B1，∴AO为三棱锥A﹣BEF底面BEF上的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．16、解：∵|QF2|＝2|OQ|，∴|QF2|＝，|QF1|＝，∵PQ是∠F1PF2的角平分线，∴，则|PF 1|＝2|PF2|，由|PF1|+|PF2|＝3|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由a﹣c，可得e＝＞，由0＜e＜1，∴椭圆离心率的范围是（，1）．17、解：（1）命题s为真时，即命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真；∴4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2；故命题s为真时，实数m的取值范围为：（0，2）；（2）当命题p为真时，f（x）＝x2+（m﹣3）x+m满足f（1）＜0，即2m﹣2＜0，所以m＜1．命题q为真时，方程m＝x2﹣x在（﹣1，1）有解，当x∈（﹣1，1）时，x2﹣x∈[，2），则m∈[，2），由于p∨q为真，￢q为真；所以q为假，p为真；则，得；∴m＜；故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为（﹣∞，）．18、解：（1）解法一：甲的平均成绩为，乙的平均成绩为，甲的成绩方差，乙的成绩方差为，由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，乙合适．解法二：派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，乙获得8（5分）以上（含85分）的概率．因P1＞P2派甲参赛比较合适，（2）5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F．方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种．所以学生乙可参加复赛的概率．方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：（a，b，c），（a，b，E），（a，b，F），（a，c，E），（a，c，F），（a，E，F），（b，c，E），（b，c，F），（b，E，F），（c，E，F），共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：（a，b，c），（a，b，E），（a，b，F），（a，c，E），（a，c，F），（b，c，E），（b，c，F）共7种，所以学生乙可参加复赛的概率因为P1＜P2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．19、解：（1）证明：∵PA＝AD＝2，AH＝，∴H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，则HM AD，BD，∴HM BD，∴四边形DHMB是平行四边形，∴EH∥BM，又EH⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴EH∥平面PAB．（3）解：由（1）可知，EH∥平面PAB，（4）∴三棱锥P﹣ABH的体积：V P﹣ABH＝V H﹣PAB＝V E﹣PAB＝V P﹣ABE＝＝＝．∴三棱锥P﹣ABH的体积为．20、解：（1）根据题意，点A（1，1），B（﹣1，3），则线段AB的中点为（0，2），即C 的坐标为（0，2）；圆C是以线段AB为直径的圆，则其半径r＝|AB|＝＝，圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝2，（2）根据题意，若直线x﹣my+1＝0被圆C截得的弦长为，则点C到直线x﹣my+1＝0的距离d＝＝，又由d＝，则有＝，变形可得：7m2﹣8m+1＝0，解可得m＝1或．21、解：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，∴BC⊥平面AEBF，又∵AF⊂平面AEBF，∴BC⊥AF．∵∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC、BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，∴AF⊥平面BCF．又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCF．（2）解：∵BC∥AD，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠FAB＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF．延长EB到点H，使得BH＝AF，又BC AD，连CH、HF，由题意能证明ABHF是平行四边形，∴HF AB CD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF．过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF⊂平面CDF）∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．又BE＝＝2AF＝2BH，∴EG＝，又S△ABE＝2S△AEF，V G﹣ABE＝＝＝＝＝，故＝．22、解：（1）由题意可得：a﹣b＝，＝，a2＝b2+c2．联立解得：a＝2，c＝1，b＝∴椭圆C的标准方程为：+＝1．（2）设M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．联立，化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＝48（3m2﹣t2+4）＞0．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝．|PM|2＝+＝（1+m2），同理可得：|PQ|2＝（1+m2）．∴＝＝＝•＝．∵为定值，∴必然有3t2+12＝16﹣4t2，解得t＝．此时＝为定值，M（，0）．②当直线l的斜率为0时，设P（2，0），Q（﹣2，0）．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．此时＝+＝，把t2＝代入可得：＝为定值．综上①②可得：＝为定值，M（，0）．。
江西省赣州一中2019-2020学年高二下学期线上教学质量评估试题数学(文)试题 Word版含解析
赣州一中2019-2020学年度第二学期高二年级线上教学质量评估试题数学（文) 第Ⅰ卷（选择题)一、单选题1.已知集合{}|10A x x =-≥，集合(){}|lg 31B x y x ==-，则A B =（ ）A. (]0,1B. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合A 和集合B ，然后再根据交集的定义求解即可.【详解】{}{}|10|1A x x x x =-≥=≤，(){}1|lg 31|3B x y x x x ⎧⎫==-=>⎨⎬⎩⎭，所以1|13AB x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，即1,13AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦.故选：C .【点睛】本题考查交集的求法，考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 2.已知两个变量x 和y 之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据，x3 4 5 6 7 y3.52.41.1-0.2-1.3根据表格中的数据求得同归方程ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是（ ） A. 0a >，0b > B. 0a >，0b < C. 0a <，0b > D. 0a <，0b <【答案】B 【解析】 【分析】根据已知数据，可知变量x 和变量y 之间存在负相关的关系，即可判断出0b <，再令0x =，可求出 3.50a y =>>，即可得出答案.【详解】解：由已知数据，可知y 随着x 的增大而减小， 则变量x 和变量y 之间存在负相关的关系，0b ∴<， 当0x =时，则 3.50a y =>>， 即：0a >，0b <． 故选：B.【点睛】本题考查变量间的相关关系和线性回归方程的应用问题.3.已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A. {0,3}-B. [3,0]-C. (,3][0,)-∞-⋃+∞D. {0,3}【答案】A 【解析】 【分析】通过二次函数图象，值域为[0,)+∞，即图象的顶点落在x 轴上. 【详解】∵函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞， ∴2[2(3)]43(3)0m m ∆=-+-⨯⨯+= ∴30m =-或∴实数m 的取值范围为{0,3}-【点睛】本题考查通过观察二次函数的图象，根据函数的值域求参数的取值范围. 4.函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可.【详解】因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.故选：C.【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想. 5.已知0.12a =，0.50.5b =，20200.1log 0.1c =，则（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D.c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性进行比较即可得到答案. 【详解】0.50.50.510.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，20200.10.1log 0.12020log 0.12020c ===，0.10.5202022->>，所以 c a b >>. 故选：B .【点睛】本题考查比较代数式大小的问题，解题关键是利用函数的单调性进行比较，属于基础题.6.用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ） A. 401 B. 201C. 402D. 202【答案】B 【解析】 【分析】先设第n 个图形所用火柴棒数为n a ，由图可知，数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，再求解即可.【详解】解：设第n 个图形所用火柴棒数为n a ，则由图可知，数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 则32(1)21n a n n =+-=+， 即10021001201a =⨯+=， 故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理能力，重点考查了等差数列通项公式的求法，属基础题. 7.已知a R ∈，则“1104a +≤”是“210ax ax 对x R ∀∈恒成立”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到答案. 【详解】不等式1104a +≤可化为404a a+≤，解之得：40a -≤<， 210axax 对x R ∀∈恒成立等价于0a =或00a <⎧⎨∆<⎩，解之得：40a ， 充分性：40a -≤<40a ，充分性不成立；必要性：40a 40a -≤<，必要性不成立；显然“1104a +≤”是“210ax ax 对x R ∀∈恒成立”的既不充分也不必要条件. 故选：D .【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.8.已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A.221111a b <++ 33a b C. 2a ab < D. ()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >. ∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误； 对B ，对a b >33a b >，故B 正确. 故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 9.若1x 是方程2=x xe 的解，2x 是方程ln 2x x =的解，则12x x +等于（ ）A. 2B. 2C. eD. 1【答案】B 【解析】【分析】将方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题进行研究即可得出答案.【详解】由题意知，y ln x =与2y x =的交点为112,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，xy e =与2y x =的交点为222,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 而y ln x =与xy e =的图象关于直线y x =对称，且2y x=的图象关于直线y x =对称， 所以点112,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点222,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称， 联立方程组2y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得2x =，由中点坐标公式可得：122222x x +==故选：B .【点睛】本题考查方程的解和函数图象交点的关系，考查利用对称性求解问题的能力，属于常考题.10.将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ）A.27π B.3πC.827π D.29π 【答案】C 【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得2 2212r xx r -∴=-＝，， ∴圆柱的体积为22201V r r r r （）（）（＜＜），π=- 则3228()327r r r V r ππ++-≤=（） ∴圆柱的最大体积为827π，此时23r ，=故选B ．【点睛】本题主要考查基本不等式在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键．11.已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：①22213a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③2221b c a a b c++≥3a b c 则正确的结论个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式及柯西不等式计算可得；【详解】解：①：222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩，222a b c ab bc ac ∴++++ 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++．22213a b c ∴++，故①不正确． ②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++，13ab bc ca∴++，故②正确． ③：222222b a b a c b c ba c c c⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩，∴2221b c a a b c a b c ++++=∴2221b c a a b c++，故③正确．④：由柯西不等式得2()(111)()a b c a b c +++++，∴3a b c ≤．则④错误．故选：B ．【点睛】本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题． 12.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A. 9 B. 10C. 18D. 20【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案. 【详解】函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数， 由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x +2，可得f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2. 又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ，g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B .【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题13.曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =-【解析】 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1， 又∵切点坐标为（1，0）， ∴切线方程为y ＝x ﹣1． 故答案为y ＝x ﹣1．【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．14.若复数z 满足()21z i i -=+（i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数），则z 的虚部为______． 【答案】1- 【解析】 【分析】根据复数z 满足()21z i i -=+，求得z ，再由共轭复数得到z ，再根据复数的概念求解. 【详解】()211z i i i -=+=-+，1z i =+，所以1z i =-，故z 的虚部为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知(),P x y 为椭圆221416x y +=上的任意一点，则231x y +-的最大值为________.【答案】9 【解析】 【分析】设2cos ,4sin x y θθ==，代入231x y +-并利用辅助角公式运算即可得到最值. 【详解】由已知，设2cos ,4sin x y θθ==，则3134sin 1x y θθ+-=+-8sin()1[9,7]3πθ=+-∈-，故231x y +-8sin()1[0,9]3πθ=+-∈.当76θπ=时，取得最大值9. 故答案为：9【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求函数的最值问题，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.16.已知函数()2()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(12)， 【解析】 【分析】首先利用导数判断出21ln 1x x +>+，由此化简不等式()0f x <，分离常数a 得到2ln 11x x a x x ++<<，由此分别利用基本不等式和导数求得21x x+的最小值与ln 1x x +的最大值，由此求得a 的取值范围. 【详解】()f x 定义域为()0,∞+， 构造函数()()2ln 0g x x x x =->，())2'21211212x x x g x x x xx+--=-==，由于0x >，令()'0g x =解得2x =， 所以20,2x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0g x <，()g x 递减， 22x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 递增， 所以()g x 在()0,∞+上的极小值也即是最小值为21211ln ln 2022222g ⎛=-=+> ⎝⎭， 所以()2ln 0g x x x =->，也即当0x >时，22ln 1ln 1x x x x >⇒+>+. 所以由()2()(ln 1)10f x ax x ax x =----<，得2ln 11x ax x +<<+，可得2ln 11x x a x x++<<， 其中221222x x xxx+==. 令ln 1()x h x x +=，'221(ln 1)ln ()x x h x x x-+==-.可得函数()h x 的增区间为(0,1).减区间为(1,)+∞，可得()(1)1h x h =.即ln 11x x+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2)故答案为：(12)， 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 三、解答题17.若z C ∈，4233i z z +=+，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围. 【答案】（1）31i 2z =+；（2）[]0,2. 【解析】 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出22sin 6z πωθ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()4233a bi a bi i ++-=∴，即6233a bi i +=，所以63321a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3122z i ∴=+；（2）()3131sin cos sin cos 222z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=++⎭---+ 2231sin cos 23sin cos 22sin 226πθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++=-+- ⎪⎝⎭⎝⎝⎭=⎭- 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴，02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18.已知m R ∈，p ：m 128<<；q ：不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[4,4]-（2）[4,0][3,4]-⋃ 【解析】 【分析】（1）解不等式2160m ∆=-即得解；（2）由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，再分两种情况分析讨论得解.【详解】（1）由“不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立”为真得2160m ∆=-，解得44m -≤≤，故实数m 的取值范围为[4,4]-.（2）由“m128<<”为真得m的取值范围为03m<<，由“p q∨”为真，且“p q∧”为假知p，q一真假，当p真q假时，有0344mm m<<⎧⎨-⎩或，此时m无解；当p假q真时，有0344m mm≤≥⎧⎨-≤≤⎩或，解得40m-≤≤或34m≤≤；综上所述，m的取值范围为[4,0][3,4]-⋃.【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知函数()|22||1|f x x x=+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x的图象，并结合图象写出不等式()3f x≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m=--的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析，2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）21m-<<-【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质把函数()f x的解析式化简成分段函数的形式，在直角坐标系内画出函数图象，根据图象求出不等式解集即可；（2）问题转化为()0>g x恒成立，再转化为2()3f x m m>+恒成立，根据函数()f x的最小值进行求解即可.【详解】（1）3,1()31,113,1x xf x x xx x--≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩结合图象可知，当1x≤-时，33x--≥，6x≤-；当11x-<<时，313x+≥，解得2,13x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当1x≥时，33x+≥成立．综上，不等式()3f x≥的解集为2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）若函数2()()3g x f x m m=--的图象恒在x轴的上方，则()0>g x恒成立，即2()3f x m m>+恒成立，只需2min()3f x m m>+．由（1）中图象可知min()(1)2f x f=-=-．所以232m m+<-，解得21m-<<-．【点睛】本题考查了含绝对值函数的图象和最值，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.20.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22x ty t=-⎧⎨=-⎩（t为参数），曲线1C的参数方程为1cossinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C与x轴交于,O A两点.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的普通方程及曲线1C的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线22:4C y x =在第一象限交于点M ，且线段MA 的中点为N ，点P 在曲线1C 上，求||PN 的最小值.【答案】（1）240x y --=；2cos ρθ= （2）221 【解析】 【分析】（1）利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求解即可；（2）联立直线方程和曲线2C 的方程求出点M 坐标，利用中点坐标表示可得点N ，结合（1）知，判断点N 与圆1C 的位置关系求出||PN 的最小值即可.【详解】（1）由22x t y t=-⎧⎨=-⎩可得24x y =+，即240x y --=，所以直线l 的普通方程为240x y --=.由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩可得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=， 将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）由22404x y y x --=⎧⎨=⎩，可得12x y =⎧⎨=-⎩或44x y =⎧⎨=⎩，因为点M 位于第一象限，所以(4,4)M ，由（1）可得(2,0)A ，因为线段MA 的中点为N ，所以(3,2)N ， 由（1）可知曲线1C 表示圆，其圆心为1(1,0)C ，半径1r =， 所以221||(31)(20)22C N r -+-，因为点P 在曲线1C 上，所以min 1||221PN C N r =-=.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、点与圆的位置关系；考查运算求解能力和逻辑思维能力；正确判断点N 与圆1C 的位置关系是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.21.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位40 50个体经营户50 150合计（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．附：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得应为分层抽样；（2）利用联列表求出2k，然后判断即可；（3）加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作等.【详解】（1）分层抽样（2）完成列联表普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体经营户 100 50 150 合计 14060200将列联表中的数据代入公式计算得()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ()2200405010010200140605015063⨯-⨯==⨯⨯⨯ 3.175 2.706≈>， 所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）（意思相近即可得分）建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作.【点睛】本题主要考查了抽样方法，独立检验思想的应用，考查计算能力，属于中档题. 22.已知函数()322111ln 342f x x x x x =--，设()f x 的导函数为()g x ． （1）求证：()0g x ≥；（2）设()g x 的极大值点为0x ，求证：()2014e g x -<<．（其中271828e =⋯．） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质得到原函数的单调性以及单调区间． （2）利用导函数的性质研究原函数的单调性以及零点存在，再结合单调性求出极值进而得证 【详解】解：（1）由已知()f x 的导函数为2()g x x x xlnx =--． 要证()0g x ，只需要证明10x lnx --． 设()1x x lnx =--，则1()x f x x-=． 故()h x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， 故()()110h x x lnx h =--=．（2）证明：因2()g x x x xlnx =--，所以()22g x x lnx '=--．令()22h x x lnx =--，则12()12()2x h x x x-'=-=可知，当1(0,)2x ∈时，()h x 单调递减，当1(2x ∈，)+∞时，()h x 单调递增．又2()0h e ->，1()02h <， ()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ， 在1(2，)+∞有唯一零点1．且当0(0,)x x ∈，()0h x >，当0(x x ∈，1)，()0h x <，所以0x x =是()g x 的唯一的极大值 点，故00220x lnx --=，20(x e -∈，1)2所以2200000001()()4max g x g x x x x lnx x x ==--=-+<因为11(0,)2e -∈，显然120()()g x g e e -->=故201()4e g x -<<． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于中档题．。
2019-2020学年江西省赣州市高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省赣州市高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．如图是根据x ，y 的观测数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅得到的点图，由这些点图可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】B【解析】通过观察散点图可以得出，②③没有明显的线性相关关系；①④是明显的线性相关． 【详解】由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系； ①中y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关； ④中y 随x 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y 与x 正相关． 故选：B ． 【点睛】本题考查了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是基础题目． 2．命题“x R ∀∈，2240x x -+<”的否定为（ ） A ．x R ∀∈，2240x x -+≥B ．0x R ∃∈，200240x x -+≥ C ．x R ∀∉，200240x x -+≥ D ．0x R ∃∉，200240x x -+≥【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，判断出正确选项. 【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，条件不用否定，由此确定B 选项正确. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 3．顶点在原点，焦点是()0,3的抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．212x y =C ．2112y x =D ．2112x y =【答案】B【解析】根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且2p=3，解可得p 的值，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是（0，3）， 则抛物线开口向上且2p=3，解可得p ＝6， 则要求抛物线的方程为x 2＝12y ； 故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及标准方程，属于基础题．4．为了了解某次数学竞赛中1 000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,则每名学生成绩入样的机会是( ) A ．110B ．120C ．150D ．1100【答案】A 【解析】【详解】因为随机抽样是等可能抽样，每名学生成绩被抽到的机会相等,都是1001100010=.故选A. 5．如图所示，执行该程序框图,为使输出的函数值在区间11[,]42内则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】该程序的作用是计算分段函数f （x ）＝[]()()2,2,22,,22,x x x ⎧∈-⎪⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩ 的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，即可得到答案． 【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f （x ）＝[]()()2,2,22,,22,x x x ⎧∈-⎪⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩的函数值．又∵输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，∴ 11242x≤≤ ,即 x ∈[﹣2，﹣1] 故选：B ． 【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，由流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基础题.6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】C【解析】先设A 表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，由题意确定事件A 包含的基本事件个数，以及总的基本事件个数，进而可求出结果. 【详解】依题意，设A 表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，则事件A 包含的基本事件个数为233C =种， 而基本事件的总数为2510C =，所以3()10P A =， 故选：C ． 【点睛】本题考查求古典概型的概率，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．7．若直线1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，则实数a 的值是（ ） A ．23B ．1C ．12D ．2【答案】A【解析】根据直线的垂直关系求解. 【详解】由1l 与2l 垂直得：·12(1)=0a a +-，解得23a = ， 故选A. 【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于基础题.8．矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68C ．16.32D ．17.32【答案】C【解析】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积 【详解】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：300962040.68300300p -===，又=0.6846S S p S ==⨯椭圆椭圆长方形，解得：=320.6416.32S 椭圆⨯≈故选：C 【点睛】本题主要考查了概率模拟及其应用，属于基础题。