数学必修平面向量综合练习题
数学必修平面向量综合练
习题
It was last revised on January 2, 2021
一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是( )
A.两个单位向量的数量积为1
B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c
C. D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b
参考答案与解析:解析:A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中应为;D中b⊥c b·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b. 答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算
2、设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是(
) ||=2,则四边形ABCD是(
) =|=2,则四边形ABCD是(
) 2|=2,则四边形ABCD是(
) ,|=2,则四边形ABCD是(
) 则|=2,则四边形ABCD是(
) 四|=2,则四边形ABCD是(
) 边|=2,则四边形ABCD是(
) 形|=2,则四边形ABCD是(
) A|=2,则四边形ABCD是(
) B|=2,则四边形ABCD是(
) C|=2,则四边形ABCD是(
) D|=2,则四边形ABCD是(
) 是|=2,则四边形ABCD是(
) (|=2,则四边形ABCD是(
) |=2,则四边形ABCD是(
) |=2,则四边形ABCD是(
) |=2,则四边形ABCD是(
) |=2,则四边形ABCD是(
) )|=2,则四边形ABCD是(
) |=2,则四边形ABCD是(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
参考答案与解析:解析:,所以||=||,且AB∥CD,所以四边形ABCD 是平行四边形.又因为||=||=2,所以四边形ABCD是菱形.
答案:B主要考察知识点:向量、向量的运算
3、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,则实数k 的值为(
)
参考答案与解析:解析:∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6. 答案:A主要考察知识点:向量、向量的运算
4、设0≤θ<2π,已知两个向量=(cosθ,sinθ),=(2+sinθ,2-cosθ),
则向量长度的最大值是(
)
A. B. C. D.
参考答案与解析:解析:=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),
所以||=≤=.
答案:C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
5、设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为(
)
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
参考答案与解析:解析:依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2,-6). 答案:D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
6、已知向量a=(3,4),b=(-3,1),a与b的夹角为θ,则tanθ等于( )
A.
参考答案与解析:解析:由已知得a·b=3×(-3)+4×1=-5,|a|=5,|b|=,
所以cosθ=.
由于θ∈[0,π],
所以sinθ=.
所以tanθ==-3.
答案:D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、l∈R),且与共线,则k、l应满足(
)
+l=0 =0
+1=0 =0
参考答案与解析:解析:因为与共线,所以设=λ(λ∈R),即
la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以(l-λ)a+(1-λk)b=0.
因为a与b不共线,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.
答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算
8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为( )
C. D.
参考答案与解析:解析:因为=λ,所以(4,4)=λ(2,2).所以λ=.
答案:C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
9、设平面向量a1,a2,a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量b1,b2,b3满足
|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30°后与bi同向,其中i=1,2,3,则( )
+b2+b3=0 +b3=0
+b2-b3=0 +b2+b3=0
参考答案与解析:解析:根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由
a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.
答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算
10、设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若,且·=1,则P点的轨迹方程是(
)
+y2=1(x>0,y>0) =1(x>0,y>0)
=1(x>0,y>0) +3y2=1(x>0,y>0)
参考答案与解析:解析:设P(x,y),则Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,=(x,y-yB)=(xAx,-y).
∵=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=x,yB=3y(x>0,y>0).
又∵·=1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,
∴(-x,y)·(x,3y)=1,
即x2+3y2=1(x>0,y>0).
答案:D主要考察知识点:向量、向量的运算
11、已知△ABC中,点D在BC边上,且,若,则r+s的值是(
)
A. C.
参考答案与解析:解析:△ABC中,==()=-,故
r+s=0.
答案:B主要考察知识点:向量、向量的运算
12、定义a※b=|a||b|sinθ,θ是向量a和b的夹角,|a|、|b|分别为a、b的
模,已知点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点,则※等于(
)
参考答案与解析:解析:由题意可知=(-3,2),=(2,3),
计算得·=-3×2+2×3=0,
另一方面·=||||cosθ,
∴cosθ=0,
又θ∈(0,π),从而sinθ=1,∴※=||||sinθ=13.
答案:D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
二、填空题【共4道小题】1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b 的夹角是____________.
参考答案与解析:解析:由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a·b+b2=c2,所以
2a·b=72-32-52=15.设a与b的夹角为θ,则cosθ===,
所以θ=60°.
答案:60°主要考察知识点:向量、向量的运算
2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数
λ=___________.
参考答案与解析:解析:由已知可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, =(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.
由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,
即-e1-4e2=m[4e1+(λ+3)e2].所以-1=4m且-4=m(λ+3),消去m得λ=13.
答案:13主要考察知识点:向量、向量的运算
3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________.
参考答案与解析:解析:运用夹角公式cosθ=,代入数据即可得到结果.
答案:120°主要考察知识点:向量、向量的运算
4、如图2-1所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_________________.
图2-1
①②+③④+⑤-
参考答案与解析:解析:由向量减法法则可知③⑤不符合条件,①②显然满足,④不满足.
答案:①②主要考察知识点:向量、向量的运算
三、解答题【共6道小题】
1、如图2-2所示,在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.
图2-2
参考答案与解析:解:∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.
又b=-(a+c),
∴-(a+c)·(a-c)=0,即c2-a2=0.
∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|,
故|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算
2、如图2-3所示,已知||=||=1,、的夹角为120°,与的夹角
为45°,||=5,用,表示.(注:cos75°=)
图2-3
参考答案与解析:解:设=λ+μ,
则·=(λ+μ)·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.又·=||||cos45°=5cos45°=,
∴λμ=,
·=(λ+μ)·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.又·=||·||cos(120°-45°)=5cos75°=,
∴λ+μ=.
∴λ=,μ=.
∴=+.主要考察知识点:向量、向量的运算
3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6,1),=(-2,-3).若有
∥,又有⊥,求的坐标.
参考答案与解析:解:设=(x,y),则=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-4,2-y),=(x-2,y-3).
又∥及⊥,
所以x(2-y)-(-x-4)y=0, ①
(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0. ②
解得或
∴=(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
4、已知平面向量a=(,-1),b=(,).
(1)证明a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,求函数关系式k=f(t).
参考答案与解析:(1)证明:因为a·b=(,-1)·(,)=+(-1)×=0,所以a⊥b.
(2)解:由已知得|a|==2,|b|==1,
由于x⊥y,所以x·y=0,即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.
所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.
由于a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.
所以k=t(t2-3).
由已知k,t不同时为零得k=t(t2-3)(t≠0).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
参考答案与解析:解:(1)设c=(x,y),∵|c|=,∴,即x2+y2=20, ①
∵c∥a,a=(1,2),∴2x-y=0,即y=2x. ②
联立①②得或
∴c=(2,4)或(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0. ①
∵|a|2=5,|b|2=,代入①式得a·b=.
∴cosθ==-1.
又∵θ∈[0,π],∴θ=π.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
6、如图2-4所示,已知△AOB,其中=a,=b,而M、N分别是△AOB的两边OA、OB 上的点,且=λa(0<λ<1),=μb(0<μ<1),设BM与AN相交于P,试将向量=p用a、b表示出来.
图2-4
参考答案与解析:解:由题图可知p=或p=,而=λa,
设=m()=m(b-λa),
又∵=μb,设=n()=n(a-μb),
∴p==λa+m(b-λa)=λ(1-m)a+mb,
p==μb+n(a-μb)=na+μ(1-n)b.
∵a、b不共线,且表示方法唯一,
∴解得
∴p=λ[]a+,
即p=.主要考察知识点:向量、向量的运算
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高一数学集合练习题及答案-经典
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题(每题4分,共40分) 1、下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ,b ,c }的真子集共有 个 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1,2}?A ?{1,2,3,4,5}则满足条件的集合A 的个数是 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则C U (M ∪N )= ( ) A . {1,2,3} B. {2} C. {1,3,4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式:{}00∈,{}0??,Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? , {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中,错误的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<,B=} { x x a <,若A ?B ,则a 的取值范围是 ( ) A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ,则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-,A={}2,b ,C U A={} 5,则a = ,b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或,{}41|><=x x x B 或,A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A∩C=Φ,求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-,B=} { 2 20x x ax b -+=,若B ≠?,且A B A ?= 求实数 a , b 的值。
人教版高一数学必修1测试题(含答案)
人教版数学必修I 测试题(含答案) 一、选择题 1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =( ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N ( ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 ( ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合B A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解,则a 的取值范围是 ( ) A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =,则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<,则a 的取值范围是 ( )