数学漫谈
_数学漫谈_袁亚湘 2020.03.14.15
欧几里得 Euclid (约330BC–275BC)
-- 李天岩 (1945-)
Smale（1930-） Maculan(1943-)
数学真：逻辑严谨
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
爱因斯坦 Albert Einstein (1879.3.14-1955)
数学趣：数
有趣的数列: 数阵
等差、等比、斐波那契
倍数与约数： 3的倍数各位数之和也是3的倍数 9的倍数各位数之和也是9的倍数
素数： 2，3，5，7，11，13，17，23，29，31，37，41，43，… 完全数： 等于除它本身之外的所有约数之和
其他完全数： 496，8126，33550336，…
笑话二： 杀恐龙的故事
古代中国数学： 计算
善数，不用筹策 ---老子《道德经》
数学：指导作用
数学为其他学科的新发现提供指导和表达形式
Every new body of discovery is mathematical in form, because there is no other guidance we can have.
数学：名字的由来
在古代中国： 算术、算学、数学
英文： Mathematics 希腊文： μαθηματικά
（直译： 干什么就要学什么）
数学节： 3.14
圆周率 πห้องสมุดไป่ตู้≈ 3.14
联合国教科文组织2019年11月在巴黎召开的 全体大会上通过将3月14日定为国际数学节
割圆术－阿基米德
内接多边形周长 < 圆周长 < 外切多边形周长
二. 数学的特点
数学教学的漫谈心得体会
作为一名数学教师，我深感数学教学是一项充满挑战和乐趣的事业。
在教学过程中，我不断总结经验，探索教学方法，努力提高教学质量。
以下是我对数学教学的几点心得体会。
一、热爱数学，激发学生学习兴趣数学是一门抽象的学科，对于许多学生来说，学习数学是一项充满挑战的任务。
因此，作为一名数学教师，首先要热爱数学，这样才能将这份热爱传递给学生，激发他们对数学的学习兴趣。
1. 传授数学知识，激发学生好奇心在教学过程中，我注重引导学生发现数学的趣味性，让他们感受到数学的奇妙。
例如，在讲解勾股定理时，我会从生活中的实例入手，让学生体会到数学在现实中的应用价值。
同时，我还鼓励学生提出问题，激发他们的好奇心。
2. 创设情境，让学生体验数学魅力在教学中，我善于创设情境，让学生在具体的情境中感受数学的魅力。
例如，在讲解分数的意义时，我会让学生通过制作饼干的实例，直观地理解分数的概念。
这样，学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高了学习兴趣。
二、关注学生个体差异，因材施教每个学生的学习能力和兴趣点都不同，因此，在教学过程中，我注重关注学生的个体差异，因材施教。
1. 了解学生，有的放矢在教学前，我会通过与学生交流、观察课堂表现等方式，了解学生的兴趣爱好、学习习惯和思维方式。
在此基础上，有的放矢地进行教学，确保每个学生都能在课堂上有所收获。
2. 分层教学，提高教学效果针对不同层次的学生，我采用分层教学策略。
对于基础较弱的学生，我会降低难度，注重基础知识的讲解和巩固；对于基础较好的学生，我会提高难度，拓展他们的思维空间。
通过分层教学，使每个学生都能在适合自己的学习节奏中进步。
三、培养学生的数学思维数学教学不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维。
以下是我在这方面的一些做法：1. 引导学生思考，培养问题意识在教学过程中，我鼓励学生提出问题，并对他们的问题进行引导和解答。
这样，学生在解决问题的过程中，逐渐培养出问题意识，提高了思维能力。
2. 培养学生的逻辑思维能力数学是一门逻辑性很强的学科，因此，在教学中，我注重培养学生的逻辑思维能力。
漫谈小学数学
漫谈小学数学上个周我们有幸聆听了教研室王主任的讲座，让我们受益非浅。
其中王主任与我们谈到“我对小学数学充满了敬畏——太难了”小学数学既简单又太难，难在怎样将一个问题初等化，将枯燥的理论知识变成学生易懂的知识。
比如说极限概念的学习：1、对有限与无限的理解与解释。
小学一年级数数的教学中，学生所数的每一个数都是有限数，并且可以一直数下去，但这是一个无限的过程（潜无限）；老师就要在课堂上渗透出这一概念，举一些例子。
2、对于概率统计的理解对于频率与概率各自意义的理解和它们之间的关系，即频率是否就是概率？频率的极限是否就是概率？概率的古典定义以及统计定义的意义是什么？因此，小学数学课程中有许多问题是与极限概念有关的。
解决这些问题不需要教师给以严格证明，但要求教师能够通过直观演示或实验解释清楚。
这就需要教师自身能够理解极限概念，掌握极限的思想方法。
因此，小学教师最重要的工作是能够解释清楚所要解决的具体问题以及解决问题的方法与理念。
因此，理解极限概念应是小学教师最重要的学习方式。
仅仅一个有关极限的概念就需要老师不断的去思考，不断地去提升自己的教学能力。
教师是知识的传递者，教师不仅需要知道传授什么知识，而且需要知道怎样传授知识，知道针对不同的学生采取不同的教学策略。
“学高为师”，过去认为要教给学生一碗水，教师需要有一桶水。
现在看来，一桶水也不够，但从某种角度来说，一滴水就够了，但这一滴水是建立在教师的学养上的能够激发学生滔滔江水的一滴水，这一滴水就是催化剂，让学生与科学与人生与历史等产生强烈的化学反应。
所以，教师知识需要更新，要不断地研究不同时代的学生不同的心理状态，不同的学习环境，不同的接受知识的方式，其实教师是最需要学习的群体之一。
好教师的知识结构应当有三块组成，即精深的专业知识，开阔的人文视野，深厚的教育理论功底。
如果说课堂是老师的根，那么，教学理念则是一个老师的魂。
教学理念怎么样形成？一靠实践中提炼而成，二靠阅读积淀与扬弃。
数学思想论文：漫谈数学思想和数学方法
数学思想论文：漫谈数学思想和数学方法数学，这门古老而又充满活力的学科，一直以来都是人类智慧的结晶。
在数学的学习和研究中，数学思想和数学方法起着至关重要的作用。
它们不仅是解决数学问题的有力工具，更是培养我们思维能力和创新能力的重要途径。
数学思想，是指对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性思考。
它是数学的灵魂，贯穿于数学的始终。
常见的数学思想有分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等。
分类讨论思想，是在解决问题时，根据问题的特点和要求，将问题分成若干个不同的类别，然后分别进行讨论和解决。
例如，在研究绝对值的性质时，需要根据绝对值内的值的正负情况进行分类讨论。
这种思想可以使我们更加全面、细致地思考问题，避免遗漏和错误。
函数与方程思想，是将数学问题中的数量关系用函数或方程的形式表示出来，通过研究函数的性质或解方程来解决问题。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，而方程则是求解未知数的工具。
在解决实际问题时，我们常常通过建立函数或方程来找到问题的解决方案。
数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象的问题变得更加直观、形象，从而便于理解和解决。
比如，在研究函数的单调性、奇偶性时，通过绘制函数的图像，可以更加清晰地看出函数的性质。
转化与化归思想，是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
这种思想在数学中应用广泛，例如，在计算复杂的积分时，常常通过换元法将其转化为简单的积分。
数学方法，则是解决数学问题的具体手段和操作程序。
它是数学思想的具体体现，包括配方法、换元法、待定系数法、反证法等。
配方法，是一种将代数式通过变形，配成完全平方式的方法。
在求解二次方程、二次函数的最值等问题时经常用到。
换元法，是通过引入新的变量来替换原有的变量，从而简化问题的方法。
例如，在求解一些复杂的根式方程时，可以通过换元将其转化为整式方程。
数学文化漫谈
王建磐：华东师范大学 校长 简历： 1949年1月2日生于福建古 田县。数学教授、博士 生导师，兼任国际数学 联盟数学教育委员会执 行委员会成员。1967年高 中毕业后曾插队农村， 当过中学民办教师和县 剧团编剧。1978年靠自学考取华东师范大 学数学系研究生，1981年获理学硕士学位 并留校工作，1982年考取本校在职博士研 究生并于当年获得理学博士学位，是我国 首批18位自己培养的博士之一。1991年聘 为教授。1997年起任华东师范大学校长。 主要研究领域为代数群与量子群，在代数
11、本来不是数学家，但大家都称呼数学 家，于是就当了数学家。 12、在很多领域有种族、性别的歧视，当 数学家就不需要享受此待遇。
13、数学家经常有免费出国的机会。
14、数学家是最先实现家庭办公的职业。 15、据不完全统计，数学家的婚姻都很幸 福。当然，也有数学家终身未娶（嫁）， 因此也没有婚姻的烦恼。
数学文化 漫谈
陈宇
还生我的气吗？ 我总是喜欢叫你术子，知道为什么吗？因为 你的名字和我最喜欢的数学有一个字发音相同， 而且在小学的时候，数学就叫做算术。 也许你真的是生我的气了，然而你知道为 什么我陪你的时间在定义域里变成了一列减函数 了吗？我是有原因的。我们都高三了，面临着即 将到来的各种新的排列组合，我是多么想继续和 你呆在同一个集合里无穷下去，我多么希望我们 的爱情是一条射线，只有起点没有终点，而不是 一根只有高中三年那么丁点儿长的线段。 如果从现在开始我们都努力学习，则上面 的理想可以实现。这是一个真命题。我所作的一 切一切都是在为我们的将来作辅助线，∴你不应 该生我的气，→我对你说：“别生气了。”
谷超豪：复旦大学校长 简历： 1926年生于浙江温州。 1948年毕业于浙江大学 数学系，1953年起在复 旦大学任教，1957年赴 前苏联莫斯科大学进修， 获科学博士学位。历任 复旦大学副校长 和中国 科技大学校长。1980年 当选为中国科学院数学 物理学部委员。专长偏 微分方程、微分几何和 数学物理 。
数学思想漫谈
学素以精确严密而著称，可是在数学发展的历史中，仍然不断地出现矛盾以及解决矛盾的斗争，从某种意义上讲，数学就是要解决一些问题，问题不过是矛盾的一种形式。
有些问题得到了解决，比如任何正整数都可以表示为四个
平方数之和。
有些问题至今没有得到解决，比如，哥德巴赫猜想，任何大偶数都可以表为两个素数之和。
我们还很难说这个命题是对还是不对。
因为随便给一个
偶数，经过有限次试验总可以得出结论，但是偶数有无穷多，你穷毕生精力也不会验证完。
也许你能碰到一个很大的偶数，找不到两个素数之和等于它，不过即使这样，也难以断言这种例外的偶数是否有有
限多
个，也就是某一个大偶数之后，上述哥德巴赫猜想成立。
这就需要证明。
而证明则要用有限的步骤解决涉及无穷的问题，借助于计算
机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结
成有限的情形，没有有限，计算机
也是无能为力的。
因此看出数学永远
回避不了有限与无穷这对矛盾。
可以说这是数学矛盾的根源之一。
f x =a 0+ a n cos nπx +b n sin nπx
∞
n =1
数
一系列经典问题完满地得到解决，而新问题、新成果层出不穷，从未间断。
数学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们在同数学中的矛盾斗争的产物。
课程表。
数学漫谈-宇宙的语言
数学漫谈-宇宙的语言纵观历史，人类一直在努力寻找探索物质世界的的基本原理。
数千年以来，在世界各大文明中都已发现解释世界各个物质规律的原理中基础科学中都用到了一门基础学科，这门学科就是数学。
数学是全球文明的瑰宝，数学创造了描述宇宙的语言，追溯数学发展的历程，从它简单的从1,2,3开始到如今成为一门极其复杂的科学。
用数学的眼观读懂世界，从计量时间到确定自己在宇宙中的位置，从绘制地图到航海探险，从人类早期的发明到如今的先进科技数学已成为人类文明的支点。
本文以走马观花的形式，大致介绍了数学在人类文明的产生与发展历程，分别介绍了早期的四大文明古国数学，以及后来居上的欧美数学。
埃及在人类数学路上的第一步是古老的埃及文明。
在古老的埃及，记录季节的变化规律十分重要，尼罗河两岸的居民在每年洪灾过后都需要重新的测量他们的土地，因此寻求测量的方法就变得十分重要，简而言之，人们需要测量和计数，古埃及人用他们的身体来测量。
为了从辛勤劳动的臣民身上榨取每一分税款，古埃及统治者也把全埃及的土地作了测量。
后人由此发现，古埃及人之所以能够完成这项艰巨的工作，是因为他们当时已经掌握了丰富的应用数学知识。
他们用十进制来计数，灵感来源于他们的手指。
埃及人早就熟悉了二进制，比哲学家兼数学家的莱布尼茨还要早三千多年。
今天整个技术世界依赖于古埃及使用的相同原理。
还有埃及的象征，令人震撼的世界七大奇迹之一的埃及金字塔，它们实在激动人心，在当时更加令人刮目相看，整个形状组成了完美的对称八面体。
这种内对称令数学家印象深刻。
黄金比例也隐藏在伟大的金字塔中，微积分的理论也应用到了它的体积之中，当你把金字塔沿着底层切成薄片，这些长方体薄片的体积总和即金字塔的体积，而且切得越薄，这个体积越准确。
埃及人是惊人的创造者，他们创造数学的能力令人难以相信。
他们揭示了几何和数字的威力，并实现了令人兴奋的数学发现的第一步。
希腊希腊是连接古老亚洲和新兴欧洲的纽带，古希腊人的求知欲是最旺盛的，他们曾就地理问题撰了无数的论著，但对他们的地图后人却是一无所知，这或许是这个文明衰落的重要原因吧。
漫谈初中数学(定稿)
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（3）发展立向，践行课改，关注创新意识培养 试题在创新意识的引导上做了较大努力 为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程 要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．发 现和提出问题是创新的基础，学会思考并独立思 考是创新的核心，归纳概括得到猜想和规律并加 以验证是创新的重要方法．
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东西方评课的区别
中医： 定性
中西医结合
西医： 定量
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怎么评价一节课？
“教学有法、教无定法，贵在得法” 面向全体、关注差异、以学定教 五实：扎实、充实、丰实、平实、真实 我的八字：从简、务本、求实、有度
数学教师的“三项基本功”： 善于举例；善于提问；善于优化。
漫谈初中数学
成都市教科院 黄祥勇
主要内容
1 2 3 4
数学是什么 中考怎么考
教师如何教 课该怎么评
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第一部分：数学是什么
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数学是什么？
被异化的数学： 数学＝解题？ 数学＝杀死脑细胞？
“数学是一些居心叵测的成年人为学生挖的陷阱” “数学问题是一些仅仅出现在课本和试卷上的，让 某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西。”
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范希尔的几何思维水平
层次4：严密性 层次3：形式的演绎
层次2：非形式化的演绎
层次1:分析
层次0：视觉
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2.教学的关键问题：如何让学生喜欢数学？
数学实验 树立信心和成功感 全国各地教学模式的思考：学案教学 教师专业素养的提升：建议教师自己读一点数学 史，教一点数学史
掌握数学基础知识 ； 领悟数学基本思想 ；
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孪生素数(twin prime) 猜想
有无穷多对p, p+2 均为素数 (hardy-Littlewood 1923) • 截至2002,最大的 p = 33218925 x 2169690 - 1 • 2013年4月7日，张益堂Yitang Zhang announced a proof that for some integer N that is at most 70 million, there are infinitely many pairs of primes that differ by N.[Zhang‘s paper was accepted by Annals of Mathematics in early May 2013. 陶哲轩Terence Tao subsequently proposed a Polymath project collaborative effort to optimize Zhang’s bound;as of July 20, 2013, the Polymath project participants claim to have reduced the bound to 5,414. • On December 25, 2011 PrimeGrid announced that yet another record twin prime had been found. It is 3756801695685 ·2666669 ± 1. The numbers have 200700 decimal digits. • There are 808,675,888,577,436 twin prime pairs below 1018
未来的展望
• • • • 高度专业化，复杂性 理念之争：公理化与问题驱动 确定性的丧失，新思想的诞生 第二次工业革命，应用数学的进一步发展
• 与其他自然科学，甚至人文科学的更深入 结合，渗透 • 数学家的历史使命
从有限到无穷 • 住满的旅馆可安排任意多的新来客人入住 • 海岸线无限长 • 无限表面积，有限体积的三维体 • 处处连续，无处可微的函数
模式的科学
• 数的模式（数论） • 形的模式（几何） • 抽象推理的模式 （逻辑学） • 事物组合的模式 （代数） • 连续运动及变化的模式 （微积分）
• 封闭性和相对位置的模式 （拓扑） • 随机事件中重复性的模式 （概率论）
介绍几本好书 2
• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York, 1972 • George Polya, Mathematical Discovery, John Wiley and Sons, Inc. 1981 • Paul R. Halmos, I Want to be a Mathematician, Springer 1985
• 好的数学不但可以跨越国界，也可以跨越 行业
数学无处不在
• • • • • • • • 存款利息 1,2,3,4,5％5,4,3,2,1％3,3,3,3,3％？ n男孩m女孩家庭的比例 下落的水滴 电子的分布与正交多项式零点 三个牛仔决斗 二战后海里的鱼减少 二战中飞机机身何处装甲 数论与编码
初等数学到高等数学
数学漫谈
• • • • • • 数学的内容，分支 数学的历史 数学的定理，问题（猜想），名著 数学家 数学机构（研究所，高校），组织，奖励 数学的应用，社会影响
什么是数学？
• 伽利略：数学是上帝用来描述宇宙的语言。 • 罗素：数学，如果正确地看，不但拥有真理， 而且也具有至高无上的美。 • “科学的本质是数学”----温州大学“校训” • 对于刚刚进入大学校门的数学专业学生，你将 面对一个不同于以往想象的数学世界： 数学世界的广度远远超出你原来的认识 数字和算术只是整个数学小小的一部分 数学不仅仅是关于进行计算或操作表示符号 以解决问题的学科
介绍几本好书
• 什么是数学? What is Mathematics? Richard Courant and Herbert Robbins Oxford University Press 1996 Ian Steward Editing • 二十世纪伟大的数学书：—个人之旅 Great Mathematics Books of the Twentieth Century: A Personal Journey，季理真 高等教育出版社，2013
永恒的数学
• Physics Nobel Laureates: 外星高级文化生命 （如果存在）的数学与我们的相同。 • 数学的重要性，持久性，普适性 • 对人类思维极限的挑战，如同竞技之对体 能极限的挑战 • 数学无处不在，简单到复杂，花开无声 • 应用数学，google search engine 背后的数学
数学名著
数学家
• • • • • Isaac Newton Archimedes Carl F. Gauss Leonhard Euler Bernhard Riemann • • • • • Henri Poincaré Joseph-Louis Lagrange David Hilbert Euclid Gottfried W. Leibniz
数学的历史
数学名著（古典）
• • • • 《算术》丢番图（Diophantus）246-330 《几何原本》 欧几里德 《几何》Geometry 笛卡尔 《自然哲学的数学原理》 牛顿 1643-1727 Philosophie Naturalis Principia Mathematica • 《算术研究》高斯 Arithmeticae 1801 自费出版 • 《天体力学》 拉普拉斯(法兰西的高斯)
伯努利家族
拿破仑与法国数学家
• Lagrange拉格朗日,帝国大十字勋章 1813.4.3 • Laplace 拉普拉斯（6星期内务部长） • Gaspard Monge 加斯帕尔· 蒙日:曾任海军部 长，佩吕斯伯爵，巴黎综合工科学校校长 • Fourier 傅立叶：1798年随拿破仑远征埃及 时任军中文书和埃及研究院秘书。1801年 回国后任伊泽尔省地方长官。 • 拿破仑三角形定理
数学奖
• 菲尔兹奖Fields Medal：Outstanding discoveries in mathematics，2-4 receipients at International Congress of the International Mathematical Union (IMU) every 4 years with money amount $15,000 Canadian dollars. A receipient should not have his/her birthday before Jan.1 of the year when the award is made. • 沃夫奖Wolf Prize——数学的终生成就奖 • 阿贝尔奖Abel Prize——迟来的数学诺贝尔奖
四色定理
• 四色问题(Four color theorem) 最先是由一位叫古德里 （Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德· 摩尔根 （Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日 致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的 记载. • 闵可夫斯基的尴尬 • 1976年，数学家凯尼斯· 阿佩尔 （K.Appel）和沃夫冈· 哈 肯 （W.Haken）借助电子计算机首次得到一个完全的证 明：在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查， 历时1200个小时，作了100亿个判断。在当地的信封上 盖“Four colors surfice”（四色足够了）的邮戳。 • 无限种状况—1936 -- 1476 -- 633 （1996）仍有争议
数学指南
Timothy Gowers (Editor) June Barrow-Green and Imre Leader (Associate Editors) The Princeton Companion of Mathematics University Press 2008
• • • • • Mathematical Concepts 99 Branches of Mathematics 26 Theorems and Problems 35 Mathematicians 96 The Influence of Mathematics 14
数学专业的崇高
• G.H.Hardy《A Mathematician’s Apology》 • Exposition, criticism, appreciation, is work for -rate mind. • Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.
Millennium Prize Problems
• Clay Mathematics Institute in 2000
– 1) P versus NP – 2) The Hodge conjecture – 3) The Poincaré conjecture (proven) – 4) The Riemann hypothesis – 5) Yang–Mills existence and mass gap – 6) Navier–Stokes existence and smoothness – 7) The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
• 现实世界中数据的模式 （统计学）
数学的内容，分支