初等数学研究第二章课件
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初等数学研究 代数部分 第二章 多项式的 因式分解
f (x1, x2 , , xi , , x j , , xn ) f (x1, x2, , x j , , xi , , xn ) ，
则称这个多项式是交代式．
比如 x y ， x2 y2 ， x3 y3 ，都是交代式．
交代式一定含有因式
(xi xj ) ．
1i jn
例 5 分解因式 x4 ( y z) y4 (z x) z4 (x y) ． 解 这是一个三元五次齐次交代式，则必有因式(x y)( y z)(z 3B) 0 ， f (1,1,1) 3A B 4 ．
解得 A 1， B 1，
∴ f (a,b, c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) ．
特别地，若 a b c 0 ，则 a3 b3 c3 3abc ．
例 3 分解因式 x4 y4 (x y)4 ．
补充：多项式的结构 拉格朗日插值公式 设 f (x) 为次数不超过n 的多项式， xi 互不相同，
i 1, 2, , n 1 ，且 f (xi ) yi ，则
f
(x)
y1
(x x2 )(x x3) (x1 x2 )(x1 x3 )
(x xn1) (x1 xn1)
y2
(x x1)(x x3 ) (x2 x1)(x2 x3 )
2[(x y)2 xy]2
2 (x2 xy y2 )2 ．
例4
已知 x1 x2
x3
0 ，求证
x15
x25 5
x35
x13
x23 3
x33
x12
x22 2
x32
分析 由 x1 x2 x3 0 ，得 x13 x23 x33 3x1x2 x3 以及
x12 x22 x32 (x1 x2 x3 )2 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2(x1x2 x2 x3 x3x1)
大学数学---初等数论 ppt课件
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4
初等数论的大部份内容早在古希腊欧 几里德的《 几何原本》中就已出现。欧几 里得证明了素数有无穷多个，他还给出求 两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓 欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有 杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国 剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中
的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数 一个性质： 整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
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15
二、整除
1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在 一个整数q使得等式：
a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记作 b∣a；如果这样的q不存在，则称b不能整除 a。
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21
3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有
（am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有
（ac，b）=（c，b） （5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的充分必要条件是：
a bq r, 0＜ r ＜b ，
b rq1 r1,
0＜ r1 ＜ r ，
则有 (a,b) rn .
r r1q2 r2 ,
…
…
0＜ r2 ＜ r1 ，
rn2 rn1qn rn , 0＜ rn ＜ rn1 ，
rn1 rn qn1 rn1 , rn 1 0 ,
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18
4、带余除法
初等数论第二章2
况不能发生。 况不能发生。
第二节 方程 x2 + y2 = z2
(ⅱ) 2 ⅱ
| a，2b. 此时 由式 及式(12), 有 及式 / ， 此时, 由式(11)及式
x02 = 2ab，(a, 2b) = 1，a > b > 0. ， ， (13)
利用引理可知，存在正整数 ， 利用引理可知，存在正整数u，v1，使得 x0=uv1, a=u2, 2b=v12, (u,v1)= 1, u>0, v1 > 0. 由2b = v12推出 2v12，2v1，v1 = 2v， ， 因此，存在整数 ， ， 因此，存在整数u，v，使得 a =u2, b =2v2, (u, v)= 1，u> 0, v> 0. ， (14)
x0 y0 z0 也是方程(10)的解 的解。 ( , , 也是方程 的解。 ) 2 d d d
因此， 的最小性， 因此，由z0的最小性，可知 d = (x0, y 0) = 1，(x02, y02) = d 2 = 1。 ， 。 显然x 有不同的奇偶性.不妨设 不妨设2 显然 02与y02有不同的奇偶性 不妨设 x0,2 y/ . | 0
第二节 方程 x2 + y2 = z2
由定理2，存在正整数 ， ， 由定理 ，存在正整数a，b，使得 (a, b) = 1，a > b > 0， ， ， 其中a与b有不同的奇偶性，并且 其中 与 有不同的奇偶性， 有不同的奇偶性 x02 = 2ab，y02 = a2 − b2，z0 = a2 + b2. ， 下面按照a与 的奇偶性 考察两种情况。 的奇偶性， 下面按照 与b的奇偶性，考察两种情况。 (12) (11)
与式(5)是矛盾的 式 (1)，式 (4)与式 是矛盾的 ， 因此 ， 结论 ⅲ) ， 与式 是矛盾的，因此，结论(ⅲ 成立。证毕。 成立。证毕。
初等数学研究第二章
数学思想方法授课内容：1、数学思想、数学方法及数学思想方法；2、五种基本的数学思想系统及形成；3、数学思想与数学问题解决4、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；(1)综合法与分析法。
重难点：1、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；（1）综合法与分析法。
讲授方法和手段、讲授、讨论，边讲边练相结合。
一、基本概念：1、数学思想：是数学的基本观点，是对数学概念，原理、方法、发现法则的本质的认识。
对于解题而言，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识及方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。
2、数学方法：是为了解决问题而采用的手段，步骤和程序，属于过程性知识。
由于数学思想常常表现为数学方法的形成（即以数学方法的形式表现出来），所以通常把二者称为：数学思想方法。
3、五种基本的数学思想（中学数学思想）：在数学的发展史上，形成了许多重要的数学思想，如：公理化思想；符号化思想，极限思想，固本思想等，但在中学主要学习下面五种数学思想：中学五中主要数学思想：1、猜证结合思想；2、分类与分步思想；3、化归与转化思想；4、数形结合思想；5、函数与方程思想。
我们学习五种数学思想的目标是：在头脑中主动的建构“五种数学思想系统，使自己的数学思想方法达到“系统化”和“明确化”。
第一章猜证结合思想（1）1.1猜证结合思想 1、推理的两种形式：（1）似真推理：归纳人推理与类比推理叫似真推理。
归纳推理：由个别的、特殊的结论，通过观察、实验分析，比较等手段，概括出一般性的结论。
这种推理叫∽。
类比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫类比推理。
由归纳推理或类比推理得到的结论不一定正确。
∴叫似真推理。
但，似真推理是创造性的逻辑推理。
（2）证明推理：演绎推理叫证明推理，即：由一般原理推出个别的，特殊的结论的推理方法。
证明推理所得出的结论都是正确的。
总结上面内容我们得出：注两种推理：（1）似真推理（数学猜想）：⎧⎨⎩归纳:特殊到一般类比:特殊到特殊或者一般到一般（2）证明推理：演绎：一般到特殊2、基本观点与解题策略（1）数学猜想：似真推理就叫数学猜想。
数列—等差数列与等比数列(初等数学课件)
am an 2ap 。
例题讲解
例 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an1
+1 = 1 +
an bn
an2 bn2
b 2
∈ ∗ ，求证：数列 n 是等差数列。
an
证明 由题意知
an1
an bn
an2 bn2
1
bn
an
bn
1
an
2ຫໍສະໝຸດ bn1 bn 1
an
2
n N ，
例题讲解
2
2
2
bn1 bn
bn
bn1
1
所以
1 ，从而
初等数学研究
等差数列
等差数列的概念
如果数列 an 满足
an1 an d n N , d为常数
那么这个数列就叫做等差数列，常数 d 叫做等差数列的公差。
等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1d ，其前 n 项的和为
等差数列的性质
（1）设 an 是公差为 d 的等差数列。则 an b, b都是常数 是公差为 d
的等差数列。
（2）设 an ，bn 是等差数列，则 1an 2bn 1, 2都是常数也是等差数列。
（3）设 an ， bn 是等差数列，且 bn N ，则 abn 也是等差数列。
（ 4 ） 若 m n p q ， 则 am an ap aq 。 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ，
an1
an1 an
初等数论简介PPT课件
杨辉[1250前后]，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其 构成规律的数学家。著《详解九章算法》,《日用算法》等。
初等数论
费马 [法]1601-1665，是数学史上 哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马 德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
初等数论 四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
初等数论 一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学 分支，其初等部分是以整数的整除性为中心 的，包括整除性、不定方程、同余式、连分 数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒 发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的 因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
初等数论
费马 [法]1601-1665，是数学史上 哥德巴赫 1690-1764，
最伟大的业余数学家，提出了费马 德国数学家；曾担任中学
大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，
初等数论 四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
初等数论 一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学 分支，其初等部分是以整数的整除性为中心 的，包括整除性、不定方程、同余式、连分 数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内 容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒 发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的 因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
初等函数—用初等方法讨论初等函数(初等数学课件)
4
方程有实数解的充要条件是 （6 y 2） 36(1 y ) 0,即y
3
2
2
例题讲解
1
例 2 求函数 y 2
的值域
x x 3
解：把函数变形为关于 x 的二次方程
yx 2 yx 3 y 1 0
当 y 0 时，方程无解，故 y 0 不在函数值域中。
f ( x1 ) f ( x2 )
1 1 x2 x1
x1 x2
x1 x2
， x1 x2 ，所以 x2 - x1 0，x1x2 0
因为 x1，x2 0，
即
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 )
因此
函数 f x
任何非零实数都是它的周期，但它没有最小正周期。
例题讲解
例 1 求函数 y cos 2 x 的最小正周期。
解 设 T 0 是函数 y cos 2 x 的周期，则对一切实数 x ，有
cos2 x T cos2 x
令 x0
2
，有 sin 2 T 0 。所以 T k k Z且k 0
数。
k
k为非零常数 是在 x f x 0, x M 上以 T 为最小正周期的
（2）函数
f x
周期函数。
cos x T cos x 2
2
令 x 0 ，有 cosT 2 1 ，所以 T 2k k N
例题讲解
2
cos 2 1 2k cos4k 1
所以 2 2 1 k 2n n Z ，从而
初等代数研究(_第2章_)2011.9
2015-5-19
初等代数研究
21
§5
指数式与对数式
在历史上，英国数学家纳皮尔（1614） 发表了第一张对数表,而现代指数记号的创 设则始于笛卡儿（正整数指数，1637年） 和牛顿（分数指数，1676年），18世纪欧 拉研究了指数式和对数式的关系．
2015-5-19
初等代数研究
22
§5 指数式与对数式
2015-5-19 初等代数研究 2
c a b2
等.
§1
一、基本概念
式的概念
定义1 用运算符号和括号把数和表示数的字 母连结而成的式子叫做解析式，约定：单 独一个数或一个字母也看作是解析式．
初等运算 代数运算：加、减、乘、除、 乘方（指数为有理数）、开方 初等超越运算：乘方（指数为无理数）、 对数、三角、反三角等）
解法二（基函数法）：由插值条件，有
f ( x) ( x 0)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 0) 13 1 (1) 5 x 2 7 x 1 (1) (2) 1 (1) 2 1
2015-5-19
初等代数研究
n
AB n A n B ( A 0, B 0, n N , n 1).
A B
n n
n
A B
( A 0, B 0, n N , n 1).
初等代数研究 17
§4 根式
法则4 ( n A)m n Am 法则5
n m
( A 0, m, n N , n 1).
例5 分解因式
2015-5-19
f ( x) 3x 2 x 9 x 6
3 2
f ( x) x 6 x 11x 6
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式 g(x)
第 当n 2, an 0时， 五
节 F (x) an x n an1x n1 ... a1x a0 0(或 0)
一般采用“零点分区穿线法”求解
不
等
1）把F(x)因式分解；
式
2)在数轴上依次标出零点；
3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原 则进行穿线。
第 解下列不等式： 五
D((x)) M ,(x) 0
f f
(x) g(
(x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
节
证明思路：
不
10 证对f (x) g(x)的任意解a,
等
都有f (a)(a) g(a)(a)；
式
20 证对f (x)(x) g(x)(x)的任意解b,
都有f (b) g(b)的解。
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
等
式
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g
f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
等 采用零点分段法。
式
eg :| x a | | x b | | x c | | x - d | m,
其中a、b、c、d都是实数。
第 五 节 B、形如 | x - a | | x - b | m( m),
其中m为正常数，一般采用数 形结合的方法求解。
不 等 式
第 同解变形
五 节 定理2
念
f=g.
第 恒等变换
一
节 一个解析式转换成另一个与它恒等的
解析式，这种变换称为恒等变换.
基
本
x 2x 1 3x 1
Байду номын сангаас
概
念
(a b)(a b) a2 b2
恒等变换是代数式运算的重要依据
第 1、不等式及其基本概念
五
节
定义1 用不等号联结两个解析式所成的式子， 称为不等式。
不 ① 按不等号分类
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
不 等
f
(x)
g
2
(x)
式
f (x) 0,
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
f
(x)
g
2 (x)
第 思维训练
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
不 2、x2 5x 6 x 1
节 1、(x 1)2 (x 1)( x 7)( x 9) 0
不
等
式
2、 10x 2 x 1
x 2 3x 2
第 同解变形（ 绝对值不等式 ）
五
| x | a, (a 0) a x a;
节
| f (x) | g(x), g(x) 0 g(x) f (x) g(x)
不 等
式
20 )当| a | 2时，解集为(- 2 a , 2 - a ). 22
思考：| x 1| | x | 2
| x -1| | x - 3 | 4
解绝对值不等式小结
第 五
1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一
节 元高次不等式（组），进行求解。
不
A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般
等 式
例题4 解不等式：
第 | x 1 | | x 2 | | x 3 | 2
五
节
含多个绝对值的不等式，一般采取 零点分段去绝对值进行求解。
不 等 式
例题6 解不等式：
第
五 节
| x a | | x | 2,其中a为参数。
不
最小距离 | a |
等 分类讨论：10）当 | a | 2时，不等式无解；
| x | a, (a 0) x a或x a；
式 | f (x) | g(x), g(x) 0 f (x) g(x)或f (x) -g(x)
| x || a | x 2 a 2 . | f (x) || g(x) | f (x)2 g(x)2
第 五 例题5 解不等式： 节
不 || x 3 | | x 1 || 4
② 按解析式分类
等 式
、
、
严不等式 非严不等式
代数不等式 超越不等式
定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的交集，
第 称为不等式的定义域。
五
节
③ 按不等式解集与其定义域的关系分类
不
定义域
绝对不等式
等
真子集
条件不等式
式
空集
矛盾不等式
第 二、不等式基本性质 五
节 (1)对称性：a b b a;
不 等
推论2
a b 0, c d 0 a b ; dc
式 推论3 a b 0 a n b n (n N );
推论4 a b 0 n a n b (n N ).
第 同解变形( 分式不等式 )
五
节
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x)
0
不
等 f (x) 0 f (x)g(x) 0且g(x) 0.
不 (2)传递性： a b, b c a c; 等 (3)加法单调性： a b a c b c;
式 (4)乘法单调性： a b, c 0 ac bc;
a b, c 0 ac bc.
第 由基本性质得到的推论： 五
节 推论1 a b 0, c d 0 ac bd 0;
念
运算不同对解析式进行分类
第 运算
一
节 1.代数运算
代数式
基 、、、、指数为有理数的乘方（开方）运算
本 概
2.超越运算
超越式
念 指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算
第 恒等式
一
节 两个解析式 f 和 g 对于它们公共定义
基 域的某个子集内的一切值都有相同的 本 取值，记作 f ≡ g，通常在不引起混 概 淆的情况下也记作
第2章 式与不等式
讲授内容： 1.解析式的基本概念； 2.不等式的有关概念和性质； 3.不等式（组）的解法； 4.不等式的证明； 5.几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、
Jensen) 6.不等式的应用.
解析式
第 一
节 1.字母代表数;
2.式本身是代表数的符号，也表明对于
基
本 数和字母按怎样的次序进行什么运算 概 的符号.
不
f (x) g(x)的定义域为M，
D((x)) M
f f
( (
x) x)
g(x)与
(x) g
(x)
同解。
(x)
等
式 定理3
f (x)
D((
g(x)的定义域为M，
x)) M ,(x) 0
f f
( (
x) g(
x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
定理3
第 五
f (x) g(x)的定义域为M，
第 当n 2, an 0时， 五
节 F (x) an x n an1x n1 ... a1x a0 0(或 0)
一般采用“零点分区穿线法”求解
不
等
1）把F(x)因式分解；
式
2)在数轴上依次标出零点；
3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原 则进行穿线。
第 解下列不等式： 五
D((x)) M ,(x) 0
f f
(x) g(
(x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
节
证明思路：
不
10 证对f (x) g(x)的任意解a,
等
都有f (a)(a) g(a)(a)；
式
20 证对f (x)(x) g(x)(x)的任意解b,
都有f (b) g(b)的解。
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
等
式
f (x) 0,
f (x)
g(x)
g
f
(x) (x)
0, g
2
(
或 x);
f g
(x) (x)
0, 0.
第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
等 采用零点分段法。
式
eg :| x a | | x b | | x c | | x - d | m,
其中a、b、c、d都是实数。
第 五 节 B、形如 | x - a | | x - b | m( m),
其中m为正常数，一般采用数 形结合的方法求解。
不 等 式
第 同解变形
五 节 定理2
念
f=g.
第 恒等变换
一
节 一个解析式转换成另一个与它恒等的
解析式，这种变换称为恒等变换.
基
本
x 2x 1 3x 1
Байду номын сангаас
概
念
(a b)(a b) a2 b2
恒等变换是代数式运算的重要依据
第 1、不等式及其基本概念
五
节
定义1 用不等号联结两个解析式所成的式子， 称为不等式。
不 ① 按不等号分类
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
不 等
f
(x)
g
2
(x)
式
f (x) 0,
f
(x)
g(x)
g
(
x)
0,
f
(x)
g
2 (x)
第 思维训练
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
不 2、x2 5x 6 x 1
节 1、(x 1)2 (x 1)( x 7)( x 9) 0
不
等
式
2、 10x 2 x 1
x 2 3x 2
第 同解变形（ 绝对值不等式 ）
五
| x | a, (a 0) a x a;
节
| f (x) | g(x), g(x) 0 g(x) f (x) g(x)
不 等
式
20 )当| a | 2时，解集为(- 2 a , 2 - a ). 22
思考：| x 1| | x | 2
| x -1| | x - 3 | 4
解绝对值不等式小结
第 五
1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一
节 元高次不等式（组），进行求解。
不
A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般
等 式
例题4 解不等式：
第 | x 1 | | x 2 | | x 3 | 2
五
节
含多个绝对值的不等式，一般采取 零点分段去绝对值进行求解。
不 等 式
例题6 解不等式：
第
五 节
| x a | | x | 2,其中a为参数。
不
最小距离 | a |
等 分类讨论：10）当 | a | 2时，不等式无解；
| x | a, (a 0) x a或x a；
式 | f (x) | g(x), g(x) 0 f (x) g(x)或f (x) -g(x)
| x || a | x 2 a 2 . | f (x) || g(x) | f (x)2 g(x)2
第 五 例题5 解不等式： 节
不 || x 3 | | x 1 || 4
② 按解析式分类
等 式
、
、
严不等式 非严不等式
代数不等式 超越不等式
定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的交集，
第 称为不等式的定义域。
五
节
③ 按不等式解集与其定义域的关系分类
不
定义域
绝对不等式
等
真子集
条件不等式
式
空集
矛盾不等式
第 二、不等式基本性质 五
节 (1)对称性：a b b a;
不 等
推论2
a b 0, c d 0 a b ; dc
式 推论3 a b 0 a n b n (n N );
推论4 a b 0 n a n b (n N ).
第 同解变形( 分式不等式 )
五
节
f (x) 0 g(x)
f (x)g(x)
0
不
等 f (x) 0 f (x)g(x) 0且g(x) 0.
不 (2)传递性： a b, b c a c; 等 (3)加法单调性： a b a c b c;
式 (4)乘法单调性： a b, c 0 ac bc;
a b, c 0 ac bc.
第 由基本性质得到的推论： 五
节 推论1 a b 0, c d 0 ac bd 0;
念
运算不同对解析式进行分类
第 运算
一
节 1.代数运算
代数式
基 、、、、指数为有理数的乘方（开方）运算
本 概
2.超越运算
超越式
念 指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算
第 恒等式
一
节 两个解析式 f 和 g 对于它们公共定义
基 域的某个子集内的一切值都有相同的 本 取值，记作 f ≡ g，通常在不引起混 概 淆的情况下也记作
第2章 式与不等式
讲授内容： 1.解析式的基本概念； 2.不等式的有关概念和性质； 3.不等式（组）的解法； 4.不等式的证明； 5.几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、
Jensen) 6.不等式的应用.
解析式
第 一
节 1.字母代表数;
2.式本身是代表数的符号，也表明对于
基
本 数和字母按怎样的次序进行什么运算 概 的符号.
不
f (x) g(x)的定义域为M，
D((x)) M
f f
( (
x) x)
g(x)与
(x) g
(x)
同解。
(x)
等
式 定理3
f (x)
D((
g(x)的定义域为M，
x)) M ,(x) 0
f f
( (
x) g(
x)(x)
x)与
同解。
g(x)(x)
定理3
第 五
f (x) g(x)的定义域为M，