2.1.3-2.1.4空间直线与平面.平面与平面的位置关系
一、课前练习 1、空间中两条直线的位置关系有 、 、 。 相交 平行 异面 相交直线的特点是① 共面； 有且只有一个公共点， 2、相交直线的特点是① 共面；② 有且只有一个公共点，则 ② 共面 异面直线的特点是： 异面直线的特点是：① 异面 ② 平行直线的特点是： 平行直线的特点是：① 没有公共点 ； 没有公共点 。
(2)连接FH， ∵HD = EA，EA= FB ∴HD= FB
∥ ∥ ∥
H E
O
G F
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
连接HA、AF，则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30o 所以FO与BD所成的夹角是30o
α b
三、随堂练习 1、若直线a不平行于平面α ，且a ⊂ ， 、若直线 不平行于平面 α 则下列结论成立的是（ B ）： 则下列结论成立的是（
a α
b c
(A)α内的所有直线与a (B)α内不存在与 平行的直线； 内不存在与a (A)α内的所有直线与a异面 (B)α内不存在与a平行的直线； 内的所有直线与 (C)α内存在唯一的直线与 平行；(D)α内的直线与 都相交； 内存在唯一的直线与a 内的直线与a (C)α内存在唯一的直线与a平行；(D)α内的直线与a都相交； 2、判断题： 、判断题：
D B
C
A
4、探究性练习
如下图所示，在长方体ABCD如下图所示，在长方体ABCD-A´B´C´D´中， ABCD 所在的直线与平面 个公共点； （1）A´B所在的直线与平面 ´A B B´有 无数 个公共点； ） ´ 所在的直线与平面A´ ´ 所在的直线与平面 个公共点； （2） A´B所在的直线与平面 ´A D D´有 一 个公共点； ） ´ 所在的直线与平面A´ ´ A´B所在的直线与平面 所在的直线与平面ABCD有 一 个公共点； 个公共点； ´ 所在的直线与平面 有 A´B所在的直线与平面 ´B C C´有 一 个公共点； 所在的直线与平面B´ 个公共点； ´ 所在的直线与平面 ´ A´B所在的直线与平面 ´B´C´D´有 一 个公共点； 所在的直线与平面 个公共点； ´ 所在的直线与平面A´ ´ ´ ´ 所在的直线与平面 个公共点； （3）A´B所在的直线与平面 ´CDD´有 零 个公共点； ） ´ 所在的直线与平面C´ ´ D´ ´ A´ ´ D A B B´ ´ C C´ ´
两个平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交 有一条公共直线
α∩β=a ∩
（4）两个平面平行的画法 ）两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时， 画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1， 平面的两个平行四边形的对应边平行，如图 ， 而不应画成图2那样 那样． 而不应画成图 那样．
图1
图2
五、小测： 小测： 1.练习。P49-p50 填空。 （一）填空。 1、如果一条直线和一个平面 没有公共点 ，那么我们就说这条 直线和这个平面平行。 直线和这个平面平行。 直线a在平面α 是指直线a和平面α 相交 。平行 2、直线a在平面α外，是指直线a和平面α 或 3、直线与平面的位置关系按三种分为 相交 或 或 平行 直线在平面内 。 直线在平面外 按两种分为 直线在平面内 或 。 判断正误。 （二）判断正误。 直线l平行于平面α内的无数条直线， l∥α；（ 1、直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；（ ） × 若直线a在平面α ∥α； 2、若直线a在平面α外，则a ∥α； （ ） × 若直线a ∥b，直线b α， ∥α； 3、若直线a ∥b，直线b α，则a ∥α； （ ） ⊂ × ⊂ 若直线a ∥b， α，那么直线a就平行于平面α 4、若直线a ∥b，b α，那么直线a就平行于平面α 内的无数条直线； √ 内的无数条直线； （ ） 画出满足下列条件的图形。 （三）画出满足下列条件的图形。 A α，A∈α，A∈a， a⊂α，A∈α，A∈a，b∩α=A
b
α
b
√
） ×
α
a
四、小结： 小结： 1、空间中直线与平面的三种位置关系： 、空间中直线与平面的三种位置关系： 直线在平面内——有无数个公共点（交点）； 有无数个公共点（交点）； 直线在平面内 有无数个公共点 相交——有且只有一个公共点； 有且只有一个公共点； 相交 有且只有一个公共点 直线在平面外 平行——没有公共点； 没有公共点； 平行 没有公共点 2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系： 用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系： a a a ① ② ③ 3、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系： 、用符号语言表示空间中直线与平面的三种关系： ① a⊂ α ② a∩α=A ③ a∥α ∥
3、下图是一个长方体，则B´B所在的直线与D´D所在的直线 下图是一个长方体， 所在的直线与D 所在的直线与C 的位置关系是 平行 ，则A´A所在的直线与C´D´所在的直线 所成的角是 90 BA´ 度；若∠BA´B´=30º, 则A´B所在的直线与 度。 D´ ´ A´ ´ A D 30º B 60 B´ ´ C C´ ´ D´D所在的直线所成的夹角是
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理： 那么这两个角相等或互补． 一作(找)二证三求
二、新课
1、交流归纳:直线与平面的位置关系有且只有三种： 交流归纳:直线与平面的位置关系有且只有三种：
有无数个公共点（ ①直线在平面内——有无数个公共点（交点）； 直线在平面内 有无数个公共点 交点）； 有且只有一个公共点 ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； 直线与平面相交 有且只有一个公共点； 没有公共点； ③直线与平面平行——没有公共点； 直线与平面平行 没有公共点
a
（1）a∥α，b α⊂ 则a∥b；（ ） × a∥α， α， a∥b；（ ， α， a∥α或 相交；（ （2）a ⊂ ，则a∥α或a和α 相交；（ ） α a∩α=A， α； （3）a∩α=A， a α⊂ （ ） √ ； α， α， 无公共点。 （4）若a ⊂，b α，则a、b无公共点。 （ α ⊂
异面直线的求法:
上 节 回 顾
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
o 又 ∆ BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45o
ห้องสมุดไป่ตู้
4、判断正误 若直线L 上有无数个点不在平面α L∥α； ①若直线L 上有无数个点不在平面α内，则L∥α； ( α)
l
×
②若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都 若直线L与平面α平行， 与平面α 平行； 平行；( ) × l c 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一 l 条也与这个平面平行； ) 条也与这个平面平行；( × α b ⊙如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行， 如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行， 那么另一条直线也与这个平面平行；（ 那么另一条直线也与这个平面平行；（√ ） ④若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都 若直线L与平面α平行， 与平面α 没有公共点； 没有公共点；( ) √
α
α
α
探究平面与平面之间的位置关系
第一、二层的底面α和β无 论怎样延伸都没有公共点；
A B
γ
δ
前、后两面房顶γ和δ则 有一条交线AB．
β
α
二层楼房示意图
一、两个平面的位置关系
（1）两个平面平行 ）两个平面平行 如果两个平面没有公共点， 如果两个平面没有公共点，我们就说 两个平面互相平行． 这两个平面互相平行． （2）两个平面相交 ）两个平面相交 如果两个平面有公共点， 如果两个平面有公共点，它们就相交于 一条过该公共点的直线，我们就说这两个平 一条过该公共点的直线，我们就说这两个平 面相交 ． 位置关系只有两种 （3）两个平面的位置关系只有两种 ）两个平面的位置关系 ①两个平面平行——没有公共点；记为 α // β 两个平面平行 没有公共点； 没有公共点 两个平面相交——有一条公共直线 记为 α I β = a 有一条公共直线,记为 ②两个平面相交 有一条公共直线
2、如何用图形语言表示直线与平面的三种位置 a a 关系? 关系? α
① 错误画法： a ① a
α
② a
α
③
α
α
②
α
③
a
3、如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。 如何用符号语言表示直线与平面的位置关系。
记作a ⊂ ①直线a在平面α内，记作 α； 直线 在平面 ②直线a与平面α相交于 点，记作 α=A； 直线 与平面 相交于A点 记作a∩ ； ③直线a与平面α平行，记作 ∥α； 直线 与平面 平行，记作a∥
六、作业: 作业:
1.画出满足下列条件的图形。 画出满足下列条件的图形。 画出满足下列条件的图形
a∥α，b∩α=A，a∩b=B ∥ ，
2.导与练 导与练
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
探究（ 探究（二）：平面与平面之间的位置关系
思考1:拿出两本书，看作两个平面， 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上 1:拿出两本书 左右移动和翻转， 下、左右移动和翻转，它们之间的位置 关系有几种变化？ 关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体 思考2:如图， 2:如图 ABCD-A′B′C′D′的 ABCD-A′B′C′D′的 D′ 六个面， 六个面，两两之间 A′ 的位置关系有几种？ 的位置关系有几种？ D
课堂练习（ ）：过平面外一点可作多 课堂练习（一）：过平面外一点可作多 少条直线与这个平面平行？ 少条直线与这个平面平行？无数条 若直线l平行于平面α 则直线 与平面 若直线 平行于平面α，则直线l与平面 平行于平面 内的直线的位置关系如何？ α内的直线的位置关系如何？ 平行或异面
P
l
α
α
课堂练习（ ）：若两条平行直线中有 课堂练习（二）：若两条平行直线中有 一条平行于一个平面， 一条平行于一个平面，那么另一条也平 行于这个平面吗？ 行于这个平面吗？
课堂练习（ ）：已知平面α 课堂练习（三）：已知平面α，β和直 已知平面 ,则直 线a，b，且α∥β,a ⊂ α , b ⊂ β,则直 与平面β的位置关系如何？直线a 线a与平面β的位置关系如何？直线a与 直线b的位置关系如何？ 直线b的位置关系如何？
a α
b β
理论迁移
给出下列四个命题： 例1 给出下列四个命题： (1)若直线 上有无数个点不在平面α内，则 (1)若直线l上有无数个点不在平面α 若直线 上有无数个点不在平面 l∥α. （×） ∥α. (2)若直线 与平面α平行， 与平面 若直线l与平面 与平面α (2)若直线 与平面α平行，则l与平面α内的 任意一条直线都平行. 任意一条直线都平行. （×） (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平 那么另一条也与这个平面平行. 行，那么另一条也与这个平面平行. （×） (4)若直线 与平面α平行， 与平面 若直线l与平面 与平面α (4)若直线 与平面α平行，则l与平面α内的 任意一条直线都没有公共点. 任意一条直线都没有公共点. （ ） 其中正确命题的个数共有＿＿ ＿＿个 其中正确命题的个数共有＿＿个. 1
高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系(3课时)
第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；准确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解能够作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描绘性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两局部。
② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。
（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。
非水平平面：只要画成平行四边形。
直立的平面：一组对边为铅垂线。
相交的平面：一定要画出交线；遮住局部的线段画虚线或不画。
C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也能够用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。
④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
②理解：不在同一条直线上；一点、两点、三点、四点的情况；有且只有一个，等价于确定 ③实例：一扇门。
人教A版高中数学二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.3~2.1.4 含答案
2。
1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3。
掌握空间中平面与平面的位置关系．知识点一直线和平面的位置关系思考如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案三种位置关系：（1）直线在平面内；(2)直线与平面相交；（3)直线与平面平行．梳理直线l与平面α的位置关系（1）直线l在平面α内(l⊂α)．（2）直线l在平面α外l⊄α错误!知识点二两个平面的位置关系思考观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?答案两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．梳理平面α与平面β的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线）类型一直线与平面的位置关系例1下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC,故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b,所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确,故答案为B。
反思与感悟空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断,要注意多种可能情形．跟踪训练1下列命题(其中a,b表示直线,α表示平面)：①若a∥b，b⊂α,则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b;③若a∥b,b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A解析如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD,故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交,故②错误；AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系错误!例2α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是（) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β答案D解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图1所示；C中当a∥α,a∥β时，α与β可能相交，如图2所示;只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2已知两平面α、β平行，且a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确;③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．命题角度2两平面位置关系的作图例3（1）画出两平行平面；（2)画出两相交平面．解两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示;第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步,画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画),如图e 所示．引申探究在图中画出一个平面与两个平行平面相交．解跟踪训练3试画出相交于一点的三个平面．解如图所示（不唯一)．1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A．a⊄α，a∩α＝A,a∥αB．a∉α，a∩α＝A，a∥αC．a⊂α，a∩α＝A，a∥αD．a∈α，a∩α＝A,a∥α答案C解析直线在平面内用“⊂”，故选C.2．如图所示，用符号语言可表示为(）A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β,l⊂α答案D3．若直线l不平行于平面α,且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．答案0或1解析若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时,经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．5．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B 与正方体六个面所在平面的关系．解根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断,要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱"之称．课时作业一、选择题1．已知直线a在平面α外，则（)A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝AD．直线a与平面α至多有一个公共点答案D解析因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交,直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D。
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（2）掌握平面的基本性质及作用；2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，利用生活中的实物形成平面的概念，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理点、线、面的关系.3、情感与价值使学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣,提高学生的空间想象能力.二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.三、教学方法与教学用具1、教学方法：借助教材和实物，引导同学物们思考、交流，探究新知等，观察和动手实践画图相结合.2、教学用具：多媒体投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入新课教师借助实物和投影，引入生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，这些都给我们以平面的印象.给同学设问：你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.顺势导入新课.（二）师生互动，探究新知1、平面含义教师根据上述平面实例，导入几何里所说的平面概念，就是从这样的一些物体中抽象出来的，强调几何里的平面是无限延展的.2、平面的画法及表示教师设问师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）引入平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
讲授新课
空间中直线与平面有多少种位置关系？
(1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点. 直线与平面相交或平行的情况统称 为直线在平面外.
讲授新课
空间中直线与平面有多少种位置关系？
a a
A
a a a∥
a∩＝A
例. 下列命题中正确的个数是 ( B ) ①若直线l上有无数个点不在平面内， 则l∥. ②若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平 面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
) 例. 下列命题中正确的个数是 ( ①若直线l上有无数个点不在平面内， 则l∥. ②若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都平行. ③如果两条平行直线中的一条与一个平 面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面平行，则l与平面内 的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
两个平面之间有两种位置关系：
两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共 直线.
两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共 直线.
l
//
l
探究
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样 的位置关系？
探究
练习
ห้องสมุดไป่ตู้
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样 的位置关系？
空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 优秀教案
2．1．3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
【课题】：空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
【教学目标】：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）引导学生通过观察与类比，加深对这些位置关系的理解、掌握；
（2）引导学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
【教学重点】：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
【教学难点】：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
【教学突破点】：以长方体等熟悉的几何体为载体,加强培养学生的逻辑推理能力.
【教法、学法设计】：与前面的处理方法一致，通过动手操作以及以长方体为载体，认识直线与平面，平面与平面的位置关系，并引导学生观察教室，形成直观感知，并正确进行归纳抽象，让学生体验获得知识的过程，抓住知识的本质特征。
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：。
2.1.3--2.1.4 空间中直线与平面 平面与平面的位置关系
通过本节课的学习, 你有哪些收获? 1. 掌握了直线与平面的位置关系, 并会分析相关问题. 2. 掌握了平面与平面的位置关系, 并学会了解决相关问题. 3. 学会了用模型的方法判断直线与平面、平面与平面的位置关 系, 体会到了作图判断位置关系的重要性.
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)
直线与平面的位置关系
【例 1】 下列命题中正确命题的个数是( ) ①如果 a、 b是两条直线, a∥b, 那么 a平行于经过 b的任何一个平面; ②如果直线 a和平面α满足 a∥α, 那么 a平行于平面α内的任何一 条直线; ③如果直线 a、b满足 a∥α, b∥α, a∥b; 则 ④如果直线 a、b和平面α满足 a∥b, a∥α, α, b⊄ 那么 b∥α; ⑤如果平面α的同侧有两点 A, 到平面α的距离相等, AB∥α. B 则 ( ) () () ( ) A 0 B2 C1 D 3
解析: 易知①正确, ②正确. ③中两条相交直线中一条与平面平 行, 另一条可能平行于平面, 也可能与平面相交, 故③错误. C . 选
平面与平面位置关系
【例 2】 已知下列说法: ①两平面α∥β, α, β, a∥b; a⊂ b⊂ 则 ②若两个平面α∥β, α, β, a与 b是异面直线; a⊂ b⊂ 则 ③若两个平面α∥β, α, β, a与 b一定不相交; a⊂ b⊂ 则 ④若两个平面α∥β, α, β, a与 b平行或异面; a⊂ b⊂ 则 ⑤若两个平面α∩β=b, α, a与β一定相交. a⊂ 则 其中正确的序号是 ( 将你认为正确的序号都填上) .
处理这类平面与平面位置关系的技巧是什么?(牢牢 抓住其特征和定义, 把文字语言或符号语言转化, 结合 空间想象全方位、多角度思考, 特别是特殊情况, 要学 会举反例否定)
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
空间中点、直线、平面之间的位置关系
求直线AM与CN所成的角的余弦值.
解：(1)BA1和C1D所成的角 900 ,BA1和AD1所成的角 600
D1
C1 （2）作NQ//AM,取AB中点P，连
A1
M
B1
PB1，则NQ// PB1//AM,∠QNC为异 面直线AM与CN所成的角(或补角)
N D
b
a c
空间两直线平行的判定公理
公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行.
若 a//b，c//b 则 a//c.
b
a c
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4. (1) 求直线BA1和C1D， BA1和AD1所成的角的大小
C
A1C1 5, A1E 2 5, C1E 3 A
F
B
E
由余弦定理得 cos A1C1E
5 5
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
现两条异面直线的关系。
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
A
E
H
D
P
B
G F
C
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？
c
a
d
b
立交桥
立交桥
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
位置关系 公共点个数 是否共面 相交 平行 异面