机械动力学第三章作业(答案)
机械动力学第三章作业(题目)
3-1 某弹簧质量系统1k ，m ，具有自然频率1f ，第2个弹簧2k 串联于第一个弹簧，其自然频率降至1/21f ，求以1k 表示的2k 。
3-2 如图所示，杆a 与弹簧1k 和2k 相连，弹簧3k 置于杆a 的中央，杆b 与弹簧 3k 和 4k 相连，质量m 置于杆b 的中央。
设杆a 和杆b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。
求质量m 上、下振动的固有频率。
3-3求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
mk 1k 2 k 3k 43-4求图所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
3-5在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
求固有频率。
3-6 质量1m 物体挂在弹簧()/k N m 下端形成静平衡，第二个质量2m 从高度h 降落到物体1m 上，该碰撞为完全弹性碰撞，如图所示，求碰撞后下方质量的运动。
k 2k 1abk 3 mk 1k 2mal3-7 如图所示，质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，质量为m2的重物从高度为h 处自由降落到m1上而无弹跳，求系统的运动规律。
3-8一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5 kg，弹簧刚度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数c = 0.70 N s/cm。
求：(a)阻尼比ζ；(b)有阻尼固有频率；(c)对数衰减率；(d)任意二相临振幅比值。
3-9 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m = 5 kg，等效刚度k = 10 kN/m，其任意两相邻振幅比为1 :0.98，求:(a) 系统的有阻尼固有频率；(b) 对数衰减率；(c) 阻尼系数c；(d) 阻尼比．。
机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t
(完整版)第三章作业和参考答案解析
1. 什么是烃类热裂解？答：烃类的热裂解是将石油系烃类燃料（天然气、炼厂气、轻油、柴油、重油等）经高温作用，使烃类分子发生碳链断裂或脱氢反应，生成相对分子质量较小的烯烃、烷烃和其他相对分子质量不同的轻质和重质烃类。
2.烃类热裂解制乙烯可以分为哪两大部分？答：烃类热裂制乙烯的生产工艺可以分为原料烃的热裂解、裂解产物的分离两部分。
3. 在烃类热裂解系统内，什么是一次反应？什么是二次反应？答：一次反应是指原料烃裂解（脱氢和断链），生成目的产物乙烯、丙烯等低级烯烃的反应，是应促使其充分进行的反应；二次反应则是指一次反应产物（乙烯、丙烯等）继续发生的后续反应，生成分子量较大的液体产物以至结焦生炭的反应，是尽可能抑制其进行的反应。
4. 用来评价裂解燃料性质的4个指标是什么？答：评价裂解燃料性质的4个指标如下：（1）族组成—PONA值，PONA值是一个表征各种液体原料裂解性能的有实用价值的参数。
P—烷烃（Paraffin）； O—烯烃（Olefin）；N—环烷烃（Naphtene）；A—芳烃（Aromatics）。
（2）氢含量，根据氢含量既可判断该原料可能达到的裂解深度，也可评价该原料裂解所得C4和C4以下轻烃的收率。
氢含量可以用裂解原料中所含氢的质量百分数表示，也可以用裂解原料中C 与H的质量比（称为碳氢比）表示。
（3）特性因数—K，K是表示烃类和石油馏分化学性质的一种参数。
K值以烷烃最高，环烷烃次之，芳烃最低，它反映了烃的氢饱和程度。
（4）关联指数—BMCI值，BMCI值是表示油品芳烃含量的指数。
关联指数愈大，则表示油品的芳烃含量愈高。
5. 温度和停留时间如何影响裂解反应结果？答：（1）高温：从裂解反应的化学平衡角度，提高裂解温度有利于生成乙烯的反应，并相对减少乙烯消失的反应，因而有利于提高裂解的选择性；根据裂解反应的动力学，提高温度有利于提高一次反应对二次反应的相对速度，提高乙烯收率。
（2）短停留时间：从化学平衡的角度：如使裂解反应进行到平衡，由于二次反应的发生，所得烯烃很少，最后生成大量的氢和碳。
作业(二)答案：单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩
作业（二）单自由度机械系统动力学等效转动惯量等效力矩1．如题图1所示的六杆机构中，已知滑块５的质量为m 5=20kg ，l AB =l ED =100mm ，l BC =l CD =l EF =200mm ，φ1=φ2=φ3=90o ，作用在滑块５上的力Ｐ＝500N ．当取曲柄AB 为等效构件时，求机构在图示位置的等效转动惯量和力Ｐ的等效力矩．图1答案：解此题的思路是：①运动分析求出机构处在该位置时，质心点的速度及各构件的角速度．②根据等效转动惯量，等效力矩的公式求出．做出机构的位置图，用图解法进行运动分析．V C =V B =ω1×l AB ω2=0V D =V C =ω1×l AB 且ω3=V C /l CD =ω1V F =V D =ω1×l AB (方向水平向右) ω4=0由等效转动惯量的公式：e J =m 5(V F /ω1)2=20kg ×(ω1×l AB ／ω1)2=0．2kgm 2由等效力矩的定义： e M =500×ω1×l AB ×cos180o／ω1＝－50Nm （因为ＶF 的方向与Ｐ方向相反，所以α＝180o ）2．题图2所示的轮系中，已知各轮齿数：z 1=z 2’=20，z 2=z 3=40，J 1=J 2’=0．01kg ·m 2，J 2=J 3=0．04kg ·m 2．作用在轴Ｏ3上的阻力矩Ｍ3＝40N ·m ．当取齿轮１为等效构件时，求机构的等效转动惯量和阻力矩Ｍ3的等效力矩．图2答案：该轮系为定轴轮系．i 12=ω1/ω2=(-1)1z 2/z 1∴ ω2=－ω1/2=－0．5×ω1ω2’=ω2=－0．5×ω1i 2’3=ω2’/ω3=(-1)1z 3/z 2’ ∴ ω3=0．25×ω1根据等效转动惯量公式e J = J 1×(ω1/ω1)2＋J 2×(ω2/ω1)2＋J 2’×(ω2’/ω1)2＋J 3×(ω3/ω1)2 ∑=+=n i i Si Si i e J v m J 12121]()([ωωω∑=±=n i i i i i i e M v F M 111)]()(cos [ωωωα∑=+=n i i Si Si i e J v m J 12121]()([ωωω＝J 1＋J 2／４＋J 2’／４ ＋J 3／16＝0．01＋0．04／4+0．01／4+0．04／16＝0．025 kg ·m 2根据等效力矩的公式： e M =M 3×ω3/ω1=40×0．25ω1/ω1=10N ·m3．在题图3所示减速器中，已知各轮的齿数：z 1=z 3=25，z 2=z 4=50，各轮的转动惯量J 1=J 3=0．04kg ·m 2，J 2=J 4=0．16kg ·m 2，（忽略各轴的转动惯量），作用在轴Ⅲ上的阻力矩M 3=100N ·m ．试求选取轴Ⅰ为等效构件时，该机构的等效转动惯量J 和M 3的等效阻力矩M r ．图3答案：i 12=ω1／ω2=z 2/z 1 ω2=ω1/2 ω3=ω2=ω1/2 i 34=ω3/ω4=z 4/z 3ω4＝ω1/4等效转动惯量：J=J 1(ω1/ω1)2+J 2(ω2/ω1)2+J 3(ω3/ω1)2+J 4(ω4/ω1)2=0．042+0．16×(1/2)2+0．04×(1/2)2+0．16×(1/4)2=0．04+0．04+0．01+0．01=0．1 kg ·m 2等效阻力矩：M r =M 3×ω4/ω1=100/4=25(N ·m)4．题图4所示为一简易机床的主传动系统，由一级带传动和两级齿轮传动组成．已知直流电动机的转速n 0＝1500r/min ，小带轮直径d =100mm ，转动惯量J d =0．1kg ·m 2，大带轮直径D ＝200mm ，转动惯量J D =0．3kg ·m 2．各齿轮的齿数和转动惯量分别为：z 1=32，J 1=0．1kg ·m 2，z 2=56，J 2=0．2kg ·m 2，z 2’=32，J 2’=0．4kg ·m 2，z 3=56，J 3=0．25kg ·m 2． 要求在切断电源后２秒，利用装在轴上的制动器将整个传动系统制动住．求所需的制动力矩M 1．图4∑=±=n i i i i i i e M v F M 111()(cos [ωωωα答案：电机的转速n0＝1500r/min其角速度ω0＝2π×1500/60=50π(rad/s)三根轴的转速分别为：ω1=d×ω0/D=25π(rad/s)ω2=z1×ω1/z2=32×25π/56=1429π(rad/s)ω3=z2’×ω2/z3=32×1429π/56=816π(rad/s)轴的等效转动惯量：J V=J d×(ω0/ω1)2+J D×(ω1/ω1)2+J1×(ω1/ω1)2+J2×(ω2/ω1)2+ J2’×(ω2/ω1)2+ J3×(ω3/ω1)2∴J V=0．1×(50π/25π)2+0．3×12+0．1×12+(0．2+0．1)×(14．29π/25π)2+0．25×(8．16π/25π)2=0．4+0．4+0．098+0．027=0．925 (kg·m2)轴制动前的初始角速度ω1＝２５π，制动阶段做减速运动，即可求出制动时的角加速度∴ωt=ω0－εt即０＝25π－2εε=12．5π则在２秒内制动，其制动力矩Ｍ为：M=J V×ε=0．925×12．5=36．31 (kg·m)5．在题图5所示定轴轮系中，已知各轮齿数为：z1=z2’=20，z2=z3=40；各轮对其轮心的转动惯量分别为J1=J2’=0．01kg·m2，J2=J3=0．04kg·m2；作用在轮１上的驱动力矩M d=60N·m，作用在轮３上的阻力矩M r=120N·m．设该轮系原来静止，试求在M d和M r作用下，运转到t=15s时，轮１的角速度ω1和角加速度α1．图5答案：i12=ω1/ω2=(-1)1×z2/z1 ω2=－ω1/2i13=ω1/ω3=(-1)2×z2×z3/z1×z2’ω3=20×20×ω1/40×40=ω1/4轮１的等效力矩Ｍ为：Ｍ＝M d×ω1/ω1+M r×ω3/ω1 =60×1－120/4=30 N·m轮１的等效转动惯量Ｊ为：Ｊ=J1(ω1/ω1)2+(J2’+J2)(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2=0．01×1+(0．01+0．04)/4+0．04/16=0．025 (kg·m2)∵M=J ×ε∴角加速度ε＝Ｍ／Ｊ＝1200 (rad/s2)初始角速度ω0=0 ∴ω1=ω0+ε×tω=1200×1．5=1800(rad/s)。
力学习题-第3章非惯性系(含答案)
相对转盘不动，转动角速度的最小值为
rad/s（结果保留一位小数）。
答案：3.2 解：取转盘参为参考系（匀角速转动的非惯性系），以木块为研究对象，受力分 析：重力 mg 、静摩擦力 f 、斜面的支持力 N 、惯性离心力 F m2r （方向沿 径向向外， r 为木块离盘心的水平距离）。木块处于静止状态，受力平衡有： 沿斜面方向： mg sin m 2r cos f 0
h 1 gt 2 ， l vt 2
其中，v R 为物体刚好离开圆盘时相对地面的速度（此时，物体相对圆盘的速 度近似为零）。 设小物体质量为 m，与圆盘的摩擦力为 f，以圆盘为参考系（因为圆盘绕其轴的 角速度逐渐增大，所以可将其在短时间内视为匀角速转动的非惯性系）。小物体 恰好滑出圆盘时受最大静摩擦力 f mg ，加上沿圆盘径向方向的惯性离心力
2. 在以加速度 a 相对惯性系作加速平动的非惯性系中，质点 m 受到的惯性力的 大小等于 ma. 答案：对 解释：请参考本章视频。
3. 由于惯性力是人为引入的虚拟力，所以它的作用效果与真实力不同。 答案：错 解释：虽然惯性力不是真实的力，找不到施力物体，但其作用效果与真实力相同。 比如，地面上静止的汽车突然加速，站在车上的人突然向后倾倒的现象可以理解 为惯性力的作用，其效果与站在静止的车上人突然有力向后拉他是相同的。
A. v =
gh tan 1 ;B. v =
gh tan 2 ;C. v =
gh tan 1 tan 1 + tan 2
;
D.
v=
gh tan 1 cot 1 + cot 2
答案：D 解：以小球为参考系（匀角速转动的非惯性），小球上、下两侧绳中的张力分别
为
FT1、FT 2
机械工程学第四版课后练习题含答案
机械工程学第四版课后练习题含答案机械工程学是机械工程中的重要基础课程，是机械工程师必须要掌握的知识。
本文介绍的是机械工程学第四版课后练习题，包含了部分答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
第一章绪论1.1 机械工程学基本定义问题1.机械工程学的基本定义是什么？机械工程学是一门研究材料、能量、力学及运动、力的传递、机械结构和机械系统设计、制造、控制及维护等问题的科学、技术与艺术。
1.2 认识材料1.说一下弹性和塑性的区别。
弹性是指当外力作用于物体时，物体会发生一定程度的形变，但随着外力的消失，物体能够完全恢复到原来的形态，称为弹性。
塑性是指当外力作用于物体时，物体会发生一定程度的形变，即物体的形状发生改变，但在外力消失后，物体不会完全恢复到原来的形态，称为塑性。
1.3 认识力的大小问题1.什么是力的大小？力的大小是指是一种物理量，表示力的强度大小的大小。
力的大小通常用牛（N）作为单位。
第二章静力学2.1 质点和刚体1.质点和刚体的区别是什么？质点是没有大小的点，只有质量，并且不受形变的物体，被认为是地球表面一个点处质量的重心，在计算力学问题时可以忽略它的长度和宽度。
刚体是一个固定形状的物体，它的每个点都不能发生相对位置的变化，即不受形变的物体。
2.2 力的合成1.什么是力的合成？力的合成是指将两个或多个力的作用效果替换为一个力的作用效果的运算过程。
2.3 平衡条件1.什么是平衡条件？当一个物体处于静止状态或匀速直线运动时，称为平衡状态，此时物体所受合外力为零。
平衡条件是物体处于平衡状态所需满足的条件，通常包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
第三章动力学3.1 力的概念1.什么是力？力是一种物理学概念，是指物体之间的相互作用，可以用来描述物体的运动状态和变形状态。
3.2 牛顿运动定律1.牛顿的第一运动定律是什么？牛顿的第一运动定律是说：一个物体如果受到合外力的作用为零，它将保持静止或匀速直线运动的状态。
南京理工大学-高等动力学课后习题答案及考题解答
18、设 b, c 接触点为 P ， a, c 接触点为 Q 。因为 C 球作纯滚动，所以 b, c 在接触点上有相同 的速度， a, c 在接触点上也有相同的速度。设沿 OC 方向上的单位矢量为 e 。
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.n
Rω1 Rω Ω × k ' (1) Ω = ω1 k − 1 k ' (2) r r 2 Rω1 ' j 把(2)代入(1) : ε = r
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i i
ju s
i
tjx
= p i ' + q j ' + r k ' + ω × ( pi ' + q j ' + rk ' ) = p i ' + q j ' + r k ' + ω × ω
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i
理工大机械论坛（）
i i i
7、由题易得：ψ = −2
i
ϕ =4 θ =0
解得： ωC =
aωa − bωb a −b
1 vC = (aωa + bωb ) × e 2
第三篇 刚体动力学 第一章 物体的二次惯量矩（P254） （1） 薄片平面 ⇒ 2011-2 1、
Jz = Jx + J y
∵ 厚度为0, ∴ z = 0 Jz =
(V )
∫ ρ(x
2
+ y 2 )dV (1) J y =
ψ = ψ t = 15t
ω y = ω sinψ = 20sin15t
i
ω x = ω cosψ = 20 cos15t
∴ω = 20 cos15ti + 20sin15t j ⇒ ε = −300sin15ti + 300 cos15t j ⇒ ε = 300
2022机械动力学试题答案
2022机械动力学试题答案一、判断题1.考虑效率时，等效力大小与效率值大小成反比。
2.某机械的广义坐标数为5，则该机械的广义力一定少于5个。
3.某机械系统自由度为4，那么其惯性系数J33一定不小于零。
4.定轴轮系在匀速转动时，等效力矩一定等于零。
5.在考虑弹性时，铰链四杆机构中单元杆的节点变形数一定等于系统的节点变形数。
1．某2．某3．√4．√5．某二、如图所示机构在水平面上运转，件1为原动件，转角为已知杆1长l0.8m，其绕A点转动惯量J1A0.2kgm2，件2质量m21.2kg，其质心为B2点，杆3质量m32kg，杆1受驱动力矩M，杆3受力F作用。
试求：1.以件1为等效件建立机构动力学方程。
2.该机构由静止起动时45，那么若F20N，M至少应大于多少才能启动机构。
3.若F20N，M15Nm，求90时，解：1、Slcov31linMvMFv31MFlinv322mJmlmlin31A23122JvJ1AvB2m212dJv由MvJv2d得:MFlinJ1Am2l2m3lin2ml322inco2、M200.8in450M11.3Nm3、MFlinJ1Am2l2m3lin2ml322inco9.34rad2图示轮系中，轮4转角为4，系杆转角为H，各件转动惯量:J10.4kgm2,J21.8kgm2，J3J62.1kgm2，J4J50.6kgm2，JH0.5kgm2。
各轮齿数：z120，z260，z4z530，z3z660，各件所受力矩大小：MH30Nm，M120Nm，M430Nm，M640Nm，方向如图所示。
忽略各件质量及重力，现选定q1=H，q24，试求H。
解：iH1=1,iH2=0，i410,i421，i11533151,i12，i21,i22，i61,i6222224422222J11J1i11(J2J3J5)i21J6i61JHiH116.4kgm2222J22J1i12(J2J3J5)i22J6i62J4i423.15kgm2J12J1i11i12(J2J3J5)i21i22J6i61i62-1.22kgm2Q1MHM1i11M6i6130NmQ2M4M1i12M6i6210Nm设M向上为正1J12q2Q1J11q得：H2.13rad/21J22q2Q2J21q图示机构中，件1受驱动力F1，件4受驱动力矩M4，件3受F3作用，方向如图，取广义坐标q1S1，q24。
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3-1 某弹簧质量系统1k ，m ，具有自然频率1f ，第2个弹簧2k 串联于第一个弹簧，其自然频率降至1/21f ，求以1k 表示的2k 。
解：1112k f m π= (1)121212111k k k kk k k ==++1221121122()k k f f m k k π==+ (2)122(1)2(2)k k k +== ,则 123k k =3-2 如图所示，杆a 与弹簧1k 和2k 相连，弹簧3k 置于杆a 的中央，杆b 与弹簧 3k 和 4k 相连，质量m 置于杆b 的中央。
设杆a 和杆b 为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。
求质量m 上、下振动的固有频率。
解：1114x k =2214x k = 1233122x x x k +=+ 4412x k = 12341111161644e x k k k k ∴=+++ 1234111111161644e ek x k k k k ==+++所以n 1234114111122()44e k f m m k k k k ππ==+++ (2)n f ωπ=3-3求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解： 1k 和2k 为串联，等效刚度为：212112k k k k k +=。
（因为总变形为求和）12k 和3k 为并联（因为12k 的变形等于3k 的变形），则：2132312132121312123k k k k k k k k k k k k k k k k +++=++=+=123k 和4k 为串联（因为总变形为求和），故：424132312143243142141234123k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k e ++++++=+=故：m k en =ω3-4求图所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
解： m 的位置：A A x k mgx x x +=+=22 a F mgl 1=，amglF =1，11ak mgl x =∴l a x x A =1，1221k a mgl x a l x A ==∴ mgk k a k l k a mg k a l k k a mgl k mg x x x A 2122212122212222 1+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=∴2212212k l k a k k a k e +=∴，m k e n=ωmgx 1x A3-5在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
求固有频率。
解：对m 进行受力分析可得：33x k mg =，即33k mgx =如图可得：()()22221111 ,k b a mga k F x k b a mgb k F x +==+==()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 212221212110++=+-+='+=()22120323e 12a k b k 11x x x mg mg k k a b k k ⎡⎤+=+=+=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦ 则等效弹簧刚度为：()()2123223123212k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：()()()[]222132212321bk a k k b a k k m b a k k k m k e n ++++==ωmg ba a F +=2x x 23-6 质量1m 物体挂在弹簧()/k N m 下端形成静平衡，第二个质量2m 从高度h 降落到物体1m 上，该碰撞为完全弹性碰撞，如图所示，求碰撞后下方质量的运动。
解：由1m 的静平衡位置得位移：x由撞击后12m m +为自由体，分析力系动平衡，得到振动的运动平衡方程：122()m m x m g kx +=-一般解：2cos sin t m gxA tB t kωω=++ 其中12km m ω=+2m 从高度h 处落下，其速度有能量守恒：222212m gh m v =，得到22v gh =。
1m ，2m 碰撞后，由于2m 不反弹（完全弹性碰撞），所以能量守恒并不适用，根据动量不减定律2212()m v m m v =+， 得到两者合体速度速度为2122/()m gh m m +。
初始条件：212(0)0,(0)2/()x x m gh m m ==+&220212(0)0,(0)(sin cos )2/()t m g m gx A A k kx A t B t B m gh m m ωωωωω==+==-=-+==+&2212121222.()m ghm gh m m B k h m m +==+ 2221222122()cos sin ()2 (1cos )sin ()m gh m g m gx t t t k k k m m m gh m gt t k k m m ωωωω-=+-+=-++3-7 如图所示，质量为 m 1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m 2的重物从高度为 h 处自由降落到m 1 上而无弹跳，求系统的运动规律。
解：无阻尼自由振动通解：1n 2n ()cos sin x t c t c tωω=+其中 10c x = 20n/c x ω=&由1m 的静平衡位置得位移：12()m m gkλ+=120m g m gx k kλ=-+=- 无弹跳（完全弹性碰撞：动能和动量守恒） 所以有222212m gh m v =；得到22v gh = 2212()m v m m v =+ 得到200122m ghv x ==所以221212122()sincos ()m g hm g k k x t t tm m k m m m m k=-+++3-8 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30°的光滑斜面下滑。
求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。
解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0，此后质量块做无阻尼自由振动，以弹簧的平衡位置为原点，其运动方程为：0mx kx +=&&t=0时的初始速度 02sin30x gS gS =⋅=o & 初始位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）0sin 302mg mgx k k=-=-o 质量块的运动规律为 00cos sin n n nx x x t t ωωω=+& /n k m ω=求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。
解法一：设弹簧运行至最低点时t = τ，则弹簧脱离挡板的时刻应为t = 2τ。
令 ()0x τ=&， 可得 00sin cos 0n n n x x ωωτωτ-+=&14tan m kS k mg τπ-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭弹簧从接触挡板到脱离的时间为2t τ∆=解法二：将此简谐运动写作 00cos sin cos()n n n n x x x t t A t ωωωφω=+=-&式中：0004arctanarctannx kSx x mgφω==& 由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为222222242arctan nt T m kSk mg πφπφπππωπ--∆==⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭3-9一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5 kg，弹簧刚度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数c = 0.70 N s/cm。
求：(a) 阻尼比ζ；(b) 有阻尼固有频率；(c) 对数衰减率；(d) 任意二相临振幅比值。
对数衰减率：时间-位移曲线上两相邻极大值之比再取对数解：0.1cccζ==≈（注意单位之间的统一：,,,c m kζ这里要将k=7000N/m）d19.9rad/sωω===0.628δ=≈nd21e 1.88nnxxπζωω+==≈3-10 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m = 5 kg，等效刚度k = 10 kN/m，其任意两相邻振幅比为1 :0.98，求:(a) 系统的有阻尼固有频率；(b) 对数衰减率；(c) 阻尼系数c；(d) 阻尼比．解：11:0.98nnxexδ+==所以0.0202δ=由δ=所以0.003215ζ=d44.72rad/sω=1.44Ns/mc=。