《垂线》导学案-PDF
七年级下学期《垂线》导学案
第五章相交线与平行线5.1.2垂线导学案一、学习目标：1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
二、学习重点：两直线互相垂直的有关性质三、学习难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线四、重难点突破1、垂线的相关概念突破建议：①首先应该明确垂线的定义，即当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.因此，垂直是相交的一种特殊情况，垂直属于相交，但又不同于一般的相交，只有两条直线相交成直角时，它们的位置关系才能称作互相垂直.②垂直与垂线不同，垂直是指两条直线的位置关系，而垂线是指两条直线垂直时，其中的一条叫做另一条的垂线.两者也有联系，只有在垂直的情况下，才会有垂线.2、垂线的性质及其应用突破建议：①垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.“有且只有”中的“有”指的是“存在”，“只有”指的是“唯一”；“过一点”中的点可以在直线上，也可以在直线外.也就是说，过一点画已知直线的垂线，只能画一条．利用三角板画直线的垂线时，三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点.DCBACBAO DCBAOOB②垂线性质2：垂线段最短.垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言的．“垂线段最短”是以后说明“最短路线问题”的一个重要依据 3、点到直线的距离突破建议：①点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度，它是一个数量概念，只能量出或求出，而不能画出，画出的是垂线段，不是点到直线的距离.②点到直线的距离问题通常伴随着过一点作已知直线的垂线，作图的准确性直接影响到计算与辨别，务必仔细、规范.【新知预习检测—我能学】1、两条直线相交，当有一个夹角为__________时，这两条直线互相垂直，其中有一条直线叫做另一条直线的_____________，它们的交点叫做_____。
新人教版七年级数学下册第五章《垂线(第1课时)》导学案
精品资料A BCDO新人教版七年级数学下册第五章《垂线（第1课时）》导学案学习目标：1.理解两条直线互相垂直的意义。
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
学习重点：垂线的定义及性质。
学习难点：垂线的画法。
学前准备：如图，直线a与b相交，∠1=36°则∠3=________，∠2=__________若∠1=90 o 则∠3=________，∠2=________。
【导入】【自主学习，合作交流】1.阅读教材第三至四页探究前面部分，解决下列问题;（1）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=90 o∠2、∠3、∠4都等于多少度，这时直线AB、CD的位置关系是怎样的？交点O 叫什么？（2）直线AB、CD互相垂直，用符号怎么表示（3）请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
小试牛刀:（1）如图，已知AB⊥CD，垂足为O，图中∠1与∠2的关系是（）A．∠1+∠2=180° B．∠1+∠2=90°C．∠1+∠2=90° D．∠1=∠2（2）如图，AO⊥OC, BO⊥DO,那么A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠1=∠3 D．∠1=∠2=∠31题图 2题图【精讲点拔】探究：1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？垂线的画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
B．A l l归纳垂线的性质：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的条垂线，并且只能画出条垂线，即：性质1 过一点与已知直线垂直。
【针对性训练】如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线，并标出垂足。
人教七下数学第1课时 垂线(导学案)
5.1相交线5.1.2垂线第1课时垂线一、新课导入1.导入课题：观察周围的景物：墙与地面、桌腿与地面、公路两边的电线杆与地面的位置关系都给我们垂直的印象，导出课题——垂线.2.学习目标：（1）能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.（2）记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.3.学习重、难点：重点：正确理解垂线、垂线段的概念.难点：能利用垂线的性质进行简单的推理.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：课本P3至P4“探究”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：认真阅读教材，对重、难点内容做好标记.不清楚，不懂的地方可以小组讨论.（4）自学参考提纲：①垂线的定义：结合相交线模型和图5.1-4体会当∠α=90°时，a和b互相垂直，这说明：当两条直线相交成的四个角中，有一个角是90°时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.②垂线的定义推理过程（如图1）：因为AB⊥CD（已知）,所以∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°(垂直定义).反之因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直定义).③如图2，直线a ⊥b，∠1 = 35°，则∠2 =55°.④当两条直线相交所成的四个角相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？互相垂直.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师在学生自学时巡视课堂，关注学生的学习进度和学习中存在的问题.②差异指导：对在自学中遇到疑难或认识有偏差的学生进行点拨引导.（2）生助生：学生通过小组交流探讨各自遇到的问题.4.强化：（1）垂线、垂线段的概念.（2）举例说明生活中的垂直现象.1.自学指导：（1）自学内容：课本P5练习之前的内容.（2）自学时间：3分钟.（3）自学要求：根据探究提纲动手操作画图；在动手过程中互助交流作图方法.（4）探究提纲：①如图,用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画几条?小组内交流,明确直线l的垂线有无数条,即垂线存在,但位置有不确定性.②如图1，在直线l上取一点A，过点A画直线l的垂线，能画几条?如图2，经过直线l外一点B画直线l的垂线，这样的垂线能画几条?③从②中你能得出什么结论?在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中的数据的意义以及画图中存在的问题.②差异指导：根据学情分类指导.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化:（1）用三角尺过已知点画已知直线的垂线的方法：①一边靠线；②移动找点；③画垂线.（2）垂线的存在性和唯一性：在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）练习：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线.三、评价1.学生学习的自我评价：各小组长谈学习收获和存在的困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中表现出的态度、情感、方法和成效进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:在这堂课中，学生的主体地位突出了，真正亲历了知识形成的全过程.在自主学习、同桌合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课实施中的每一个学习活动，都以学生个性思维、自我感悟为前提多次设计了让学生自主探索、合作交流的时间与空间.通过学生和谐有效地互动，强化了学生的自主学习意识.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）如图所示，若AB⊥CD于点O，则∠AOD=90°；若∠BOD=90°，则AB⊥CD.2.（10分）如图所示，已知AO⊥BC于点O，那么∠1与∠2的关系是∠1+∠2=90°.第1题图第2题图第3题图第4题图3.（10分）如图，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°，则∠BOC=30°．4.（10分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（B）A.26°B.64°C.54°D.以上答案都不对5.（15分）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC ＝35°，求∠AOD和∠BOD的度数.解：因为EO⊥AB，所以∠EOB=∠EOA=90°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°.又因为∠AOD=∠BOC(对顶角相等)，所以∠AOD=125°.因为∠AOC=∠AOE-∠COE=55°,所以∠BOD=∠AOC=55°（对顶角相等）.二、综合应用（20分）6.如图，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上吗？为什么？解：A、B、C三点在同一直线上.∵AB⊥l，BC⊥l.且交点都为B.∴A、B、C三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.三、拓展延伸（20分）7.如图，直线AB，CD相交于O点，OM⊥AB于O.（1）若∠1=∠2,求∠NOD;（2）若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.解：（1）因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,所以∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90°=90°.（2）由已知条件∠BOC=4∠1，即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°，所以∠AOC=90°-30°=60°，所以由对顶角相等可得∠BOD=60°,所以∠MOD=90°+∠BOD=150°.。
湘教版七年级数学下册4.5 垂线(第2课时)导学案
4.5 垂线（第2课时）一、新课引入〈一〉复习旧知1.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相______.2.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线必___于另一条.〈二〉导读目标学习目标：1.会过一点作已知直线的垂线,掌握垂线段的概念及其性质.2.会作出直线外一点到已知直线的距离，并进行相关的计算.3.学习初步的几何推理的方法，培养逻辑思维能力.重点：会过一点作已知直线的垂线,掌握垂线段的概念及其性质.难点：会过一点作已知直线的垂线,掌握垂线段的概念及其性质.二、预习导学阅读教材P98-100的内容，解答下列问题：（1）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？（2）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？（3）什么叫点到直线的垂线段？斜线段？垂线段的性质是什么？什么叫点到直线的距离？三、合作探究〈一〉经过一点作已知直线的垂线的探究1.用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，如图.（1）经过直线l上一点P画l的垂线a;（2）经过直线l外一点P画l的垂线b.思考：这样的垂线分别可以画出几条呢？归纳：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．〈二〉垂线段性质探究（1）如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段.经过点P的其他直线交l于A，B，C，D,…,线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段．(2)观察图中的线段，PA，PB，PC，PD，PO中哪条线段最短？归纳：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.或者简单地说成：垂线段最短.〈三〉点到直线的距离探究阅读教材P100-101的内容，解答下列问题：1.什么是点到直线的距离？2.(1) 你能量出点P到直线l 的距离吗？(2)如图，某工厂要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？〈四〉垂线的性质运用例如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离．四、解法指导五、堂上练习六、课堂小结七、课后作业教材P102习题4.5 A组第5题.教材P103习题4.5 B组第8题.。
初中数学人教新版七年级下册5.1.2垂线导学案
初中数学人教新版七年级下册实用资料七年级数学自学案5.1.2垂线一、自学范围（3页——6页练习）二、自学目标：1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
2、理解垂线的两个性质三、自学重点理解垂线的性质四、自学过程：1、自学第一、二自然段：2、什么是垂直呢： 垂直是相交的一种 情况，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．3、什么上垂直呢？如图一：直线AB 、CD 互相垂直，记作“AB ⊥CD ”或“CD ⊥AB ”，读作“AB 垂直于CD ”，如果垂足为O ，记作“AB ⊥CD ，垂足为O ”4、举出生活中垂直的例子：图一十字路口的两条道路 如下图，当∠AOC ＝90°时，∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 等于多少度？为什么？这种位置有几种？直线AB 与直线CD 的位置关系怎样？5、自学4页探究：用课本中的作图方法完成下面图形（1）过直线l 上一点A,作直线AB ⊥l 垂足为A（2）过直线AB 外一点C,作CD ⊥AB,垂足为D.(3)各能画几条，得到怎样的结论呢？6、自学5页的思考与探究。
P 相边的线段 l 的 关系是 ，点P 到直 线l 的距离是 的长度，五、学效测试7、下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.9、过一点有且只有________直线与已知直线垂直. 10、画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.11、直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.12、完成6页练习l A C A 7A 12A 3A 45A 89OD C B A。
七年级数学下册《垂线》导学案及课后练习
七年级数学下册《垂线》导学案及课后练习《垂线》课后作业一、选择题：1．如图，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝α，则∠AOD 等于( )．(A)180°－2α(B)180°－α (C)α2190+︒(D)2α－90°2．如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为PA ＝4cm ，PB ＝6cm ，PC ＝3cm ，则点P 到直线m 的距离为( )．(A)3cm (B)小于3cm (C)不大于3cm(D)以上结论都不对二、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)3．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直． ( ) 4．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( ) 5．一条直线的垂线只能画一条．( ) 6．平面内，过直线AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直． ( ) 7．连接直线l 外一点到直线l 上各点的6个有线段中，垂线段最短．( )8．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( ) 9．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( )三、按要求画图10．如图，过A 点作直线CD ⊥MN ，过A 点作直线PQ ⊥EF 于B ．11．如图，小明从A 村到B 村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．12．已知：如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于O ，且CD ⊥EF ，∠AOE ＝70°，若OG 平分∠BOF ．求∠DOG ．《垂线》课后作业参考答案1． B 2． B 3．√，4．√，5．×，6．√，7．√，8．√，9．×10．11．12．55°．PQBCD。
5.1.2垂线导学案
5.1.2垂 线（导学案）惠民县第二实验学校 郭 勇学习目标：1. 知道垂线的定义与表示，能用符号语言表达垂直。
2. 理解垂线的两条性质。
3. 一、 温故知新探究1：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 请同学们带着以下问题观察。
1.当b 的位置变化时,a 、b 所成的角α是否也会发生变化？2.转动木条b 时，他和木条a 互相垂直的位置有几个？通过探究你的结论是：1.2.二、探求新知（一）垂线的定义及表示 1.当∠α =90°时,a 与b 垂直（垂直是相交的特殊情况）.此时称直线a 是直线b 的垂线（也可以称直线b 是直线a 的垂线）.记作：a ⊥ b （符号“⊥”表示垂直）若直线a 与直线b 垂直时，交点为O ，此时交点为O 叫做垂足，记作：a ⊥ b,垂足为O 或a ⊥ b 于O.2. 以上推理过程“如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°，那么 AB⊥CD”.用符号语言表达为：因为∠AOC=90°（已知）所以 AB⊥CD （垂直的定义）．反过来因为 AB⊥CD（已知），所以∠AOC＝90°（垂直的定义）．在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。
例如：方格本的横线和竖线，铅垂线和水平线等，你还能举出其他例子吗？例如： .(二)探究2：(1)画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画直线l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画直线l的垂线,这样的垂线能画几条?通过作图和思考你的结论：1.2.3.垂线的性质1：PA B C l D （三）探究3：1. 以上实际问题，转化为数学问题是：2.连接的所有线段中，是否存在相互垂直的情况？3.请测量你所连线段的长度，并进行比较？那条是最短的呢？ （定义：若PB ⊥l ,我们称PB 为点P 到直线l 的垂线段）4. 你能得到什么结论？垂线性质2：（四）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
第2课时 《垂线》导学案
第2课时 《垂线》导学案知识目标：1、垂线的定义及性质； 2、垂线性质的几何语言。
能力目标：1、会对定义、性质进行提问； 2、图形的分解。
学习的快乐就是通过自己的努力而获取了知识！无师而自通，是学习的最高境界！阅读课本第3页至第6页“5.1.2垂线”部分 1、如图，若∠DOB= 0时，AB 与CD 互相垂直，记作AB ⊥CD ，垂足为 ；2、如图，若AB CD ，则∠DOB=900,3、如图，（1）∵∠1=900(已知)∴a b （垂直的定义）（2）∵a ⊥ b （已知）∴∠1= (垂直的定义）作图能力是一种最基本的数学能力，相信同学们能作好图 根据第4页“探究”部分作图的方法，完成下面作图题。
1、 过点A 作直线AB ⊥a ，垂足为A 。
2、 过点B 作直线BC ⊥b ，垂足为C 。
3、做书本第5页中练习题第2题（做在书本上）通过作图，可以发现： 过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。
4、如图，P 到直线AB 的垂线段是从P 点出发的所有线段中，最短的是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，学习方法指导（学生提问题）O DC B A 1O b a a A bB E P DC B A 根据第1、2题，垂直的定义，你能提出问题吗？请写在下方。
第3题为“几何语言”你知道它的格式吗？ 你能就“垂线”、“垂线段”两个概念提问吗？把问题写在下方。
点到直线的距离是指：知识来源于生活，又应用于生活！1、书本第5页的思考题应用到的数学知识是：（）A、垂线段最短B、两点之间线段最短2、回忆体育课中测量跳远成绩时的做法，运用到的数学知识是：追求简单是人类的共性，图形的分解是化简思想的应用1、如图，CD是直角三角形中ABC中斜边AB上的高，那么：（1）点A到BC边的距离是线段的长度；（2）点B到AC边的距离是线段的长度；（3）点C到AB边的距离是线段的长度；分析：由第（1）题条件，分解出图形“点A”及“线段BC”如下：在这个简单的图形当中，你能作出点A到BC的垂线段吗？对比原图，知道答案了吗？在草稿纸上继续分解第（2）（3）题，并解答出来。
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5.1.2 垂线
【学习目标】
了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用画一条直线的垂线。
【重难点预测】
重点：垂线的定义及性质；
难点：垂线的画法。
【课前预习案】
1、当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，他们的交点叫做。
2、过一点有且只有直线与已知直线垂直。
3、如右图，AB、CD相交于O，若∠AOC=90°，则AB与CD的位置关系是，反过来，若AB⊥CD，则∠AOC= 。
【课内探究案】
探究点一：垂直、垂线的定义
1、两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________，其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。
2、垂直的符号表示：(垂直用符号“⊥”来表示)
（1）若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD，垂足为O。
（2）①由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直，记为：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义）
②由两条直线垂直，可知四个角为直角，记为：∵ AB⊥CD （已知）
∴∠AOD=90°（垂直的意义）
问题1：判断题.
（1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )
（2）一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
（3）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂
(1)O D C B E (3)O D C B
A 直.( )
（4）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ).
问题2：（1）如图1,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
（2）如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.
问题3：如图直线AB 与直线CD 相交于点O ，OE ⊥AB 。
已知∠BOD=45°，求∠COE 的度数。
探究点二：画已知直线l 的垂线
1、经过直线l 上一点A 画垂线，这样的垂线能画几条？
2、经过直线l 外一点B 画垂线，这样的垂线能画几条？
问题4：已知钝角∠AOB,点D 在射线OB 上.
①画直线DE ⊥OB;
②画直线DF ⊥OA,垂足为F.
问题5：分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段.
_A
_C
_B
总结：垂直的性质1
在同一平面内，过一点____________________直线与已知直线垂直。
探究点三：垂直的性质2
1、垂线段最短；
2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。
问题6：如图，直线L表示一条公路，直线L上的点B表示车站，直线L外的点A表示村庄。
（1）从村庄A到车站B筑一条公路，应按怎样的路线筑路，才能使路程最短？（2）从村庄A到公路L筑一条公路，应按怎样的路线筑路，才能使路程最短？
【课堂小结】
1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2、预习时的疑难解决了吗？。