2021年1月湖北省武汉市武昌区普通高中2021届高三元月调研质量检测数学试题及答案
高考数学 国各地模拟试题分类汇编8 平面向量 理 试题
2021全国各地模拟分类汇编理：平面向量【四中2021届高三上学期第三次月考理】向量a 的模为1，且b a ,满足2||,4||=+=-b a b a ，那么b 在a 方向上的投影等于___________【答案】3-【高中2021届高三第一次月考理】a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=+b a3〔 〕A ．7B ．10C ． 13D ．4 【答案】C【双流中学2021届高三9月月考理】()()3,1,2,a b λ==，假设//a b ，那么实数λ的值是〔 〕 A ．23-B ．32-C ． 23D ．32【答案】C【2021届高三第一次诊断理】a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么26a a b +⋅等于〔 〕A ．1+B ．4C ．3D ．7【答案】B【长安一中2021届高三开学第一次考试理】假设两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，那么向量a b +与a b -的夹角〔 〕A ．6πB ．4πC ．23π D ．56π【答案】C【三中2021届高三上学期学分认定理】向量a=(3,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)，假设(a+b)⊥c ，那么m= . 【答案】2 【中学2021届高三上学期月考理】5,3,415,0,,===<⋅==∆∆b a S b a b CA a CB ABC ABC 中，，那么b a 与的夹角为〔 〕A ．65π- B ．6πC ．6π或者65πD ．65π【答案】D【中学2021届高三上学期月考理】o 为平面内一定点,设条件p:动点M 满足⎪⎭⎫⎝⎛++=→→→AC AB OA OM λ,λ∈R;条件q:点M 的轨迹通过△ABC 的重心．那么条件p是条件q 的〔 〕 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【中学2021届高三上学期月考理】,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直，那么实数λ的值是 【答案】23 【冠县武训高中2021届高三二次质检理】如右图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，那么以下说法错误的选项是( )A.AC AB AD =+B.BD AD AB =-C.11AO AB AD 22=+D.5AE AB AD 3=+【答案】D【冠县武训高中2021届高三二次质检理】在ABC ∆中，AB 2==，假设O 为ABC ∆内部的一点，且满足OA OB OC 0++=，那么AO BC ⋅=〔 〕A.12B.25C.13D.14【答案】C① ③④六校教育研究会2021届高三联考】连续投掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，向量(,)a m n =与向量)0,1(=b 的夹角记为α，那么α)4,0(π∈的概率为 〔 〕〔A 〕185 〔B 〕125 〔C 〕21 〔D 〕127【答案】B 【武昌区2021届高三年级元月调研】||1,||()a b a a b ==⊥-且，那么向量a 与向量b 的夹角为〔 〕A ．30°B ．45°C ．90°D ．135° 【答案】B【第十四中学2021届高三12月月考】假设 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，那么 OC AB ⋅的值是(A) 15- (B)15 (C) 65-(D) 65【答案】A【一中2021学年度第一学期高三第四阶段考】O 为ABC ∆内一点，且O OB OC OA =++2,那么AOC ∆与ABC ∆的面积比值是〔 〕 A.21 B. 31 C. 32D. 1【答案】A【绥棱一中2021届高三理科期末】假设向量0(1,2)A =-，0(3,4)B =-，那么12AB 等于 〔〕A (-2,3)B (2,-3)C (2,3)D (-2,-3) 【答案】A【区2021届高三上学期期末考试】平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，那么实数x 的值是 〔〕A ．9B ．1C ．1-D ． 9- 【答案】C【西城区 2021学年度第一学期期末】向量=a ，(0,2)=-b .假设实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，那么c 可以是〔 〕〔A 〕1)-〔B 〕(1,-〔C 〕(1)-〔D 〕(- 【答案】D【六校教育研究会2021届高三联考】给出以下命题,其中正确的命题 是 〔写出所有正确命题的编号．．〕． ① 非零向量 a b 、满足||||||a b a b ==-，那么a 与a b +的夹角为30； ② 非零向量 a b 、，那么“0a b ⋅>〞是“ a b 、的夹角为锐角〞的充要条件； ③ 命题“在三棱锥O ABC -中，2OP xOA yOB OC =+-，假设点P 在ABC △所在的平面内，那么3x y +=〞的否命题为真命题；④ 假设()()0AB AC AB AC +⋅-=，那么ABC △为等腰三角形． 【答案】 ① ③④【绥棱一中2021届高三理科期末】设M 是△ABC 内一点，且23AB AC ⋅=，030BAC ∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB的面积，假设1()(,,)2f M x y =，那么14x y+的最小值是 【答案】18【HY 中学2021学年度第一学期期中】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，那么AB AD ⋅= 。
高三数学1月调考试卷文A试题
武昌区2021届高三数学1月调考试卷文〔扫描版〕新人教A版本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
武昌区2021届高三年级元月调研考试文科数学试题参考答案及评分细那么一、选择题：1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．A 10．C 二、填空题：11．72 12．〔Ⅰ〕61366=；〔Ⅱ〕61366=． 13.015125=+-y x 或者3-=x14．4 15．②③ 16．〔Ⅰ〕16；〔Ⅱ〕()211++n n 17． 278三、解答题：18．解：〔Ⅰ〕设等差数列{}n a 的公差d ，因为063==S a ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.62566,0211d a d a 解得41-=a ，2=d . 所以622)1(4-=⨯-+-=n n a n ．…………………………………………〔6分〕 〔Ⅱ〕因为132412)2(--⨯===n n a n nb ， 所以数列}{n b 是以41为首项，2为公比的等比数列. 所以41221)21(411)1(1-=--⋅=--=n n nn q q b S .……………………………………〔12分〕 19．解：〔Ⅰ〕因为ac b =2，由正弦定理得C A B sin sin sin 2=．又43sin sin =C A ，所以43sin 2=B ．因为0sin >B ，所以23sin =B ． 因为20π<<B ，所以3π=B ． …………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕因为3π=B ，所以x B x x f sin )sin()(+-=x x sin )3sin(+-=πx x x sin 3sincos 3cossin +-=ππx x cos 23sin 23-=)6sin(3π-=x ．π<≤x 0 ，∴6566πππ<-≤-x ． 当66ππ-=-x ，即0=x 时，23)21(3)(min -=-⨯=x f ；当26ππ=-x ，即32π=x 时，313)(max =⨯=x f .所以，函数)(x f 的最大值为3，最小值为23-．…………………………〔12分〕 20．解：〔Ⅰ〕90=∠=∠VAC VAB ，AB VA ⊥∴，AC VA ⊥.∴⊥VA 平面ABC ．∴BC VA ⊥． 90=∠ABC ，∴BC AB ⊥. ∴⊥BC 平面VBA .又⊂BC 平面VBC ，∴平面⊥VBA 平面VBC .…………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕如图，过点E 作AC EF ⊥于点F ，连BF ，那么VA EF //．⊥VA 平面ABC ，⊥∴EF 平面ABC ． ∴EBF ∠为BE 与平面ABC 所成的角. 点E 为VC 的中点，∴点F 为AC 的中点.AC BF 21=∴，VA EF 21=. 在EFB ∆Rt 中，由3tan ===∠ACVABF EF EBF ，得 60=∠EBF ． 所以，直线BE 与平面ABC 所成的角为60.………………………………〔13分〕 21.解：〔Ⅰ〕当1=b 时，x x a x f 1ln )(+=，定义域为(0,)+∞.2211)(x ax x x a x f -=-='. 假设0<a ，那么0)(<'x f ，所以，函数()f x 在),0(+∞上单调递减；假设0>a ，那么当a x 1>时，0)(>'x f ；当ax 10<<时，0)(<'x f . 所以，函数()f x 的单调递增区间为),1(+∞a ，单调递减区间为)1,0(a.………〔6分〕〔Ⅱ〕当2a b =时，xa x a x f 2ln )(+=，2)()(x a x a x f -='.令'()0f x =，得a x =. 假设在区间],0(e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，那么()f x 在区间],0(e 上的最小值小于0. 〔1〕当0<a 时，'()0f x <，所以，()f x 在区间],0(e 上单调递减，故()f x 在区间],0(e 上的最小值为ee e e 22ln )(a a a a f +=+=. FEACV B由02<+ea a ，得e ->a .所以0<<-a e .〔2〕当0>a 时，①假设e ≥a ，那么0)(≤'x f 对∈x ],0(e 成立，()f x 在区间],0(e 上单调递减，所以，()f x 在区间],0(e 上的最小值为0ln )(22>+=+=ee e e a a a af ，不合题意.②假设e <<a 0，当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：所以()f x 在区间],0(e 上的最小值为)1(ln ln )(2+=+=a a aa a a a f .由0)1(ln )(<+=a a a f ，得01ln <+a ，解得e 1<a .所以e1<<a 0. 综上可知，实数a )1,0()0,(ee -. ………………………〔14分〕22．解：〔Ⅰ〕设)0,(c F ，那么22=a c ，知c a 2=. 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为c x =，代入椭圆方程，有1)(2222=+-b y a c ，解得b y 22±=. 于是22=b ，解得1=b .又222b c a =-，从而1,2==c a .所以椭圆C 的方程为1222=+y x ． …………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕设),(11y x A ，),(22y x B .由题意可设直线AB 的方程为2y kx =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,222y x kx y 消去y 并整理，得()2221860k x kx +++=. 由0)12(24)8(22>+-=∆k k ，得232>k .且126,128221221+=+-=+k x x k k x x .点O 到直线AB 的间隔 为212kd +=，AB =，22221221)12()32(84)(||21+-=-+==∴∆k k x x x x d AB S AOB. 设223t k =-，由232>k ，知0t >.于是8168)4(82++=+=∆tt t tS AOB .由816≥+t t ，得22≤∆AOB S .当且仅当274,2t k ==时成立. 所以△B O A 面积的最大值为22.…………………………………………〔9分〕 〔Ⅲ〕假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQN 的垂心. 设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(N ，)0,1(F ，所以1-=NF k . 由PQ NF ⊥，知1=PQ k ．设直线l 的方程为m x y +=， 由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ，且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意，有0=⋅FQ NP .因为),1(),1,(2211y x FQ y x NP -=-=， 所以0)1()1(1221=-+-y y x x ，即0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ， 所以0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．于是0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ．解得34-=m 或者1=m ．经检验，当1=m 时，△PQN 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．……………〔14分〕 附：局部源自教材的试题题号 出 处1必修1第12页第6题，第10题．2 选修1-2第60页例4，第61第5题3 选修1-1第11页例34 必修2第28页习题1．3第3题．5 选修1-1第110页A组第9题．7 必修2第61页练习第〔3〕题；习题2．2第1〔1〕题；第65页例1．12 必修3第127页例3；第133页练习第4题13 必修2第127页例2．15 ①必修4第119页B组第1〔1〕题；②必修4第108页A组第2题；③必修4第119页B组第1〔2〕题.16 必修2-2第90页B组第1题20 必修2第73页A组第3题．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
武昌区高三考试卷答案
当 a 1时， f (1) a 1 0 .
f
1 a1 e
1 a1 ln e
1 a1
e
a
a1
1 a 1 a 0，
e
易证， x 1 时， ex 2x ，所以， a 1， f ea 2a ea 0 ，
故存在 x1, x2 ，满足 0
1 a1 e
x 1
1
x 2
ea ， f (x ) 1
f (x ) 0 . 2
面PAD 面ABCD ， 且面PAD 面ABCD AD，BE AD ，
BE 平面 PAD ， MEA为F BE A 的平面角.
又 EM 3 , AE 1, AM 11 ， cos MEA
3.
2
2
3
所以二面角 F BE A 的余弦值为 3 ． …………………（8 分） 3
高三数学参考答案及评分细则 第 2页（共 6页）
4
C（31 23）（1 1
1）2 3
2 3
4 27
.
所以，甲赢的概率为 4 9
8 27
4 27
24 27
8 9
.
所以，甲应分得的赌注为 243 8 216 元. …………………（6 分） 9
（2）设赌博继续进行 X 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢.
当 X 3 时，乙以以 4﹕2 赢， p X 3 1 p 3；
方法二：（空间向量法）建议给分标准：
①建系正确，设（求）点的坐标正确，2 分；②利用线面角求出线段长正确，2 分；
③求法向量正确，2 分；
④求余弦并给出结论正确，2 分
20．（12 分）
| A A | 2a 4
12
解：（1）由题可知 e c 1
2021届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试理数试卷
9．已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
10．设 满足约束条件 ，且 的最小值为7，则 （ ）
A．-5B．3C．-5或3D．5或-3
11．已知双曲线 的两条渐近线分别为 ， ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 ， 于 两点，若 ， ， 成等差数列，且 与 反向，则该双曲线的离心率为（ ）
2021年湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试理数试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 、 是两个非空集合，定义集合 且 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 ( 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器--商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取3，其体积为 （立方寸），则图中的 为（ ）
A． B． C． D．
7．若 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（ ）
A．-270B．270C．-90D．90
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求四边形 面积的最大值.
21．已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：当 时， ；
（Ⅲ）设 是 的两个零点，证明 .
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数 ，记 的解集为 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）当 时,证明： .
参考答案
1．D
【解析】
2021年秋季武汉市部分市级示范高中高三1月联考数学试卷(附参考答案)
2021年秋季武汉市部分市级示范高中高三1月联考高三数学试卷（附参考答案）考试时间:2022年1月20日上午8：00-10：00 试卷满分：120分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1B．i C．﹣2D．﹣2i2．已知a＞1，则“x2＜xy”是“log a x＜log a y”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝2，cos A＝，sin B＝3sin C，则c＝（）A．B．C．D．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βD．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β5．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）CA．9B．11C．12D．166．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中e＝2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（）A．B．C．D．7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．1C．D．8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间10．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为1B．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为C．A1C⊥平面EFGD．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是311．已知数列{a n}的前n项和为（k∈R），则下列结论正确的有（）A．若a5＝S5，则B．数列{a n}是公差为2k的等差数列C．当k＞0时，S n的最小值为D．若数列{S n}是单调递增数列，则12．如图，在正方形ABCD中，AE＝DE＝2，EF∥AB，点G从点A出发，沿A→B→C→D →A的方向运动至点A后停止，若在点G的运动过程中，有且只有8个不同的点G，使得•＝m（m是常数）成立，则m的值可能是（）A．2B．3C．4D．5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知多项式x3+（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝．14．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．15．已知正三角形ABC边长为4，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体ABCD的外接球的表面积为．16．若一个圆的圆心是抛物线x2＝8y的焦点，且该圆与直线x﹣y﹣2＝0相切，则该圆的标准方程为．过点P（﹣2，﹣1）作该圆的两条切线P A、PB，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2021届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试文科数学试卷
16．给出以下数对序列：
（1，1）
（1，2）（2，1）
（1，3）（2，2）（3，1）
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）
记第 行的第 个数对为 ，如 ，则
（Ⅰ） ________；（Ⅱ） ________．
17．已知函数 ，其中 ， ，则函数 在 上是增函数的概率为__________.
所以
所以 ，解得： .故选C.
考点：复数的概念与运算.
3．C
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个四棱锥的组合体如下图所示：
长方体的棱长为 ，四棱锥 中， 平面 ,该几何体的体积 ．
考点：1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的体积．
4．B
【解析】
试题分析：由题设知： ，
代入回归方程得： 解得：
三、解答题
18．（本小题满分12分）已知 ， ， 分别为 三内角 ， ， 的对边， ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积.
19．（本小题满分12分）已知数列 满足 ， ；数列 满足 ， ，且 为等差数列.
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分13分）如图，在直四棱柱 中，底面是边长为 的正方形， ，点E在棱 上运动.
设 ，则 ，当 变化时，它表示一组斜率为1,在 轴上的截距为 的一组平行直线，
在 轴上的截距越大 越小，由图可知，当直线经过A（0，3）点时，直线在轴上的截距最大，
当直线经过点B（4，0）时，直线在轴上的截距最小， ，所以
所以答案应填： .
考点：线性规划.
14．-5050
湖北省武汉市武昌区2023届高三上学期元月质量检测数学试题 附解析
整理得： ，
由题意结合椭圆的对称性可得：关于 的方程 有且仅有一个解，则有：
当 是方程 的根，即 ，则 ，
若 ，则 有且仅有一个解 ，即 符合题意；
当 不是方程 的根，则 在 内无零点，
∵ ，则 的对称轴 ，
∴ ，解得 ；
综上所述： ，故椭圆 离心率 .
故选：B.
【点睛】易错点点睛：
对于C，由选项B知 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC.
10.在正方体 中，点 在线段 上，且 ，动点 在线段 上（含端点），则下列说法正确的有（）
A.三棱锥 的体积为定值
B.若直线 平面 ，则
C.不存在点 使平面 平面
D.存在点 使直线 与平面 所成角为
【答案】AB
【解析】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意联立方程求点 的横坐标，由 结合弦长公式整理可得关于 的方程 有且仅有一个解，分类讨论运算求解.
【详解】由题意可得： ，
∵直线 的斜率存在且不为0，设为 ，则直线 ，
联立方程 ，消去y得： ，解得 或 （舍去），
即点B的横坐标为 ，
同理可得：点C的横坐标为 ，
A.甲B.乙C.丙D.丁
【答案】B
【解析】
【分析】算出分别从甲乙丙丁处分两块的体积之差，比较大小即可.
【详解】若从甲处分为两块，则左侧体积为 ，
右侧体积为 ，两者体积差为 ，
若从乙处分为两块，则左侧体积为 ，
右侧体积为 ，两者体积差为 ，
若从丙处分为两块，则左侧体积为 ，
右侧体积为 ，两者体积差为 ，
【分析】选项A连接 ，设正方体的棱长为 ，说明 平面 ，可说明点 到平面 的高度为定值， 为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C，当 处于 处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点 使直线 与平面 所成角为 ，根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.
高三试卷数学-湖北省武汉市武昌区2024届高三上学期1月期末质量检测数学试卷及参考答案
武昌区2024届高三年级上学期期末质量检测数学本试题卷共4页，共22题.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（）A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是锐角三角形2.若复数z 满足()i 11z +=，则z z ⋅=（）A.iB.i- C.12D.12-3.已知正数a ，b 满足21a b +=，则（）A.18ab ≥B.18ab >C.108ab <≤D.108ab <<4.已知()()121,1,x f x f x x =->⎪⎩≤≤，则54f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2C.32D.15.已知集合{}ln ,A y y x x B ==∈，若[]0,A B e = ，则集合B 可以为（）A.(]0,e B.(]0,1 C.(]1,e D.[]1,e 6.为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为tan 2xy x π=⎛⎫ ⎪⎝⎭，01x <<，则（）A.y 有最大值B.y 有最小值C.y 随x 的增大而增大D.y 随x 的增大而减小7.已知函数()()sin f x x ϕ=+，0ϕπ<<，若函数()f x 在30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，则ϕ的取值范围是（）A.0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.,82ππ⎛⎤⎥⎝⎦C.3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,84ππ⎛⎤⎥⎝⎦8..已知O 是坐标原点，过抛物线2:4C y x =上异于O 的点(),M a b 作抛物线的切线l 交x 轴于点(),0N b ，则OMN △的外接圆方程为（）A.()()222640x y +++= B.()()222640x y ++-=C.()()222620x y +++= D.()()222620x y ++-=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于随机变量X ，下列说法正确的有（）A.若()1E X =，则()211E X -=B.若()1D X =，则()214D X -=C.若()2,4X N ，则()4E X = D.若()10,0.5X B ，则()5E X =10.已知不重合的直线m ，n ，l 和平面α，β，则（）A.若m l ∥，n l ∥，则m n ∥B.若m l ⊥，n l ⊥，则m n⊥C.若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥D.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥11.已知数列{}n a 满足11a =，11211111n n n a a a a a +=++++- ，数列{}n b 满足121111n nb a a a =++++ ，则（）A.112233a b a b a b ==B.11n n n n a b a b ++=C.存在*k ∈N ，使得1k k a a +≤D.数列{}n b 单调递增，且对任意*n ∈N ，都有1122n n b b b ++++< 12.已知(),P P P x y ，(),Q Q Q x y 是曲线222:66721630C x x y y x -+-++-=上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A.22Q Qx y +的最小值为1B.46C.若直线()3y k x =-与曲线C 有公共点，则33,33k ⎡∈-⎢⎣⎦D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在唯一点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设P 为ABC △所在平面内一点，满足0AP BC BP AC ⋅=⋅= ，则CP AB ⋅=__________.14.若点()0,1A 在圆()()222:10C x y rr -+=>上，则过A 的圆的切线方程为__________.15.楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则不同的写法共有__________种.（用数字作答）16.棱长为10cm 的密闭正四面体容器内装有体积为3的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为__________2cm .四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边，且()22cos sin c a B b A a b -=-.（1）求A ；（2）若2a =，ABC △的面积为2，求b c +.18.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，2AC CB ==，13AA =，90ACB ∠=︒，P 为BC 的中点，点Q ，R 分别在棱1AA ，1BB 上，12A Q AQ =，12BR RB =.（1）求证；AC PR ⊥；（2）求平面PQR 与平面111A B C 所成二面角的余弦值.19.（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：项目速度快速度慢合计准确率高102232准确率低111728合计213960（1）依据0.010α=的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.附：α0.1000.0500.0250.0100.0050.001x α2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()10a m m =≠，1122n n n S a a +=-.（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若[]x 表示不超过x 的最大整数，[]1010S =，求实数m 的取值范围.21.（12分）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），点()4,0F 是C 的右焦点，C 的一条渐近线方程为y =.（1）求C 的标准方程；（2）过点F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆记为M ，是否存在定圆与圆M 内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.22.（12分）已知函数()()ln x xf x x m e=+-+，m ∈R .（1）当1m =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 有且仅有1个零点，求m 的取值范围.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以，甲赢的概率为 .
所以，甲应分得的赌注为 元.…………………（6分）
（2）设赌博继续进行 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢.
当 时，乙以以4﹕2赢， ；
当 时，乙以以4﹕3赢， ；
所以，乙赢得全部赌注的概率为 .
于是甲赢得全部赌注的概率 .
求导， .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
当 时， 单调递减.
在 处有极小值，在 处有极大值．
综上所述，当 时， 没有极值点；当 时， 有2个极值点．………（6分）
（2）由（1）可知当且仅当 时 有极小值 和极大值 ， .
先证： .
由 ，得 ，即 .
下证 ，即证 （以下略）
所以 ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 时， 单调递增，所以 ，
所以 .
武昌区2021届高三年级1月质量检测
数学参考答案及评分细则
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
D
D
D
C
B
二、选择题：
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABCD
ABD
ABD
三、填空题：
13. 60 14. 15.516.
四、解答题：
17．（10分）
解：（1）若选①： ，则由正弦定理得
，即 ，
∵ ，∴ ，则 ．…………………（4分）
解得 的坐标为 .
在 轴上取点 ，则 ， ，
所以 .
当 时， .
所以，以 为直径的圆过 轴上的定点为 .…………………（12分）
21．（12分）
解：（1）设赌博再继续进行 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注.
当 时，甲以4﹕1赢，所以 ；
当 时，甲以4﹕2赢，所以 ；
③求法向量正确，2分；④求余弦并给出结论正确，2分
20．（12分）
解：（1）由题可知 ，解得 ，由 得 ，
椭圆 的方程为 .…………………（4分）
（2）设 ，由于 是异于长轴顶点 的任意一点，故切线斜率存在.
设过 的椭圆的切线为 ，联立方程 ，
得 ， ，
结合 ，解得过 点的切线方程为 .
由于分别过 的切线分别为 ，
因为 单调递减，只需证 .
又因为 ，只需证 ，即证 .
令 ， .
因为 ， ，
所以 在 上单调递增， .
所以 ，因此， .
再证： .
设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，故 在 上单调递增.
又 ，所以 时， ， 在 上单调递减.
所以 时， .
所以 .……………（12分）
另法：
(1)证明： .
当 时, 有2个极值点 ，且满足 .
因为 ，所以 .
因为当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 为 内的最大值，即
（2）证明 ，只需证 .
(2)由(1)可知 ，其中
故 的前 项和
.…（12分）
19．（12分）
解：（1）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
， 为 中点， AE//BC，且AE=BC.
四边形ABCE为平行四边形， O为AC中点，
又F为AD中点， ，
，
//平面 .…………………（4分）
（2）方法一：（综合法）
由BCDE为正方形可得 .
于是 .
故乙赢的概率为 ，故事件 不是小概率事件.…（12分）
22．（12分）
解：（1） ， .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
当 时， 有极大值， .
当 时， ， 在 上单调递减，此时 无极值；
当 时， .
，
易证， 时， ，所以， ， ，
故存在 ，满足 ， .
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
若选②： ，则 ，
化简得 ，∴ ．…………………（4分）
若选③： ，则有 ，
化简得 ，所以 ，故 .…………………（4分）
（2）在 Байду номын сангаас， ，
所以，
.①
又 .②
由①②， 或 （舍）.
.…………………（10分）
18．（12分）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，由条件得 ，解得 .
故 .…………………（4分）
由ABCE为平行四边形可得 // .
为 ，即 .
.
侧面 底面 侧面 底面 平面 ，
， ， .…………………（8分）
取 中点 ，连 .
， ，
平面 ， 的平面角.
又 ， .
所以二面角 的余弦值为 ．…………………（8分）
方法二：（空间向量法）建议给分标准：
①建系正确，设（求）点的坐标正确，2分；②利用线面角求出线段长正确，2分；