转动惯量
转动惯量
转动惯量一、基本概念惯量J 是一个常用的物理量，在负载被加速或减速的过程中中，是一个非常重要的参数。
转动惯量又可以称为惯性矩，它的的定义是：物体每一质点的质量m 与这一质点到旋转中心轴线的距离r 的二次方的乘积的总和，其数学表达式为：J ＝21m 2r 。
（1）在伺服控制系统中，大多数的传动机构具有圆柱状构件，因此，下面介绍几种圆柱状物体的转动惯量的计算。
图（1）和（2）分别描述了围绕着中心轴线旋转的空心圆柱体和实心圆柱体。
图（1）空心圆柱体 图（2）实心圆柱体（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m （21R ＋22R ）[牛∙米∙秒2] （2）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝21m 2R [牛∙米∙秒2] （3）对于己知重量为G 的物体，用（G /g ）代替公式（2）和（3）中的m ，g 为重力加速度，我们可以分别得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gR R G 2)(2221+[牛∙米∙秒2] （4）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝gGR 22[牛∙米∙秒2] （5）如果重量不知道，但知道旋转物体的体积V 和密度γ，则可用（V γ/g ）代替公/式（2）和（3）中的m ，我们可以得到：（1）空心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝)(24142R R gL -γπ[牛∙米∙秒2] （6）（2）实心圆柱体的转动惯量计算公式为：J ＝42R gL γπ[牛∙米∙秒2] （7）二、计算 举例说明1.换向器的惯性矩K JK J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ[克∙厘米∙秒2]。
换向器的几何尺寸： 换向器的外径K D ＝0.6[厘米]； 换向器的内径Ki D ＝0.38[厘米]； 换向器的轴向长度K l ＝0.5[厘米]。
在几何尺寸和材料已知的情况下，换向器的惯性矩K J 为：K J ＝81.910)(32244-⨯-⨯K K KiK l D D γπ＝ ＝81.9105.75.0)38.06.0(32244-⨯⨯⨯-⨯π＝4.079×510- [克∙厘米∙秒2]，式中，K γ是换向器材料的平均比重，取K γ≈7.5[克/厘米3]。
转动惯量
转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。
对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。
转动惯量
Jz = ∑mr2 = ∑m(x2 + y2 ) z
同理，可得刚体对轴 和轴 和轴y的转动惯量 同理，可得刚体对轴x和轴 的转动惯量 计算式， 计算式，合并写成
Jx = ∑mr = ∑m( y + z )
2 x 2 2
rz
z
A x y
O
rz
x y
2 J y = ∑mry = ∑m(z2 + x2 )
r
y
r
ζ O
x
[ ]
1 = mr2 0 2
r
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
1 1 Jx = J y = Jz = mr2 2 4
转 动 惯 量
1 2 Jz = mr 2
例题3
图6
转 动 惯 量
§3 转动惯量的平行轴定理
转 动 惯 量
§3 转动惯量的平行轴定理
设刚体的质量为m， 设刚体的质量为 ，对轴 z′的转动惯量是 的转动惯量是 合于轴 y′ 。 设刚体内任一质点A的质量是 则刚体对轴z的转动惯量是 设刚体内任一质点 的质量是mi，则刚体对轴 的转动惯量是 的质量是
Jz = ∑mi (x2 + y2 ) = ∑m x′2 + ( y′ − d)2 i
与轴z′相平行且相 。 与轴 Jz′ 轴z与轴 相平行且相
的转动惯量。 距d。求此刚体对轴 的转动惯量。取坐标系如图所示，令 O′O =，轴y重 。求此刚体对轴z的转动惯量 取坐标系如图所示， d 重
[
]
z′
z
= ∑m (x′2 + y′2 ) − 2(∑m y′)d + (∑m )d2 i i i
钟摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆环组成 和圆环组成（ 思考题 1 钟摆可近似地看成由匀质细杆 和圆环组成（如图 11） 。已知杆长 ，质量是 1；环质量是 2。求摆对通过杆端 并与 ） 已知杆长l，质量是m 环质量是m 求摆对通过杆端O并与 的转动惯量。 圆环面垂直的轴 Oz 的转动惯量。 解： Jz = J1 + JR − Jr O l
转动惯量公式是什么 怎么计算
转动惯量公式是什么怎么计算
在经典力学中，转动惯量通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量是什么
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯矩）通常以I或J表示，SI 单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m 是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
质量转动惯量
其量值取决于物体的外形、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学试验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的形状设计上，精确地测定转动惯量，都是非常必要的。
转动惯量只打算于刚体的外形、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
外形规章的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规章刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过试验的方法来进行测定，因而试验方法就显得非常重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量计算折算公式
转动惯量计算折算公式
转动惯量（即转动惯性矩）是描述物体对转动运动的惯性的物理量，
它可以用公式I=mr^2来计算，其中I是转动惯量，m是物体的质量，r是
物体的转动半径。
然而，在实际问题中，物体的形状往往是复杂的，不可能直接通过上
述公式来计算转动惯量。
为了解决这个问题，我们可以通过一些折算公式
来将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和。
以下是一些常见的折算公式：
1.对于长方体：
-绕通过质心垂直于一条边的转动轴转动：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)，
其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
-绕通过质心垂直于两条平行边的转动轴转动：I=(1/3)*m*(a^2+b^2)，其中m是质量，a和b是长方体的两个边长。
2.对于球体：
-绕通过质心的任意轴转动：I=(2/5)*m*r^2，其中m是质量，r是球
体的半径。
3.对于圆环：
-绕通过圆环中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=m*r^2，其中m是
质量，r是圆环的半径。
4.对于圆盘：
-绕通过圆盘中心的垂直于其平面的转动轴转动：I=(1/2)*m*r^2，其中m是质量，r是圆盘的半径。
5.对于薄杆（在转动轴与薄杆所在直线垂直的情况下）：
-绕通过薄杆中心的转动轴转动：I=(1/12)*m*L^2，其中m是质量，L 是薄杆的长度。
这些折算公式可以帮助我们将复杂物体的转动惯量转换为一些简单形状的转动惯量之和，从而简化计算过程。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状选择合适的折算公式来计算转动惯量，从而更好地描述物体的转动运动。
转动惯量定义
转动惯量定义转动惯量是刚体运动学中的一个重要概念，它描述了刚体绕轴线旋转时所表现出的惯性特性。
在物理学中，转动惯量通常用大写字母I 表示。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及绕轴线的位置和方向。
我们需要理解什么是刚体。
刚体是一个几何形状固定且质量均匀分布的物体。
当一个刚体绕某个轴线旋转时，不同部分的质量会对旋转产生不同的影响。
转动惯量正是用来描述这种影响的物理量。
转动惯量的定义是刚体绕轴线旋转时，各部分质量与其与轴线距离平方的乘积之和。
转动惯量的计算需要考虑刚体的形状和质量分布。
对于简单的几何形状，可以使用相应的公式进行计算；而对于复杂的形状，通常需要使用积分来求解。
转动惯量有很多重要的应用，其中之一是描述刚体的旋转运动。
根据牛顿第二定律，刚体的旋转运动可以用转动惯量和角加速度的乘积来描述。
转动惯量越大，刚体对外力的抵抗能力越强，旋转越困难；转动惯量越小，刚体旋转的灵活性越高。
转动惯量还与刚体的稳定性密切相关。
当刚体绕某个轴线旋转时，如果该轴线通过刚体的质心，那么转动惯量达到最小值，刚体的稳定性最高。
而如果轴线偏离质心，转动惯量将增大，刚体的稳定性会降低。
需要注意的是，转动惯量是一个标量，它只有大小没有方向。
对于对称物体，转动惯量通常与轴线的方向无关；而对于非对称物体，转动惯量则取决于轴线的方向。
转动惯量在工程和科学研究中都有广泛的应用。
例如，在机械工程中，转动惯量是设计旋转系统和机械装置时必须考虑的重要参数。
在天体物理学中，转动惯量是研究行星、恒星和星系旋转运动的基础。
转动惯量是描述刚体旋转运动的重要物理量，它与刚体的质量分布和轴线的位置和方向密切相关。
转动惯量的大小决定了刚体对旋转的抵抗能力和稳定性。
在工程和科学研究中，转动惯量有着广泛的应用。
通过对转动惯量的研究，我们可以更好地理解和描述刚体的旋转运动。
转动惯量定义式
转动惯量定义式转动惯量是描述物体绕轴线旋转时所表现的惯性的物理量。
根据转动惯量的定义式，转动惯量（I）等于物体质量（m）乘以距离轴线的平方（r²）。
转动惯量的定义式可以用来计算物体在旋转过程中的惯性特性。
在物理学中，转动惯量是描述物体旋转惯性大小的一个重要概念。
它与物体的质量和形状密切相关，不同形状的物体具有不同的转动惯量。
转动惯量的定义式告诉我们，当物体质量一定时，与轴线距离越远，转动惯量越大。
这是因为离轴线较远的物体分布的质量较多，对旋转的惯性也越大。
相反，离轴线较近的物体分布的质量较少，对旋转的惯性也较小。
转动惯量的定义式还告诉我们，当物体距离轴线的平方增加时，转动惯量的增长速度比质量增长速度更快。
这是因为距离的平方项导致转动惯量的增长呈二次函数关系，而质量的增长只是线性的。
转动惯量的定义式在物理学中有广泛的应用。
例如，在机械工程中，转动惯量被用来计算旋转物体的角加速度和角动量。
在天体物理学中，转动惯量被用来描述行星和恒星的自转特性。
在固体力学中，转动惯量被用来研究物体的稳定性和振动特性。
转动惯量的定义式也可以被推广到连续分布质量的物体上。
对于连续分布质量的物体，转动惯量可以通过积分来计算。
通过将物体分割成无限小的质量元，可以将整个物体的转动惯量表示为质量元的累加。
转动惯量的定义式的应用不仅限于静态系统，还可以用于动态系统。
在动态系统中，转动惯量的定义式可以用来计算物体受到外力或扭矩作用下的角加速度和角动量变化。
转动惯量的定义式是描述物体绕轴线旋转时所表现的惯性的物理量。
根据转动惯量的定义式，我们可以计算物体在旋转过程中的惯性特性。
转动惯量与物体的质量和形状密切相关，具有重要的物理意义。
转动惯量的定义式在物理学的各个领域中都有广泛的应用，是研究旋转运动的重要工具。
转动惯量的通俗理解
转动惯量的通俗理解一、什么是转动惯量转动惯量，也称为角动量惯量，是旋转物体抵抗改变其旋转状态的物理量。
简单来说，它是一个物体旋转时所具有的惯性。
二、转动惯量的计算公式在不同情况下，转动惯量的计算公式也不同。
以下是一些常见情况下的计算公式：1. 点质量绕轴旋转对于一个质点质量为m，在距离轴心距离为r处绕轴旋转，其转动惯量可以表示为I = mr²。
2. 刚体绕轴旋转对于一个刚体绕某个轴旋转，其总的转动惯量可以表示为I = Σmr²，其中Σ表示所有质点的加和。
3. 刚体固定在一端绕另一端旋转对于一个刚体固定在一端，在另一端绕垂直于其长度方向的轴旋转，其转动惯量可以表示为I = (1/3)ml²，其中l表示刚体长度。
三、什么影响着物体的转动惯量1. 形状和尺寸：物体形状和尺寸会影响其质心到轴心的距离，从而影响转动惯量。
2. 质量分布：物体不同部位的质量分布也会影响转动惯量。
3. 旋转轴的位置：旋转轴的位置会直接影响物体的转动惯量。
四、转动惯量的通俗理解1. 转动惯量越大，物体越难以旋转。
这是因为它需要更多的力来改变其旋转状态。
2. 转动惯量与物体的形状和尺寸有关。
例如，一个长条形物体比一个球体更难旋转，因为它的质心到轴心距离更大。
3. 转动惯量还与旋转轴的位置有关。
如果旋转轴靠近物体质心，那么它将更容易旋转。
4. 最后，值得注意的是，在实际应用中，我们通常会使用一些简化公式来计算物体的转动惯量。
例如，在某些情况下，可以将物体视为点质量，并使用I = mr²公式来计算其转动惯量。
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当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；
其中m是杆的质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时；
其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体
部分匀质几何体的转动惯量
当回转轴是圆柱体轴线时；
其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
对于细圆环
当回转轴通过环心且与环面垂直时，；
当回转轴通过环边薄圆盘
当回转轴通过中心与盘面垂直时，；
当回转轴通过边缘与盘面垂直时，；
R为其半径。
对于空心圆柱
当回转轴为对称轴时，。
（注意这里是加号不是减号[1]，容易记错。可以代入的极端情况进行验证，此时圆柱退化为柱面。）
R1和R2分别为其内外半径。
对于球壳
当回转轴为中心轴时，；
当回转轴为球壳的切线时，；
R为球壳半径。
对于实心球体
当回转轴为球体的中心轴时，；
当回转轴为球体的切线时，；
R为球体半径。
对于立方体
当回转轴为其中心轴时，；
当回转轴为其棱边时，；
当回转轴为其体对角线时，；
L为立方体边长。[3]
对于长方体
当回转轴为其中心轴时，式中l1和l2是与转轴垂直的长方形的两条边长。