高等代数第一章检测题答案
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
【最新试题库含答案】高等代数习题及答案(1)
高等代数习题及答案(1)篇一：高等代数习题解答(第一章)高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明：f(x)?g(x)?h(x)?0．证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)：1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1；2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2．1）解法一待定系数法．由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 31 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即1 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 337262解得 a?? , b?? , c?? ，故得 99917262q(x)?x?, r(x)??x?.3999解法二带余除法．3-21 1 -3-1 -11 ???21 3374 ?-1 337147 ? 399262 ? 9917 ? 39?得17262q(x)?x?, r(x)??x?. 39992） q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)??2．m,p,q适合什么条件时，有1）x2?mx?1x3?px?q;2）x2?mx?1x4?px2?q.?1除x3?px1）解 x2?mx得余式为： ?q262x?. 99 r(x)?(p?m2?1)x?(q?m)，?p?m2?1?0;令r(x)?0，即 ? ?q?m?0.故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是?m?q; ? 2p?m?1?0.??1除x4?px2?q得余式为： 2）解 x2?mxr(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1)，2???m(p?m?2)?0;令r(x)?0，即 ? 2??q?p?m?1?0. 解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是?m?0; ? 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.?3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x)：。
高等代数第一章第一节习题答案
习题1.11. 判断以下数集是否作成数环。
1)S={}Z ∈; 2) S={}0a a Q ≠∈;3)S={},a b Z +∈;4）S={},a a b Q +∈.解： 1）错误。
不能包含除0以外的整数。
2）错误。
对差不封闭。
3）正确。
4）正确。
{}{},5,13a bi a b Q a bi a b Q Q +∈+∈2. 填空：1) 包含5i 的最小数域是或 2) 包含的最小数域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈Q a a 31或{}{}{}0.,0,,,,0,1,2,3,,-l S a S a S ka S a S k l a bi a b Q F c di c di ≠≠∈≠∈∈=+∈⋅∈≠≠3.证明：如果一个数环S ，那么含有无限多个数。
证明：S 0可设是数环于是 其中 故含有无限多个数。
4.证明：S=是一个数环，是不是数域？证明： S 为数环，则S 对于数的加、减、乘封闭，且1=1+0i S 设+0，那么0 222222220000,()()()()(),d c c di d c di c Q a bia bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ac bdbc ad i c d c d ac bd bc ad Q c d ==+≠≠=∈++-++-==++-++-=++++-∈+否则 在的情形下，,与矛盾 在的情形下,与矛盾因此 又由于 22,Q c d a biS S c di ∈++∴∈+ 故是数域。
121212,F F F F F F 5.设均为数域，证明也是数域，一定是数域吗？举例说明。
{}121222112,,,F F F F R F a bi a b Q F F F F ==+∈⊄⊄ 112证明：是数域，不一定是数域 反例：设F 因 F F 所以 不是数域。
高等代数(北大版)第1章习题参考答案
第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数习题北大第四版答案一到四章
从 而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
高等代数习题解答(第一章)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高等代数习题解答第一章 多项式补充题1．当,,a b c取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？提示：比较系数得6136,,555a b c =-=-=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈，2232()()()f x xg x x h x =+，证明：()()()0f x g x h x ===．证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ∂为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ∂为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===．1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法．由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为13的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设q (x ) =13x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即x 3-3x 2 -x -1 = (13x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 2333a -=-,1123a b -=-++,1a c -=+解得79a =-,269b =-,29c =-，故得17(),39q x x =- 262().99r x x =--解法二 带余除法．3 -2 1 1 -3 -1 -1 1379-1 23- 1373-43- -173-14979- 269- 29-得17(),39q x x =- 262().99r x x =--2）2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+ 262().99r x x =--2．,,m p q 适合什么条件时，有1）231;x mx x px q +-++ 2）2421.x mx x px q ++++ 1）解21x mx +-除3x px q++得余式为：2()(1)()r x p m x q m =+++-，令()0r x =，即210;0.p m q m ⎧++=⎨-=⎩故231x mx x px q +-++的充要条件是2;10.m q p m =⎧⎨++=⎩2）解21x mx ++除42x px q++得余式为：22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+，令()0r x =，即22(2)0;10.m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩解得2421x mx x px q ++++的充要条件是0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 21;2.q p m =⎧⎨=-⎩ 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x ： 1）53()258,()3;f x x x x g x x =--=+2）32(),()12.f x x x x g x x i =--=-+1）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -3272 -6 13 -39 109 -327 所以432()261339109,()327.q x x x x x r x =-+-+=-2）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：()f x1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i 所以2()2(52),()98.q x x ix i r x i =--+=-+4．把()f x 表成0x x -的方幂和，即表成 201020()()c c x x c x x +-+-+的形式：1）50(),1;f x x x == 2）420()23,2;f x x x x =-+=-3）4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=-注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式，则0c 就是()f x 被x x -除所得的余数，1c 就是()f x 被x x -除所得的商式212030()()c c x x c x x +-+-+再被0x x -除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到01,,,.n c c c1）解用综合除法进行计算1 1 0 0 0 0 0+ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1+ 1 2 3 41 2 3 4 51 + 1 3 61 3 6 101 + 1 41 4 101 + 11 5所以5234515(1)10(1)10(1)5(1)(1).x x x x x x=+-+-+-+-+-2）3）略5．求()f x与()g x的最大公因式：1）43232()341,()1;f x x x x xg x x x x=+---=+--2）4332()41,()31;f x x xg x x x=-+=-+3）42432()101,()6 1.f x x xg x x x=-+=-+++1）解用辗转相除法()g x()f x2()q x12-141 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -11 1 3212 1 1 -1 -112-32- -1 1()r x-2 -3 -13()q x834312- 34- 14- -2 -22()r x34-34--1 -1-1 -13()r x所以((),()) 1.f x g x x =+2）((),()) 1.f x g x = 3）2((),()) 1.f x g x x =--6．求(),()u x v x 使()()()()((),()):u x f x v x g x f x g x += 1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---； 2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+； 3）4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--． 1）解 用辗转相除法()g x ()f x2()q x1 1 1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -21 1 0 -2 0 1 1 -1 -2 -2 1 1 -2 -21()r x1 0 -2 03()q x1 01 0 -2 0 1 0 -22()r x1 0 -23()r x由以上计算得11()()()(),f x q x g x r x =+ 212()()()(),g x q x r x r x =+ 132()()(),r x q x r x =因此22((),())()2f x g x r x x ==-，且2((),())()f x g x r x =21()()()g x q x r x =-21()()[()()()]g x q x f x q x g x =-- 212()()[1()()]()q x f x q x q x g x =-++所以212()()1,()1()()2u x q x x v x q x q x x =-=--=+=+．2）((),())1f x g x x =-，21122(),()13333u x x v x x x =-+=--． 3）((),())1f x g x =，32()1,()32u x x v x x x x =--=+--．7．设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 略．8．证明：如果()(),()()d x f x d x g x 且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由于()(),()()d x f x d x g x ，所以()d x 为()f x 与()g x 的一个公因式．任取()f x 与()g x 的一个公因式()h x ，由已知()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，所以()()h x d x ．因此，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．9．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，（()h x 的首项系数为 1）． 证明 因为存在多项式()u x 和()v x 使 ((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，所以((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+，这表明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合，又因为 ((),())(),((),())()f x g x f x f x g x g x ， 从而((),())()()(),((),())()()()f x g x h x f x h x f x g x h x g x h x ，故由第8题结论，((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式．注意到((),())()f x g x h x 的首项系数为1，于是(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =．10．如果(),()f x g x 不全为零，证明：()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．证明 存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，因为(),()f x g x 不全为零，所以((),())0f x g x ≠，故由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．11．证明：如果(),()f x g x 不全为零，且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=，那么((),())1u x v x =．证明 因为(),()f x g x 不全为零，故 ((),())0f x g x ≠，从而由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以((),())1u x v x =．12．证明：如果((),())1f x g x = ，((),())1f x h x =，那么((),()())1f x g x h x =． 证法一 用反证法．假设()((),()())1d x f x g x h x =≠，则(())0d x ∂>，从而()d x 有不可约因式()p x ，于是()(),()()()p x f x p x g x h x ，但因为((),())1f x g x =，所以()p x 不整除()g x ，所以()()p x h x ，这与((),())1f x h x =矛盾．因此((),()())1f x g x h x =．证法二 由题设知，存在多项式1122(),(),(),()u x v x u x v x ，使得11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=，两式相乘得12121212[()()()()()()()()()]()[()()]()()1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f x v x v x g x h x +++=，所以((),()())1f x g x h x =．13．设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且((),())1(1,2,,;1,2,,).i j f x g x i m j n ===求证：1212(()()(),()()()) 1.m n f x f x f x g x g x g x =证法一 反复应用第12题的结果 证法二 反证法14．证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +=． 证明 由于((),())1f x g x =，所以存在多项式()u x 和()v x 使 ()()()()1u x f x v x g x +=，由此可得()()()()()()()()1,u x f x v x f x v x f x v x g x -++= ()()()()()()()()1,u x f x u x g x u x g x v x g x +-+=即[][]()()()()()()1,u x v x f x v x f x g x -++=[][]()()()()()()1,v x u x g x u x f x g x -++= 于是((),()())1f x f x g x +=，((),()())1g x f x g x +=，应用第12题的结论可得(()(),()())1f x g x f x g x +=．注 也可以用反证法．15．求下列多项式的公共根：32432()221;()22 1.f x x x x g x x x x x =+++=++++提示 用辗转相除法求出2((),()) 1.f x g x x x =++于是得两多项式的公共根为1.2-± 16．判别下列多项式有无重因式： 1）5432()57248f x x x x x x =-+-+-； 2）42()443f x x x x =+--1）解 由于432'()5202144f x x x x x =-+-+，用辗转相除法可求得2((),'())(2)f x f x x =-，故()f x 有重因式，且2x -是它的一个 3 重因式．2）解 由于3'()484f x x x =+-，用辗转相除法可求得((),'())1f x f x =，故()f x 无重因式．17．求t 值使32()31f x x x tx =-+-有重根． 解2'()36f x x x t =-+．先用'()f x 除()f x 得余式 1263()33t t r x x --=+．当3t =时，1()0r x =．此时'()()f x f x ，所以21((),'())'()(1)3f x f x f x x ==-，所以1是()f x 的3重根．当3t ≠时，1()0r x ≠．再用1()r x 除'()f x 得余式215()4r x t =+．故当154t =-时，2()0r x =．此时，121((),'())()92f x f x r x x =-=+，所以12-是()f x 的2重根．当3t ≠且154t ≠-时，2()0r x ≠，则((),'())1f x f x =，此时()f x 无重根．综上，当3t =时，()f x 有3重根1；当154t =-时，()f x 有2重根12-．18．求多项式3x px q ++有重根的条件． 解 略．19．如果242(1)1x Ax Bx -++ ，求,A B ．解法一 设42()1f x Ax Bx =++，则3'()42f x Ax Bx =+．因为242(1)1x Ax Bx -++，所以1是()f x 的重根，从而1也是'()f x 的根．于是(1)0f =且'(1)0f =，即10;420.A B A B ++=⎧⎨+=⎩解得1,2A B ==-．解法二 用2(1)x -除421Ax Bx ++得余式为(42)(31)A B x A B ++--+，因为242(1)1x Ax Bx -++，所以(42)(31)0A B x A B ++--+=，故420;310.A B A B +=⎧⎨--+=⎩ 解得1,2A B ==-．20．证明：212!!nx x x n ++++没有重根．证法一 设2()12!!n x x f x x n =++++ ，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 因为()'()!nx f x f x n -=，所以((),'())((),)1!nx f x f x f x n ==．于是212!!nx x x n ++++没有重根． 证法二 设2()12!!n x x f x x n =++++ ，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 假设()f x 有重根α，则()0f α=且'()0f α=，从而0!nn α=，得0α=，但0α=不是()f x 的根，矛盾．所以212!!nx x x n ++++没有重根． 21．略． 22．证明：x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．证明 （必要性）设0x 是()f x 的k 重根，从而0x 是'()f x 的1k -重根，是''()f x 的2k -重根，…，是(1)()k f x -的单根，不是()()k f x 的根，于是(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．（充分性）设(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠，则0x 是(1)()k f x -的单根，是(2)()k f x -的2重根，…，是()f x 的k 重根．23．举例说明断语“如果α是'()f x 的m 重根，那么α是()f x 的m +1重根”是不对的．解 取1()()1m f x x α+=-+，则()'()1()m f x m x α=+-．α是'()f x 的m 重根，但α不是()f x 的m +1重根．注：也可以取具体的，如0,1m α==．24．证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -． 证明 略．25．证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么12(1)(),(1)()x f x x f x --．证明2121()()x x x x ωω++=--，其中12ωω==．由于23312(1)()()x x f x xf x +++，故存在多项式()h x 使得33212()()(1)()f x xf x x x h x +=++，因此112122(1)(1)0;(1)(1)0.f f f f ωω+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==，从而12(1)(),(1)()x f x x f x --．26．求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解． 解 多项式1n x -的n 个复根为 22cossin ,0,1,2,,1kk k i k n n nππω=+=-，所以1n x -在复数范围内的分解式为1211(1)()()()n n x x x x x ωωω--=----．在实数范围内，当n 为奇数时：222112211221(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x ωωωωωω---+-=--++-++-++，当n 为偶数时：222112222221(1)(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x x ωωωωωω---+-=-+-++-++-++．27．求下列多项式的有理根： 1）3261514x x x -+-； 2）424751x x x ---；3）5432614113x x x x x +----．1）解 多项式可能的有理根是1,2,7,14±±±±． (1)40f =-≠，(1)360f -=-≠．由于44444,,,,1(2)171(7)1141(14)-------------都不是整数，所以多项式可能的有理根只有2．用综合除法判别：2 1 -6 15 -14 + 2 -8 14 2 1 -4 7 0 + 2 -4 1 -2 3≠0 所以2是多项式的有理根（单根）．注：一般要求指出有理根的重数．计算量较小的话，也可以直接计算，如本题可直接算得(2)0f =，说明2是()f x 的有理根，再由'(2)0f ≠知．2是单根．用综合除法一般比较简单．2）答12-（2重根）．3）答 1-（4重根），3（单根）． 28．下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）21x -；2）4328122x x x -++； 3）631x x ++；4）1p x px ++，p 为奇素数； 5）441x kx ++，k 为整数． 1）解21x -可能的有理根是1±，直接检验知，都不是它的根，故21x -不可约．2）解 用艾森斯坦判别法，取2p =． 3）解 令1x y =+，则原多项式变为6365432(1)(1)1615211893y y y y y y y y ++++=++++++，取3p =，则由艾森斯坦判别法知多项式65432615211893y y y y y y ++++++不可约，从而多项式631x x ++也不可约．4）提示：令1x y =-，取素数p ． 5）提示：令1x y =+，取2p =．。
《高等代数》 第一章矩阵 习题答案
第一章 矩阵习题一１．设有A 、B 、C 三类商品，它们去年和今年的价格如下表所示：单位：元试用矩阵表示上述表格． 解 所求的的矩阵为1002009050120150⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭２．写出下列线性方程组的系数矩阵与增广矩阵． （1） ⎩⎨⎧=-=-02132y x y x ；（2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=-52323203y x z y x z x．解 （1）系数矩阵为2312-⎛⎫ ⎪⎝⎭增广矩阵为231120-⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）系数矩阵为103231320-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭增广矩阵为103023123205-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．写出矩阵()32)()1(⨯-+-=j i A j i 的完全形式． 解 234345A -⎛⎫=⎪--⎝⎭4.写出既是上三角形矩阵，又是下三角形矩阵的3阶矩阵的一般形式．解 所求的矩阵为000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中a,b,c 为任意数.习题二1．设矩阵,312010403,112112,012110321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C B A（1）计算C A 23-与3A；（2）验证()CB AB B C A +=+与 ()TAB TT=A B ．解（1） 1233043230112010210213A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭369608033020630426⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=369033256-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭323123123123011011011210210210A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭771123201011256210⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭9221445612141⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭（2） 12330421()(011010)1221021311A C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭427210211240311⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭171513117⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123213042101112010122101121311AB CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7810701125463⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭171513117⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故 ()CB AB B C A +=+1232178705()01112018142101154TTT AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211231022117051201121112181411210310T TT T B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 ()TAB TT=A B２．求下列矩阵方程中的矩阵X ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011311232021132X ． 解 移项得31121132202311X ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭方程两边同乘以13得3112111(2)2023113X ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭411622211433113()4043111131133133⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭３．已知两个线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=+=31332123115423222yy y x y y y x y y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y zz y , 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 用矩阵乘法分别表示这两个已知的线性变换为112233201232415x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112233*********y z y z y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而111222333201310201310232201232201415013415013x z z x z z x z z ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123613124910116z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即 1123212331236312491016x z z z x z z z x z z z =-++=-+=--+4．计算下列矩阵乘积：(1) ;110217321134⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123321; (3) ()11312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0431103143110412； (5) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x ．解 （1）71431353201236211⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （2） ()31232101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3） ()22111111333-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（4） 132140016711341320540⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（5）()()111213111121311232122232123212223231323333132333a a a x a a a x x x x a a a x x x x a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫ ⎪=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x =++++++++5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k ，其中k 为正整数． 证明 对k 用数学归纳法显然1k =时，结论成立．设当k n =时结论成立，即有101n n A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们考虑1k n =+时的情形．由归纳假设，我们有1111(1)010101n nn n AA A λλλ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1k n =+时的结论也是成立的．由归纳原理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k对所有的正整数成立． 6．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A , 证明⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθk k k k A k cos sin sin cos ,其中k 为正整数 ．证明 对k 用数学归纳法．显然1k =时，结论成立． 设当k n =时结论成立，即有cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭我们考虑1k n =+时的情形．由归纳假设，我们有1cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ+--⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)sin cos cos sin sin sin cos cos sin(1)cos(1)n n n n n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---+-+⎛⎫⎛⎫==⎪⎪+-+++⎝⎭⎝⎭即1k n =+时的结论也是成立的．由归纳原理，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθk k k k A k cos sin sin cos对所有的正整数成立．7．如果BA AB =矩阵B 就称为与A 可交换．设（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ； （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213210001A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ． 求所有与A 可交换的矩阵．解 （１）设与A 可交换的矩阵为a b B c d ⎛⎫=⎪⎝⎭则 1101a b a b b d AB c d cd ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1101a b a a b BA c d c c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由BA AB =，故a b b d a a b c d c c d +++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭根据矩阵相等的定义，得a c ab d a bc cd c d+=⎧⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=+⎩ 解之得0,c a b ==所以，与A 可交换的矩阵0a b B a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,a b 为任意数．（２）设与A 可交换的矩阵为xy z B uv w g s t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 100012222312323232x y z x y z AB uv w u g v s w t g st x u g y v s z w t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭100322012322312322xy z x z y z y z BA uv w u w v w v w g st g t s t s t +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由BA AB =，故322222322323232322x y z x z y z y z u g v s w t u w v w v w x u g y v s z w t g t s t s t +++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭根据矩阵相等的定义，得322x x z y y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，232222u g u w v s v w w t v w +=+⎧⎪+=+⎨⎪+=+⎩，323323222x u g g ty v s s t z w t s t ++=+⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩解之得3110,,,,33222y z g w s w t v w u x v =====+=-+ 所以，与Ａ可交换的矩阵为0033311222x B x vv w w w v w ⎛⎫⎪⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭其中,,x v w 为任意的数．（３）设与A 可交换的矩阵为xy z B uv w g s t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 010*******0001000100000xy z uv w AB uv w gs t g s t x y z x y BA u v w u v g s t g s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由BA AB =，故000000u v w xy g s t u v g s ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据矩阵相等的定义，得0,,u g s v t x w y ======所以，与Ａ可交换的矩阵为000x yz B xy x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中,,x y z 为任意的数．8．如果CA AC BA AB ==,，证明：A C B C B A )()(+=+；A BC BC A )()(=． 证明 因CA AC BA AB ==,，故()()A B C AB AC BA CA B C A +=+=+=+ ()()()()()()A BC AB C BA C B AC B CA BC A =====9．如果)(21E B A +=，证明：A A =2当且仅当E B =2． 证明 因为)(21E B A +=，故22211[()](2)24A B E B B E =+=++如果2A A =．即有211(2)()42B B E B E ++=+ 从而E B =2反之，如果E B =2，容易推出A A =2．10．证明：如果A 是实对称矩阵且0=2A ，那么0=A ．证明 设111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么由T A A =，得21111121112112212221222222112122100000n ii n n nn n iT i n n nn nnnn n ni i a a a a a a a aa a a a a aA AA a a a a a a a ===⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑根据矩阵相等的定义得222121110,0,,0n nni i ni i i i a a a ======∑∑∑但是A 为实对称矩阵，即所有的元素均为实数，所以120(1,2,,)i i in a a a i n ===== 从而0=A11．设A 、B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T也是对称矩阵． 证明 因为A 对称矩阵，故T A A =从而()()T T T T T T T B AB B A B B AB ==所以，AB B T也是对称矩阵．12．设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =． 证明 因A 、B 都是n 阶对称矩阵，故T A A =，T B B =如果AB 是对称矩阵，那么()T T T AB AB B A BA ===反之，如果BA AB =，那么()()T T T T AB BA A B AB ===从而AB 是对称矩阵．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=567152431A , 试将A 表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．解 511122157()5222117522T A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+=- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭为对称矩阵． 13022115()022235022TA A ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭为反对称矩阵．并且满足 51113102222571550222211735502222A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．用待定系数法判定下列矩阵是否可逆，并且在矩阵可逆时求它的逆矩阵： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3243 ; （2） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10452 ． 解 （１）设有矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭使得34102301a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么由矩阵的乘法与矩阵相等的定义可以得到下列线性方程组341340230231a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 这个线性方程组有唯一解3,4,2,3a b c d ==-=-=从而3423a b c d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭容易验证3434341023232301a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛3243是可逆矩阵，且134342323--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（２）设有矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭使得251041001a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么由矩阵的乘法与矩阵相等的定义可以得到下列线性方程组25125041004101a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 这个线性方程组无解，所以矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛10452是不可逆矩阵． 15．证明：如果0=kA (k 为正整数)，那么121()k I A I A A A ---=++++．证明 因0=kA ，故212121()()k k k k k I A I A A A I A A A A A A A I A I ----++++=++++-----=-=同理可得21()()k I A A A I A I -++++-=根据矩阵可逆的定义，矩阵I A -是可逆矩阵，且121()k I A I A A A ---=++++16. A,B 两个工厂生产M ，N ，P ，其年产量（单位：件）分别为200，300，400；150，200，250. 这三种产品的出厂单价（单位：万元）分别为：3，2，1. 求A,B 两个工厂的年度总产值.解: 分别A 、B 两个工厂生产M 、N 、P 三种产品的年产量为列构成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛250200150400300200 ， 以这三种产品的出厂单价为行的矩阵为 ()123．那么以A,B 两个工厂的年度总产值为行的矩阵为()()11001600250200150400300200123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以A,B 两个工厂的年度总产值分别为1600万元与1100万元．17．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011A ，求nA ，（n 为正整数）． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21022022120112011A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==321021023202221202212011AA A 一般地应有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑-=n 1n 0k k n 2021A 我们对n 用数学归纳法来证明该式． 显然n=1时结论成立． 假设n=l 时结论成立，即有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑-=n 1l 0k k l 2021A 现在我们考虑n=l+1时的情形．由归纳假设，我们有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=+l l0k k l 1l 20212011AA A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+=∑1l 1)1l (0k k 2021 ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑-=n 1n 0k k n 2021A 对所有正整数都成立．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011A ，求n A ．解： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100C 10C 21100210121100110011100110011A 12222⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100C 10C 31100310331100210121100110011AA A 132323一般地应有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100n 1021)-n(n n 1100C 10C n 1A 1n 2nn 我们对n 用数学归纳法来证明该式．显然n=２时结论成立． 假设n=k 时结论成立，即有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100C 10C k 1A 1k 2k k ．现在我们考虑n=k+1时的情形．由归纳假设，我们有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+100C 10C k 1100110011AA A 1k 2k k 1k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++100C 10C 1k 1100C 10C C 1k 111k 21k 11k 1k 2k 即n=l+1时结论也成立，由归纳原理,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100n 1021)-n(n n 1100C 10C n 1A 1n 2n n对所有大于１正整数都成立．19．设()m m m a a a f +++=- 110λλλ，A 是一个n n ⨯矩阵，定义 ()I a A a A a A f m m m +++=- 110．(1) ()12--=λλλf ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011213112A ，(２) ()352+-=λλλf ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A ． 试求()A f ．解：(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=10001000101121311201121311222I A A A f⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2123083151000100010112131121015211428 (２) ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100133312533122A f⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30031515510121557⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000． 习题三1． 计算下列矩阵的乘积：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010110005110230002； (２)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121． 解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛OO =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310001001011000511023000221A A其中()()10521=⨯=A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1031011111232A ． (２) 把乘积中的两个矩阵分别分块成⎪⎪⎭⎫⎝⎛O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2213000120010100121A I A A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212300032001210131B B I B ． 那么 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O=223111212221B A B B A A B B I A I A AB ．而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+30321217303212131021211B B A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4225， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=90342032301222B A ．从而 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521AB ．2． 求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1200250000430011； (２)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21，其中021≠n a a a ． 解：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211200250000430011A A A ．1A 为可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-131411A ； 2A 为可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-522112A ． 从而A 为可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----52002100001300141A ． 3． 设A 为n 阶矩阵，且满足：O =++I A A 2．求1-A ．解：移项并整理得()I I A A =--及()I A I A =--，所以，A 为可逆矩阵，且 I A A--=-1．4． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=61318175********A ，求1-A ． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=B C A A 16131817500230012， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23121A 是可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-231211A ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6181B 是可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212143B ． 由例15 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-O =-----1111111B CA B A A ． 经计算，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---23123175212143111CA B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2275231222911， 从而 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-2121224375002300121A ．5． 已知A 为m 阶可逆矩阵，C 为n 阶可逆矩阵．试证⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =C A X 是可逆矩阵，并求1-X．解：设有分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211X XX X D ，其中D 的分法使以下的分块乘法有意义， 并使得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛OO =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O =n mI I CX CX AX AX X X X X C A XD 121122112221112． 比较等式两边，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=O =O ==nm I CX CX AX I AX 12112221由第一，二式得 O ==-22121,X A X ， 由第三，四式得 1111,-=O =C X X ． 容易验证也有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛OO =n mI I DX ． 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O =---111A C X．6． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X ，其中()n i a i ,,2,10 =≠，求1-X ．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-C A aa a a X n n 0000000000000000121， 由上题的结果，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =---111A C X但 ()11--=n a C ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----1112111000000n a a a A． 所以， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--------00000000000000000000001112121111n n n a a a a a X．。
高等代数-第1章习题及解答
习题1.11. 判断以下数集是否作成数环。
1)S={}Z ∈; 2) S={}0a a Q ≠∈; 3)S={},a b Z +∈;4）S={},a a b Q +∈.解： 1）错误。
不能包含除0以外的整数。
2）错误。
对差不封闭。
3）正确。
4）正确。
{}{},5,13a bi ab Q a bi a b Q Q +∈+∈2. 填空：1) 包含5i 的最小数域是或 2) 包含的最小数域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈Q a a 31或{}{}{}0.,0,,,,0,1,2,3,,-l S a S a S ka S a S k l a bi a b Q F c di c di ≠≠∈≠∈∈=+∈⋅∈≠≠ 3.证明：如果一个数环S ，那么含有无限多个数。
证明：S 0可设是数环于是 其中 故含有无限多个数。
4.证明：S=是一个数环，是不是数域？证明： S 为数环，则S 对于数的加、减、乘封闭，且1=1+0i S 设+0，那么0222222220000,()()()()(),d c c di d c di c Q a bi a bi c di ac bd bc ad ic di c di c di cd ac bd bc adi c d c dac bd bc adQ c d ==+≠≠=∈++-++-==++-++-=++++-∈+否则 在的情形下，,与矛盾 在的情形下,与矛盾因此 又由于 22,Q c d a biS S c di∈++∴∈+ 故是数域。
121212,F F F F F F 5.设均为数域，证明也是数域，一定是数域吗？举例说明。
{}121222112,,,F F F F R F a bi a b Q F F F F ==+∈⊄⊄ 112证明：是数域，不一定是数域 反例：设F 因 F F 所以 不是数域()21,5(5,2)(2,3)(1)112;12(-1)(-2)12123455234125341n n k k k k +=+++++++−−−→−−−→− 习题1.21.计算下列排列的反序数： 1）75231468； 2）n(n-1)21;3)(2k)1(2k-1)2(k+1)k.解： ） ； 2） 3)2.利用对换把排列12345变成35241。
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高等代数第一章检测题答案
一、判断题
1．√ 2．√ 3．√ 4．× 5．√
二、填空题 1.21-；2.者说 )]1(2
2)][1(22)][1(22)][1(22[i x i x i x i x --+--+++ 3. 3或4
15-
4. 存在多项式1)()()()().(),(=+x g x v x f x u x v x u 使
5.2，11，23，13. 三、选择题 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A
四、完成题
1．由带余除法得：商1)(2-+=x x x q 余)7(+-=x x r
2．用带余除法得：商23)(3-+=x x x q 余)2()2()(2+++=l x k x r 由整除的定义令：).(|)(,2,2.0202x f x g l k l k 时因此当及-=-==+=+
3．①由0)2()1()(|22==---f f x f x x 得
即⎩⎨⎧-=+=+1141b a b a 解得 ⎩⎨⎧=-=5
4b a ②由0)1()1()()1(='=-f f x f x 得
即得⎩⎨⎧-+-+831b a b a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=2527b a 4．解：设方程的三个根是,,21αi ±-则由根与系数的关系知，
22121-=+--+-αi i
由些得0=α
5．用综合法判别知：2是多项式)(x f 的根，且为3重根。
五、证明题
1．因为)(),(x g x f 不全为零，所以0)(),(≠x g x f
又),(),()()()()(x g x f x g x v x f x u =+且)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f
所以1))
(),(()()()(),()()(=+x g x f x g x u x g x f x f x u 由多项式互素的充要条件知1))(),((=x v x u
2．证明：如果)())(),((x d x f x p =那么)(x d 要么为1，要么为)0)((≠c x cp 当1)(=x d 时，1))(),((=x f x p ，即)()(x f x p 与互素
当)(|)(,)()(x f x p x cp x d 时=.
3．证明：利用Eisenstein 判别法
取,3=p 因为3为能整除首项系数1，能整除其余所有系数.
932=不能整除3，所以3+n x 在Q 上是不可约的.．。