高三数学总复习课件-函数的单调性与最值
1, x 0, 0, x 0, 1, x 0,
g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是( )
A.(-∞,0]
B.[0,1)
C.[1,+∞)
D.[-1,0]
x2 , x 1,
【解析】选B.g(x)= 0, x 1, 如图所示,
x2 , x 1.
所以 x2 x1 x1x2 1＞0. x12 1 x22 1
因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.
x 1
值分别是
.
【解析】函数f(x)= 2 在[-6,-2]上单调递减,最大值为f(-6)=－2，
x 1
7
最小值为f(-2)= －2 .
3
答案: －2，－2
73
(3)(必修1P39B组T1改编)f(x)=x2-2x,x∈[-2,4]的单调递增区间
为
,f(x)max=
.
【解析】因为函数f(x)=x2-2x的对称轴为x=1,所以函数f(x)=x2-
考点2 确定函数的最值(值域)
【典例2】(1)函数y= x-x(x≥0)的最大值为
.
(2)函数y= x2 x 的值域为
.
x2 x 1
【解题提示】(1)利用换元法求解.
(2)采用分离法,即将分子变为(x2-x+1)-1的形式,转化后求解.
【规范解答】(1)令t=xຫໍສະໝຸດ ,则t≥0,所以y=t-t2=
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:函数单调性的判定方法:图象法、定义法、导数法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论. (3)记忆口诀: 判断函数单调性,取值求差便可知. 区域中甲小于乙,先求甲乙函数值. 乙减甲的函数值,差正单增函数知. 函数值差小于零,单减函数亦可知.
【小题快练】
(3)设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则① f x1 f x2 >0(或(x1-x2)[f(x1)-
x1 x2
f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增;
② f x1 f x2 <0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.
x1 x2
导数_大__于__零
增函数+增函数 内外层单调性_相__同__
区间D上的减函数 函数图象_下__降__
导数_小__于__零
减函数+减函数 内外层单调性_相__反__
(2)对勾函数y=x+ a (a>0)的增区间为(-∞,-
x
a ]和[
a ,+∞);
减区间为[- a ,0)和(0, a ],且对勾函数为奇函数.
【互动探究】若本例题(2)中的函数变为“f(x)= ax ”,则f(x)在
x－1
(-1,1)上的单调性如何?
【解析】设-1<x1<x2<1,
f(x)= a x 11＝a(1 1 )，
x 1
x 1
f(x1)-f(x2)= a(1 1 )－a(1 1 )
x1 1
x2 1
＝a
x1
x2
②存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
③对于任意x∈I,都有 _f_(_x_)_≥__M_ ④存在x0∈I,使得_f_(_x_0)_=_M_
M为最小值
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)函数单调性与图象、导数、运算及复合函数间的关系:
图象 导数 运算 复合函数
区间D上的增函数 函数图象_上__升__
2.教材改编 链接教材 练一练
(1)(必修1P39A组T3改编)函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,
则( )
A.k> 1
2
B.k< 1
2
C.k>- 1
D.k<- 1
2
2
【解析】选D.使y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则2k+1<0,即
k<- 1 .
2
(2)(必修1P31例4改编)函数f(x)= 2 在[-6,-2]上的最大值和最小
B.y=(x-1)2
C.y=2-x
D.y=log0.5(x+1)
【解析】选A.y= x 1是(0,+∞)上的增函数;y=(x-1)2在(0,1)上是
减函数,在(1,+∞)上是增函数;y=2-x= ( 1 )x在x∈R上是减函数;
2
y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上是减函数.
(2)(2015·温州模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),
数.( )
【解析】(1)错误.一个函数有多个单调区间应分别写,分开表示,不能 用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接. (2)错误.f(x)在区间[a,b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间上 单调递增,而f(x)的单调递增区间为[a,b]意味着f(x)在其他区间上 不可能单调递增.
(3)错误.举反例:设f(x)=x,g(x)=x-2都是定义域R上的增函数,但是 f(x)g(x)=x2-2x不是增函数. (4)正确.易知函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,由对称性可 知结论正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
第二节 函数的单调性与最值
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的单调性: ①增函数、减函数: 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D, 且x1<x2,则有: (ⅰ)f(x)在区间D上是增函数⇔_f_(_x_1)_<_f_(_x_2_)_; (ⅱ)f(x)在区间D上是减函数⇔_f_(_x_1)_>_f_(_x_2_)_.
B.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解析】选C.由f(x)> 1 ,得-1<x<1,由f(x)≤ 1 ,得x≤-1或x≥1.
2
2
2x , x 1,
所以
f
1 2
x
＝
1 2
,
1
x
1,
2x , x 1,
故 f1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2
3.设函数f(x)=2x+a·2-x-1(a为实数).若a<0,用函数单调性定义
1
x1 x2
1
.
当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增.
【规律方法】 1.判断或证明函数的单调性的两种重要方法及其步骤: (1)定义法:其基本步骤是:
为
.
【解析】因为f(x)=
x2 2x 3, x 0,
x
2
2x
3,
x
0,
其图象如图所示,
所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1];单调递减区间 为[-1,0]和[1,+∞). 答案:[-1,0]和[1,+∞)
【加固训练】1.(2015·厦门模拟)设函数f(x)=
则a的值为( )
A.-2
B.2
C.-6
D.6
【解析】选C.f(x)=|2x+a|= 2x2xa,ax, xa2a2, , 因为函数f(x)的增区间是[3,+∞),
所以－a =3,即a=-6.
2
(3)(2015·中山模拟)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=
a,a b, b,a b.
(t
1)2 2
1, 4
结合图象,当t= 1 ,即x= 1 时,ymax= 1 .
2
4
4
答案: 1
4
(2)y=
x2 x2 x
x
＝1－ 1
x2
1 x
. 1
因为x2-x+1= (x 1 )2＋3，
24
所以
－1 3
1－x2
1 1， 即
x 1
－1 3
(2)设x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
ax1 x12 1
ax 2 x22 1
a x2 x1 x1x2 1 . x12 1 x22 1
因为-1<x1<x2<1,
所以x2-x1>0,x12-1<0,x22-1<0,
-1<x1x2<1,x1x2+1>0,
设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最
大值是
.
【解析】依题意,h(x)=
log x
2x,0 x 3, x 2,
2,
当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数;
当x>2时,h(x)=3-x是减函数,
所以h(x)=min{f(x),g(x)}在x=2时,取得最大值h(2)=1.
证明:y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
【证明】设任意实数x1<x2,则f(x1)-f(x2) =(2x1+a·2-x1-1)-( 2x2+a·2-x2-1)
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函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
函数单调性与最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值
(A)(0,1)
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
函数的单调性与最值课件高三数学一轮复习
3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1
(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]
第2课时 函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1
(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－ ，f
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2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研 核心考点
考点一 确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时 函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第二节函数的单调性与最值pptx课件北师大版
(2)求复合函数单调区间的一般步骤:①确定函数的定义域;②求简单函数
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
的单调区间;③依据“同增异减”确定原函数的单调区间.
(3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个单
调区间时,不能用并集符号“∪”表示.
对点训练2(1)(2021山东聊城高三月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则函
间是(- ,0),(0, ).
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果f(-1)<f(2),那么函数f(x)在[-1,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单
调递增.( × )
22
21
f(x1)-f(x2)= +1 − +1
2
1
=
2(1 -2 )
.
(1 +1)(2 +1)
2(1 -2 )
因为-1<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,于是( +1)( +1)<0,即 f(x1)-f(x2)<0,
2
1
故 f(x1)<f(x2).
令t=4x-x2,则y=log3t,由于y=log3t是(0,+∞)上的增函数,t=4x-x2在(-∞,2)上单
调递增,在(2,+∞)上单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减
区间是(2,4).
方法总结求函数单调区间的方法及注意点
(1)求单调区间的常用方法:①定义法;②图象法;③导数法.
微点拨函数单调性定义的等价形式
高三高考数学复习课件2-2函数的单调性与最值
【答案】
1 x0<x<3
或1<x<3
角度三 求参数范围
【例 6】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是
单调递增的，则实数 a 的取值范围是( )
A．a>－41
B．a≥－14
C．－41≤a<0
D．－41≤a≤0
(2)已知 f(x)＝（ ax，2－x≥a）1 x＋1，x<1，满足对任意 x1≠x2，都有 f（x1）x1－ －fx（2 x2）>0 成立，那么 a 的取值范围是________．
对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f－12， b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>c>b
D．b>a>c
【解析】根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称， 且在(1，＋∞)上是减函数，因为 a＝f－21＝f25，且 2<52<3，所 以 b>a>c.
§2.2 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增_函__数____或减_函__数_____，那 么 就 说 函 数 y ＝ f(x) 在 这 一 区 间 具 有 ( 严 格 的 ) 单 调 性 ， __区__间__D__叫做y＝f(x)的单调区间．
跟踪训练 2 (1)函数 y＝ x－x(x≥0)的最大值为________．
(2)(2016·北 京 高 考 ) 函 数
高考数学复习考点知识讲解课件7 函数的单调性与最值
以 f(x)的最大值为 f(2)＝7.
— 26 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最 值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本 不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
A．32
B．2
C．3
D．3.5
— 返回 —
[解析] ∵函数 y＝x－x 1＝1＋x－1 1在[2,3]上单调递减，∴当 x＝2 时，y 取得最大值 2.故选 B．
— 12 —
(新教材) 高三总复习•数学
4．函数 f(x)＝12 x2－x－1 的单调递增区间为( A )
A．－∞，1－2
5
B．－∞，12
— 9—
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( √ ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数．( × ) (4)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
— 25 —ຫໍສະໝຸດ (新教材) 高三总复习•数学
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
探究点一 函数单调性的判断与证明
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.