四色定理的理论证明

个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
4 个或 5 个顶点的两种情况，分别讨论如下：
四色定理的理论证明
四色定理：任一平面图是 4-可着色的。
证明：
对于图 G 的顶点数 P 用归纳法进行证明。
如果 P≤4，定理显然正确。
设 P>5 且本定理适用于少于 P 个顶点的任一平面图。
对于具有 P 个顶点的平面图 G，由 Euler 定理推论，G 中有一顶点 v，满足
deg（v）≤5。由归纳假设，图 G-v 是 4－可着色的，假设已经存在一个这样的
(2) 与前面类似，由图（2）知：v1∈intC2，v4∈extC2。圈 C2 由色 c2 c4 着其 顶点，因此，用 c1c3 着色的顶点产生子图 H7，v1 v4 属于 H7 的不同分支。 同时 v3∈extC2，所以 v2 v3 亦不在 H7 的同一分支上。在 v1 所在的分支上 交换色 c1c3，而不影响 G－v 的正常着色。从而是 v1 着色 C3。同样，由于 v3∈extC1，v5∈intC1，圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），因此，用 v3v5 对应的色 c1 c4 着色的顶点产生子图 H8，v3 v5 比属于 H8 的不同分支。 在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常着色，使 v3 着上 色 c4。这样，我们是 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4，余下的色 c1 我们给 v 着上。因此，对于情况<2>，我们又得到 G 的 4－着色法。
<b-i>. v 邻接着满 4 色的 4 个顶点。
不妨设按逆时针方向绕着 v 的顶点是 v1 v2 v3 v4，并且各自被着了颜色 c1 c2
c3 c4， (图一)
现在考虑用 c1 c3 着色的顶点产生的子
图 H1，H1 包含 v1 v3。如果 v1 v3 属于 H1 的不
同分支，我们可以在包含 v1 的分支上交换
现在，我们考虑用 c2 c3 着色的顶点产生的子图 H3 和用 c2 c4 着色的顶点产生 的子图 H4。其中，H3 包含 v2v4，H4 包含 v2v5。
如果 v2v4，属于 H3 的不同分支，我们选择 v2 所在的分支交换 c2 c3 颜色，而不 破坏 G－v 的正常着色，从而使 v2 着色 c3，余下色 c2 给 v 着色，从而得到 G 的一 个 4-着色法。
<2>
<3>
<4>
显然可以看出，对于图<3>，我们按顺时针方向绕顶点 v，从 v3 开始对与 V 邻接的 5 个顶点重新命名以 v1` v2` v3` v4` v5`，则得到与图<2>所示的相同情况， 即<2><3>这两个图的性质是相同的。因此，我们只讨论<1><2><4>三种情况。
(1) 根据图<1>知：v1∈intC2，v4∈extC2，圈 C2 由色 c2 c4 着其顶点（顶点 v 无色除外），因此，在用色 c1c3 着色的顶点产生的子图 H5 中，v1 v4 属于 不同的分支，同时，由于 v 3∈extC2，所以 v1 与 v3 也不在 H5 的同一分支 上，在 v1 所在的分支上交换色 c1 c3，不影响 G－v 的正常着色，也不影 响与 v 邻接的其他顶点的着色。从而使 v1 着色 c3。根据图<1>又知：v3 ∈intC1，v5∈extC1，圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外）。同样，由 色 c1 c4 着色的顶点产生的子图 H6，v3 v5 属于 H6 的不同分支，在 v3 所在的 分支上交换颜色 c1 c4，不影响 G－v 的正常着色，从而使 v3 着色 c4。至 此，我们使 v1v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3v5 着色 c4，余下的色 c1 给 v 着色。 这样一来，在<1>情况下，我们得到 G 的一个 4－着色法。
如果 v2v4，属于 H3 的同一分支，我们考虑子图 H4 中的 v2v5，如果 v2v5 属于 H4 中的不同分支，相似地，我们在 v2 所在的分支上交换颜色 c2 c4，从而使 v2 着色 c4，而不影响 G－v 的正常着色，余下的 c2 给 v 着色，从而又得到 G 的一个 4-着 色法。
因此，现在余下的情况就只剩下：v2v4 属于 H3 的同一分支，同时，v2v5 属于 H4 的同一分支。
综合以上<1><2><3><4>，我们得出：在 v2 v4 属于子图 H3 的同一分支，同 时 v2 v5 属于子图 H4 的同一分支时，存在 G 的 4 着色法。因此，在与 V 邻 接着满 4 色的 5 个顶点的情况下，G 存在 4－着色法。
因此，对具有 P 个顶点的平面图 G，G 是 4－可着色的。由归纳原理，四色定理 得证。
因为 v2v4 属于 H3 的同一分支，所以 G 中存在一条从 v2 到 v4 的路 l1,l1 的顶点 不是用 c2 就是用 c3 着色的。L1 连接边｛v，v2｝和｛v，v4｝形成一个圈 C1，C1 包 围 v3 或包围 v4 v5。同理，v2 v5 属于 H4 的同一分支，所以 G 又存在一条从 v2 到 v5 的路 l2，l2 的顶点不是用 c2 就是用 c4 着色的，l2 连接边｛v，v2｝和｛v，v5｝形 成另一圈 C2，C2 包围 v2 或者包围 v2 v4。从而在 G 中形成二个圈 C1 C2，它们之间 可以有公共点，但不可能完全重合，根据圈 C1 C2 包围的顶点不同，可以组合出 以下四种情形：
图一
边｛v ,v1｝和｛v ,v3｝形成一个圈 C。C
把 v2 或 v4 包围其中，现在考虑被 c2 c4 着色的顶点所产生的子图 H2，因为圈 C
包围着 v2 或 v4，但不能包住二者，所以 v2 v4 属于 H2 的不同分支，这样，我们可
以在包含 v2 的分支中交换颜色 c2 c4，而不破坏 G－v 的正常着色，从而使 v2 和
c1 和 c3 的颜色，而不破坏 G－v 的正常着
色，这样做下来，v1 和 v3 都着色 c3，v 就可
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以着色 c1 ，从而得到一个图 G 的 4－可着
色法。另一方面，如果 v1 v3 属于 H1 的同一
分支中，则存在从 v1 到 v3 属的一条路 l，l
的顶点是由 c1 和 c3 间隔着色的。路 l 连接
v4 着色 c4，c2 用来给 v 着色，从而又得到 G 的一个 4-着色法。因此，在与 v 邻
接者不同色的 4 个顶点的情况下，存在 G 的 4－着色法。
<b-ii>.v 邻接着满 4 种颜色的 5 个顶点
由鸽舍原理，5 个顶点着满 4 种颜色，必
有两个顶点着相同颜色。如果着相同颜色的两
个顶点紧挨着时（不可能邻接），可以将这两
<1> C1 包围 v3，C2 包围 v1。 <2> C1 包围 v1 v5，C2 包围 v1 <3> C1 包围 v3，C2 包围 v3 v4 <4> C1 包围 v1 v5，C2 包围 v3 v4
这四种情形用下列对应 4 个图表示，其中阴影部分表示二圈 C1C2 有公共部分， 虚线表示圈。
《
<1>