四色定理证明

四色定理的证明

一、四色定理的介绍

地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，

3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。1976年美国数

学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。

二、四色定理的证明

通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。

1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。分别如下：

图 2

说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。

b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分

边界。将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。

2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中

一个分成两个。对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。分别如下：

图5

图6 图8

从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。

3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。方法是先把图形X 分成2个小图形A 和

B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。

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①X 分成A 和B 采用的是线切法，如图9所示。若交点b1、b2和b3只有一点在A 和

B 共用边MN 上，则必有一个图形不能与A 相邻。如b1在MN 上，有B3图形不能与A 相邻。所以b1、b2和b3必有2点或者3点在共用边MN 上，才能满足两两相邻。同时，会形成一个内取图形，如b1和b2在MN 上，内取图形就是B1。

图9 图10

若X 分成A 和B 采用的是内取法。又因为图形X 分成4个小图形后，必有一个图形共

用图形X 的边界，故我们可以先把这个共用图形X 边界的图形A 先分出来，再把剩下的图形分成3部分，所以只需讨论B 为内取图形这一种情况，如图10所示。当4个图形两两相邻的时候，也会存在内取图形。

4. 将一个图形X 分成5个小图形两两相邻的情况。方法是先把X 分成A 和B 两个小图形，再把B 分成4个小图形。又因为B 分成4个小图形后要满足两两相邻必然存在内取图形无法与图形A 相邻，所以不存在5个图形两两相邻的情况。

5. 当图形X 是一个圆环型图形时，如图11所示。在X 分得的图形中必然会一个图形A 跟黑

色部分相邻，可以将A 和黑色部分看出一个整体。由上述分析可以得出，图形A 在扩大了边界后都无法满足5个图形两两相邻，去掉了黑色部分后，更不能满足两两相邻。

图11

6. 综上所述，不存在5个图形两两相邻，所以四色定理成立。

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