椭圆的概念及其性质
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。
其中，a为椭圆的半长轴。
二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。
这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。
2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。
当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。
3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。
4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。
这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。
三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。
2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。
3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。
总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。
2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。
椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。
3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。
半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。
焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。
离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。
焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。
0)，焦点F2的坐标表示为(ae。
0)。
4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。
圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。
4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。
扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。
4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。
4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。
椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。
5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。
工程学：设计轮廓和曲线。
密码学：用作加密算法的基础。
6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。
我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结【原创版】目录一、椭圆的概念及几何性质二、椭圆的标准方程及其参数三、椭圆的性质定理四、椭圆的应用正文一、椭圆的概念及几何性质椭圆是数学中一种重要的曲线，它是在平面内到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数（大于焦点间距离）的点的轨迹。
椭圆有两个焦点 F1、F2 和两个顶点 A、B，其中 AF1 + AF2 = 2a，BF1 + BF2 = 2a，其中 a 为椭圆的长半轴。
椭圆的中心点 O 位于原点，且 OA = OB = a。
椭圆的几何性质包括：1.椭圆是对称的，即关于 x 轴、y 轴和原点对称。
2.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a，c 为焦距。
3.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。
二、椭圆的标准方程及其参数椭圆的标准方程有两种形式，分别为：1.当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1，其中 a > b > 0。
2.当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (b^2) + (y^2) / (a^2) = 1，其中 a > b > 0。
椭圆的参数有：长半轴 a、短半轴 b、焦距 c 和离心率 e。
三、椭圆的性质定理1.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a。
2.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。
3.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数 2a。
4.椭圆的两个顶点到椭圆上任意一点的距离之差相等。
四、椭圆的应用椭圆在实际生活和数学中有广泛的应用，例如：1.椭圆在物理学中，描述行星运动的轨迹。
2.椭圆在工程学中，用于设计望远镜的反射镜和卫星天线的轨道。
3.椭圆在数学中，与其他曲线（如双曲线、抛物线）共同构成了解析几何的基本研究对象。
总结：椭圆是一种重要的数学曲线，它具有丰富的几何性质和应用。
椭圆与双曲线的基本概念与性质
椭圆与双曲线的基本概念与性质椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，它们具有不同的特点和性质。
在本文中，我们将介绍椭圆和双曲线的基本概念以及它们的性质。
一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点称为焦点，而常数 2a 称为椭圆的长轴长度。
椭圆的性质如下：1. 椭圆的离心率是一个小于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的中心在原点(0,0) 处，长轴与x 轴平行，短轴与y 轴平行。
3. 椭圆关于 x 轴和 y 轴对称，且关于原点对称。
4. 椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于常数 2a。
5. 椭圆的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 - e^2) 计算。
二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点也称为焦点，常数 2a 称为双曲线的距离。
双曲线的性质如下：1. 双曲线的离心率是大于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c 是焦点之间的距离。
2. 双曲线的中心在原点 (0,0) 处，与椭圆不同，双曲线的两个分支分布在 x 轴的两侧。
3. 双曲线关于原点对称。
4. 双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数 2a。
5. 双曲线的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 + e^2) 计算。
三、椭圆与双曲线在实际中的应用椭圆和双曲线在实际中具有广泛的应用。
下面是两个常见的例子：1. 卫星轨道：卫星在地球上空的轨道通常是椭圆或双曲线，这是因为椭圆和双曲线都能够提供稳定的轨道。
2. 反射面：抛物线是由椭圆和双曲线扩展而来的，抛物面具有反射的特性，因此经常被用于望远镜、碟形天线等设备的设计中。
总结：椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，通过定义、性质以及实际应用来理解它们。
椭圆和双曲线具有不同的形态特点，对应不同的数学模型以及实际应用场景。
椭圆的性质与方程
椭圆的性质与方程椭圆是一种几何图形，它有着独特的性质和方程。
本文将探讨椭圆的定义、性质以及其对应的方程。
一、椭圆的定义和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，而常数称为椭圆的半短轴，用字母b表示。
与焦点和半短轴相关的数学性质包括：1. 椭圆的长轴为两个焦点之间的距离，用字母2a表示。
则椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦距。
2. 椭圆的离心率e小于1，且大于0。
这意味着椭圆是一个有限的闭合曲线，焦点不在其内部。
3. 椭圆的两个焦点和两个顶点在同一直线上，且椭圆具有对称性，即关于长轴和短轴均具有对称性。
4. 椭圆的形状由半长轴a和半短轴b的比值所决定，这个比值称为椭圆的离心率。
离心率越接近于零，椭圆的形状越接近于圆。
二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过几种不同的形式来表示，其中最常见的是标准方程和一般方程。
1. 标准方程标准方程是指椭圆的焦点在坐标系的原点上的方程。
标准方程的一般形式为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。
2. 一般方程一般方程是指椭圆的焦点不在原点上的方程。
一般方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
其中(h,k)为焦点的坐标。
三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举了一些椭圆的应用场景：1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道可以用椭圆来描述。
2. 镜面反射：椭圆形镜面可以将光线聚焦到一个焦点上，因此椭圆在望远镜、抛物线反射镜等光学设备中得到应用。
3. 运动轨迹：许多物体的运动轨迹都可以近似看作是椭圆形，例如行走的人、运动的车辆等。
4. 地理测量：人工建造的运动场地、奥运会场馆等往往使用椭圆形，在地理测量中定位和测量也会用到椭圆。
结论椭圆具有独特的性质和方程，通过焦点和半轴的定义可以描述椭圆的形状和大小。
椭圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，我们可以根据实际情况选择适合的形式。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中的一个重要的几何概念，研究椭圆的性质和应用对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
下面是对于椭圆的知识点进行总结的1000字。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆可以通过定义方式来描述：平面上点集到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a，其中P是椭圆上任意一点，a是一个正实数，常数2a称为椭圆的长半轴。
同时，椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离称为椭圆的焦距，记为2c，满足a > c。
椭圆的基本性质如下：1. 椭圆的离心率e的定义为焦距与长半轴的比值，即e = c / a，且0 < e < 1。
离心率的大小和形状相关，当e接近0时，椭圆几乎成为一个圆，当e接近1时，椭圆变得更加扁平。
2. 椭圆的中心为椭圆上两个焦点的中点，记为O。
3. 椭圆的两条主轴分别为椭圆的短轴和长轴，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
4. 椭圆的焦点到直径的距离之和等于直径的长度。
5. 椭圆上每一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长半轴的长度2a。
二、椭圆的方程和参数方程椭圆的方程一般形式为：(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆长半轴和短半轴的长度。
椭圆的参数方程为：x = h + a·cosθ，y = k + b·sinθ，其中θ为参数，范围在0到2π之间。
三、椭圆的焦点和直线1. 椭圆的焦点F1和F2到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长半轴的长度2a。
2. 通过椭圆的两个焦点可以画出两条称为准线的直线，这两条直线与椭圆的切线垂直，并通过椭圆的两个焦点。
3. 椭圆的离心率e小于1，所以椭圆上任意两点之间的距离总是小于椭圆的周长，且椭圆不是一个严格闭合的曲线。
四、椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长可以通过椭圆的长半轴和短半轴来计算：1. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。
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则m等于 A.8
( B.7
) C.6 D.5
x2 y2 【解析】选A.因为椭圆 m 2 10. m 2 0， m 2 10 m，
=1的焦点在x轴上,
因为焦距为4, 所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
椭圆就越圆.
2.在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时,要注意应 用以下不等关系:-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1. 3.焦点三角形 椭圆上的点P与焦点F1,F2若构成三角形,则称△PF1F2为 焦点三角形.焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定 理、余弦定理的联系.
【教材母题变式】
x2 y2 1.已知椭圆 =1的焦点在x轴上,焦距为4, m 2 10 m
(2)选B.设|PF1|=m,|PF2|=n, 则m2+n2=4(36-16)=80,即(m+n)2-2mn=80, 又m+n=2×6=12,所以mn=32, S△PF F 1 mn 16.
1 2
2
【巧思妙解】选B.因为PF1⊥PF2,所以△PF1F2的面积
S△PF1F2 =16×tan 45°=16.
x2 y2 x2 y2 2.曲线 =1与曲线 =1(k<144) 169 144 169 k 144 k
的
(
) B.短轴长相等 D.焦距相等
A.长轴长相等 C.离心率相等
x2 y2 【解析】选D.曲线 =1中c2=169-k 169 k 144 k
(144-k)=25,所以c=5,所以两曲线的焦距相等.
x 2 y2 (3)已知椭圆 =1上一点P到椭圆一个焦点F1的 25 16
距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为 A.2 B.3 C.5 D.7
(
)
x2 【解析】(1)选A.因为椭圆方程为 +y2=1,所以椭圆 4
的长半轴长a=2,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=4, 且|BF1|+|BF2|=2a=4,所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2| +|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8.
第六节 椭
圆
第一课时 椭圆的概念及其性质
【教材基础回顾】
1.椭圆的定义
的和 等于常数(大 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离_____ 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的_____. 焦距 的_____,
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为 常数且a>0,c>0. ①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆; ②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2; ③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.
3.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心 率为 (
1 A. 3
)
3 B. 3 2 C. 2 1 D. 2
2 2 x y 【解析】选B.由题意得椭圆的标准方程为 1， m m 2 3
m ,b2= m , 3 2 2 m c 所以c2=a2-b2= ,e2= 2 1 ,e= 3 . 3 6 a 3
2ab a 2 b2
=a,整理得a2=3b2,
2 c 即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即 2 2 ，e c 6 . a 3 a 3
【母题变式溯源】
题号
1 2 3 4
知识点
椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 椭圆的离心率 椭圆的离心率
源自教材 P49· A组T2 P80· A组T3(1) P46· 例4 P49· A组T5
考向一
椭圆的定义及应用
x2 2 【典例1】(1)过椭圆 +y =1的左焦点F1作直线l交椭 4
圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为 ( A.8 B.4 2 C.4 D.2 2 )
2 2 x y (2)(2018·汕头模拟)若椭圆 =1上一点P与椭 36 16
圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积 为 A.36 ( ) B.16 C.20 D.24
2.椭圆的标准方程和几何性质
图形
x 2 y2 2 1 2 ___________ a b y2 x 2 2 1 2 ___________ a b
标准方程
(a>b>0)
(a>b>0)
图形
-a a ___≤x≤__, -b b ___≤y≤__ 坐标轴 对称轴:_______ -b b ___≤x≤__, -a a ___≤y≤__ 原点 对称中心:_____
所以a2=
x 2 y2 4.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C: 2 2 =1(a>b>0)的 a b
左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直 线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为
6 A. 3 3 B. 3 2 C. 3 1 D. 3
(
)
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到 直线的距离d=
性 质
范围
对称性
图形 (-a,0) (a,0) A1_______,A _____ 2 (0,-b) (0,b) B1_______,B _____ 2 (0,a) A1(0,-a) ______,A2______ (b,0) B1(-b,0) ______,B2______ 2b 2a 短轴B B 的长为___ 长轴A1A2的长为___, 1 2 2c |F F |=___
(3)选D.因为a2=25,所以2a=10, 所以由定义知,|PF1|+|PF2|=10, 所以|PF2|=10-|PF1|=7.
【技法点拨】 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点 三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)定义和余弦定理结合:求解关于焦点三角形的周长 和面积问题.
c (0,1) e= a ∈______
1 2
顶点
轴
焦距 离心率
【金榜状元笔记】 1.椭圆方程中的a,b,c (1)a,b,c关系:a2=b2+c2.
2 2 b c a b b 2 ,所以离心率e (2)e与 :因为e= 1 ( ) a a a a b b 越大,则 越小,椭圆就越扁;离心率e越小,则 越大, a a