椭圆定义及性质整合

椭圆定义及性质的应用

一、椭圆的定义

椭圆第一定义

第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

★过点1F 作12PF F ?的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222

x y a +=.

推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，

由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1

F M 中点，212OQ F M ==()121

2

PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222

x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）

椭圆第二定义

第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<

2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离）

，右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2

a x c

=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.

推导过程：

2

200

a

PF ed e x a ex

c

??

==-=-

?

??

；同理得

10

PF a ex

=+.

简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆

22

22

:1(0)

x y

C a b

a b

+=＞

＞的离心率为

3

，过右焦点F且斜率为(0)

k k>的直线与C相交于,A B两点．若3

AF FB

=

u u u r u u u r

，则k=（）

A.1 D.2

B【解析】解法一：1122

(,),(,)

A x y

B x y，∵3

AF FB

=

u u u r u u u r

，∴12

3

y y

=-，∵

2

e=，设2,

a t c

==，b t=，∴222

440

x y b

+-=，直线AB方程为x my

=.代入消去x，∴222

(4)0

m y b

++-=，∴

2

1212

22

,

44

b

y y y y

m m

+=-=-

++

，则

2

2

22

22

2,3

44

b

y y

m m

-=--=-

++

，解得2

1

2

m=，则k= 0

k>.

解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11

,

AA BB垂直于l，

11

,

A B为垂足，过B作BH垂直于1

AA与H，设BF m

=，由第二定义得，

11

,

AF BF

AA BB

e e

==，由3

AF FB

=

u u u r u u u r

，得

1

3m

AA

e

=,

2m

AH

e

=，4

AB m

=，则

2

1

cos

42

m

AH e

BAH

AB m e

∠====，则sin BAH

∠=tan BAH

∠=，则k=0

k>.故选B.

（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为

6

π

的直线过椭圆)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3

AF BF

=，求椭圆的离心率.

3

3

【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为

11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e

=，在ABH ?中，6

BAH π

∠=

，所以

32AH AB =

，解得3

3

e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在

12AF F ?中，由余弦定理得222

394(23)cos 62232m c a m m c

π

+--==??，化简得2

3326cm b am =-+①，222

534(2)cos 6222m c a m m c

π+--=-=

??，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3

e =

. 椭圆第三定义

第三定义：在椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意

一点，若PB PA k k ,存在，则12

22-=-=?e a b k k PB

PA .（反之亦成立）

.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22b

a k k PB PA -=?） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以122

22=+b y a x ①，1221

221=+b

y a x ②；由①－②得

2

2

1

22212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111

PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值． 例1:已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与

N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4

1

21-

=?k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为122

22=+b y a x ，则)1(222

2a

x b y -=，

)1(22

122

1a x b y -=，则222

2

12222211112222221111(1)(1)14

x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-?=?==

=-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为14

22

=+y x .

解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为14

22

=+y x .

例2:已知椭圆)0(13

42

2>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围

是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .

]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则4

3

2221-=-=?a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质

焦点三角形

椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；

（2）221221cos b PF PF a θ

?=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；

（3）122

tan

2

PF F S b θ

?=；

（4）121121

22

PF F B F F S S c b bc ??≤=

??=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()

22

22

2

2

22

12002

22222212

00

04444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---=

=

=-?-+， 当00x =时，cos θ有最小值22

2

2a c a

-，即12F PF θ∠=最大； （2）22

2

1212

4cos 2PF PF c PF PF θ+-=

?，()

2

21212

122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ?=+-?-

则有，2

1221cos b PF PF θ

?=+，222

1220max 2221cos 1cos 12cos 12

b b b PF PF θθθ?=≤=

+++-，（当点P 为短轴

顶点时θ取得最大值0θ，此时0

cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ

?=≤+. （3）由（2）得

12

2222

12sin 2sin cos tan

21cos 2222cos 2

PF F b b S b θθθ

θθθ?=??=?=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使

得1290F PF ∠=?，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.

【解析】

解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥?， 所以1

FO OB ≥,即c b ≥,

解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r

，即

(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得2

2

2

x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222

2

22

a c a

b x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即2222222

0a c a b a a b -≤<-，化简得222

b c a ≤<

，解得[2

e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为

钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.

【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>?，所以1

FO OB >,即c b >,

解得,1)2

e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得

1260F PF ∠=?（变式3：12120F PF ∠=?），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.

1

[,1)2

【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥?，

所以11sin sin 302c F BO a ∠=

≥?=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.

（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2

a x c

=上存在点P ，

使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.

e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆212

219

25F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求

21PF F S ?.

33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ?中由余弦定理得

mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642

-=-+=，则12=mn ，则333

sin 2121==

?π

mn S PF F .

解法二：122

tan

9tan

2

6

PF F S b θ

π

?==?=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为

2(c,0)F ，则 2ABF ?的最大面积为_________.

bc 【解析】

由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ??=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22

194

x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，

（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？

（2）12PF PF ?的最大值是？

（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？

【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.

（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，2

12(

)92

m n PF PF mn +?=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得222

1220min 2221cos 1(cos )12cos 12

b b b PF PF θθθ?=≤=

+++-，

（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0

cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ

?=≤+. （3）如图所示，222

x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为

00(,)P x y ，此时122

F PF π

∠=

，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，

222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==）

，由等面积法得0222

y c mn ?=

，则05y =，则由勾股定理得222

00()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-

. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：

（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值； （2）两边之差小于第三边.

焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：

111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）

★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：

12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.

推导过程：连接11,,AP AF PF ，

()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-

由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，

则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.

焦点弦

经过椭圆焦点的弦是焦点弦.

（1）焦点弦长可用弦长公式求

222121212122

1

1()41()4AB k x x x x y y y y k

=++-=+

+-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有2

222

2||=cos ab AB a c θ

-. *（3）

2211b

a BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ?的周长为4a .

（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆22

22:1(0)

x y C a b a b

+=>>的离心率为

3

2

，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（ ）

A.1

B.2

C.3

D.2

B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，

∵ 3AF FB =u u u r u u u r

，∴ 123y y =-， ∵ 3

e =，设2,3a t c t ==，b t =，

∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22

222

232,34

mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.

中点弦

AB 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则

1222

-=-=?e a

b k k OP

AB .

证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y

则

()120

2

x x x

+=，()

1202

y y y +=，()()()()22

1122

121212122222

22221..01

x y x x x x y y y y a b a b x y a b ?+=?+-+-??+=??+=??

， ()()()()

2121221212y y b x x x x a y y -+?=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OP

y k x =，则 2

2AB OP b k k a

?=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆22

1169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.

【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，

1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有2222

11221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169

x x x x y y y y +-+-+=，

()()120

120

916y y y x x x -?=-

-，即19216k ?=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8

y x -=-?-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入22

1

169

x y +=得222

(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则1202

32(12)24916k k x x x k -+=-

==+，解得9

8

k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.

这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.

切线及切点弦

切线方程：

（1）设),(00y x P 为圆2

22r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；

（2）设),(00y x P 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .

切点弦方程：

（1）设),(00y x P 是圆2

22r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线

方程为2

00r y y x x =+；

（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为

1

2

2

0=

+

b

y

y

a

x

x

.

例1：以4

2

2=

+y

x上的点)3

,1(P为切点的切线方程为_________.

【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1

(

3-

=

-x

k

y，则0

3=

-

+

-k

y

kx，则有

2

1

3

2

=

+

-

k

k

，解得

3

3

-

=

k，则切线方程为0

4

3=

-

+y

x.

解法二：点)3

,1(P为切点，由公式得，切线方程为4

3

1=

?

+

?y

x，即0

4

3=

-

+y

x.

例2：以1

3

4

2

2

=

+

y

x

上的点)

2

3

,1(P为切点的切线方程为_________.

【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1

(

2

3

-

=

-x

k

y，代入1

3

4

2

2

=

+

y

x

，化简得

3

12

4

)

2

3(

4

)

4

3(2

2

2=

-

-

+

-

+

+k

k

x

k

k

x

k，则有0

)3

12

4

)(

4

3(4

)

2

3(

162

2

2

2=

-

-

+

-

-

=

?k

k

k

k

k，解

得

2

1

-

=

k，则切线方程为0

4

2=

-

+y

x.

解法二：点)

2

3

,1(P为切点，由公式得，切线方程为

1

3

2

3

4

1

=

?

+

?y

x，即0

4

2=

-

+y

x.

★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.

推导过程：设

2

,

a

M y

c

??

?

??

，则AB的方程为

2

22

1

a

x y y

c

a b

+=，

即0

2

1

y y

x

c b

+=必过点(),0c.

★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.

光学性质

★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.

★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）

已知：如图，椭圆C

的方程为22

221x y a b

+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，

'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.

证明：在22

22:1x y C a b

+=上，00(,)P x y C ∈，

则过点P 的切线方程为：00221x x y y

a b

+=，'l 是通过点

P 且与切线l 垂直的法线，

则0000222211':()()()y x l x x y b a b a

-=-， ∴法线'l 与x 轴交于2

0((),0)c D x a

，

∴22

102022||,||c c F D x c F D c x a a

=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：

1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||

||||

F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线，

∴αβ=，∵90ααββ''+=?=+，故可得αβαβ''=?=.

例1. 已知椭圆方程为116

252

2=+y x ，

若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .

20【解析】：∵椭圆方程为116

252

2=+y x 中，225169c =-=，

∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线

BC 定过另一个焦点(3,0)A ￠

-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==?=.