三等分角帕普斯函数( 答案)
通用版2019年中考数学冲刺：阅读理解型问题(提高)
中考冲刺：阅读理解型问题(提高)一、选择题1. （2016•绍兴）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．13262．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s、t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状．解：∵，(A)∴， (B)∴，(C)∴△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该错误步骤的代号：________________．(2)错误的原因为：________________________．(3)本题的正确结论为：____________________．4．（2016•高县一模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2；④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是__________________．三、解答题5．已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1，求的值.解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0又∵pq≠1,∴∴1-q-q2=0可变形为的特征所以p与是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根则根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m2-5m-1=0,,且m≠n，求：的值.6. （市北区二模）【阅读材料】完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．【问题探究】完成沿图1的街道从A点出发向B点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：①从A点先到N点再到C点有1种；②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B 点的走法共有多少种？（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．【问题深入】（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB点的走法数？说明你的理由．7．阅读：我们知道，在数轴上,x＝1表示一个点,而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象,它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③．①②③回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；（2）用阴影表示，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是．类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：(1)将的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________．(2)函数的图象可由的图象向________平移________个单位长度得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？(3)一般地，函数(ab≠0，且a≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．（2）分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段PG,与PC的位置关系及的值；(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG绕点B顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值(用含α的式子表示)．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】1×73+3×72+2×7+6=510.2.【答案】B；二、填空题3.【答案】(1)C；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式，而可能等于0；(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.4.【答案】①②③.【解析】（1）分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正确；（2）如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，故②正确；（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ=BP=t，∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．故③正确；（4）结论D错误．理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．故④错误；故答案为：①②③．三、解答题5.【答案与解析】解：由2m2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n，∴得根据的特征∴是方程x2+5x-2=0的两个不相等的实数根∴.6.【答案与解析】解：（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．答：从A点到B点的走法共有35种．（2）如图3，使用分类加法计数原理，算出从C点到B点的走法为6种；（3）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；见图3，从C点到B点的走法为6种，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35﹣18=17种．方法二：如图4：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C 的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35﹣18=17种．7.【答案与解析】（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，这两条直线的交点是P（－2，6）.则是方程组的解.（2）如阴影所示.8.【答案与解析】(1)；(2)上，1；可转化为y＝，它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(3)函数(ab≠0，且a≠b)可转化为．当a＞0时，的图象可由反比例函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；当a＜0时，的图象可由反比例函数的图象向右平移-a个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．9.【答案与解析】（1）设直线OM的函数关系式为．则∴．∴直线OM的函数关系式为．（2）∵的坐标满足，∴点在直线OM上．（或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．∴∠SQR=∠SRQ．∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．∵∠PSQ是△SQR的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．∴∠POS=2∠SOB．∴∠SOB=∠AOB．（3）以下方法只要回答一种即可．方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．10.【答案与解析】（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；．（2）猜想：(1)中的结论没有发生变化．证明：如图所法，延长GP交AD于点H，连接CH，CG．∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP．由题意可知AD∥FG，∴∠GFP＝∠HDP．∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP．∴GP＝HP，GF＝HD．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得∠GBC＝60°．∴∠HDC＝∠GBC．∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝FB．∴HD＝GB．∴△HDC≌△GBC．∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°．∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．∴．（3）．11。
杭州采荷中学九年级试题一
杭州采荷中学教育集团2006学年第二学期质量调研九年级数学2007.4.考生须知：1． 本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间100分钟。
2． 答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和座位号。
3． 所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
4． 考试结束后，上交试题卷和答题卷。
试题卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内）1、下列运算不正确的是（ ）Ａ．0(2)1-=Ｂ．2222a a a -=Ｃ．26.5100.0065-⨯= Ｄ．2a b ab a ÷= 2、如图，点D,E,F 分别为△ABC 三边的中点，且S △DEF =2， 则△ABC 的面积为 ( )A ．4B ．6C ．8D ．1 23、左下图是由几个小立方块所搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是 （ ）A B C D4、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形。
下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D ．测量其中三角是否都为直角5、请阅读一小段约翰•斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为 （ ）Ａ．18Ｂ．12Ｃ．14Ｄ．346、如图，直线ax y =与双曲线xky =的图象的一个交点坐标为（2，4）．则它们的另一个交点坐标是（ ） A ．（－2，－4） B ．（－2，4） C ．（－4，－2） D ．（2，－4）7、直线y ax b =+经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（ ）a b + B.点（a ，b ）在第一象限内C.反比例函数ay x=当0x >时函数值y 随x 增大而减小D.抛物线2y ax bx c =++的对称轴过二、三象限8、若x ≤0，则化简1x - （ ）Ａ．12x - Ｂ．21x - Ｃ．1-Ｄ．19、如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB 上支放一个平面镜CD ，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD 与地面AB 所成角∠DCB 的度数等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 10、平面直角坐标系中，已知点P 0（1，0），将点P 0绕原点O 按逆时针方向旋转30°得到P 1，延长OP 1到P 2，使OP 2=2OP 1；再将P 2绕点O 按逆时针方向旋转30°得P 3，然后延长OP 3到P 4，使OP 4=2OP 3；……；如此下去，则点P 2004的坐标为（ ） A ．（-22004，0） B.（-21002，0） C.（0，21002） D.（21002，0）二、填空题：（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ；（用代号表示）12、已知一组数据为：82，84，85，89，80，94，76．则这组数据的标准差（精确到0.01）为 ；13、两圆的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距为5cm ，则两圆的位置关系为 。
古希腊三个著名问题之一的三等分角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA，从中得到：∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B 点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。
广东省深圳市2024年数学(高考)统编版测试(预测卷)模拟试卷
广东省深圳市2024年数学（高考）统编版测试(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（）A．B．C．D．第(3)题以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A．x2+y2+2x="0"B．x2+y2+x=0C．x2+y2-x="0"D．x2+y2-2x=0第(4)题不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（）A．(0，3]B．[－1，1]C．(－∞，3]D．[3，＋∞)第(5)题过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是（）A．B．C．1D．2第(6)题函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．第(7)题设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．第(8)题函数的图象关于A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．.B．由“第行所有数之和为”猜想：.C．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.第(2)题下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强C．若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则决定系数D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高第(3)题已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（）A．2B．3C．4D．5三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2005年佛山中考
佛山市2005年高中阶段学校数学试卷（课改实验区用）一、选择题1．－2的绝对值是（ ）。
A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．212．1海里等于1852米．用科学记数法表示1海里等于（ ）米． A ．4101852.0⨯ B ．310852.1⨯ C ．21052.18⨯ D ．1102.185⨯ 3．下列运算中正确的是（ ）。
A ．532a aa =+ B ．842a a a =⋅ C ．632)(a a = D ．326a a a =÷4．使代数式32-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）。
A ．2≠xB ．2≥xC ．2>xD ．2≤x 5．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ）。
6．方程11112-=-x x 的解是（ ）。
A ．1B ．－1C ．±1D ．07．下列图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）。
8．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（ ）。
A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．等腰梯形 9．下列说法中，正确的是（ ）。
A ．买一张电影票，座位号一定是偶数 B ．投掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上 C ．三条任意长的线段可以组成一个三角形D ．从1,2,3,4,5这五个数字中任取一个数,取得奇数的可能性大 10．如图，是象棋盘的一部分。
若 位于点(1，－2)上， 位于点（3，－2）上，则 位于点（ ）上。
A ．（－1，1）B ．（－1，2）C ．（－2，1）D ．（－2，2）二、填空题11．要了解我国八年级学生的视力情况，你认为合适的调查方式是 ． 12．不等式组⎩⎨⎧><-0,032x x 的解集是 ．13．如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是 度． 14．已知∠AOB=300，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心、2cm 为半径作⊙M ．当OM= cm 时，⊙M 与OA 相切（如图）．第13题图O 第14题图15．若函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是 （写出一个即可）．三、解答题16．如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km 的过程中，行使的路程y 与经过的时间x 之间的函数关系．请根据图象填空：出发的早，早了 小时， 先到达，先到 小时，电动自行车的速度为 km / h ，汽车的速度为 km / h ．17．化简：x x x x 421212-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--．帅 相 炮 第10题图18．学校有一块如图所示的扇形空地，请你把它平均分成两部分．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明．）第18题图19．如图，从帐篷竖直的支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，∠ACB=350，求帐篷支撑竿AB 的高（精确到0.1米）． 备选数据：sin350≈0.57，cos350≈0.82，tan350≈0.70．第19题图20．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．四、解答题21．如图，在水平桌面上的两个“E ”，当点P 1，P 2，O 在一条直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同．（1）图中2121,,,l l b b 满足怎样的关系式？（2）若1b =3.2cm ，2b =2cm ，①号“E ”的测试距离1l =8cm ，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离2l 应为多少？22．某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．．．惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？23．某校为选拔参加2005年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训．在集训期间进行了10次测试，假设其中两位同学的测试成绩如下面的图表所示：（1）根据图表中所示的信息填写下表：（2）这两位同学的测试成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）?（3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加比赛？为什么？24．一座拱型桥，桥下水面宽度AB 是20米，拱高CD 是4米．若水面上升3米至EF ，则水面宽度EF 是多少？（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图①）可设抛物线的表达式为c axy +=2．请你填空：a = ，c = ，EF = 米．（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形(如图②)计算如下：设圆的半径是r 米，在Rt △OCB 中，易知.514 , 10)4(.222=+-=r r r同理，当水面上升3米至EF ，在Rt △OGF 中可计算出GF=72，即水面宽度EF=74米．一二三四五六七八九十（次数）（分数）（3）请估计（2）中EF 与（1）中你计算出的EF 的差的近似值（误差小于0.1米）．第24题图①第24题图②五、解答题25．已知任意．．四边形ABCD ，且线段AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q ．（1）若四边形ABCD 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．甲：顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 一定得到平行四边形；（ ） 乙：顺次连接EQ 、QG 、GP 、PE 一定得到平行四边形．（ ） （2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．（3）若四边形ABCD 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？E第25题图①C第25题图②ABD26．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ，以P为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(aa P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．第26题图。
2022-2023学年人教版初中数学专题《反比例函数与几何综合问题》尖子生培优题典原卷
专题26.7反比例函数与几何综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题（共24题）1．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．2．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k（x＞0）的图像过点A（n，2）和xB（8，2n−3）两点．5(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k（x＞0）于点C，若S△ACOx＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．x(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．4．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m（m为常数）的图象在第一、三象x限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．5．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．比例函数y=kx(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．6．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例的图象过点A．函数y=kx(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1的图像于点D；x（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM 的形状，并证明；(2)证明：O 、M 、E 三点共线；(3)证明：∠EOB =13∠AOB ．8．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点C 在x 轴负半轴上，四边形OABC 为菱形，反比例函数y =−12x （x >0）经过点A(a,−3)，反比例函数y =kx (k >0,x ＜0)经过点B ，且交BC 边于点D ，连接AD ．(1)求直线BC 的表达式．(2)求tan ∠DAB 的值．(3)如图2，P 是y 轴负半轴上的一个动点，过点P 作y 轴的垂线，交反比例函数y =−12x （x >0）于点N ．在点P 运动过程中，直线AB 上是否存在点E ，使以B ，D ，E ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·广东·华南师大附中三模）如图，已知直线y =-34x 上一点B ，由点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足为A 、C ，若A 点的坐标为(0，5)．(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．10．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴（x＞0，上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝kxk＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．(1)若BC＝4，求点E的坐标；(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．11．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k（k＞0）的图像与直线y＝mx+nx的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝kxPA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为9．4(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．12．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．(1)【直接应用】如图1，已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝2，MN＝4，则BN＝ ．(2)【知识迁移】如图2，点C，D是线段AB的勾股点（CD＞BD），以CD为直径画⊙O，点P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．(3)【拓展应用】如图3，点P（a，b）是反比例函数y＝2（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别x交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F两点．证明：点E、F是线段AB的勾股点．x+2及双曲线y 13．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12＝k（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m x（m＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD′交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．，求d的最大值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+da14．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝k（xx＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C的坐标；(3)点M是x轴上的一个动点．①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，15．（2022·江苏·张家港市东渡实验学校八年级期中）如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B （x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接两点，交双曲线y＝5xOD．(1)求证：AD平分∠CDE；(2)对于任意非零的实数b，求证：AD•BD为定值，并求出该定值；(3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．16．（2022·贵州铜仁·九年级期末）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝k（x＞0）的图象经过点B．x(1)求a和k的值；(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．的值；①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求DEEF②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．17．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐的图象经过点A．标为（12，5），双曲线y=kx(1)菱形OABC的边长为____；(2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．18．（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m的图像交x于C（2，n）、D两点，与x轴，y轴分别交于A、B（0，2）两点，如果△AOC的面积为6．(1)求点A的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式；(3)如图2，连接DO并延长交反比例函数的图像于点E，连接CE，求点E的坐标和△COE的面积．(m≠0)的19．（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx图像交于A（2，3），B（﹣6，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且S△ABP＝12，求出P点坐标；(4)M是x轴上一点，满足|MA−MB|最大，求点M的坐标．(5)求不等式kx+b﹣m＜0的解集．（直接写出答案）x20．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3k+2与坐标轴交于点B与C(0,1)，点A是x轴上一点，连接AC，且AB=1，D(1,m)是线段BC上一点，反比例函数y=k′x 的图象经过点D．(1)求k′的值．(2)求线段AC所在直线的函数表达式．(3)延长DO，与反比例函数y=k′的图象在第三象限交于点F，Q是x轴上的一点，当以F、Q、D三点构成的三x角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．21．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=−6x (x<0)的图象交于点C(m,1)和点D(n,6)，与坐标轴交于点A，B．(1)求直线AB的函数表达式．<kx+b的解集．(2)结合图象，直接写出不等式−6x(3)连接OC，OD，在直线AB上是否存在一点P，使得S△OBP=S△COD，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y=−6(x<0)和xy=k(k>0,x>0)的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB=3，DC=2．x(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)连接BD，OB，OD，求△ODB的面积；(3)P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知一次函数y＝kx+b图像经过点A（2，0）、B （0，2），回答下列问题：(1)求一次函数解析式．(2)在函数y＝kx+b图像上有两个点（a，2）、（b，3），请说明a与b的大小关系．(3)以AB为直角边作等腰直角△ABC，点C不与点O重合，过点C的反比例函数的解析式为y＝k，请直接x写出点C的坐标以及过点C的反比例函数的解析式．(4)是否在x轴上找一点C，使S△ABC＝2S△ABO，若存在，写出点C坐标若不存在，请说明理由．24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使△ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．。
2024山东省济南市中考一模押题预测卷数学试卷及答案
2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（）A ．29.7210⨯B ．99.7210⨯C ．109.7210⨯D ．119.7210⨯3．如图，直线m n ∥，点A 在直线n 上，点B 在直线m 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线m 于点C ．若150∠=︒，则2∠的度数为（）．B ．C ．D ．．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（16B ．C 19D 15．若点()(()1232,1,1,A y B y C y --、、都在反比例函数21k y x+=（k 为常数）的图象上，则23y y 、、的大小关系为（）123y y y <<B ．31y y <<C 213y y y <<D 312y y y <<中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数(21)(32)++-=-的计算过程，则图2．(13)(23)10-++=B ．(31)(32)1-++=．(13)(23)36+++=D ．(13)(23)10++-=-C．3+（a，b是常数，且abx．下列结论：第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）()2213032-⎛⎫︒--+- ⎪⎝⎭．)10521x x -+><-在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．ABCD 中，BCD ∠的平分线交AD ，3EF =，求BC 的长．如图2，求遮阳棚前端B 到墙面AD 的距离；如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角60CFG ∠=︒，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到1cm ）．（参考数据：sin 720.951,cos 720.309,tan 72 3.078,3 1.732︒≈︒≈︒≈≈）分）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团网约车司机收入频数分布表：月收入4千元5千元9千元10千元人数（个）3421根据以上信息，分析数据如表：思考问题：1,a a ⎫⎪⎭，1,R b b⎛⎫⎪⎝⎭，求直线OM 的函数解析式（用含a ，b 的代数式表示），并说明OM 上；证明：13MOB AOB ∠=∠．求c 的值及顶点M 的坐标，如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位()03t <<得到对应的矩形A B C ''知边C D ''，A B ''分别与函数24y x x c =-+的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG 于点G ．①当2t =时，求QG 的长；PGQ △1，调整菱形ABCD ，使90A ∠=︒，当点M 在菱形ABCD 外时，在射线BP 上取一点BN DM =，连接CN ，则BMC ∠=，MCMN=操作探究二2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线．故选：A ．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（）A ．29.7210⨯B ．99.7210⨯C ．109.7210⨯D ．119.7210⨯【答案】C【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成10n a ⨯的形式（a 大于或等于1且小于10，n 是正整数）；n 的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．【详解】解：972亿10972000000009.7210⨯=，故选：C ．3．如图，直线m n ∥，点A 在直线n 上，点B 在直线m 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线m 于点C ．若150∠=︒，则2∠的度数为（）．B．C．．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）【答案】2或3/3或2【分析】过点M 作MF ⊥直线l ，交y 轴于点F ，交x 轴于点E ，与直线l 相交于点A ，则点E 、F 为点M 在坐标轴上的对称点，过点M 作MD x ⊥轴于点D ，设直线l 的解析式为y x b =-+，由直线l 与直线y x =-平行可得45OPA ∠=︒，即可证明MDE 与OEF 均为等腰直角三角形，进而可求出点E 、F 的坐标，根据中点坐标公式可求出MF 和ME 的中点坐标，代入y x b =-+可求出b 值，即可得点P 坐标，即可求解．【详解】如图，过点M 作MF ⊥直线l ，交y 轴于点F ，交x 轴于点E ，与直线l 相交于点A ，则点E 、F 为点M 在坐标轴上的对称点．直线l 与直线y x =-平行，∴设直线l 解析式为y x b =-+，过点M 作MD x ⊥轴于点D ，则3OD =，2MD =，直线l 的解析式为y x b =-+，45OPD ∴∠=︒，45OFE OEF ∴∠=∠=︒，MDE ∴ 与OEF 均为等腰直角三角形，2DE MD ∴==，1OE OF ==，三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤），“滴滴”网约车司机收入频数分布表：月收入4千元5千元9千元人数（个）342根据以上信息，分析数据如表：，当点G 在点Q 的下方时，(22224QG t t t t =-+--+52（在03t <<的范围内）．或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）12345678910A C C CB BC A C B第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤），，当点G 在点Q 的下方时，(22224QG t t t t =-+--+52（在03t <<的范围内）．或52．（12分）【详解】（1）解： 四边形ABCD 是正方形，CD ，90BCD ∠=︒，。
2022年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：反比例函数(含答案)
2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数一．解答题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．（1）求AQ的长；（2）当a为何值时，CE＝AC？（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P 的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．（1）求k，b的值．（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB＝∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QP A．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．（1）求AQ的长；（2）当a为何值时，CE＝AC？（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．∵Q（，），∴QN＝，∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴AQ＝QN＝；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形，∴DG＝CA＝a，∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝a，∵CE＝AC，∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），∴直线CE的解析式为y＝x+，∵Q（，），∴直线OQ的解析式为y＝x，由，解得，，∴F（，），①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0）．②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，过点F作FH⊥OC于点H．∵F（，），∴FH＝OH，∴FH＝OF＝a，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0）．③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0），综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P 的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．（1）求k，b的值．（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；（2）表示出PQ的长，根据PQ•（x A﹣x B）＝3求得t，进而得出点P的坐标；（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），∴0+b＝﹣2，∴b＝﹣2，∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），∴n＝3﹣2＝1，∴A（3，1），∵y＝过点A（3，1），∴k＝xy＝3×1＝3；（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），∴PQ＝，∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（x A﹣x B），∴×3＝3，∴t＝，∴P（，）；（3）如图1，∵P（t，），Q（t，t﹣2），∴C（t，），当BC是边，点D在x轴正半轴上，作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，∴∠BFC＝∠G＝90°，∴∠FBC+∠FCB＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCG+∠FCB＝90°，∴∠FBC＝∠DCG，∵BC＝CD，∴△BFC≌△CGD（AAS），∴CF＝DG，∵OF＝DG，∴OF＝CF，∴，∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），∴P（1，3）如图2，当点D在x轴的负半轴上时，由上知：BG＝DF＝2，∴t＝2，∴P（2，），当BC是对角线时，当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，∴＝2﹣t，∴t＝1，∴P（1，3），如图4，CE＝DF＝2，DE＝BF，∴t+2＝，∴t1＝2﹣3，t2＝﹣2﹣3（舍去），当t＝2﹣3时，y＝＝2+3，∴P（2﹣3，2+3），综上所述：P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】（1）先解方程，求得A点坐标，根据△AOC∽△ACB，求得AB，进而求得B点坐标；（2）作DE⊥OC于E，先求得CD，可证△CDE∽△CBO，从而求得DE，CE，OE，进而求得结果；（3）分为四种情形：当△P AC∽△BCA时，此时△P AC≌△BCA，可直接写出点P坐标，当△P AC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，先求得AP＝，再根据△PEA∽△ACO得PE＝，AE＝16，从而得出点P坐标，当△P AC∽△CBA时，此时△P AC≌△OCA，直接得出点P坐标，当△P AC∽△CAB时，此时△P AC≌△OAC，作PH⊥OC于H，AG⊥PH 于G，可证由△AGP∽△PHC，进一步求得点P坐标．【解答】解：由x2﹣15x﹣16＝0得，x1＝16，x2＝﹣1（舍去），∴OA＝16，∴A（16，0），当x＝0时，y＝12，∴C（0，12），∴OC＝12，∴AC＝＝＝20，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠AOC＝90°，∵∠OAC＝∠BAC，∴△AOC∽△ACB，∴，∴＝，∴AB＝25∴OB＝AB﹣OA＝25﹣16＝9，∴B（﹣9，0）；（2）如图1，作DE⊥OC于E，∵tan∠CAD＝＝，AC＝20，∴CD＝＝5，∵OC＝12，OB＝9，∴BC＝＝15，∵∠CED＝∠BOC＝90°，∴DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，∴＝，∴DE＝3，CE＝4，∴OE＝OC﹣CE＝8，∴D（﹣3，8），∴，∴m＝﹣24；（3）如图2，当△P AC∽△BCA时，此时△P AC≌△BCA，∵A（12，0），B（﹣9，0），C（0，12），∴P（25，12），如图3，当△P AC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，∴，∴，∴AP＝，由△PEA∽△ACO得，＝＝，∴＝＝＝，∴PE＝，AE＝16，∴OE＝OA+AE＝32，∴P（32，），如图4，当△P AC∽△CBA时，此时△P AC≌△OCA，∴P（16，12），如图5，当△P AC∽△CAB时，此时△P AC≌△OAC，∴＝＝，作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，由△AGP∽△PHC得，＝＝＝，∴设AG＝4x，PG＝4y，则PH＝3x，CH＝3y，∵PH+PG＝OA＝16，OC+CH＝AG，∴，∴，∴PH＝3x＝，AH＝4x＝，∴P（，），综上所述：P（25，12）或（32，）或（16，12）或（，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，解一元二次方程，解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类及计算能力．4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求出k2，k1，b即可解决问题．（2）①结论：△ACE是等腰直角三角形．利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可．②分两种情形：当点M在x轴的负半轴上时，当点M在x轴的正半轴上时，分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝上，∴k2＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点B（m，﹣2）在y＝上，∴m＝﹣4，∴B（﹣4，﹣2），∵y＝k1x+b的图象经过A（2，4），B（﹣4，﹣2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+2．（2）对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝0时，x＝﹣2，∴点D坐标为（﹣2，0），①结论：△ACE是等腰直角三角形．理由：∵CE∥x轴，∴点E的横坐标为2，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴E（2，4），∴CE＝4，∵AC＝＝2，AE＝＝2，∴AC2+AE2＝（2）2+（2）2＝16＝CE2，AC＝AE，∴∠CAE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形．②如图，由①可知，OC＝2，OD＝2，∴CD＝2，当点M在x轴的负半轴上时，∵∠CM2O＝∠DCO，∠CDO＝∠CM2O+∠M2CD，∴∠CM2O＝∠DCM2，∴DM2＝CD＝2，∴OM2＝OD+DM2＝2+2，∴点M2的坐标为（﹣2﹣2，0），同理，当点M在x轴的正半轴上时，根据对称性可知点M1的坐标为（2+2，0），综上所述，点M的坐标为（2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）求出C，D两点坐标，可得结论；（2）作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y 轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，求出直线EA″的解析式，可得结论；（3）分三种情形：如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME．如图3﹣2中，当MN＝ME时，如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+与y轴交于点D，∴D（0，），∴OD＝，∵S△COD＝，∴•OC•OD＝，∴×OC×＝，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），把C（﹣5，0）代入y＝kx+，得到k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+；（2）由，解得或，∴A（3，4），B（﹣8，﹣），作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，∵E（6，0），A″（﹣3，），∴AD′+EO′的值最小为A''E＝＝，直线EA″的解析式为y＝﹣x+1，∴O′（0，1）；（3）如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME过点M作MH⊥x轴于点H，∵tan∠MNH＝＝，∴可以设HN＝3k，MH＝4k，则MN＝5k，∴NE＝MN＝5k，∴EH＝2k，∴M（6﹣2k，4k），∴（6﹣2k）×4k＝12，解得k＝，此时P（，6+2）或（，6﹣2）．如图3﹣2中，当MN＝ME时，此时M（6﹣3m，4m），∴（6﹣3m）×4m＝12，解得m＝1，此时P（3，﹣4）．如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，此时M（6+8n，4n），∴（6+8n）×4n＝12，解得n＝（负根已经舍弃），可得P（，）综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，﹣3）或（，）或（，6+2）或（，6﹣2）．【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；（2）首先判断出直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，考点AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，求出AT，可得结论；（3）分三种情形：①当∠BAM＝90°时．②当∠ABM＝90°时．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（a，2），∴2＝a+1，∴a＝1，∴A（1，2），∵双曲线y＝经过点A（1，20，∴k＝2，∴双曲线的解析式为y＝，由，解得或，∴B（﹣2，﹣1）；（2）如图1中，∵直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，∴直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，∴AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，由题意A（（1，2），T（﹣，），∴AT＝＝∴AP+PQ的最小值为；（3）如图2中，①当∠BAM＝90°时，M1（0，3），N1（﹣3，0）．②当∠ABM＝90°时，M2（0，﹣3），N2（3，0）．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），∵AB＝＝3，∴AJ＝JB＝JM＝，∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝，∴M3（0，），M4（0，），∵JN3＝JM3，JN4＝JM4，∴N3（﹣1，），N4（﹣1，），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把最值问题转化为垂线段最短，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为（b，）；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB＝∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）由点P的坐标为（a，），PM∥x轴，可得点M的纵坐标为，由点R的坐标为（b，），RM∥y轴，可得点M的横坐标为b，即可求解；（2）先求出直线OM解析式和点Q坐标，将点Q坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；（3）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质可得∠1＝∠2，由2PO＝PR＝2PS，可得PS＝PO，可得∠4＝∠3＝2∠2，由平行线的性质可得∠2＝∠5，即可得结论；（4）可以按照题意叙述的方法进行作图即可（方法不唯一）．【解答】（1）解：如图，∵点P的坐标为（a，），PM∥x轴，∴点M的纵坐标为，∵点R的坐标为（b，），RM∥y轴，∴点M的横坐标为b，∴点M（b，），故答案为：（b，）．（2）证明：设直线OM解析式为：y＝kx，∵点M（b，），∴＝bk，∴k＝，∴直线OM解析式为：y＝x，∵分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，∴点Q（a，），∵当x＝a时，y＝×a＝，∴点Q在直线OM上；（3）证明：连接PR，交OM于点S，由题意得四边形PQRM是矩形，∴PR＝QM，SP＝PR，SM＝QM，∴SP＝SM，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，∵PR＝2PO，∴PS＝PO，∴∠4＝∠3＝2∠2，∵PM∥x轴，∴∠2＝∠5，∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，即∠MOB＝∠AOB；（4）解：如图，设边OA与函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP 的长为半径作弧，在第四象限交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点R，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB＝∠AOB．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．【分析】（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．【解答】解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，∴CO＝2OD，又∵CD＝2，∴OD2+4OD2＝（2）2，解得OD＝2，CO＝4，∴D（0，2），C（4，0），∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，把点A的坐标（m，3）代入，可得3＝﹣m+2，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，3），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（2）解方程组，可得或，∴B（6，﹣1），∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，∴4＝×2×2+×2×|x|，解得x＝2，∴P（2，1）；②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，∴P'（﹣6，5）．综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形．【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入得：，解得：k＝﹣，b＝3，∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，∵矩形AOCB，B（4，2），∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，∴M的坐标是（2，2）．（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，即反比例函数的解析式是y＝，∵B（4，2），∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，∴N的坐标是（4，1），把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，即点N在反比例函数的图象上．（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，∵反比例函数y＝过M、N点，∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．（4）过B作BL⊥MN于L，在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，由勾股定理得：NM＝＝，S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，∴2×1＝×BL，∴BL＝，如图所示：∵直角顶点B在反比例函数图象上，∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，∴OL＝2，∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，∴△BLN∽△MBN，∴＝，∴＝，∴LN＝，∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），∴N的坐标是（，0）或（，0）．【点评】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QP A．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识．【分析】（1）构建方程组根据Δ＝0，确定k与a的关系，再求出方程组的解即可．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QP A，设Q（m，），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．利用全等三角形的性质证明OJ＝PB，JH＝PH，JM＝PM即可解决问题．【解答】解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，由题意Δ＝0，∴4a2﹣4k＝0，∴k＝a2，解方程组得到，，∴B（a，a）．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO ＝∠QP A，设Q（m，），∵B（1，1），B′（1，﹣1），∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，∵1＞0，∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．由题意，B（a，a），A（2a，0），∴OH＝BH＝AH＝a，∵OM⊥PB，BH⊥OA，∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，∵∠OJH＝∠BJK，∴∠HOJ＝∠HBP，∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，∴△OHJ≌△BHP（ASA），∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，AP＝BJ，∵∠AHB＝90°，HB＝HA，∴∠P AM＝∠JBM＝45°，∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，∴∠BJM＝∠APM，∴△BJM≌△APM（ASA），∴JM＝PM，∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，∴＝1．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．考点卡片1．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．2．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．3．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）。
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数学家帕普斯“三等分角”
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：
将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R
作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q
点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
解：（1）设直线OM的函数关系式为．……………1分则∴．……………2分
∴直线OM的函数关系式为．……………3分
（2）∵ 的坐标满足，∴点在直线OM上．
（或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）……………4分∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．
∴∠SQR=∠SRQ．……………5分
∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．……………6分
∵∠PSQ是△SQ R的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．……………7分
∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．……………8分
∴∠POS=2∠SOB．……………9分
∴∠SOB= ∠AOB．……………10分
（3）以下方法只要回答一种即可．
方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．……………。