尺规作图三等分角
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
利用渐开线三等分任意角的方法和证明
要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。
操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤：
1、以B点做切线，和渐开线相交于E；
2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3；
3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G；
4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D；
5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明：
1、先证明△BAF与△DAG全等
根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所
以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所
以BF=DG，△BAF与△DAG全等。
2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因
此，∠CAD即为∠CAB的三等分角
总结：
伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。
实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。
这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤(作者：张爱献)
关于三等分任意角尺规作图的方法步骤
作者：张爱献
（铁铁道部四局三处，1990年于山西沁水）
已知一任意角∠SOT用尺规作图法三等分该角的作图方法步骤
1、作角∠SOT。
2、以O为圆心以任意长为半径画弧，交∠SOT的两边于A、B两点得弧AB。
3、以A、B为圆心以大于1/2AB长为半径画弧交于一点，以O为起点过交点作射线，交弧AB于C点（简称作AB的平分线得C点）。
4、连AC并过C点作射线AC，在射线AC上截取AD=2AC。
5、将AD线段三等分（利用平行线截得成比例线段定理），得AH=1/3AD。
6、过H点作AD的垂线交弧AB于E点。
7、以A点为圆心，以AE长为半径画弧交AD线段于I点。
8、将HI线段九等分（利用平行线截得成比例线段定理），得HK=5/9HI。
9、过K点作AB线段的垂线交弧AB于F点。
10、以AF长为定长三等分弧AB，得三等分点F点和Y点。
11、以O点为起点过F点、Y点作射线，并去掉所有多余的辅助作图线。
说明：
1、作图中的第4条和第7条将线段三等分和9等分利用三角形中平行线截得成比例例线段定理进行等分，不再详细讲解等分步骤。
2、对于90度以下的锐角来说：因H点和I点近似重合，也可近似以E点作为等分点进行等分，（视分割精度要求而定）。
作者简介:张爱献（1964—）男河南省民权县高级工程师
4。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
角三等分
角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。
其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。
下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。
让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。
由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。
2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。
以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。
连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。
在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。
尺规三等分任意角画法和证明
〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉（1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。
（2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。
（3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。
（4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。
（5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。
所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。
（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。
（7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。
（8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理：因为：小圆心角AOH对应AH弧，小圆心角HOM对应HM弧，小圆心角MOB对应MB弧，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]，所以，任意角AOB被尺规三等分了。
角的三等分
角的三等分历史
• 公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境， 发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之 宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆， 藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请 著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城 市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅 中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了 一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。 国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主 再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室， 和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是 两段路一样远的。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为 她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有 河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了， 当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎 样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？
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研 究 步 骤
而三等分则不然。弦的三等分并不 是弧的三等分（如图）
弧的三等分与线段的三等分点的连线应该不是平行的。于是我们又开始 研究弧、弦与圆心角的关系。可是他们之间并不存在，或者只有很复杂 的关系，所以并不能通过弦与圆心角来画出弧的三等分。 但是我们又想到了π。π约等于三，所以在圆上，可以粗略地把圆周三 等分（如图）
A B
这样，只要求出所求角度与360°的关系， 再把圆规的半径缩小到同一倍数，也能近似 的三等分一个角。但是，这个方法受许多限 制，比如在缩小倍数时不能保证完全精确， 使本已近似的结果误差更大。有时倍数也不 能太复杂。所以，只有特殊角的三等分可以 用这种办法的。
尺规三平分角,角三等分
三等分角、三平分角1、废话部分先说明我没有破解，但是有很多很接近的作图方法，在这里都写出来，希望接下来有共同兴趣的人可以少一点的弯路。
因为这方面的书籍和讯息都很少，我的想法不知道会不会和以前的人的想法重合 另一个就是，利用双曲线的这种方法可以解决任意角度（︒︒360~0），相比我知道的几种工具解决三等分的办法是便捷了许多另外就是由这个三等分衍生出来的好多概念在以后应该会有价值，就不知道是多少年后， 最后对于想深入研究的人我奉劝一句|“放弃吧，很费脑细胞还有时间的”2、双曲线的由来取任意一个角度每一个角度，以顶点为圆心，以任意长度画圆，被这个角度的两条边截出一段弧这段弧会根据圆半径的长短，弧长会相应变化，但是圆心角是不会变化的我们只要三等分弧AB ，就能等到AOB ∠的三平分角，这点不证明把A 、B 为两点连接直线，从圆心O 点作直线AB 的垂线，我们会得到一个类似直角坐标系的图形（可能有人在这里要彪了，你这是要利用直角坐标系，不是的哈，乖乖看下去，我只如果A、B间距是固定的，随着圆心在垂线DE上下运动，我们就能得到任意一个角度我用几何画板作图，大家可以学一下这个软件，毕竟手工作图误差是很大的对于这个任意角度，我们反推，在已知弧AB的两个三等分点的情况下，得到三平分点随着圆心上下移动的轨迹这个是一条栓曲线的一部分图像，接下来我给出证明把两个三平分点与点A 、B 连接，我们会得到一个等腰梯形，并且线段AF=FG=GB因为F 、G 点事三平分点，GOB FOG AOF ∠=∠=∠,点A 、F 、G 、B 在同一圆上，所以AF=FG=GB接下来是证明线段FG 平行AB ，弧AF=弧GB （因为FG 是三平分点），所以线段FG 平行于AB ，线段FG 也是垂直于DE 的直线DE 垂直于AB ，FG 平行于AB ，又DE 平分线段AB ，所以直线DF 也是FOG ∠的平分线，最主要的，我们要得到线段HG=21GB ， FG=GB （相等角在同一个圆上所对应的弦是相等的），DE 平分线段FG , ∴ HG=21 FG=21GB ∴HG=21GBHG=21GB 圆心O 是直线DE 上任一点，恒有HG=21GB ，这个符合双曲线的第二个定义：平面内到一个定点B 和一条直线DF 的距离的比是常数e=2，e 〉1时的动点曲线轨迹叫做双曲线，∴∠AOB 的之中右边的三等分点的轨迹是一条双曲线，同理得证左边的三等分点也是一条双曲线3、接下来是推理出双曲线的解析式，求出解析式112422=-y x当∠AOB 是零度的时候, AB 的长度不随着圆点O 的变动而变动∴零度的弧就是与线段AB 重合，三等分点如图所示为i ，i 同时是线段AB 的三等分点，同时也是三等分点轨迹与线段AB 的轨迹的交点和双曲线的顶点之一设直线AB 与直线DE 的交点是j,假设线段ji 是一个距离单位，那么根据数量关系就有线段AB=6ji, iB=2ji B 点事双曲线的一个焦点我们假设双曲线的解析式是12222=-by a x ， 222c b a =+，原点到双曲线顶点的距离是a,原点到焦点的距离是c, iB=c-a=2ij 我们已经把ij 设为基本距离单位，∴c-a=2离心率e=ac =2 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==-22ac a c 解得a=2,c=4, 222c b a =+ ∴b=32所以双曲线的方程式112422=-y x上边的是繁琐的一些证明，无非我们要得到的就是三等分点的轨迹是双曲线，要得到这条双曲线的相关的一些规律，希望这些规律能够在你尺规作图三等分角的时候有所帮助，现在我把我掌握的一些好玩的规律给大家介绍介绍。
尺规三大作图问题.
尺规三大作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、圆点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
另类做法：总述：人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.三等分任意角★作法一三等分角问题尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA立方倍积★作法一倍立方问题倍立方问题柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边。
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首先，我们把三等分角转换成了三等分弧（等分中，弧和线段 的二等分的作图方法是可以通用的（如图）
所以我们一共想了两种三等分线段的方法： 1. 2.
弧的三等分与线段的三
等分点的连线应该不是
平行的。于是我们又开
始研究弧、弦与圆心角
的关系。可是他们之间
之后，我们又查了各种资料，又了解了一种三 等分角的办法。虽说都不是标准的尺规作图，但是 仍然很精确：
1、设所求角为角ACB，并延长AC（如图）
2、以C为圆心，BC为半径画半圆（如图）
然后，在直尺上做刻度OP，长度为AC。使O在 射线AC上移动，P在圆上移动。当O、P、B三点共线 时，连接PC（如图）
如此作图，∠PCO=∠ACB/3 （只需把∠PCO复制到∠ACB上 即可）
这个图虽然精确，但在尺子上做 了标记，不是很标准。
以上就是我们组的研究成果，其 中有些不妥当之处，望大家及时 提出，我们会及时改正。
并不存在，或者只有很
复杂的关系，所以并不
能通过弦与圆心角来画 出弧的三等分。
A B
但是我们又想到了π。π
约等于三，所以在圆上，
可以粗略地把圆周三等
分（如图）
这样，只要求出所求角 度与360°的关系，再把 圆规的半径缩小到同一 倍数，也能近似的三等 分一个角。但是，这个 方法受许多限制，比如 在缩小倍数时不能保证 完全精确，使本已近似 的结果误差更大。有时 倍数也不能太复杂。所 以，只有特殊角的三等 分可以用这种办法的。
这次我们组的数学课题是“如何用 尺规作图三等分一个角”。这个问题在 世界上都很有知名度，据说用了许多方 法都没能做出来。所以我们的目的自然 不是做出答案，而是训练培养组员多方 面多角度地考虑问题，会用多种方法解 决问题。也培养了组员思考的逻辑性和 严谨性，提高画图能力，体会研究的乐 趣。下面是我们组的研究成果。这里一 定有仍需完善的地方，我们会根据大家 的提议进行修改。