沪科版九下：24.2.2垂径定理 教案(表格式)
沪科版(2012)初中数学九年级下册 24.2.2 垂直与弦的直径 教案
24.2.2 垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件 教学过程： 一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的）（2）把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当C D ⊥AB 时，弦AB 会被直AOBAOB径CD 平分。
3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M 。
求证：AE=BE 。
4、思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？5、给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。
并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式① CD 是直径、AB 是弦① AE=BE②C D ⊥②2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。
例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
沪科版数学九年级下册24.2 垂径分弦教案与反思
24.2 圆的基本性质原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修第2课时垂径分弦1．理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题(重点，难点)；2．认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，会用添加辅助线的方法解决实际问题(难点)．一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名匠师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理及应用【类型一】利用垂径定理求线段长如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6cm ，∴DP ＝3cm.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23cm ，∴AB ＝43cm.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径构造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．【类型二】 垂径定理的实际应用如图，一条公路的弯处是一段圆弧(图中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理的应用，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，在Rt △ADO 中，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定等知识进行解答．【类型三】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．[来源:学。
沪科版九年级下数学《24.2.2垂径分弦》课件
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
C C
A
B
O
A
EB
D
O A
是
不是，因
为没有垂
直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为
CD没有过圆
心
归纳总结
➢垂径定理的几个基本图形：
Q
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
·O
合，AD 与 DB 重合，AC 与 CB 重合. 因此 AE=EB，AD DB ，AC CB .
A
E
B
D
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并
且平分这条弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
讲授新课
一 垂径定理及其推论
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O 折叠，你发现了什么？
圆是轴对称图形，对称轴
是圆所在平面内任意一条 过圆心的直线.
O
问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦， 且CD⊥AB，垂足为E. 求证：AE=EB，AD DB（或 AC CB ）.
C
·O
AE
B
D
证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，
所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，
因此点A与点B关于直线CD对称. 同理，如果点P是⊙O
沪科版数学九年级下册沪科版九年级数学下册24.2.2《垂径定理》课件
—垂径定理
灿若寒星
引入：
请观察下列四个银行标志，有何共同点？
(1)把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部
分能够互相重合，那么这个图形叫做(
这条直线叫做(
).对称轴
)轴对称图形，
(2)我们采用什么操作方法研究轴对称图形？
折叠 灿若寒星
学习目标
1.了解圆的对称性. 2.掌握垂径定理及其证明,掌握垂径定理的推论. 3.会用垂径定理及其推论解决相关问题.
请你用符号语言来理解刚才的推论：
（1） （2）
（3） （1）
（4） （3）
（5）
（2） （4） （5）
（1） （4）
（3）
A
（2） （5）
O EB D
（2） （3）
（1） （4） （2） （5） （4）
（1） （3） （3） （5） （4）
灿若寒星
（1） （2） （4） （5） （5）
（1） （2） （3）
理解应用
例2.⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm， O 求圆心O到弦AB的距离.
弦心距：
A E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距。
OE的长叫做弦AB的弦心距
弦心距是一条常用辅助线: 过圆心作垂直于弦的垂线段或过圆心作垂直于弦 的直径。
灿若寒星
例3.赵州桥建于1400年前的隋朝,是我国石拱桥中的代表 性桥梁,桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)为 37.4m,拱高(弧的中点到弦距离)为7.2m,求桥拱所在圆 的半径.(结果精确到0.1m)
D
AE BE, AC BC, AD 灿B若寒D星
展示
4.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两 条弧.这句话对吗?
2020年春沪科版九年级数学下册学案24.2 第2课时 垂径分弦
王老师网络编辑整理24.2 圆的基本性质第2课时 垂径分弦［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用，学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明；学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用. ［学习流程］一、导学自习1．阅读教材p16有关“赵州桥”问题，思考能用学习过的知识解决吗？2. 阅读教材p14“探究”内容，自己动手操作，发现了什么？由此你能得到什么结论？ 归纳：圆是__ __对称图形， ____________ ________都是它的对称轴；3. 阅读教材内容，自己动手操作： 按下面的步骤做一做：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个O ，沿圆周将圆剪下，作O 的一条弦AB ；第二步，作直径CD ,使CD AB ⊥，垂足为E ； 第三步，将O 沿着直径折叠.你发现了什么？归纳：（1）图1是 对称图形，对称轴是 .（2）相等的线段有 ，相等的弧有 .二、研习展评活动1：（1）如图2，怎样证明“自主学习3”得到的第（2）个结论.叠合法证明：(2)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 定理的几何语言：如图2CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD AB ⊥____________,____________,_____________∴ (3)推论：___________________________________________________________________________． 活动2 ：垂径定理的应用 如图3，已知在O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离（弦心距）为3cm ，求O的半径.(分析：可连结OA ，作OC AB ⊥于C ) 解：（图1）（图2）（图3）王老师网络编辑整理小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
九年级数学下册 24.2 圆的基本性质教案2 沪科版
第24章 圆24.2 圆的基本性质（2） 【教学内容】垂径定理。
【教学目标】 知识与技能了解圆的轴对称性； 了解拱高、弦心距等概念； 过程与方法使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究……，感受数学源于生活又服务于生活。
【教学重难点】重点：垂径定理”及其应用 。
难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明【导学过程】 【知识回顾】⒈叙述：请同学叙述圆的集合定义？⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。
3.课本有关“赵州桥”问题。
【情景导入】⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方 法的同学请举手。
⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。
【新知探究】 探究一、⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？ 垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
ABC DO A C D O B C D O EBDAOCPFE⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知， 求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？⒌垂径定理： 分析：给出定理的推理格式 推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？【知识梳理】垂径定理及逆定理 【随堂练习】 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．»»BCBD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD B ACEDOBAOMBA CEDOF (图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．83．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mmm C ．3mm D ．4mm4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；• 最长弦长为_______．5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 6、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别 交于点A 、Ｂ和C 、D 。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》教学设计
（1）请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
（2）针对自己的困惑，提出改进措施，为下一节课的学习做好准备。
注意事项：
1.要求学生在作业过程中，注重解题步骤的规范性和逻辑性。
2.鼓励学生积极参与思考题，培养他们的探究意识和创新能力。
3.课后总结要认真对待，发现问题并及时解决，提高学习效率。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的内容，能够准确判断圆的直径所对的圆周角是直角。
2.能够运用垂径定理解决实际问题，如求圆的直径、半径等。
3.掌握垂径定理的证明方法，提高演绎推理能力。
4.能够运用垂径定理推导出圆的相关性质，如圆周角定理、弦切角定理等。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论以下问题：“垂径定理在生活中的应用有哪些？”、“如何证明垂径定理？”等。
2.交流分享：各小组汇报自己的讨论成果，其他小组进行评价和补充，教师适时给予指导和点拨。
3.深入探讨：引导学生探讨垂径定理与其他几何定理的联系，如圆周角定理、弦切角定理等。
（四）课堂练习
4.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对几何学产生浓厚的兴趣。
2.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，树立自信心。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：判断题、选择题、填空题和解答题，涵盖垂径定理的发现、证明和应用等方面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题名称24.2.2垂径分弦
课时安排1备课教师时间
教学目标1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
3.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．
教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明
教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．教学方法
教学资源
教学过程设计
教学过程
教师活动学生活
动
修改意
见1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，
我国隋代建造的赵州石
拱桥主桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦
长）是37 .4m，拱高（弧
的中点到弦的距离）为
7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到0.1 m）．
2.探究新知
1.在纸上任意画一个圆，沿着圆的任意一条直
径对折，你发现了什么？(圆是轴对称图形，对
学生
动手画图
称轴是任意一条过圆心的直线。
)
强调：1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. 2.圆的对称轴有无数条.
2.你能叠出一条与直径互相垂直的弦吗？
3.获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
定理的几何语言(注意规范)
4.利用新知 问题回解
达标训练
1. 如图，⊙O 的半径为5cm ，弦AB 为6cm 。
求圆心O 到弦AB 的距离。
2.如图，⊙O 的半径为6cm ，弦AB 为6cm 。
求圆心O 到弦AB 的距离。
3. 如图，⊙O 的半径为5cm ，弦AB 为8cm 。
求圆心O 到弦AB 的距离。
变式训练
⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥弦CD ，AB=6cm ， CD=8cm 。
求AB 与CD 的距离。
(分类讨论) 能力提升：如图,M 为⊙O 内的一点 你能画过点M 最长的弦呢? 你能画过点M 最短的弦呢? 你能证明吗 ？
归纳小结
重要内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条
弧．
①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
A C D B
O
R h d
a。