垂径定理公开课
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01977_《垂径定理》公开课一等奖课件
教师点评与总结
在学生的分享和交流过程中，教师进 行适时的点评和总结，强调垂径定理 的重要性和应用价值，并引导学生对 探究过程进行反思和总结。
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18
05
课堂互动环节展示
Chapter
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提问环节
提出问题
什么是垂径定理？它的定义和性 质是什么？
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引导思考
Chapter
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23
重点内容回顾总结
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垂径定理的定义和性质
垂径定理指出，对于任意圆和经过圆心的直径，若该直径垂直于 某条弦，则该直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
垂径定理的证明方法
通过构造直角三角形和运用勾股定理等方法，可以证明垂径定理的 正确性。
垂径定理的应用场景
02
推论1
平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条 弧。
03
推论2
弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所 对的两条弧。
04
推论3
平分弦所对的一条弧 的直径，垂直平分弦 ，并且平分弦所对的 另一条弧。
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8
垂径定理证明过程
要点一
已知
在⊙O中，DC为直径，AB是弦， AB⊥DC于点E，AB被DC平分于点E 。
值。
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21
练习环节
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基础练习
01
提供一些基础题目，让学生运用垂径定理进行求解，巩固所学
知识。
拓展练习
02
设计一些难度较大的题目，引导学生进一步探索垂径定理的应
用和拓展。
互动答疑
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
公开课《2412垂径定理》课件
图形描述
在圆中画出一条弦AB和经 过圆心O的直径CD，使它 们垂直相交于点E。再连接 OA和OB。
重点标注
标注出弦AB、直径CD、 交点E、圆心O、半径OA 和OB。
辅助线
无需添加辅助线，直接通 过已知条件和假设进行证 明。
04
垂径定理应用举例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
已知条件及假设
已知条件
在圆中，有一条弦AB和经过圆心O的直径CD，且AB与CD垂直相交于点E。
假设
我们需要证明的是，弦AB被直径CD平分，即AE=EB。
证明步骤梳理
1. 连接OA和OB，由于OA和OB都是 半径，所以OA=OB。
垂径定理相关性质
垂径定理
垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对
的两条弧；
推论1
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧；
推论2
弦的垂直平分线经过圆 心，并且平分弦所对的
两条弧；
推论3
平分弦所对的一条弧的 直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条
弧。
03
垂径定理证明过程详解
问题。通过运用垂径定理，可以揭示市场运行的一些基本规律和特点。
05
学生自主思考与探究环节
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
提出问题和假设
01
02
03
04
问题1
什么是垂径定理？它在几何学 中有什么重要性？
问题2
垂径定理的逆定理是什么？它 与垂径定理有何联系？
27.2 垂径定理 (2) 公开课一等奖课件
【综合运用】 18．(14分)(2015· 安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上 ，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)PQ＝ 6
3 3 (2)PQ 长的最大值为 2
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。
2．(4分)(2015· 遂宁)如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm ，OC⊥AB于点C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．(4分)如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一 点，则线段OM的长可能是( C ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
垂径定理(公开课)
例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于 E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
28.1.2-2
简阳通材实验学校 廖善虎
提问：圆是什么对称图形？
O
M A D
圆是轴对称图形，
O
经过圆心的 每一条直线都是 它的对称轴。
B
C
N
M A D
或： 任意一条
直径所在的直线 都是圆的对称轴。
O
C
任意一条直径都是 圆的对称轴（ ）
B
N
M
O
A
C B
思考：
N
此时MN还平分弦AB吗？
MN平分AB所对的两段弧吗？
O
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D EOLeabharlann O ABE D
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
例1：在⊙O中，AB为弦，半径 OD⊥AB于E。 （1）若OA=5,AB=8，求OE、ED的长。 （2）若OA=5,ED=3，求AB、OE的长。 （3）若AB=4,ED=1，求OA、OE的长。 （4）若OE=3,ED=2，求OA、AB的长。
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
O · B
A
D
变式训练3： 图中两圆为同心圆
《垂径定理》示范公开课教学PPT课件【九年级数学下册北师大】
R
OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2．
O
解得R≈27.9(m)．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m．
课堂练习
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，
∠AOB=120°，则弦AB的长是（ B ）．
A．2 2 B．2 3 C． 5 D．3 2
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂
探究新知
（2）发现：AM=BM，AC BC ，AD BD ．
理由：如图，连接OA，OB，则OA=OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM． ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC．
∴ AC BC ．
探究新知
∵∠AOD=180°-∠AOC， ∠BOD=180°-∠BOC，
A
为垂足，OC与 AB 相交于点C，连接
C
D
B
R
OA．根据垂径定理，D是AB的中点，
C是AB 的中点，CD就是拱高
O
典例精析
由题设可知AB=37.4 m，CD=7.2 m．
所以 AD 1 AB 1 37.4 18.7(m)，
2
2
A
OD=OC-CD=R-7.2．
C
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
650
2
2
3002
125(mm)，
所以CD=OD-OC=325-125=200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
课堂小结
1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧．
2．垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧．
3.3-垂径定理-第1课时公开课
填一填 研一研 练一练
在 Rt△AEO 中，OE＝ OA2－AE2＝ 132－122＝5，在 Rt △CFO 中，OF＝ OC2－CF2＝ 132－52＝12，∴EF＝OF－OE ＝12－5＝7.
全效学习 学案导学设计
填一填 研一研 练一练
(2)当圆心O在AB，CD之间时，如图(2)所示，过O作 OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，同样可得 OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.
全效学习 学案导学设计
填一填 研一研 练一练
类型之二 垂径定理在实际生活中的应用 例3 “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的 一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”． 题目用现在的数学语言表达是：“如图3－3－9所 示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1 寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”
全效学习 学案导学设计
填一填 研一研 练一练
填一填
【知识管理】 1．圆的轴对称性 圆是__轴__对__称__图__形___，每一条过圆心的直线都是圆的
___对__称__轴___． 注意：圆有无数条对称轴。
全效学习 学案导学设计
填一填 研一研 练一练
2．垂径定理 定理：垂直于弦的直径___平__分____这条弦，并且 __平__分__弦__所__对__的__弧_____． 如图 3－3－1 所示，CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的 弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，则 EA＝EB，C︵A＝C︵B，D︵A ＝D︵B.
即半径 OA 是377m.
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填一填 研一研 练一练
练一练
全效学习 学案导学设计
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那么，生活当中你见过“弧”吗？
大家知道赵州桥吗？ 它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥，是我 国古代人民勤劳与智慧 的结晶。它的主桥拱是 圆弧形。如果知道它的 跨度（弧所对的弦的长） 为37.4米，拱高（弧的 中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
1961年被国务院列为第一批全国重点文物保护单位。
课前延伸
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
B
A
●
O
C
M
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 两个大写字母). ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个大写字母).
活动一 实践探究
课 内 探 究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 因为圆是轴对称图形．直径CD 所在的直线是它的对称轴。 线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD
A C 证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
O
E D
└
.
B
∵OE⊥AB
∴AE＝BE，CE＝DE。
∴AE－CE＝BE－DE。
∴AC＝BD
达标检测
已知：在⊙O中，AC,AB为互相垂直的两条相 等的弦，OD ⊥AB, OE ⊥AC 求证：四边形ADOE为正方形。 C E
└ └
O D B
A
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线。
C
A
┗
●
B
O
由 CD是直径 AE=BE
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
E
●
⌒ AD=BD.
为什么这里强调AB是一条非直径的弦？ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧.（垂径定理推论）
D
C
7.2m 7.2m
37.4m
A ?
D 37.4m
B
O 解：如图设AB 所在圆半径为R。由垂径定理得： AB 1 1 AB 37.4，CD 7.2，AD AB 37.4 18.7 2 2 已知：在⊙O中，CD=7.2m，AB=37.4m OD OC CD R 7.2 在Rt△OAD中由勾股定理得: 求解：OA的长（精确到0.1米） OA2 AD 2 OD 2 2 即R 2 18.7 2 2 7.2 2 R 分析：OA =AD2+OD 其中OD=OC-CD 解得：R 27.9(m) 因此，赵州桥的主拱桥的半径约为27.9m。
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
⌒ AD =BD.
⌒
我们把这个结论称为垂径定理
垂径定理三种语言
(一)
A C
O Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
（二）定理
的两条弧.
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所
D
（三）如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
⌒ ⌒ ∴AE=BE, AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD.
Ramming foundation
︵
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为 直径，则下列结论不正确的是（C）
A
C
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM
M└
●
D O
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！垂径本质是过圆心
活动三
问题
如图AB是⊙O的一条弦（不是直径）,且AE=BE.
过点E作直径CD.
你能发现图中AB与CD有什么位置关系？又有哪些等量 关系?与同伴说说你的想法和理由.
A D C
⌒ ⌒⌒ ⌒
·
O
E
B
做一做
如图,理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB，OE⊥AB ∴AE=BE. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直线CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
·
O
E A D B
2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧． 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
a r d 2
2 2
2
课后提升 注意
1、课本P110练习1、2做在家庭本上。 2、小组讨论：根据垂径定理与推论可知。 如果具备
（1）是直径（过圆心）（2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论吗？
再见
B
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长2 注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 a 用a表示，这三者之间有怎样的关系？r 2 d 2 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
2
4 . 已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。