垂径定理公开课用201292811

CD为直径 条件
ACDE⊥=BABE
CD⊥AB
结论
⌒⌒ A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
讲解 垂径定理的应用
例1 如图，已知在⊙O A 中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为 3cm，求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连接OA，作OE AB于E. 1
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高( 弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
24.1.2垂直于弦的直径 ———（垂径定理）
➢ 1、通过直观演示了解圆的轴对称性 。
学
➢ 2、通过“试验——观察——猜想— —证明”掌握垂径定理及其推论。
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练一练
❖在直径为20cm的圆柱形油槽内装入一 些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 12cm，求油的最大深度.
O
A
┌E
B
D
12
变形题
❖ 在直径为20cm的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图所示.若油面宽 AB = 12cm，求油的最大深度.
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
B
●O
E
C
A
A
E ●O
B
●O
A D
（1）
B
D
（2）
D
√（3）
AE=BE吗？
练习
D
O
A
E
C
A
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
B
B
E O
C
A A
CE
O
B
D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
垂径定理的推论1:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
C
E
·O
A
D
B
提高练习:
．4．如图，已知AB、AC为弦， OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ， BC=4，求MN的长．
A
M B
N
．
O
C
回顾与思考
❖通过这节课的学习,你学到了 哪些知识？
课堂小结：
1.圆是轴对称图形.
2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
条弧． 3.垂径定理的推论1:
例题. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
O
AC M D B．
❖ 练习：
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC=BD
证明：过O作
OE⊥AB于E，则
•o
AE=BE,CE=DE A C
┐E D
B
∴AE－CE=BE －DE
即AC=BD
❖ 练习：
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。已知 AB=2CD,AB的弦心距等于CD的一半，则大 圆和小圆的半径之比----------
A
C
•o
D
B
练习：
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两
条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形
BA延长线上一点，PA
＝AB＝2，PO＝5，求
⊙O的半径。
B
M
A
P
O
❖3直径AB和弦CD相交于点
E,BE=1,AE=5, ∠AEC= 60°求CD
A
O
E
C
D
B
❖1关于弦的问题，常常需要过圆心 作弦的垂线段，这是一条非常重 要的辅助线。
❖2圆心到弦的距离、半径、弦长构 成直角三角形，便将问题转化为 直角三角形的问题
平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
方法归纳:
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
ADOE是正方形．
证明：
C
∵OE⊥AC，OD⊥AB，AC⊥AB
∴∠OEA=∠ODA=∠BAC=90° AE 1 AC，AD 1 AB
E
∟
·O
∟
2
2
∴四边形ADOE为矩形，
A
D
B
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
❖若AB与AC不等。OD=3,OE=5,则 AB=---
❖AC= ----
D
A
12
B
O 20
C
❖例1. 一条排水管的截面。已知排水管的
直径20cm，水面宽AB=12cm。求水的 最大深度.
A
12
B
O 20
O
A
B
提高练习:
❖ 1． 已知⊙O的半径为10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，则 AB和CD的距离为---2-或---1-4----
❖2。如图，P为⊙O的弦
习 ➢ 3、运用垂径定理解决有关的证明、
目 计算问题。
标 ➢ 4、培养学生的数学直觉能力、抽象
概括能力。激发学生的探索精神。
如图，A垂B是径⊙定O的理一：条垂弦，直作于直弦径的CD直，径使平CD分⊥弦AB，，并垂且足为E .
（1）这个平图分形弦是所轴对对的称图两形条吗弧？．如果是，它的对称轴是什么？
O
A
B
E
F
方 法
对于一个圆中的弦长a、圆心到 弦的距离d、圆半径r、弓形高h，
这四个量中，只要已知其中任意
总 两个量，（或一个量，另外两个
结
量的关系）就可以求出其余量， 如图有：
⑴d + h = r
⑵ r2 d 2 (a)2 2
a
h
2
d
rO
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
O·
A
E
B
D
在找下一列找哪个图中有AE=BEA⌒，C=B⌒C，A⌒D=B⌒D.
C
C
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦 AB=4cm,那么圆心O到弦AB的 距离是 2 3cm 。
O
AE
B
❖2．⊙O的直径为10cm，圆心O 到弦AB的距离为3cm，则弦AB 的长是 8cm。
O
AE B
❖3．半径为2cm的圆中，过半 径中点且垂直于这条半径的 弦长是2 3cm 。
O
AE
B
F
❖4若弓高EF=4,弦长AB=16,则 半径AO-----,弦心距OE--------