不等式中的取值范围求法
不等式中参数范围的求法
不等式中参数范围的求法不等式是数学中常见的一种基本关系式，可以用来表示数、代数式或几何图形大小关系。
参数范围的求法是指在不等式中的未知数所满足的取值范围的确定。
一、一元一次不等式的参数范围求法对于一元一次不等式 ax+b<0 （或ax+b>0）中，参数a和b的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x<-b/a，所以b/a的取值范围是(-∞,0)；2.当a<0时，不等式解集为x>-b/a，所以b/a的取值范围是(0,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx<0（或bx>0），此时b=0，解集为全体实数。
二、一元二次不等式的参数范围求法对于一元二次不等式ax²+bx+c<0 （或ax²+bx+c>0）中，参数a、b和c的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x∈(x₁,x₂)，其中x₁和x₂为二次函数的两个根，可由二次方程求根公式或配方法求得；2.当a<0时，不等式解集为x∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)，所以x的取值范围为(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx+c<0（或bx+c>0），此时b=0，解集为cx<0（或cx>0），则c=0，解集为全体实数。
三、多元一次不等式的参数范围求法对于多元一次不等式的参数范围求法，通常需要对每个未知数进行讨论。
以二元一次不等式ax+by+c<0为例，可以通过以下步骤来确定参数a、b和c的取值范围：1.当a>0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制；2. 当a=0时，不等式变为 by+c<0（或by+c>0），此时b=0，解集为cy<0（或cy>0），则c=0，解集为全体实数；3.当a<0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制。
求不等式(组)参数的取值范围
·数学基础精讲·刘家良（天津市静海区沿庄镇中学 ３０１６０５）刘家良中学高级教师，在《数理天地》、《中国数学教育》、《中学数学教学参考》等２２种刊物上发表文章２６０余篇，其中的６篇文章被全文转发于中国人民大学书报资料中心主编的《初中数学教与学》上。
已知不等式（组）有几个整数解，求不等式（组）中参数的值或范围，是不等式问题中的常见题型．例１ 若关于ｘ的不等式３ｘ＋ａ≤２只有２个正整数解，则ａ的取值范围为（ ）（Ａ）－７＜ａ＜－４． （Ｂ）－７≤ａ≤－４．（Ｃ）－７≤ａ＜－４．（Ｄ）－７＜ａ≤－４．分析 先将不等式的解集用含参数的式子表示，再根据题意确定哪几个正整数是不等式的解，确定含参数的式子介于哪两个两个连续正整数之间，进而得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数取值范围．解 解３ｘ＋ａ≤２，得ｘ≤２－ａ３．因为不等式只有２个正整数解，所以不等式的正整数解为１，２，如图１．图１所以２≤２－ａ３＜３．解得－７＜ａ≤－４．故选（Ｄ）．注 确定２－ａ３的范围（介于哪两个连续正整数之间）是求ａ值范围的关键，含参数式子的值是否等于其中的正整数是求ａ值范围应注意的地方，此处２－ａ３可等于２但不等于３．例２ 若关于ｘ的一元一次不等式组ｘ－１＞０，２ｘ－ａ＜０｛有且只有２个整数解，则ａ的取值范围是．分析 类比例１，先解不等式组，再根据题意得到哪几个正整数是不等式组的解，确定不等式组的解集含参数式子的一端介于哪两个连续正整数之间，得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数的取值范围．解 解不等式ｘ－１＞０，得ｘ＞１，解不等式２ｘ－ａ＜０，得ｘ＜ａ２，所以不等式组的解集是１＜ｘ＜ａ２．因为ｘ的一元一次不等式组有２个整数解，所以不等式的整数解为２和３，如图２．图２所以３＜ａ２≤４．解得６＜ａ≤８．注 １＜ｘ＜ａ２的右端ａ２可以等于４但不能等于３．（下转３页）·１·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版图２ 解 （１）首先根据题意画出图形，如图２．二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ的对称轴为：ｘ＝－２ａ２ａ＝－１．即ＯＥ＝１．由于ＡＤ∥ＰＱ∥ｙ轴，所以ＯＥ∶ＥＡ＝ＣＰ∶ＰＤ＝２∶３．所以ＥＡ＝３２，即Ａ－５２，０（）．由抛物线的对称性可知Ｂ１２，０（）．（２）由二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ及对称轴为ｘ＝－１可知Ｐ（－１，ｃ－ａ），Ｃ（０，ｃ）．过点Ｃ作ＣＧ⊥ＰＱ于点Ｇ，则ＣＧ＝１，ＧＥ＝ｃ，ＰＧ＝－ａ．因为ＡＤ∥ＰＱ，所以∠ＣＰＧ＝∠ＣＤＡ．由ｔａｎ∠ＣＤＡ＝５４，得ｔａｎ∠ＣＰＧ＝ＣＧＰＧ＝１－ａ＝５４．所以ａ＝－４５．所以二次函数的解析式为ｙ＝－４５ｘ－１２（）ｘ＋５２（）＝－４５ｘ２－８５ｘ＋１． （３）设Ｑ点的坐标为（－１，ｍ），△ＱＡＣ是直角三角形有以下三种情况：①ＡＱ是斜边，但由于∠ＡＣＱ＜∠ＧＣＯ＝９０°，故这种情形不存在；②ＡＣ是斜边，此时有ＡＣ２＝ＡＱ２＋ＱＣ２．而ＡＣ２＝ＯＣ２＋ＯＡ２＝１２＋５２（）２＝２９４，ＡＱ２＝ＥＡ２＋ＥＱ２＝３２（）２＋ｍ２，ＱＣ２＝ＱＦ２＋ＣＦ２＝１２＋（１－ｍ）２．所以２９４＝９４＋ｍ２＋１＋（１－ｍ）２，解得ｍ＝１±槡７２（正值舍去）．故ｍ＝１ －槡７２，即Ｑ点的坐标为－１，１ －槡７２（）．③ＣＱ是斜边，此时有ＱＣ２＝ＡＱ２＋ＡＣ２，即１＋（１－ｍ）２＝９４＋ｍ２＋２９４，解得ｍ＝－１５４．即Ｑ点的坐标为－１，－１５４（）．综上所述，当Ｑ点的坐标为－１，１－槡７２（）或－１，－１５４（）时，△ＱＡＣ是直角三角形．（上接１页）例３ 若关于ｘ的不等式组ｘ－２４＜ｘ－１３，２ｘ－ｍ≤２－ｘ烅烄烆有且只有３个整数解，则ｍ的取值范围是．解 解不等式ｘ－２４＜ｘ－１３，得ｘ＞－２，解不等式２ｘ－ｍ≤２－ｘ，得ｘ≤ｍ＋２３，所以不等式组的解集为－２＜ｘ≤ｍ＋２３，因为不等式组有且只有３个整数解，即－１，０，１．所以１≤ｍ＋２３＜２，解得１≤ｍ＜４．·３·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版。
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法(含参考答案)
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法（含参考答案）七下数学与中考试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．一、 根据不等式(组)的解集确定字母取值范围例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．例2、已知不等式组153x a x a <<⎧⎨<<+⎩的解集为a<x<5。
则a 的范围是 ．解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ．二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围例3、关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是 ．分析：由题意，可得原不等式组的解为8<x<2—4a ，又因为不等式组有四个整数解，所以8<x<2—4a 中包含了四个整数解9，10，11，12于是，有12<2—4a ≤13． 解之,得 114-≤a<52- ．例4、已知不等式组⎩⎨⎧<+>-b x ax 122的整数解只有5、6。
求a 和b 的范围．解：解不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧-<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知：2+a 只能在4与5之间。
21-b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5 6<21-b ≤7∴2≤a<3， 13<b ≤15．三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围例5、已知方程组213(1)21(2)x y m x y m +=+-----⎧⎨+=------⎩满足x+y<0，则( )图1图2A ．m>一lB ．m>lC ．m<一1D ．m<1分析：本题可先解方程组求出x 、y ，再代入x+y<0，转化为关于m 的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y 与m 的关系，再由x+y<0转化为m 的不等式求解． 解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝223m+<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=2163x +. 又a ≤4＜b ， 所以,312x -≤4＜2163x +， 解得:-2＜x ≤3. 四、逆用不等式组解集求解例7、如果不等式组260x x m-≥⎧⎨≤⎩ 无解，则m 的取值范围是 ．分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3． 解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3．例8、不等式组⎩⎨⎧>≤<m x x 21有解，则（ ）．A m<2B m ≥2C m<1D 1≤m<2解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）．例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a 的取值范围是 ．解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由24a x x +>可得x<12a. 因为不等式组有解,所以12a>2. 所以,4a >.31 2图4图3例3、 某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？不等式（组）中待定字母的取值范围不等式（组）中字母取值范围确定问题，在中考考场中频频登场。
待定系数法求不等式取值范围
待定系数法求不等式取值范围哎呀，今天我们来聊聊一个听上去有点高大上的话题——待定系数法求不等式的取值范围。
别担心，虽然名字有点拗口，但咱们轻松一聊，就能让它变得简单明了。
想象一下，就像吃一碗热腾腾的汤面，初看上去复杂，但其实每一口都是暖心的味道。
待定系数法就像我们在做一道美味的菜，得先准备好食材。
啥食材呢？就是不等式中的各个部分，比如系数、变量等等。
咱们就得把这些食材按比例混合，最后才能做出一道可口的佳肴。
什么是“待定系数”呢？简单说，就是我们在解不等式时，得先假设一些变量的值，然后再通过这些假设来找到它们的真实范围。
就像你逛街的时候，看到一件衣服，心里琢磨着这件好看不，得先试试，再看看是不是适合自己。
这时候，待定系数法就帮我们试衣服，能让我们在各种可能性中找到那个最合适的选择。
拿一个例子来说吧。
假设我们有个不等式，像是 ( ax + b > c )。
这时候，咱们的目标就是找出 ( x ) 的范围。
先不急，咱们来看看这个不等式。
得确定 ( a )、( b )、( c ) 的值。
就像购物时先算好预算一样，有了这几个数值，才能下手。
假如说 ( a = 2 )，( b = 3 )，而 ( c = 7 )，那么不等式就变成了 ( 2x + 3 > 7 )。
别急，咱们来一步一步解。
把 3 移到另一边，得到 ( 2x > 4 )。
然后，再把 2 除过去，得出 ( x > 2 )。
哎呀，这样一来，咱们就找到了 ( x ) 的范围。
就是大于 2 的那些数字，真是简单得让人想拍手叫好。
生活中也是这样的，很多时候我们都需要设定一个底线，才能让自己更轻松自在。
再想想，这个待定系数法还可以解决很多有趣的问题呢。
比如，有时候我们会碰到一些更复杂的不等式，像是 ( ax^2 + bx + c > 0 )。
这时候，心里千万别慌，先用待定系数法，把二次项给拆开。
把不等式的系数设定好，找出它的根，再看这个二次函数的图像，哎呀，像是在画画呢，得先知道起点和终点，才能更好地把画面勾勒出来。
如何确定不等式组中字母的取值范围
如何确定不等式（组）中字母的取值范围江苏海安紫石中学 黄本华 226600利用不等式（组）的解或解集情况，确定字母的取值范围是不等式中的难点。
我们只有根据不等式（组）和方程之间的联系，并借助于数轴，多角度、全方位的考虑字母系数所蕴含的相等或不等关系，并且不能遗漏极端情况，才能够准确地求到字母的取值或取值范围，并实现解题过程的全优化．一、已知不等式（组）的解集例1 （2007 天门） 关于x 的不等式12-<-a x 的解集如图所示，则a 的值是（ ）A 0B 3-Ｃ 2- Ｄ 1- 分析：由数轴可知，不等式的解集是1-<x ，不等式的一个极端状态即是方程，解集的极端状态即为方程的解．所以当1-=x 时，不等式左右两边一定相等． 解：由题意得：1)1(2-=--⨯a解得：1-=a ，故选D二、只知道不等式（组）有解或无解例2 若不等式组4050a x x a ->⎧⎨+->⎩无解，则a 的取值范围是 分析：先求出不等式组的解集，即把解集用字母表示出来，再根据不等式组是有解或无解，在数轴上把①、②的解集表示出来，从而得到一个关于字母a 的不等式． 解：由①得：a x 4< 由②得：a x ->5所以 a a -≤54 得1≤a要特别注意：当1=a 时，不等式组也无解，所以此题在列不等式时，一定要考虑在极端位置时，即两点重合时，不等式组是有解还是无解，像这题，当a a -=54时，不等式组也无解，所以千万不要把等号丢了．同时，我们还要考虑到是空心圈还是实心点．总之在极端位置，一定要非常慎重．说明：此题若改为不等式组有解，则4a 就要画到a -5的右边，从而得到不等式a a 45<-，解得：1>a三、已知不等式（组）的几个特殊解例3 已知不等式组30080x a x a -≥⎧⎨-<⎩ 的整数解仅为1、2、3，求字母a 的取值范围。
分析：先求出不等式组的解集，即把解集用字母表示出来，再根据不等式组的整数解，在数轴上表示出这个不等式组的解集的可能区间，再列出关于字母a 的不等式组．在列不等式组的时候一定要认真考虑端点情况，慎重确定有无等号．解：由①得： 30a x ≥ 由②得：8a x < 在数轴上表示出这个不等式组的解集的可能区间①② ①②830所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<4831300a a 解得：3024≤<a 注意：要非常重视实心点和空心圈的情况，所以30a 可以等于1，但不能等于0；8a 可以等于4，但不能等于3，这一点在列不等式组的时候一定要小心．巩固练习：1、已知关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为11<<-x ，那么)1)(1(++b a 的值等于2、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<<≤-ax x 211有解，则a 必须满足3、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-1230x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是。
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法“参数的取值”指的是在不等式或不等式组中，除未知数外的字母为满足不等式（组）成立而所取的准确数或值的范围。
要学会解这类题，必须清楚地明确以下两个问题：（1）不等式的主要基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）不等式组的四种解集情况（a<b）①若，则x>b（大大取大大）；②若，则x<a（小小取小小）③若，则a<x<b（大小小大取中间）④若，则无解（大大小小落空了）以上两个问题反过来也成立。
一、用不等式的基本性质求例1、不等式ax>b的解集是，则a的取值范围是（）A.B. a<0C.D. a>0分析：由不等式的基本性质知a<0，故选B。
二、用等值代换法求例2、如果关于x的不等式和2x<4的解集相同，则a的值为____________。
分析：由2x<4得x<2由得所以例3、关于x的不等式组的解集为，求a、b的值。
解：将原不等式组化简后，得即所以解方程组得a＝－2，三、用不等式组的解集情况求例4、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是____________。
分析：由原不等式组得，因为不等式组无解，所以由“大大小小落空了”得。
例5、不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是（）A.B.C.D. m>1分析：由原不等式组得，因为不等式组的解集是x>2，所以由“大大取大大”得，，故选C。
例6、若不等式组的解集为，求a 的取值范围。
解：由原不等式组得以下两个不等式组和，因为原不等式组的解集为，所以由“大大取大大”和“小小取小小”得即，得又有，得a>1所以例7、若不等式组解集为x>－1，则m的值为___________。
分析：这里是“大大取大大”，若，则m＝－1；若m＋2＝－1，则m＝－3因为当m＝－1时原不等式组就是，解集为x>1不合题意；当m＝－3时原不等式组就是，解集为x>－1，所以m＝－3。
求绝对值不等式中参数的取值范围资料
求绝对值不等式中参数的取值范围求绝对值不等式中参数的值例1 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}15x x <<，求实数,a b 的值。
变式 已知关于x 的不等式2x a b +<的解集为1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数,a b 的值。
例2 已知关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值。
变式 已知关于x 的不等式14ax -<的解集为513x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值。
求绝对值不等式中参数的取值范围本节课主要利用三角形绝对值不等式求出含绝对值函数的最值，从而解决不等式恒成立问题和存在性问题。
例1 已知不等式23x x m +-+>,分别求出以下情况中m 的取值范围(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅。
规律总结：问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ，f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .变式1 把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的取值范围．变式2 把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的取值范围．（2016沈阳一模）设函数()214f x x x =+--.（1） 解不等式)(0f x >.（2） 若()34f x x m +->对一切实数x 均成立，求出m 的取值范围．（2016洛阳模拟）设函数()21f x x x =+-.（1） 解不等式)(0f x >；（2） 若存在0x R ∈,使得)0(f x m ≤成立，求出m 的取值范围。
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不等式中的取值范围求法
不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。
1、 不等式的性质法
利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。
例1：已知
f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。
解：由(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩
解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴=-=
⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()3983253
112583832403
41153531203
8353832531403203
1320ΘΘ，，
，即
评：解此类题常见的错误是：依题意得
-≤-≤--≤-≤41
11452a c a c （）（）
用（1）（2）进行加减消元，得
03173≤≤≤≤a c ，（）
由f a c f ()()397327=--≤≤得
其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。
2、 转换主元法
确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)
根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+0
1-2x 2x 03-2x 2x 22 解得2
31x 271+<<+- 所以x
的取值范围为 3、化归二次函数法
根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
例3：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )
(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立
即2210x x a a --++>对x ∈R 恒成立
记22()1f x x x a a =--++
则应满足0∆< 即：24430a a --<
解得 2321<<-
a ,故选择C 。
例4：若不等式2282001
x x mx mx -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：由22820(4)40x x x -+=-+>，知原不等式恒成立等价于210mx mx --<恒成立，那么
1o 当0m =时，10-<，不等式成立；
2o 当0m ≠时，要使不等式210mx mx --<恒成立，
应有2040
m m m <⎧⎨∆=+<⎩ 解得40m -<< 综上所述：m 的取值范围为(4,0)-
评：二次项系数含有参数时，要对参数进行讨论等于零是否成立。
4、反解参数法
在题目中反解出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例5：若不等式2210x mx -->对一切13x ≤≤恒成立，求m 的取值范围。
解：因为13x ≤≤，所以2210x mx -->可转化成12m x x
<- 所以要使原不等式恒成立，则需2m 小于1x x
-的最小值， 令1y x x
=-，则此函数在13x ≤≤时为增函数， 所以1110y x x
=-≥-= 所以20m <，即0m <，故m 的取值范围为(,0)-∞
评：本题也可利用方法3和方法5求解。
例6：已知函数12()(0)f x x a x
=-+>，若()20f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围。
解：若()20f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，
即1220x a x -++≥，112()x a x
∴≤+ 12()(0)x x x
+>Q 的最小值为4， 14a ∴≤，解得0a <或14
a ≥ 所以a 的取值范围为1(,0),4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
U 。
5、数形结合法
运用数形结合，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化了解题过程，在选择和填空中更显其优越。
例7：如果对任意实数x，不等式kx
+恒成立，则实数k的取值范围是
1
x≥
≤
0≤
1
k
解析：画出y1=1
x+,y2=kx的图像，由图可看出0≤k≤1 Array由于不等式的综合性和灵活性，一道题往往有多种解法，所以要根据题目的
情况，选择恰当的方法，不要拘泥一种形式，要灵活多变。