2019-2020年高二理科数学试卷 含答案

2019-2020年高二理科数学试卷 含答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1、

121i

i

+=+ A ．31i 22-- B ．31

i 22

-+ C ．31i 22+ D ． 31i 22-

2、已知集合2{||1|2},{|40}M x x N x x x =-≥=-≥，则M N =

A ．{|03}x x x ≤≥或

B ． {|04}x x x ≤≥或

C ．{|13}x x x ≤-≥或

D ． {|14}x x x ≤-≥或 3、函数x y 525-=的值域是

A ．[0,)+∞

B ．[]5,0

C ．[)5,0

D ．()5,0 4、如图，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB ·BC 的值是 A 、1 B 、－1

C 、1或－1

D 、不确定，与B 的大小，BC 的长度有关

5、设232555

322555

a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是

A ．b c a >>

B ．c b a >>

C ．b a c >

> D ．a c b >> 6、函数())(,0,)2

f x x x R π

ω?ω?=+∈><

的部分图象如图所示，则,ω?的值分别

是 A 、2,3

π

-

B 、2,6

π

-

C 、4,6

π

-

D 、4,

3

π

7、x , y 满足约束条件??

?

??≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若ax y z -=优解不唯一．．．，则实数a 的值为 A 、

21或-1 B 、2或2

1

C 、2或1

D 、2或-1 8、已知椭圆C ：22

12516

x y +

=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|||

|AN BN +=

A 、10

B 、15

C 、20

D 、25

第4题

()()sin 24cos sin 26f x x x x πππ???

?=+--- ? ?????二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9、曲线53x y e x =--在点(0,5)-

10、已知,2

0,1413)cos(,71cos π

αββαα<<<=-=

且则cos β

11、若样本a 1,a 2,a 3的方差是a ，则样本13,13,13321+++a a a 的方差为_________. 12、已知数列{}n a 满足 331log 1log ()n n a a n N *++=∈，且 2469a a a ++=， 则3579log ()a a a +

+13、若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，x x f 2log )(=，则

)2

15

(

f

14、如图，过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .

若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝_______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分12分）

设函数 ．

(1)求 的值；

(2)求 的单调递增区间．

16. （本小题满分12分）

袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为 ，每个

球被取到的机会均等

. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得

红球之前已取出的白球个数为X.

（1）求袋子中白球的个数；

（2）求X 的分布列和数学期望.

17. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，

AD ＝CD ＝1，DB ＝PD ＝2。

（1）证明：PA ∥平面BDE ；

（2）证明：AC ⊥PB ；

（3）求二面角E －BD －C 的余弦值；

18. （本小题满分14分）

设椭圆方程22

221x y a b

+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于X 轴

的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；

()0f ()f x 1

7

（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为1

2

-，是否存在动点00(,)P x y ，

若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．

19. （本小题满分14分）

已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；

（2）设0a >，问是否存在0(1,)3

a

x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 20、（本小题满分14分）

数列 的前n 项和为 ，已知 ， ( ) .

(Ⅰ) 求 ；

(Ⅱ) 求数列 的通项；

(Ⅲ)设 ,数列 的前n 项和为 ,证明: ( *n ∈N ).

翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试

高二理科数学 参考答案

{}n a n S 2(1)n n S n a n n =--n ∈*N

23,a a {}n a +1

1n n n b S S ={}n b n T 52n T <11

2a =

一、选择题：CDCB AADC

二、填空题：9. 058=++y x ； 10. 2

1； 11. 9a ；

12． 5 ； 13． -1； 14. 4；

三、解答题： 15.

16.（1）解：设袋子中有n (n ∈N *

)个白球，依题意得，

22717n C C =，…………………1分 即()

112767

2n n -=

?， 化简得，2

60n n --=， …………………………2分

解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分 X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分

()407P X ==

， ()342

1767P X ==?=，

()3244

276535P X ==??=

，()321413765435P X ==???=. ………………10分

∴X 的分布列为：

…………………………11分

∴

42413

01237735355EX =?+?+?+?=

. …………………………12分

18.解： （1）因为24a =，所以，2a = --------------------------------2分

∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．

∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即221

14c b

+= --------------------4分

17.

224c b =-，解得22b =

椭圆方程为22

142

x y +

= ------------------------------------------------------------7分 （2）存在这样的点00(,)P x y .

设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则12121

2

OM ON y y k k x x =

=-，化简为 121220x x y y += ---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴

22

11142

x y +=，2222142x y += 由2OP OM ON =+得012

1222x x x y y y =+??=+?- ----------------------------------------11分

所以2212212

020)2(2)2(2y y x x y x +++=+

222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+?+=

即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分

19.解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，

令()0f x '=，得x a =或

3a ，而()g x 在1

2

a x -=处有极大值， ∴112a a a -=?=-，或1323

a a

a -=?=；综上：3a =或1a =-． （6分）

（2）假设存在，即存在(1,)3

a

x ∈-，使得

22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+

2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>， (8分)

当(1,)3

a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，

则存在(1,)3

a x ∈-，使得2

(1)10x a x +-+<，

（10分）

1当123a a ->即3a >时，2

(1)1033a a a ????+-+< ? ?????

得332a a ><-或，3a ∴>； （12分）

2当1123a a --≤≤即03a <≤时，24(1)04

a --<得13a a <->或，a ∴无解；

综上：3a >．

（14分）

20．【解析】(Ⅰ)当2n =时,

2242S a =-,解得

25

6a =

； …………………1分

当3n =时,

3396S a =-, 解得

311

12a =

； ………………………2分

(Ⅱ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得

()2

2

11(1)

n n n

S n S n n --=+-，即

()111

1

n n n S nS n n -+-=- …………………………5分

所以数列()1n n S n +??

??

?

?是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………6分 所以

()1n

n S n

n

+=，即

2

1n n S n =+ ………………………7分 代入2

(1)n

n S n a n n =--中可得()

111n a n n =-

+.

当n=1时，,,2

1

上式成立=

n a 故：()1

11n a n n =-

+， ………………8分

方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,……………………4分

下面用数学归纳法证明:

①当1n =时，

()

11

12111n a =

=-?+，猜想成立； ………………5分

②假设

()

*n k k =∈N ,猜想也成立,即

()

1

11k a k k =-

+,则

当1n k =+时,有()()()

2

2111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+-

整理得

()122k k k a ka ++=+，从而

()()1112212211k k k a ka k k k k k +??+=+=-+=+- ? ?++??，于是

()()11112k a k k +=-++

即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有

n ∈*

N

()

111n a n n =-

+ . …………………………8分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得

21n n S n =+,()2

2

1n n b n n +=+, …………………9分 当2k ≥时，

()2221121

121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++??=

=?≤?==- ?

+++++??

……11分

当1=n 时,

135

22T =

<

成立； ………………………12分

当2n ≥时,所以

311111

15252223341212n T n n n ????????<

+-+-++-=-< ? ? ???

++????

????

综上所述,命题得证. ………………………………………………………14分