2013年高考数学总复习 11-4 数学归纳法(理)课件 新人教B版

归纳、猜想、证明
[例 5] (2011· 江苏盐城模拟)在各项为正的数列{an}
1 1 中，数列的前 பைடு நூலகம் 项和 Sn 满足 Sn＝ (an＋ )． 2 an (1)求 a1，a2，a3； (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式， 并且用数学归纳法 证明你的猜想．
1 1 分析：由 Sn＝ (an＋ )依次令 n＝1,2,3 可解方程求 2 an 出 a1，a2，a3，观察其规律可猜想出 an 表达式，再用数 学归纳法证明．
1 2 k＋1 条直线中的 k 条直线把平面分成 (k ＋k＋2)个 2 区域，第 k＋1 条直线被这 k 条直线分成 k＋1 段， 每段把它们所在的区域分成两块，因此增加了 k＋1 个区域， ∴k＋1 条直线把平面分成了
1 2 (k ＋k＋2)＋k＋1 2 1 ＝ [(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域． 2 ∴n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)、(2)知，对一切的 n∈N*，此命题均成立．
用数学归纳法证明恒等式
[例 1] 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)„(n＋
n)＝2n· 3· „· 1· 5· (2n－1) (n∈N＋)． 分析：从 n＝k 到 n＝k＋1 的过渡，左边增加了因式 (2k＋1)(2k＋2)减少了因式 k＋1，右边 2k 变成 2k 1 增加了 因式(2k＋1)．
1 1 解析：(1)S1＝a1＝ (a1＋ )得 a2＝1. 1 2 a1 ∵an>0，∴a1＝1， 1 1 由 S2＝a1＋a2＝ (a2＋ )，得 a2＋2a2－1＝0， 2 2 a2 ∴a2＝ 2－1. 1 1 2 又由 S3＝a1＋a2＋a3＝ (a3＋ )得 a3＋2 2a3－1＝0， 2 a3 ∴a3＝ 3－ 2.
1 1 1 1 ak＋ 1＝ (ak＋1＋ )－ ( k－ k－1＋ ) 2 ak＋ 1 2 k－ k－1 1 1 ＝ (ak＋ 1＋ )－ k， 2 ak＋ 1
(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5 ＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6 由假设知 k3＋5k 能被 6 整除，而 3k(k＋1)、6 也能 被 6 整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)也能被 6 整除． 由(1)(2)可知，命题对任意 n∈N*都成立.
用数学归纳法证明几何命题
一切正整数成立. an＋1<an 的证明同上.
用数学归纳法证明整除问题
[例 3] 是否存在正整数 m， 使得 f(n)＝(2n＋7)·n＋9 3 对任意自然数 n 都能被 m 整除，若存在，求出最大的 m 的值，并证明你的结论，若不存在说明理由．
解析：由 f(n)＝(2n＋7)·n ＋9 得，f(1)＝36.f(2)＝ 3 3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36. 下面用数学归纳证明： (1)当 n＝1 时，显然成立，
点评：本题解决的关键是通过 n 的取特殊值猜想这 样的正整数 m 存在，然后利用数学归纳法加以证明．用 数学归纳推证 n＝k＋1 成立时，关键是掌握加一个数与 减一个数的恒等式变形，将 n＝k＋1 的形式用 n＝k 时的 形式表示．
求证：n3＋5n(n∈N*)能被 6 整除．
证明：(1)当 n＝1 时，n3＋5n＝6 能被 6 整除； (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时，k3＋5k 能被 6 整除． 则当 n＝k＋1 时，
(2)假设 n＝k 时， f(k)能被 36 整除， f(k)＝(2k＋7)·k 即 3 ＋9 能被 36 整除；当 n＝k＋1 时[2(k＋1)＋7]·k＋1＋9＝ 3 3[(2k＋7)·k＋9]＋18(3k－1－1)， 3 由于 3k－1－1 是 2 的倍数，故 18(3k－ 1－1)能被 36 整 除，这就说，当 n＝k＋1 时，f(n)也能被 36 整除． 由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)＝(2n＋7)·n＋ 3 9 能被 36 整除，m 的最大值为 36.
点评：用数学归纳法证明命题时，从 n＝k 到 n＝k ＋1 的过渡是证题的关键环节，实际证明时，要据不同问 题用不同方法讨论，证明恒等式或不等式时，关键要抓 住项数和项的增减变化．证明整除性命题时，凑出归纳 假设的形式是关键；证明图形类问题时，要注意从 n＝k 到 n＝k＋1，究竟图形中发生了哪些变化等等.
证明：(1)当 n＝1 时，一个圆把平面分成两个部分， 又 f(1)＝12－1＋2＝2，所以 n＝1 时，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 即平面内满足条件的 k 个 圆把平面分成 f(k)＝k2－k＋2 个部分．
则 n＝k＋1 时，第 k＋1 个圆与前 k 个圆中的每一个 各有两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得 2k 个交 点，这 2k 个交点把第 k＋1 个圆分成 2k 条圆弧，每条圆 弧把原来所在的区域一分为二，所以平面的区域增加 2k 个，即 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋ 1)＋2， 所以当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，命题都成立．
平面内有 n 条直线， 其中任何两条不平行， 任何三 1 2 条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成 (n ＋n＋ 2 2)个区域．
解析：(1)当 n＝1 时，一条直线把平面分成两部分， 1 2 又 (1 ＋1＋2)＝2， 2 ∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 1 2 即 k 条满足题意的直线把平面分割成 (k ＋k＋2)个 2 区域． 那么，当 n＝k＋1 时，
证法 2：(1)(用数学归纳法证明 an>2)， ①当 n＝1 时，因 a1＝a>2，故命题 an>2 成立； ②假设 n＝k 时命题成立，即 ak>2， ak－22 a2 k 那么，ak＋1－2＝ －2＝ >0，所以 ak＋ 2ak－1 2ak－1
1>2，即
n＝k＋1 时命题也成立. 综上所述，命题 an>2 对
这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一 步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0 开始，即 假设 n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错了．
一、添减项法和放缩法 1．用数学归纳法证明命题时，根据需要有时应添项 或减项，这是数学归纳法证题的常用技巧． 2．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需 要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不 能放缩过了头．
3．归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体 现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想， 然后从理论上证明(或否定)这种猜想， 这个过程叫做“归 纳—猜想—证明”．
误区警示 在应用数学归纳法的过程中： 第①步， 验证 n＝n0 时结论成立的 n0 不一定为 1， 根 据题目要求，有时可为 2、3 等． 第②步，证明 n＝k＋1 时命题也成立的过程中，一 ． 定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． ．．．．．．．．
点评：用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清变量 在哪个范围内取值时恒等式成立，明确“归纳奠基”验 证的等式是什么，二是对照 n＝k 与 n＝k＋1 时两等式找 出其差异，明确“归纳递推”变形的方向．
1 1 用 数 学 归 纳 法 证 明 ＋ ＋ „ ＋ 1×3 3×5 1 n ＝ (n∈N*)． 2n－12n＋1 2n＋1
[例 4] 平面上有 n 个圆，其中任何两圆都相交，任 何三圆不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成的区 域数为 f(n)＝n2－n＋2.
分析： 关键是 n＝k 到 n＝k＋1 的过渡， 要想搞清 f(k ＋1)比 f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第 k＋1 个 圆被原来的 k 个圆分成了多少段，每一段把它所在的原 平面区域一分为二，为此先求出第 k＋1 个圆与原来的 k 个圆的交点个数即可．
对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结 论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的， 数学归纳法是一种完全归纳法．
2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下 列步骤进行： (1)归纳奠基：验证当 n 取第一个值 n0 时结论成立；
(2)归纳递推：假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论 成立．推出 n＝k＋1 时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有自然数 n(n≥n0)都成立， 这种证明方法叫做数学归 纳法．
(2)猜想 an＝ n－ n－1(n∈N*) 证明：①当 n＝1 时，a1＝1＝ 1－ 0，猜想成立． ②假设当 n＝k(k∈N*，且 k≥1)时猜想成立， 即 ak＝ k－ k－1， 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk 1 1 1 1 ＝ (ak＋ 1＋ )－ (ak＋ )，即 2 ak ak＋ 1 2
k 1 ＝ ＋ 2k＋1 2k＋12k＋3 2k2＋3k＋1 k＋12k＋1 ＝ ＝ 2k＋12k＋3 2k＋12k＋3 k＋1 k＋1 ＝ ＝ . 2k＋3 2k＋1＋1 这就是说，n＝k＋1 时等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对一切 n∈N*都成立.
用数学归纳法证明不等式
1 1 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ， 1×3 3 1 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边． 2×1＋1 3 所以 n＝1 时等式成立．
(2)假设 n＝k 时等式成立， 1 1 1 k 即有 ＋ ＋„＋ ＝ . 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋1 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ 1×3 3×5 2k－12k＋1 2k＋12k＋3
＋
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝2＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N＋)时，等式成立， 即(k＋1)(k＋2)„(k＋k)＝2k· 3· „· 1· 5· (2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(2k＋1)(2k＋ 2)＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k)· 2(2k＋1) ＝2k· 2(2k＋1)＝2k＋1· [2(k＋1)－1]等式也成立． 由(1)、(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．