四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题 Word版
四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}210A x x =-≥，集合{}10B x x =-≤，则()U C A B =I （ ） A ．{}1x x ≥ B ．{}11x x -<< C ．{}11x x <-<≤ D ．{}1x x <- 解析：{}210A x x =-≥={}11x x x 或≥≤-，∴U C A ={}11x x -<<， 又{}10B x x =-≤={}1x x ≤，∴ ()U C A B =I {}11x x -<< 答案B 2. 下列四种说法中，正确的是 （ C ） A ．}{1,0A =-的子集有3个；B ．“若22,am bm a b <<则”的逆命题为真；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件；D ．命题“x R ∀∈，均有2320x x --≥”的否定是 “,x R ∃∈使得2320x x --≤ 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．244π+ B ．166π+C ．242π+D ．164π+由三视图知，该几何体是由两个半径为1的半球和一个棱长为2正方体组成，表面积为42262242S πππ=+⨯⨯-=+，选C ．4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =( B )A. 4B. 5C. 6D. 75.函数3,0(),0-+<⎧=⎨≥⎩x x a x f x a x (01)a a >≠且是R 上的减函数，则a 的取值范围是( B )A ．()0,1B ．1[,1)3C ．1(0,]3D ．2(0,]3解:据单调性定义，()f x 为减函数应满足：0013a a a <<⎧⎨≥⎩即113a ≤<. 答案B 6. 已知向量()()ABC BC AB ∆︒︒=︒︒=则,45sin ,30cos ,120sin ,120cos 的形状为 ( C )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ． 钝角三角形D ．锐角三角形()()cos120,sin120cos30,sin 45=cos120cos30+sin120sin 45AB BC ⋅=︒︒⋅︒︒︒︒︒︒1=02->，所以ABC ∠为钝角 答案C7. 设,m n 为空间的两条不同的直线，,αβ为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若,m m αβ⊥⊥，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若,m n αα⊥⊥，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是 （ D ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8．某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是 ( D )A ．18万元B . 12万元C . 10万元D .8万元9. 若()sin(2)f x x b ϕ=++, 对任意实数x 都有()()3f x f x π+=-，2()13f π=-,则实数b 的值为 （ A ）A ．2-或0B ．0或1C ．1±D ．2±解：由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得()f x 关于直线6x π=对称，因为213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且函数周期为π，所以21163f f b ππ⎛⎫⎛⎫=-==±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2b =-或0b =10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ A ）A ．3 B.2 C.332 D.2 解:设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c cc e e=+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e-+=，解得23e =，所以e ，，选A.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．答案填在答题卡上． 11. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则2014a =22017=n a 12. 已知a b>，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 . 13．有一个内接于球的四棱锥P ABCD －，若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，BC ＝3，CD ＝4，PA ＝5，则该球的表面积为________．解： 由∠BCD ＝90°知BD 为底面ABCD 外接圆的直径，则2r ＝32＋42＝5.又∠DAB ＝90°⇒PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，BA ⊥AD .从而把PA ，AB ，AD 看作长方体的三条棱，设外接球半径为R ，则(2R )2＝52＋(2r )2＝52＋52， ∴4R 2＝50，∴S 球＝4πR 2＝50π.14.已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧⎪⎨⎪⎩++-<≤=->有3个零点，则实数a 的取值范围是 .解:因为二次函数最多有两个零点，所以函数必有一个零点，从而0a >，所以函数3(0)y ax x =->221(20)y ax x x =++-< 必有两个零点，故需要()()22022000440a f f a ìïï-<-<ïïïïï->íïï>ïïïï=->ïîV ，解得34a < 答案 3(,)4+∞15．下列命题正确的有___________.①已知A,B 是椭圆+=22134x y 的左右两顶点, P 是该椭圆上异于A,B 的任一点,则⋅=-34AP BP k k .②已知双曲线-=2213y x 的左顶点为1A ,右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点,则⋅12PA PF 的最小值为－2.③若抛物线C :=24x y 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m >(1)m ，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分∠RQF ；④已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,'=->>(1)0,()()0(0)f xf x f x x , 则不等式>()0f x 的解集是-+∞(1,0)(1,).答案 （2） （3） （4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222823ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．（1）求2sin cos 22B CA ++；（2）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．解析：（1）由已知得A bc A bc sin 21382cos 2⨯=即0sin 4cos 3>=A A 53sin =∴A 54cos =A212cos cos 22cos 2cos 12cos 2sin 22-+=++=++A A A A A C B50592152425162=-⨯+⨯=………………6分 （2）由（Ⅰ）知53sin =A 2,3sin 21===∆b A bc S ABC ,A b c a c cos 265222++==∴ 又13545222542=⨯⨯⨯-+=∴a13=∴a ……………………………………12分17．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(),n n S 在抛物线23122y x x =+上；各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,1632==b b b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）23122n S n n =+Q 当1n =时，2a S ==∴数列n a 是首项为2，公差为3的等差数列，31n a n ∴=- 又各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,432b b b ==解得1,22b q ==，()2n n b ∴= ……………………5分(2)由题得1(31)()2n n c n =-①②①-②得2311111113()()()(31)()22222n n n T n +⎡⎤=++++--⎢⎥L52n n T ∴=- ………………………………………………12分18. (本小题满分12分)已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中,a b 为常数． （1）当6,3a b ==时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，求函数()f x 在R 上是增函数的概率．19. (本小题满分12分)如图,已知平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形, 090CBF ∠=,//BF CE ,BC CE ⊥,4DC CE ==, 2BC BF ==.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).(2)设,P DF AG Q =⋂是直线DC 上的动点,判断并证明直线PQ 与直线EF 的位置关系.(3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.19.(1)如右图. (2)垂直.(3)220．(本小题满分13分)平面内两定点12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，P 为平面一个动点，且P 点的横坐标()2,2x ∈-. 过点P 作PQ 垂直于直线12A A ，垂足为Q ，并满足21234PQ AQ A Q =⋅. （1）求动点P 的轨迹方程.（2）当动点P 的轨迹加上12,A A 两点构成的曲线为C . 一条直线l 与以点(1,0) 为圆心，半径为2的圆M 相交于,A B 两点. 若圆M 与x 轴的左交点为F ，且6FA FB ⋅=. 求证：直线l 与曲线C 只有一个公共点.解：（1）设(),P x y ，()2,2x ∈-则：2212,2,2PQ y AQ x A Q x ==+=- 所以：23(2)(2)4y x x =-+，即：22143x y +=，()2,2x ∈- -----4分 （2）由(1)知曲线C 的方程为22143x y +=,圆M 的方程为()2214x y -+=，则()1,0F - 设()()1122,,,A x y B x y①当直线l 斜率不存在时，设l 的方程为：0x x =，则：12012,x x x y y ===-，()()01021,,1,FA x y FB x y =+=+因为6FA FB ⋅=，所以：()201216x y y ++=，即：()220116x y +-=因为点A 在圆M 上，所以：()220114x y -+=代入上式得：02x =±所以直线l 的方程为：2=+x （经检验x=-2不合题意舍去）， 与曲线C 只有一个公共点. ------5分 经检验x=-2不合题意舍去所以 x=2 -------6分②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+，联立直线与圆的方程：()2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得： 222(1)2(1)30k x km x m ++-+-=所以：12221222(1)131km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩------------8分 因为：()()11221,,1,FA x y FB x y =+=+，且6FA FB ⋅=所以：121212()5x x x x y y +++=又因为：1122y kx my kx m =+⎧⎨=+⎩，所以：()()2212121212()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得：221212(1)(1)()5k x x km x x m +++++=， 化简得：2243m k -=--------10分 联立直线l 与曲线C 的方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：222(34)84120k x kmx m +++-= 22222(8)4(34)(412)48(43)km k m k m ∆=-+-=-+ ----12分 因为：2243m k -=，所以0∆=，即直线l 与曲线C 只有一个公共点21．(本小题满分14分) (文科)已知函数()1xaf x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得 ()1xaf x e '=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae-=,解得a e =.(Ⅱ)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解, 与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.另解(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+.直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11xk x e -=(*)在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+.令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-, 同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.（理科）已知函数2()ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，3()3x xh x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,m n<<(0)m n ，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能 否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.解：（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+…… 2分又10,2x x x>+≥x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤ 令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+……5分由()0H t '=，得t =或t =（舍去），34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减； 2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为(ln 2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =-- 结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln 2.m n k x m n =-- 由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……11分 设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+， 2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=， 即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n-<+，此式与⑤矛盾. 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分① ② ③④。
成都七中2015届高三一诊模拟考试数学答案(理,word版)
成都七中2015届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题数学（理科参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．15； 12．[)5,7； 13．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，； 14．3:2:1； 15．②④. 提示：9．构造函数()()x f x g x e =，则2()()()()()()x x x xf x e e f x f x f xg x e e''--'==， ∵任意x R ∈均有()()f x f x '>，并且0x e >，∴()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R 上单调递减，也就是20142014(2014)(0),(2014)(0)e f f f e f -><故选C. 10. 不妨设a b ≤，122222221bcabbbb bc b +<=+≤+=⇒<≤+，,b c Z ∈，1c b ∴=+，1222b a b +∴=+1a bc ⇒==-．a b t c +∴=22c=-. ,a t Z ∈，1,2c ∴=±±，0,1,3,4t∴=，故2max 2(log )log 42t ==．15．②④由题，“可平行性”曲线的充要条件是：对域内1x ∀都21x x ∃≠使得12()()f x f x ''=成立．①错，12(2)y x x '=-+，又1212112(2)2(2)x x x x -+=-+ 1212x x ⇔=，显然12x =时不满足；②对，由()()()()f x f x f x f x ''=--⇒=-即奇函数的导函数是偶函数，对10x ∀≠都21x x ∃=-使得12()()f x f x ''=成立（可数形结合）；③错，2()32f x x x a '=-+，又当时，2211223232x x a x x a -+=-+2212123()2()x x x x ⇔-=-1223x x ⇔+=,当11=3x 时不合题意；④对，当0x <时，()(0,1)xf x e '=∈，若具有“可平行性”，必要条件是：当0x >时，21()1(0,1)f x x'=-∈，解得1x >，又1x >时，分段函数具有“可平行性”，1m ∴=（可数形结合）．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 52115,51020a a d S a d =+=-=+=-．联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得161a d ⎧⎨⎩=-=．∴ 6(1)17n a n n =-+-⋅=-． n N *∈ ……………6分 （Ⅱ） 7n a n =-，∴1()(13)22n n a a n n n S +-==． 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ， ……………10分 解得1n <或14n >． 又*n ∈N ，∴14n >．n ∴的最小值为15． ……………12分17．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． (8)分 若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π，于是b=ctanB=2tan6π，∴ S △ABC =12． ……………………10分 若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．② 联立①②，结合c=2，解得，∴ S △ABC =12absinC=12．综上，△ABC 12分18．（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于点M ，连接FM ．由//EM CD12AM AE PFMC ED FC∴===． //FM AP ∴． ………………4分 FM BEF PA BEF ⊂⊄面，面， //PA BEF ∴面．………………6分（Ⅱ）连CE ，过F 作FH CE ⊥于H .由于//FH PE ，故FH ABCD ⊥面.过H 作HM BE ⊥于M ，连FM .则FM BE ⊥，即FMH ∠为二面角F BE C --的平面角. 60,FMH FH ∴∠==．23FH PE =，1233MH BC AE ==PE ∴=．………………10分1,AE PE =∴=在Rt PBE ∆中，3BE =，tan PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=．∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分 解法二：以E 为坐标原点，,,EB ED EP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． (0,0,0),(3,0,0),(0,0,),(3,2,0)E B P m C2CF FP = ，22(1,,)33F m ∴．………………7分设平面BEF 的法向量1(,,)n x y z =，由n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1n =(0,,1)m -． 又面ABCD 法向量为2(0,0,1)n =．由1212cos 60n n nn ⋅=⋅ ， 解得m =．………………10分在Rt PBE ∆中，3BE =， tan 3PBE ∴∠=，6PBE π∴∠=．∴直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为6π． ……………12分 19．解：（Ⅰ）由直方图知：(200.015300.015400.025500.02600.015700.01)1043.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴这60人的平均月收入约为43.5百元. ………………4分（Ⅱ）根据频率分布直方图和统计表可知道：[15,25)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中1人不赞成．[25,35)的人数为0.01510609⨯⨯=人，其中2人不赞成． ………………6分X 的所有可能取值为0,1,2,3．338733995(0)18C C P X C C ==⋅=，23312878273333999917(1)36C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=， 212321827827333399992(2)9C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，21287233991(3)36C C C P X C C ==⋅=．……………10分 X∴的分布列为012311836936EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分20．(Ⅰ)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ………………3分（Ⅱ）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分(Ⅲ)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. ………………13分 直线的参数方程也可以做，更简洁。
四川省成都市高三数学摸底(零诊)考试试题 理(含解析)
四川省成都市2015届高三摸底（零诊）数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：数列、三角、概率、导数、圆锥曲线、立体几何综合问题、程序框图、平面向量、基本不等式、函数等；考查学生解决实际问题的综合能力。
是份非常好的试卷.第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 【知识点】向量的坐标运算【答案解析】D 解析：解：由向量的坐标运算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算. 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（UðS ）T 等于（A ）{2，4} （B ）{4} （C ）∅ （D ）{1,3,4} 【知识点】集合的运算 【答案解析】A 解析：解：因为UðS={2，4}，所以（UðS ）T={2，4}，选A.【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算，可先结合补集的含义求S 在U 中的补集，再结合并集的含义求S 的补集与T 的并集. 3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5 （C ）x ∃∈R ，2x =5 （D ）x ∃∈R ，2x ≠5【知识点】全称命题及其否定【答案解析】D 解析：解：结合全称命题的含义及其否定的格式：全称变特称，结论改否定，即可得⌝p 为x ∃∈R ，2x ≠5，所以选D.【思路点拨】全称命题与特称命题的否定有固定格式，掌握其固定格式即可快速判断其否定. 4．计算21og63 +log64的结果是（A ）log62 （B ）2 （C ）log63 （D ）3 【知识点】对数的运算【答案解析】B 解析：解：21og63 +log64=1og69+log64=1og636=2，所以选B.【思路点拨】在进行对数运算时，结合对数的运算法则，一般先把对数化成同底的系数相同的对数的和与差再进行运算，注意熟记常用的对数的运算性质.5．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 【知识点】简单的线性规划 【答案解析】B 解析：解：作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形AOB 对应的区域，平移直线4x+y=0，经过点B 时得最大值，将点B 坐标(2，0)代入目标函数得最大值为8，选B.【思路点拨】对于线性规划问题，通常先作出其可行域，再对目标函数进行平行移动找出使其取得最大值的点，或者把各顶点坐标代入寻求最值点.6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是（A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α （B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α 【知识点】线面平行的判定、线面垂直的性质【答案解析】C 解析：解：A 选项中直线a 还可能在平面α内，所以错误，B 选项直线a 与b 可能平行还可能异面，所以错误，C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选C 【思路点拨】在判断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理，应特别注意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行”，在判断位置关系时能用定理判断的可直接用定理判断，不能直接用定理判断的可考虑用反例排除.7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，一般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数【答案解析】C 解析：解：因为甲、乙监测站读数的极差分别为55，57，所以A 选项错误，10日内甲、乙监测站读数的中位数分别为74，68，所以B 选项错误，10日内乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，而正确的选项只有一个，因此选C.【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键，同时要理解中位数、众数、平均数各自的含义及求法.8．已知函数f （x ）cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f （x ）的单调递减区间是（A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质【答案解析】A 解析：解：因为()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于一个周期，所以2ππω=，得ω=2，由()3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以其单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z 选A. 【思路点拨】注意该题中直线y=－2的特殊性：－2正好为函数的最小值，所以其与函数的两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期9．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）=(]2,(1,1)1cos ,1,32x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩则g （x ）=f （x ）－|1gx|的零点个数是（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10 【知识点】函数的图象、偶函数、函数的周期性【答案解析】D 解析：解：由函数f （x ）满足f （4-x ）=f （x ），可知函数f （x ）的图象关于直线x=2对称．先画出函数f （x ）当x ∈（-1，3]时的图象，再画出x ∈[0，10]图象．画出y=|lgx|的图象．可得g （x ）在x≥0时零点的个数为10， 故选D【思路点拨】由函数f （x ）满足f （4-x ）=f （x ），可知函数f （x ）的图象关于直线x=2对称，先画出函数f （x ）当x ∈（-1，3]时的图象，再画出x ∈[0，10]图象，可得g （x ）在x≥0时零点的个数.10．如图，已知椭圆Cl ：211x +y2=1，双曲线C2：2222x y a b -=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A ，B 两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C2的离心率为 （A ）5 （B（C（D）7【知识点】椭圆、双曲线性质的应用【答案解析】C 解析：解：因为AB 方程为b y xa =，与椭圆方程联立得渐进线与椭圆在第一象限的交点横坐标x =，因为且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，由椭圆的对称性知该点到原点的距离为16⨯16=⨯，整理得224b a =，得2222222215c a b b e a a a +===+=，得e = C【思路点拨】一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于a ，b ，c 的关系式，再求ca 即可，本题注意抓住AB 长为圆的直径，直线AB 与椭圆在第一象限的交点到原点的距离等于直径的16，即可建立a ，b ，c 关系.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
成都市2015届高中毕业班摸底测试文科数学试题成都市零诊试题及参考答案
四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、 已知向量a ＝(5,－3),b ＝(－6,4),则a b +＝A 、(1,1)B 、(－1,－1)C 、(1,－1)D 、(－1,1) 【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则,a b +＝(5,－3)＋(－6,4)＝(－1,1),选D 2、 设全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},T ＝{4},则()U S T ð等于A 、{2,4}B 、{4}C 、ΦD 、{1,3,4}【答案】A【解析】因为全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},故U S ð＝{2,4},于是()U S T ð＝{2,4},选A3、 已知命题:,25xp x R ∀∈=,则p ⌝为A 、,25xx R ∀∉=B 、,25xx R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,以及否命题的特征,可知选D 4、 计算662log 3log 4+的结果是A 、6log 2B 、2C 、6log 3D 、3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==,选B5、 已知实数x ,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B【解析】画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z ＝4x ＋y 取得最大值为8 6、 已知,a b 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是A 、若//,a b b α⊂,则//a αB 、若//,a b αα⊂,则//a bC 、若,a b αα⊥⊥,则//a bD 、若,a b b α⊥⊥,则//a α【答案】C【解析】对于A,当//,a b b α⊂时,可能有a α⊂,故A 错误；对于B,//a α时,不能保证a 与α内任意的直线平行,故B 错误； 对于C,垂直于同意平面的两条直线相互平行,故C 正确； 对于D,当,a b b α⊥⊥时,可能有a α⊂,故D 错误7、 PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,一般情况下PM 2.5的浓度越大,大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM 2.5浓度读数(单位：3/g m μ),则下列说法正确的是A 、这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B 、这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C 、这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D 、这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【答案】C【解析】甲的极差是98－43＝55,乙的极差是94－37＝57,两者不相等,A 错误； 甲的中位数是73752+＝74,乙的中位数是68,甲的中位数较大,B 错误；乙的众数为68,与中位数相同,C 正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×110＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×110＝68.1,可知D 错误8、 已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则()f x 的单调递减区间是 A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦【答案】A【解析】因为()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+最小值为－2,可知y ＝－2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期,于是2T ππω==,即ω＝2,即()2sin(2)6f x x π=+令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎣⎦,k ∈Z,解得x ∈2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦,选A9、 已知双曲线22221y x a b-=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为A 、8B 、C 、3D 、32【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|＝2,可知圆心到直线AB 的距离为解得228b a =于是3c a所以,3c e a==,选C10、已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4,且当x ∈(－1,3]时,f (x )＝2,(1,1]1cos ,(1,3]2x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数6()()log g x f x x =-的零点个数是A 、4B 、5C 、6【答案】B【解析】由函数的周期为4画出f(x)的草图如图,其中函数y ＝log 6x 递增且经过(6,1)点 函数g(x)的零点,即为y ＝f(x)与y ＝log 6x 的交点 结合图象可知,它们共有5个交点,选B二、填空题：本大题共5个小题,每小题5分,共25分. 11、已知(0,)2πα∈,4cos 5α=,则sin()πα-=_____________.【答案】35【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sin α3512、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是____________【答案】12【解析】该几何体是一个直三棱柱,底面是等腰直角三角形体积为12262V =⨯⨯⨯＝1213、当1x >时,函数11y x x =+-的最小值是_______________.【答案】3【解析】因为1x >,11(1)11311y x x x x =+=-++≥=--,当且仅当111x x -=-,且x ＞1,即x ＝2时等号成立,故函数y 的最小值为314、运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是_____________【答案】45【解析】因为211(1)i i i i =++第一次进入循环,运算后S ＝12,i ＝1＜4第二次进入循环,运算后S ＝111223+⨯⨯,i ＝2＜4第三次进入循环,运算后S ＝111122334++⨯⨯⨯,i ＝3＜4第四次进入循环,运算后S ＝111112233445+++⨯⨯⨯⨯,i ＝4≥4跳出循环输出S ＝11111411223344555+++=-=⨯⨯⨯⨯15、已知x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,记a 的所有可能取值构成集合A ；P (x ,y )是椭圆221169y x +=上一动点,111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机的从集合A ,B 中分别抽出一个元素12,λλ,则12λλ>的概率是___________【答案】34【解析】由x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,知A ＝(0,1)对于椭圆221169y x +=,由于原点关于y ＝x ＋1的对称点为(－1,1) 所以,椭圆关于y ＝x ＋1的对称椭圆为22(1)(1)1169y x -++=,111(,)P x y 在改椭圆上,可知y 1－1∈[－4,4] 于是114y -∈[－1,1],即B ＝[－1,1]【方法一】由12,A B λλ∈∈,分别以12,λλ为横坐标和纵坐标, 可知点(12,λλ)构成一个面积为2的矩形 其中满足12λλ>的是图中阴影部分,面积为32所以,满足12λλ>的概率是34【方法二】当12,[1,0]A λλ∈∈-时,此事件发生的概率为12,此时必有12λλ>当12,(0,1]A λλ∈∈时,此事件发生的概率为12,此时12λλ>与12λλ≤概率相等,各占12,于是此时满足12λλ>的概率为14以上两事件互斥,且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足12λλ>的概率为311244+=三、解答题：本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16、(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*273,49,a S n N ==∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n -+⋅=,求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】(1)21n a n =-;(2)122n n T +=-1【解析】(1)设公差为d ,则113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ……3分解得：{112a d == ∴*1(1)21()n a a n d n n N =+-=-∈所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =-∈;……6分 (2)由(1)得11(1)2(211)22n n n n n a n b n n --+⋅-+⋅===……9分 ∴11*(1)2(12)22()112n n n n b q T n N q +--===-∈--……12分17、(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量(,)m a b c a =--,(,)n a b c =+,且0m n ⋅=(1)求角B 的大小；(2)求函数()sin()6f x A π=+的值域.【答案】(1)3B π=；(2)1(,1]2【解析】(1)由0m n ⋅=,得222a c b ac +=+根据余弦定理,有2221cos 22a cb B ac +-== ……4分 又因为(0,)2B π∈,所以3B π=；……6分(2)由(1)得2(0,)33A C πππ=--∈∴5(,)666A πππ+∈……8分∴1sin()(,1]62A π+∈∴函数()sin()6f x A π=+的值域为1(,1]2……12分18、(本小题满分12分)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为200的样本.统计数据如下：(1)已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A ,B ,C ,D ,E ,F 六名学生中,仅有A ,B 两名学生认为作业多.如果从这六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率. 【答案】(1)7650名；(2)35【解析】(1)36425007650200⨯=(名)……5分(2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },{C ,D },{C ,E },{C ,F },{D ,E },{D ,F },{E ,F }共15个 ……7分其中至少有一个学生认为作业多的事件有{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F }共9个 ……9分 ∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法二】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中至少有一名学生认为作业多的选法有112242C C C +＝9种,……9分∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法三】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中没有人认为作业多的选法有246C =种……9分∴693115155P =-==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分19、(本小题满分12分)如图,已知O 的直径AB ＝3,点C 为O 上异于A ,B 的一点,VC ⊥平面ABC ,且VC ＝2,点M 为线段VB 的中点. (1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1,求直线AM 与平面V AC 所成角的大小.【答案】(1)略；(2)4π【解析】(1)∵VC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴VC BC ⊥……2分 ∵点C 为O 上一点,且AB 为直径 ∴AC BC ⊥……4分又,VC AC ⊂平面VAC ,VC AC C =∴BC ⊥平面VAC ； ……6分 (2)如图,取VC 的中点N,连接MN,AN,则MN ∥BC 由(1)得,BC ⊥平面V AC ∴MN ⊥平面V AC∴∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角 ……9分∵12MN BC ===A N∴tan 1MAN ∠= ∴4MAN π∠=∴直线AM 与平面V AC 所成角的大小为4π……12分20、(本小题满分13分)已知椭圆Γ：22221yx a b+=(a ＞b ＞0)经过)两点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于不同两点A ,B ,点G 是线段AB 中点,点O 是坐标原点,设射线OG 交Γ于点Q ,且2OQ OG =. ①证明：22441m k =+ ②求△AOB 的面积.【答案】(1)2214x y +=；【解析】(1)由题意,得222411314a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩∴轨迹Γ的方程为2214x y +=；……5分(2)①令1122(,),(,)A x y B x y 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=……6分∴2221222122(8)4(14)(44)08144414km k m km x x k m x x k ⎧⎪=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+△,即221222122148144414m k km x x k m x x k ⎧⎪<+⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+……(1) ∴121222(8)2()221414k km m y y k x x m m k k -+=++=+=++ 又由中点坐标公式,得224(,)1414km m G k k-++ 将2282(,)1414kmm Q k k -++代入椭圆方程,有22222221641(14)(14)k m m k k +=++ 化简得：22414m k =+……(2) ……9分②由(1)(2)得0m ≠且12||x x -(3)在△AOB 中,121||||2AOB S m x x =-△ (4)……12分∴由(2)(3)(4)可得AOB S △∴△AOB……13分21、(本小题满分14分)已知函数21()ln 3f x ax bx x =--,其中a ,b ∈R(1)当a ＝3,b ＝－1时,求函数f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2x －3y －e ＝0(e ＝2.71828…为自然对数的底数),求a,b 的值；(3)当a ＞0,且a 为常数时,若函数h (x )＝x [f (x )＋lnx]对任意的x 1＞x 2≥4,总有1212()()1h x h x x x ->--成立,试用a 表示出b 的取值范围.【答案】(1)3ln 24+；(2)11,a b e e==-；(3)1016a <<时,(b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+【解析】(1)当a ＝3,b ＝－1时,2()ln ,(0,)f x x x x x =+-∈+∞∴1(21)(1)'()21x x f x x x x -+=+-=∵x ＞0,∴0＜x ＜12时f '(x)＜0,x ＞12时,f '(x)＞0即()f x 在1(0,)2上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增∴()f x 在12x =处取得最小值即[]min 13()()ln 224f x f ==+……4分(2)∵21'()3f x ax b x =--∴212'()33f e ae b e =--= (1)又切点(e,f(e))在直线2x －3y －e ＝0上 ∴切点为(,)3e e∴21()133ef e ae be =--=……(2) 联立(1)(2),解得11,a b e e==-.……8分(3)由题意,对任意的x 1＞x 2≥4,总有112212[()][()]0h x x h x x x x +-+>-成立令321()(),[4,)3p x h x x ax bx x x =+=-+∈+∞则函数p(x)在[4,)x ∈+∞上单调递增∴2'()210p x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立∴2112ax b ax x x+≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立 ……10分构造函数1()(0),(0,)F x ax a x x=+>∈+∞则22211'()ax F x a x x-=-=∴F (x )在(0,上单调递减,在,)+∞上单调递增(i )4>,即1016a <<时,F (x )在[4,上单调递减,在,)+∞上单调递增∴[]min ()F x F ==∴[]min 2()b F x ≤,从而(b ∈-∞……12分(ii )4,即116a ≥时,F (x )在(4,＋∞)上单调递增12(4)44b F a ≤=+,从而1(,2]8b a ∈-∞+……13分综上,当1016a <<时,(,b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+……14分。
成都七中届高三零诊模拟考试数学试题及答案(文)
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 【知识点】命题的否定．【答案解析】C 解析 ：解：∵命题0||,2≥+∈∀x x R x 是全称命题， ∴命题0||,2≥+∈∀x x R x 的否定是：0||,2000<+∈∃x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ ）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3) D.(1,4) 【知识点】交集及其运算．【答案解析】B 解析 ：解：{||1|2}A x x =-<={x 丨﹣1＜x ＜3}， {|2,[0,2]}xB y y x ==∈={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}， 故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ） A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解. 【答案解析】D 解析 ：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)π化为（2,0），过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ． 【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．【答案解析】A 解析 ：解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y（0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立， B ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sinx ＞siny 不成立．C ．若ln （x 2+1）＞ln （y 2+1），则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立． D ．若＞，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立． 故选：A ．【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可. 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】由三视图还原实物图．菁优【答案解析】D 解析 ：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形． 故选D ．【思路点拨】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案． 6. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）A ．()sin =f x xB ．()sin cos =f x x xC ．()cos =f x xD ．22()cos sin =-f x x x【知识点】抽象函数及其应用；函数的奇偶性；函数的周期性．【答案解析】D 解析 ：解：对于任意x ∈R ，f （x ）满足()()f x f x =-， 则函数()f x 是偶函数，选项中，A ，B 显然是奇函数，C ，D 为偶函数，俯视图侧（左）视图正（主）视图又对于任意x ∈R ，()f x 满足(π)()f x f x -=，则(π)()f x f x +=，即f （x ）的最小正周期是π，选项C 的最小正周期是2π，选项D 22()cos sin =cos 2f x x x x =-其最小正周期是22ππ= 故同时满足条件的是选项D ． 故选D ．【思路点拨】由()f x 满足()()f x f x =-，根据函数奇偶性的定义得()f x 为偶函数，将选项A ，B 排除，因为它们是奇函数，再由()f x 满足(π)()f x f x -=推出函数的最小正周期是π，由三角函数的周期公式得选项D 符合．7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【知识点】程序框图．【答案解析】D 解析 ：解：若x=t=2， 则第一次循环，1≤2成立，则M=11×2＝2，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=22×2＝2，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D ．【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.2 【知识点】线性规划的简单应用 【答案解析】B 解析 ：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=2x-y 得y=2x-z ，平移直线y=2x-z ，由图象可知当直线y=2x-z 经过点C 时，直线y=2x-z 的截距最小， 此时z 最大．由70310x y x y +--+⎧⎨⎩＝，＝解得52x y ⎧⎨⎩＝，＝即C （5，2） 代入目标函数z=2x-y ，得z=2×5-2=8．故选：B ．【思路点拨】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y 可得-z 表示直线z=2x-y 在直线上的截距，截距-z 越小，z 越大，利用数形结合可求z 的最大值9． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个 【知识点】新定义.【答案解析】C 解析 ：解：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的的距离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.10. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是( ) A.12【知识点】抛物线的基本性质；直线与抛物线的位置关系.【答案解析】B 解析 ：解：由题意可知，抛物线的准线方程为1x =-，()1,0A -， 如图，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，BADC. P由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：1y k x =+（），所以214y k x y x=+⎧⎨=⎩（）， 解得：2222240k x k x k +-+=（），所以2242440k k ∆=--=（），解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||||PF PA = cos NPA ∠ =．故选B ．【思路点拨】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+=,|a b |-=,则a b ⋅=【知识点】平面向量数量积的运算．【答案解析】1 解析 ：解：∵|a b |+=|a b |-=∴分别平方得2222210,26,a a b b a a b b +⋅+=-⋅+=两式相减得44a b ⋅=， 即1a b ⋅=，故答案为：1．【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论．12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】4解析 ：解：∵C 为三角形的内角，cosC=， ∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 得：c 2=1+4﹣1=4，解得：c=2， 又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，再由a 与b 的值，利用余弦定理列出关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，再由sinC ，c 及b 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值．13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【答案解析】14解析 ：解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8． 取M （1，4），则AM 的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M （1，4），由AM 的斜率可求出a 的值．【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .【知识点】几何概型． 【答案解析】112π+ 解析 ：解：由已知得半圆（a ＞0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x 轴夹角小于的平面区域面积为：S 1=故原点与该点的连线与x 轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x 轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列5个命题：①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 其中正确的是 _(写出所有正确命题的编号) 【知识点】命题的真假判断与应用；曲线与方程．【答案解析】C 解析 ：解：对于①，由2x y =，得y ′=2x ，则00|x y ='=，直线y=0是在点P （0，0）的曲线C 的切线，但2x y =恒在直线y=0上方，∴命题①错误；对于②，由21y x =+（），得21y x '=+（），则10|x y =-'=，而直线l ：x=-1的斜率不存在，在点P （-1，0）处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由y=sinx ，得y ′=cosx ，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫-⎪⎝⎭时x ＜sinx ，x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时x ＞sinx ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题③正确； 对于④，由y=tanx ，得y ′＝21cos x，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫-⎪⎝⎭时tanx ＜x ，x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时tanx ＞x ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题④正确； 对于⑤，由y lnx =，得y ′＝1x，则11|x y ='=，曲线在P （1，0）处的切线为1y x =-， 由g （x ）=x-1-lnx ，得()g x '＝1−1x，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0．∴g （x ）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g （1）=0．∴1y x =-恒在y lnx =的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是③④． 故答案为：③④．【思路点拨】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii ），则正确的选项可求．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每题12分，20题13分，21题14分）16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【答案解析】（Ⅰ）定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．最大值为1x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k pp ?，k ∈Z }． 解析 ：解：（Ⅰ） cos x ≠0知2x k pp ?，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（Ⅱ）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)42πx +≤，解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ． 结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k pp ?，k ∈Z }．……………………………12分 【思路点拨】（1）根据函数f （x ）的解析式可得cosx ≠0，求得x 的范围，从而求得函数f （x ）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f （x）的解析式为1)4πx +，从而求得函数的最大值．（2）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)42πx +≤，解得x 的范围，再结合函数的定义域，求得满足f （x ）≥0 的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机 抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名 志愿者被抽中的概率.【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图．【答案解析】（Ⅰ）应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.（Ⅱ）概率为3.5解析 ：解：第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿第（17）题图者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),( A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2), (A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种. …………8分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3, B 2), (B 1,B 2), (B 1,C 1), (B 2,C 1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分 【思路点拨】Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（Ⅱ）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中有9种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．18 如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
四川省成都市第七中学2015届高三2月阶段性考试数学试题Word版含解析
成都七中2015届高三2月阶段性测试 数 学 试 题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=2{|320}x x x -+>， B={|2,N*}x x x <∈， 则()R C A B =A ．φB ．{1} C.{2} D.{1，2} 【解析】集合A={|12}x x x <>或，{|12}R C A x x ∴=≤≤，B={|2,*}x x x N <∈，(){1}R C A B ∴=，故选B ．2.已知i 是虚数单位， 若22()01i mi +<+（m R ∈），则m 的值为A ．12 B ．2- C ．2 D ．12-【解析】 由22()01i mi +<+，知21i mi ++为纯虚数，222(12)11i m m imi m +++-∴=++为纯虚数，2m ∴=-，故选B.3.已知命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，则p 是q 的 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 因为命题p:1x ≠或2y ≠，命题q:3x y +≠，所以¬p ：12x y ==且，¬q: 3x y +=，所以¬p ⇒¬q ，但¬q ⇒¬p ，等价于q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的必要不充分条件. 4. 在如图所示的程序框图中，若0()xf x xe =，则输出的结果是A.2016x x e xe +B.2015x xe xe + C.2014x xe xe + D.2013x e x +【解析】 由0()x f x xe = 得当1i =时，10()()()x x x f x f x xe e xe ''===+，当2i =时，2015i =1()()i i f x f x -'=21()()()2x x x xf x f x e xe e xe ''==+=+，……，当2015i =时，20152014()()(2014)2015x x x x f x f x e xe e xe ''==+=+，故选B.5.一个边长为2m ，宽1m 的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A ．352m B ．652m C ．1252m D ．1852m【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， =会标的面积落在会标区域内豆粒长方形的面积数总豆粒数，所以会标的面积约为60621005⨯=，故选B. 6.三角函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则直线0ax by c -+=的倾斜角为A ． 4πB ．3πC ．23πD ． 34π【解析】 由()()44f x f x ππ-=+知三角函数()f x 的图像关于4x π=对称，所以02()()f f π=所以=-a b ，直线0ax by c -+=的斜率1a k b ==-，其倾斜角为倾斜角为34π.故选D.7.已知数列{}n a 满足*1112,(N )1nn na a a n a ++==∈-，则1232014a a a a ⋅⋅⋅⋅=-6 B.6 C.-1 D.1【解析】 由111n n na a a ++=-可得21n na a +=-，从而可得4n na a +=，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列.又12a =，所以2345113,,,2,23a a a a =-=-==，所以12341a a a a ⋅⋅⋅=，又201450342=⨯+，所以1232014126a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅=-.8. 已知向量(4,0)OA =， B 是圆C：22((1x y -+-=上的一个动点，则两向量OA OB 与所成角的最大值为A ． 12πB ． 6πC ．3πD ． 512π【解析】 如图，过点O向圆C 作切线OB ，连结CB ，AOB ∠为OA OB 与成的最大角，因点C ，所以4AOC π∠=，||2OC =，||1BC =，又OC CB ⊥，6COB π∴∠=，56412AOB πππ∴∠=+=，故选D.9.已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的左焦点的连线交1C 于第二象限内的点M ，若抛物线1C 在点M 处的切线平行于双曲线2C 的一条渐近线，则p=B.C.8D.16【解析】 由题意可知，抛物线21:2(0)C x p y p =>的焦点坐标为(0,)2p ，双曲线222:13x C y -=的左焦点坐标为(2,0)-，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为122x yp +=-，即202p x y p -+=.设该直线与抛物线1C 的交点M 的坐标为200(,)2x x p ，则抛物线1C 在点M 的切线斜率为x p ，又抛物线1C在点M 处的切线与双曲线2C 的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以03x b p a =-=-，解得03x p =-.即(,)36p M p-，又点M 在直线202px y p -+=上，所以()2026p p p p ⋅-⋅+=，解得p =,故选A. 10.定义区间12[,]x x 长度为21x x -，（21x x >），已知函数22()1()a a x f x a x +-=(,0a R a ∈≠)的定义域与值域都是[,]m n ，则区间[,]m n 取最大长度时a 的值为A ．3 B ． 13a a ><-或 C ．1a > D ． 3【解析】 设[,]m n 是已知函数定义域的子集.0,x ≠[,](,0)m n ∴⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，故函数222()111()a a x a f x a x a a x +-+==-在[,]m n 上单调递增，则()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，故,m n 是方程211a x a a x +-=的同号的相异实数根，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根.211mn a =>，,m n ∴同号，只需2(3)(1)0a a a ∆=+->，13a a ∴><-或，n m -== nm -取最大值为.此时3a =.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 .【解析】 由分层抽样的定义可知，总人数129680812212543N =÷=+++.12.已知2tan ),,2(-=∈αππα，则)232cos(απ-=_______.【解析】 由2tan ),,2(-=∈αππα,得552sin =α，55cos -=α, 则==αααcos sin 22sin 54-,53sin cos 2cos 22-=-=ααα,所以103432sin 32sin 2cos 32cos )232cos(-=+=-απαπαπ.13.设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--02022022y x y x y x ，若z mx y =+取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数z mx y =+的几何意义是直线0mx y z +-=与直线220x y -+=重合，比较得12m =-.14. 设1,1a b >>，若2e ab =，则ln 2e as b=-的最大值为 .【解析】1,1a b >>，∴ln 0,ln 0a b >>，由2e ab =得ln ln 2a b +=为定值，令ln a t b =，ln 2ln ln ln ln ln ln ()12a a b t b a b +∴==⋅≤=，当且仅当e a b ==时等号成立，ln 1t ∴≤，e t ∴≤，ln 2e e a s b ∴=-≤-.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点(,)x y ，若,x y 都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线.现有如下几个命题：①如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 一定是遗憾直线； ②“直线y=kx+b 是完美直线”的充要条件是“k 与b 都是有理数”； ③存在恰有一个完美点的完美直线；④完美直线l 经过无穷多个完美点，当且仅当直线l 经过两个不同的完美点. 其中正确的命题是______．（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于①，如果取，-1，0），是完美直线，所以①错误；对于②，由①知当k 与b 均为无理数，但是直线是完美直线，所以②错误；对于③，设直线方程为y=，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；对于④，设y=kx 为过原点的完美直线，若此直线l 过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线l 的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k （x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx 上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个完美点，所以④正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2,13A C b π+==．yC（1）记角,()A x f x a c ==+，若△ABC 是锐角三角形，求f (x)的取值范围；（2）求△ABC 的面积的最大值.【解析】 （1）在△ABC 中， A+B+C=π，32π=+C A ，解得3π=B . （1分） ∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+= )6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． （4分）△ABC 是锐角三角形，62A ππ∴<<，得3π<x+6π<23π，于是3<)(x f ≤2，即f (x)的取值范围为(3，2]． （6分） （2）由（1）知3π=B ，1b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22212cos3a c ac π=+-.2212a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立. （10分）此时11sin sin 223ABC S ac B ac π∆===≤，故当a c =时，△ABC的面积的最大值为4. （12分）17.（本小题满分12分）2015年元月成都市跳伞塔社区要派人参加成都市财政局、水务局、物价局联合举行的“成都中心城区居民生活用水及特种用水价格调整方案听证会”，为了解居民家庭月均用水量（单位：吨），从社区5000住户中随机抽查100户，获得每户2014年12月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．（1）分别求出频率分布表中a、b的值，并估计社区内家庭月用水量不超过3吨的频率；（2）设A1，A2，A3是月用水量为[0，2）的家庭代表．B1，B2是月用水量为[2，4]的家庭代表．若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求家庭代表B1，B2至少有一人被选中的概率．【解析】（1）由频率分布直方图可得a=0.5×0.5=0.25，∴月用水量为[1.5，2）的频数为25．故2b=100﹣92=8，得b=4．由频率分布表可知，月用水量不超过3吨的频率为0.92，所以家庭月用水量不超过3吨的频率约为0.92．（6分）（2）由A1、A2、A3、B1、B2五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，事件A 包含的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共包含7个基本事件数．又基本事件的总数为10，所以．即家庭代表B1、B2至少有一人被选中的概率为．（12分）18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形，点E、F分别是AB、AP的中点.（1）求证：PC AB；（2）求证：EF∥平面BMC（3）求三棱锥M-ABC的体积.【解析】（1）由三视图可知， 平面PCBM ⊥平面ABC ， 平面PCBM平面ABC BC =，且PC BC ⊥，∴PC ⊥平面ABC ， （3分） 又AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥. （5分） （2）连接PB ．∵点E 、F 分别是AB 、AP 的中点， ∴EF 是ABP ∆的中位线， ∴EF ∥PB ，又PB ⊂平面BMC ，EF ⊄平面BMC ，∴EF ∥平面BMC . （8分）（3）由（1）知PC ⊥平面ABC ，由三视图可知PM ∥BC ， PC= 1，CB=2，AC=1，点A 到直线BC 的距离为AG=，∴PM ∥平面ABC ，∴点M 到平面ABC 的距离为PC=1，∴1122222ABC S BC AG ∆=⨯=⨯⨯=，∴三棱锥M-ABC的体积为11133M ABC ABC V S PC -∆=∙==. （12分）19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S满足)N ()2)(1(2243*∈++-+=+n n n n n a S n n ，且)2)(1(1+++=n n n a b n n . 求证:数列{}n b 是等比数列,并通项公式nb ；（2）设nn na c =，nT 为数列{}n c 的前n 项和，求nT .【解析】（1）由)2)(1(2243++-+=+n n n n a S n n 可得，)3)(2)(1(214311+++-+=+++n n n n a S n n ，两式作差得=++++--+++-=-+)3)(2)(1(2)3)(2()3)(2)(1(2)1(21n n n n n n n n n n n n a a n n）（3)2)(1(3)3)(2)(1(262+++--=++++-n n n n n n n n n n ， （3分）又)2)(1(1+++=n n n a b n n ，则)3)(2)(1(111++++=++n n n a b n n ，所以)2)(1(1)3)(2)(1(22211++-++++-=-++n n n n n n a a b b n n n n ，整理得112n nb b +=，又2161316111=+=+=a b ，故数列{}n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以12n n b =. （6分）由（1）可得）（2n )1(121)2)(1(1++-=++-=n n n n n b a n n n ，所以）（2n )1(12++-==n n na c n n n ， （7分）故]2)1(1431321[)2834221(321）（++++⨯+⨯-++++=++++=n n n c c c c T n n n ，设nnF 2834221n ++++=，则1n 2163824121+++++=n n F ，作差得1n 22116181412121+-+++++=n n n F ， 所以n n F 222n +-=. （9分）设）（2)1(1431321n ++++⨯+⨯=n n G ，则2121211141313121n +-=+-+++-+-=n n n G ， （11分）故2122232121222+++-=+--+-=n n n n T n n n ）（.（12分）20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为e 是方程2230x -+=的根. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x 轴交 于点D ，动点M 是直线x=4上异于点D 的任意一点，直线A1M ， A2M 与椭圆C 交于P ，Q 两点，问直线PQ 是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由．【解析】 （1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则依题意得2a c -=，又离心率e 是方程的2230x -+=的根，所以c e a ==，2,a c ==21b ∴=.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （4分） （2）由（1）知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，12(20)(20)A A ∴-，，，，设动点(4,)(R 0)M m m m ∈≠且，1122(,),(,)P x y Q x y ，则12,62A M A M m mk k ==，∴直线1A M 的方程为(2)6m y x =+，直线2A M 的方程为(2)2my x =-，由22)1(642x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=+⎩=⎪ 消去y 得2222(9)44360m x m x m +++-=， 2124362,9m x m -∴-=+2121829m x m -∴=+，1269m y m =+，2221826(,99m mP m m -∴++. （6分）由22)1(242x y m y x ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪ 消去y 得2222(1)4440m x m x m +-+-=， 22222244222,11m m x x m m --∴=∴=++，2221m y m -=+，222222(,)11m m Q m m --∴++. （8分）222222262291(18222391PQ m m m m m k m m m m m m --++∴==≠----++，∴直线PQ 的方程为22222222()131m m m y x m m m ---=-+-+， 22222222()311m m m y x m m m --∴=-+-++22222222223311m m m m x m m m m -=-⨯---++222233m m x m m =--- 22(1)3m x m =--，∴直线PQ 过定点(10)，. （12分）当m =时，(1,2P，(1,2Q -；当m =(1,2P -，(1,2Q . 此时直线PQ 也恒过定点(1,0).综上可知，直线PQ 恒过定点，且定点坐标为(1,0). （13分）21.（本小题满分14分）已知函数()ln xf x a x bx =+（(0,)x ∈+∞的图象过点11(,)e e -，且在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.（1）求,a b 的值.（2）若存在01[,e]e x ∈（e 为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围.【解析】 （1）()ln ln x f x a x bx ax x bx =+=+，()ln ,f x a x a b '∴=++又在点（1,(1)f ）处的切线与直线0x y e +-=垂直.(1)1f a b '∴=+=. （3分）又函数()ln x f x a x bx =+的图象过点11(,)e e -， ∴11111()ln a b f a b ee e e e e e =⨯⨯+⨯=-+=-， 1a b ∴-=，1,0a b ∴==. （5分）（2）由（1）知，()ln f x x x =，由题意2113()222f x x tx +-≥-得， 2113ln 222x x x tx +-≥-，则32ln t x x x ≤++， 若存在1[,]x e e ∈，使不等式2113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于32ln x x x ++的最大值， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， （8分） 当1[,1]x e ∈时，()0h x '<，故()h x 单调递减；当[1,]x e ∈时，()0h x '>，故()h x 单调递增. 33()2ln 2,h e e e e e e =++=++1111()2ln 323h e e e e e e =++=-++，12()()240h h e e e e ∴-=-->，∴1()() h h ee>，故当1[,]x ee∈时，h（x）的最大值为11()23h ee e=-++，故123t ee≤-++，即实数t的取值范围是1(,2+3e]e-∞-+. （14分）。
2015届四川省成都七中高三上学期一诊模拟考试理科数学试题(含答案解析)WORD精校版
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N (x2 , y2 ) ，以点 N 为切点作切线 l2 ，且 l1 ∥ l2 ，则称曲线 y = f (x) 具有“可平行性”．现
有下列命题：
①函数 y = (x - 2)2 + ln x 的图象具有“可平行性”；
②定义在 (-¥, 0) U (0, +¥) 的奇函数 y = f (x) 的图象都具有“可平行性”；
③ 三 次 函 数 f (x) = x3 - x2 + ax + b 具 有 “ 可 平 行 性 ”， 且 对 应 的 两 切 点 M (x1, y1) ，
N (x2 ,
y2 )
的横坐标满足
x1
+
x2
=
2 3
；
④要使得分段函数
f
(x)
=
ìï x í
+
1 x
(m
<
x)
的图象具有“可平行性”，当且仅当实数
m
=
1．
ïîex -1(x < 0)
其中的真命题是
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．（本小题满分 12 分）
已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 = -5 ，S5 = -20 ．
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式 Sn > an 成立的 n 的最小值．
7．已知不等式组
ï í
x
-
y
£
2
，则目标函数
z
=
2x
-
y
的最小值是
ïî y £ ln x
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四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(理)试题 Word版含答案
成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（ ）A ．[0,2] B. [1,3) C. (1,3) D.(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ）A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A ． ()cos(1)f x x =+B.()f x =C.()tan f x x = D.3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ） A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个10.设函数()x f x π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+|a b |-=则a b ⋅=12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，， 则sin B =13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ；BADC. PD CBAP③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18.在四棱锥P A B C D -中，PD ⊥平面A B C D ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式； （2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆222210:()x y M a b a b +=>>的长轴长为22124x y +=第（17）题图有相同的离心率. (I )求椭圆M 的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M 有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||AB 的取值范围，若不存在，说明理由.21. 已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x l n ()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；(3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明．成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ C ）B.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D.0||,2000≥+∈∃x x R x2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ B ）（A ）[0,2]（B ）[1,3)（C ）(1,3)（D ）(1,4) 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（D ）（A ）2ρ=（B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ=（D ）sin =2ρθ 4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ A ） (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（D ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( A ) (A) ()cos(1)f x x =+(B) ()f x =(C) ()tan f x x =(D) 3()f x x =7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ D ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7俯视图侧（左）视图正（主）视图8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ B ）A.10B.8C.3D.29． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ C ） （A ）4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个10.设函数()s i n x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ B ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),22,-∞-⋃∞C. ()(),44,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 1414.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .112π+15、设函数)(x f 在其定义域D 上的导函数为)(/x f ，如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的D x ∈，都有0)(>x h ，使得),1)(()(2/+=ax x x h x f -则称函数)(x f 具有性质BADC. P)(a ω，给出下列四个函数：①131)(23++=x x x x f -； ②14ln )(++=x x x f ； ③xe x x xf )54()(2+=-； ④12)(2++=x xx x f其中具有性质)2(ω的函数 ①② ③三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x 2k pp?，k ∈Z ， 即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ．……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且x 2k p p?，k ∈Z }．………………………………………………12分17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4， 5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.解：(1)第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分yD CBAP18.在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面A B C ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.证明：(Ⅰ)在四棱锥P ABCD -中，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥. 因为90BCD ∠=︒， 所以BC CD ⊥.因为PDDC D =, 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ,所以BC PC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz . 不妨设1=AD ，则2===PD CD BC .则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P .所以(1,0,2)=-PA u u r ，(2,2,2),(0,2,2)=-=-PB PC u u r u u u r.设平面PBC 的法向量(,,)=x y z n .所以 0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uu u r PB PC n n .即2220,220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令1y =，则0,1x z ==.所以(0,1,1)=n所以cos ,<>==uu rPA n 所以PA 与平面PBC所成角的正弦值为5. ………8分所以DF PC ⊥. 因为BC ⊥平面PCD ， 所以DF BC ⊥.因为=PC BC C I , 所以DF ⊥平面PBC . 所以AE ⊥平面PBC .即在线段PB 上存在点E ,使AE ⊥平面PBC .（法二）设在线段PB 上存在点E ,当(01)=<<u u r u u rPE PB λλ时，AE ⊥平面PBC .设000(,,)E x y z ，则000(,,2)=-PE x y z uur.所以000(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-.即0002,2,22x y z λλλ===-+.所以(2,2,22)E λλλ-+.所以(21,2,22)=--+AE λλλu u u r.由(Ⅱ)可知平面PBC 的法向量(0,1,1)=n . 若AE ⊥平面PBC ，则//u u u r AE n .即=u u u r AE μn .解得1,12λμ==.所以当12=PE PB uur uu r，即E 为PB 中点时，AE ⊥平面PBC . ………12分19.已知等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程212270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2n n T b =-（1）求数列{}{}n n a b 和的通项公式；（2）若13n nn n n b c a a +⋅=⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n S20．巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.(I )求椭圆M的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．这里，e 为自然对数的底数． (1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； (3)试判断 1ln 1n +与122231n n n ⎛⎫+++- ⎪+⎝⎭的大小关系，这里*n N ∈,并加以证明． 解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x x x+=--== ………2分（1）当x>0时，有221(1ln )1ln ()x x x x f x x x ⋅-+⋅'==- ()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；()0ln 01f x x x '<⇔>⇔> 所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x =处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << …4分（2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++ 令(1)(1l n )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 []22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'== 令()l n (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当1x =时取等号． 所以()l n h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>．……6分 因此，2()()0h x g x x '=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，m i n ()(1)2g x g ==．所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ …………………8分（3）(方法一)由（2），当1x ≥时，即12)(+≥x x f ，即12ln 1+≥+x x x ． 从而x x x 21121ln ->+-≥．………..10分 令1(1,2,,)k x k n k +==，得,22112ln -> 322ln123⋅>-， ……12ln 11n n n n +⋅>-+将以上不等式两端分别相加，得123ln(1)2()2341n n n n +>-+++++ 1123ln 2()12341n n n n ∴<++++-++ ………………………14分 （方法二）1=n 时，2ln 11ln -=+n < 011132212=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n 猜想11ln +n n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<132212 对一切*N n ∈成立。
四川省成都市2015届高三摸底(零诊)考试数学(理)试题(word版)
四川省成都市 2015届高三摸底（零诊）数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟． 注意事项1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撵擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（U ðS ）U T 等于 （A ）{2，4} （B ）{4}（C ）∅（D ）{1,3,4}3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5（C ）0x ∃∈R ，20x =5（D ）0x ∃∈R ，20x ≠54．计算21og 63 +log 64的结果是 （A ）log 62 （B ）2（C ）log 63（D ）35．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α （B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m 3）则下列说法正确的是 （A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．已知函数f （x ）3cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x ，则f （x ）的单调递减区间是 （A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z（C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 9．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），且当x ∈(]1,3-时，f （x ）=(]2,(1,1)1cos ,1,32x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩则g （x ）=f （x ）－|1gx|的零点个数是 （A ）7（B ）8（C ）9（D ）1010．如图，已知椭圆C l ：211x +y 2=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1（a>0，b>0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线相交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （A ）5 （B 17（C 5（D ）2147第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
成都七中届高三零诊模拟考试数学试题及答案(理)
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2x x R x ”的否定是（）A.0||,2x x R xB. 0||,2x x R xC. 0||,2000x x R xD. 0||,2000x x R x 【知识点】命题的否定．【答案解析】 C 解析：解：∵命题0||,2x x R x 是全称命题，∴命题0||,2x x R x 的否定是：0||,2000x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．2．设集合{||1|2}Ax x ，{|2,[0,2]}x B y y x ，则A B （）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3)D.(1,4)【知识点】交集及其运算．【答案解析】 B 解析：解：{||1|2}A x x ={x 丨﹣1＜x ＜3}，{|2,[0,2]}xB y y x ={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}，故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．3．在极坐标系中，过点22(,)且与极轴平行的直线方程是（）A ．2ρ B.2θ C. cos 2ρθ D.sin =2【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解.【答案解析】 D 解析：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)化为（2,0），过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ．【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)x y a a a ，则下列关系式恒成立的是（）。
2015年四川省成都市高考数学零诊考试卷(理科)
2015年省市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•模拟）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则+=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）2．（5分）（2014•模拟）设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（∁U S）∪T 等于（）A．{2，4} B．{4} C．∅D．{1，3，4}3．（5分）（2014•模拟）已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5 C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠54．（5分）（2014•模拟）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．35．（5分）（2015•模拟）已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A．10 B．8 C．2 D．06．（5分）（2014•模拟）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b7．（5分）（2014•模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是市区甲、乙两个监测站某10日每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m3）则下列说确的是（）A．这l0日甲、乙监测站读数的极差相等B．这10日甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C．这10日乙监测站读数的众数与中位数相等D．这10日甲、乙监测站读数的平均数相等8．（5分）（2014•模拟）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z9．（5分）（2014•模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）=f（x），且当x ∈（﹣1，3]时，f（x）=则g（x）=f（x）﹣|1gx|的零点个数是（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）（2015•模拟）如图，已知椭圆C l：+y2=1，双曲线C2：=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5 B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上．11．（5分）（2015•一模）已知α∈（0，），cosα=，则sin（π﹣α）= ．12．（5分）（2014•模拟）当x＞1时，函数的最小值为．13．（5分）（2014•模拟）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是．14．（5分）（2014•模拟）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是．15．（5分）（2014•模拟）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）（2014•模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）（2014•模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．18．（12分）（2014•模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名36名108名不喜欢电脑游戏32名60名92名作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率．19．（12分）（2014•模拟）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣VA﹣C的余弦值．20．（13分）（2014•模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x 轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为Γ．（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹F于点Q，且=λ，λ∈R．①证明：λ2m2=4k2+1；②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．21．（14分）（2014•模拟）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2﹣bx，其中a，b∈R．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，试用a表示出b的取值围；（Ⅲ）当b=﹣a时，若f（x+1）≤g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值．2015年省市高考数学零诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.D．2．.A．3.D．4． B．5． B．6． D7． C．8． A9． D．10． C．二、填空题：11．．12． 3．13． 28+12．14．．15．．16．（12分）（2014•模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=3，S7=49，n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）求出数列{b n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，∵a2=3，S7=49，∴，解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）b n===2n，则数列{b n}为等比数列，则数列{b n}的前n项和T n=．17．（12分）（2014•模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c）且•=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin（A+）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且•=0，∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，∴cosB==，∵B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．18．（12分）（2014•模拟）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区作业不多的人有多少名？（Ⅱ）在A，B，C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率．【分析】（I）根据样本数据统计表，可得200名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有36名，求出其占总人数的概率，再乘以高二学生的总数即可；（Ⅱ）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多的概率是多少．【解答】解：（Ⅰ）42500×答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有7650名．（Ⅱ）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是至少有一名学生认为作业多的事件的个数是：15﹣=15﹣6=9（个）所有至少有一名学生认为作业多的概率是．答：至少有一名学生认为作业多的概率是．19．（12分）（2014•模拟）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=1，求二面角M﹣VA﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．（Ⅱ）分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣VA﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴VC⊥BC，∵点C为⊙O上一点，且AB为直径，∴AC⊥BC，又∵VC，AC⊂平面VAC，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VAC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），=（1，0，﹣2），，设平面VAC的法向量==（0，2，0），设平面VAM的法向量=（x，y，z），由，取y=，得∴，∴cos＜＞==，∴二面角M﹣VA﹣C的余弦值为．20．（13分）（2014•模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为Γ．（Ⅰ）求轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹F于点Q，且=λ，λ∈R．①证明：λ2m2=4k2+1；②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．【分析】（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论．②由已知条件得m≠0，|x1﹣x2|=，由此能求出△AOB的面积，再利用基本不等式求最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），且x02+y02=4，①∵=（+），∴x0=x，y0=2y，②②代入①可得x2+4y2=4；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=（1）∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，又由中点坐标公式，得G（，），将Q（，）代入椭圆方程，化简，得λ2m2=1+4k2，（2）．②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x1﹣x2|=，（3）结合（2）、（3），得S△AOB=，λ∈（1，+∞），令=t∈（0，+∞），则S=≤≤1（当且仅当t=1即λ=时取等号），∴λ=时，S取得最大值1．21．（14分）（2014•模拟）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2﹣bx，其中a，b∈R．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，试用a表示出b的取值围；（Ⅲ）当b=﹣a时，若f（x+1）≤g（x）对x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值．【分析】（I）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（II）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，可得函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．因此h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．变形为=ax+在[4，+∞）上恒成立⇔2b≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．对a分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．（III）当b=﹣a时，令G（x）=f（x+1）﹣g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣﹣ax，x∈[0，+∞）．由题意G（x）≤0对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1﹣ax﹣a，x∈[0，+∞）．对a分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，解得x=．∴函数f（x）在上单调递减；在单调递增．∴当x=时，f（x）取得最小值．且==﹣．（II）由函数h（x）=x[g（x）+1]对任意的x1＞x2≥4，总有＞0成立，∴函数h（x）=在x∈[4，+∞）上单调递增．∴h′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立．∴=ax+在[4，+∞）上恒成立⇔2b≤，x∈[4，+∞）．令u（x）=，x∈[4，+∞）．（a＞0）．则=．令u′（x）=0，解得．∴u（x）在上单调递减，在上单调递增．（i）当时，即时，u（x）在上单调递减，在上单调递增．∴u（x）min==，∴，即．（ii）当时，即，函数u（x）在[4，+∞）上单调递增，∴，即．综上可得：当时，即．当，．（III）当b=﹣a时，令G（x）=f（x+1）﹣g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣﹣ax，x∈[0，+∞）．由题意G（x）≤0对x∈[0，+∞）恒成立．G′（x）=ln（x+1）+1﹣ax﹣a，x∈[0，+∞）．（i）当a≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴G（x）＞G（0）=0在x∈（0，+∞）成立，与题意矛盾，应舍去．（ii）当a＞0时，令v（x）=G′（x），x∈[0，+∞）．则，，①当a≥1时，v′（x）≤0在x∈[0，+∞）上成立．∴v（x）在x∈[0，+∞）单调递减．∴v（x）≤v（0）=1﹣a≤0，∴G′（x）在x∈[0，+∞）上成立．∴G（x）在x∈[0，+∞）上单调递减．∴G（x）≤G（0）=0在x∈[0，+∞）成立，符合题意．②当0＜a＜1时，=，x∈[0，+∞）．∴v（x）在上单调递增，在单调递减．∵v（0）=1﹣a＞0，∴v（x）＞0在上成立，即G′（x）＞0在上成立，∴G（x）在上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0在成立，与题意矛盾．综上可知：a的最小值为1．。