福建省永安市第一中学2021届高三上学期暑期考试数学试题附答案
福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2021届高三数学上学期第一次联考试题 理
福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2021届高三数学上学期第一次联考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合2{10},{0}x M x x N xx-=-≤=≤，则()R C M N ⋂=（ ） A. (0,1)B. (0,2]C. (1,2]D. [1,2]2.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.下列说法错误的是（ ）A. “0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件B. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”C. 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D. 命题:p x R ∀∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x ++≥ 4. 已知1cos()3πθ+=-，则sin(2)2πθ+=（ ）A.79B. 79-C.429D. 429-5.函数3()2xy x x =-⋅的图象大致是( )6. 已知4(,),tan()243ππθπθ∈-=-，则sin()4πθ+=（ ） A. 35 B. 45 C. 45- D. 35-7.已知113212,3,sin 4a b c xdx π--===⎰,则实数,,a b c 的大小关系是( )A.a c b >>B. a b c >>C. b a c >>D.c b a >>8.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =.假设过5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m 分钟甲桶中的水只有4a升,则的值为( )(A)5 (B)8 (C)9 (D)109.已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值是（ ） A.59B. 79-C. 13-D. 89-10.已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足：当0<x 时,0)()(2<'+x f x x f 则（ ） A. )3(9)()2(42f e f e f >> B. )()3(9)2(42e f e f f ->->- C.)()2(4)3(92e f e f f ->> D.)3(9)2(4)(2->->f f e f e11.已知函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=,当[]2,0x ∈-时x x x f 2)(2--=则当[]2018,2020x ∈时)(x f y =的最大值为（ ）A.8-B.1-C.1D.0 12.已知函数21()(2)x f x x x e-=-当1x >时()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A.1m ≤B.1m <-C. 1m ≥-D. 1m >-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13.计算121(1)x x dx --+=⎰______________.14.函数log (4)2(01)a y x a a =++>≠且的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin 2α=15.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点,,A B C 分别在函数1233log ,2log ,log (1)a a a y x y x y x a ===>的图象上,则实数a 的值为 .16.已知函数23()cos sin 1(0,)2xf x x x R ωωω=+->∈，若()f x 在区间(,2)ππ上没有零点，则ω的取值范围是 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若3,23b a c =+=，求ABC ∆的面积．18.（12分）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()xg x xf x e =⋅的极值..19.（12分）已知函数2()123cos 2sin ,.f x x x x x R =+-∈（1）若[0,]x π∈，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最值．20.（12分）已知函数()ln()f x x ax =⋅其中0a >.（1）若()tf x x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设()()sin f x g x a x x=+且()g x 在(]0,π上为单调函数，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--.（1）求证：函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =图像的上方；（2）当0m >时，令()()()h x mf x g x =+的两个零点1,212()x x x x <.求证：211x x e e-<-.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=．l 与C 交于,A B 两点．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点(0,2)P -，求PA PB +的值．23．［选修4—5：不等式选讲］（10分） 已知函数()15f x x x =-+-． （1）解关于x 的不等式()6f x >；（2）记()f x 的最小值为m ，已知实数,,a b c 都是正实数，且111234ma b c ++=，求证：239a b c ++≥．漳平一中2021-2022第一学期第一次月考高三数学（理科）答案一、选择题1—5，CACBB ，6—10，ABABA ，11—12，CD 二、填空题13.2π14.1213- 16.12(0,][,1]33⋃三、解答题17. 解：（1）∵A +B +C =π，即C +B =π-A ，∴sin （C +B ）=sin （π-A ）=sin A ，………………………………………………1分 将（2a -c ）cos B =b cos C 利用正弦定理化简得：（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ..........................................3分∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （C +B ）=sin A ，………………………..4分 在△ABC 中，0＜A ＜π，sin A ＞0，∴cos B =，又0＜B ＜π，则B =...................................................6分 （2）∵b =，cos B =cos=，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得：a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =3∵a +c =2. ∴ac =3……………………………………………………………...9分 又sin B =sin=， ∴S =ac sin B =ac =，即△ABC 的面积为，……………………………….12分18.解（1）依题意得：二次函数且，.................3分解得..............................................4分 故切点（0,0），................5分所求切线方程为：....................................6分（2）.................7分.................8分令得（舍去）......................9分在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10分.......................12分19. 解：（1）=1+2sin x cosx-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin （2x +），……2分令2k π+≤2x +≤2k π+，k ∈Z ，得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，…………………………………………………….4分 又0x π≤≤，∴263x ππ≤≤可得函数的单调减区间为[，]．……………………………………..6分（2）若把函数f （x ）的图像向右平移个单位， 得到函数=的图像，…………..8分∵x ∈[-，0]，∴2x-∈[-，-]，…………………………………………………………..9分∴∈[-2，1]．………………………………………..11分故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．………………….12分20.解：（1）依题意在定义域上恒成立，构造在定义域上恒成立，..............1分只需.....................................2分而令得...................................3分所以在为增函数，在为减函数，.............4分............................5分得..........................................6分（2）由在上为单调函数，而其中..............7分在为减函数，............8分在恒成立......................9分得........................11分故.......................................12分21.（1）证明：构造函数.................1分则令得............................2分时时在（0,1）为减函数，在（1，）为增函数，...................3分所以，即..................4分故函数的图像恒在函数图像的上方....................5分（2）证明：由有两个零点，当时....................6分则在为增函数，且，..................7分则当时为减函数，当时，为增函数，................................8分又......9分...............................10分在和上各有一个零点，.........11分故..........................................12分22. （Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为C： x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即ρcosθ-ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程：y=x-2．…………………………………………….5分（Ⅱ）点P（0，-2）在l上，l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2=1整理得，3t2-10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=………………………………………….10分23. 解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x-5|＞6，∴或或，解得x＜0或x＞6．综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，0）∪（6，+∞）．……………5分（2）由f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-（x-5）|=4（当且仅当（x-1）（x-5）≤0即1≤x≤5时取等号）．∴f（x）的最小值为4，即m=4，∴=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=3+（+）+（+）+（+）≥9．当且仅当=，=，=即a=2b=3c即a=3，b=，c=1时取等号．………..10分。
福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2021届高三数学上学期第一次联考试题 文
福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2021届高三数学上学期第一次联考试题文（考试时间：120分钟总分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.yxO-1 1 3A ．()()2,10,2--⋃B ．()1,1-C ．()()2,11,2--⋃D ．(),3-∞2．若a R ∈，则“复数32aiz i-=的共轭复数在复平 面内对应的点在第二象限”是“0a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，）4．执行下边的程序框图，输入5N，则输出S 的值为A ．23 B ．34C ．45D ．56 5．将偶函数()()()()πϕϕϕ<<+-+=02cos 2sin 3x x x f 的图像向右平移6π个单位，得到()x g y =的图像，则()x g 的一个单调递减区间是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛63-ππ， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛326ππ， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛12712ππ， D.⎪⎭⎫⎝⎛653ππ， 6．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。
”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”。
假如从第n 天开始每天走的路程少于30里，则n 的最小值是 A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若C a A c A b cos cos cos 3+=，则A tan 的值是A ． 22-B ． 2-C ． 22D ． 28．已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f 13-=+，且()3+=x f y 为偶函数，若()x f 在()30，内单调递减，则下面结论正确的是A ．()()()5.125.35.4f f f <<-B ．()()()5.125.4-5.3f f f <<C ．()()()5.4-5.35.12f f f <<D ．()()()5.4-5.125.3f f f <<9．有两个等差数列}{n a 、}{n b ，若3122121++=++++++n n b b b a a a n n ，则=33b a A ．67 B ．811 C ． 913 D ．9810．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 A ．h 145B ．h 75 C ．h 1415 D ．h 715 11．在ABC △中，点,M N 满足==,2，若,y x +=则x y +的值为A ．13B ．12C ．23 D ．3412．已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()4f x x '>，且1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos210f αα+->的解集为A ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置. 13．以x 轴的非负半轴为始边的角α，其终边经过点34(,)55--，则sin()3πα+的值为__________．14．数列}{n a 中，nn n a a a a 1,2111-==+，则该数列的前22项和等于 . 15.已知平面向量1a =，2b =，223a b +=，则a 在b 方向上的投影为_____．16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）在公差不为零的等差数列{}n a 中，12481,,,a a a a =成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .18．（12分）已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值和()x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0=-m x f 在区间[0，2π]上有两个实数解，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且满足().1,111++==+n n S na a n n（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：.3<n T 20．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，60CAB ∠=︒，120BCD ∠=，2AC =.（1）若015=∠ABC ，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.21．（12分）设函数()()01ln 22>----=a a xx a x x x f ）（． （1）求函数()x f 的单调区间；（2）若函数()x f 的最小值为()a g ，证明：()1-≤a g ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.(10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的方程为()2cossin 0a a ρθθ=>，以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标，直线l的参数方程为2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点()2,1P -；若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值23. (10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()||||2f x x a x a =+--. (1)当1=a 时，求不等式()2>x f 的解集；(2)若对任意R x ∈，不等式()332--≥a a x f 恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11．A 12．D 二、填空题： 13．410+-14．11 15．12 16．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题： （一）必考题：17．（本题满分12分）解析:（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，，则依题意得：()()()⎩⎨⎧++=+=d a d a d a a 73111211 (4)分1=∴d 或0=d (舍去),所以();11n d n a a n =-+= (6)分（II ）由（I ）有n a n =，所以()1111111n n n b a a n n n n +===-⋅++，...... ...... ...... (10)分121111111122311n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …… …… ……12 分18．（本题满分12分）解析:（Ⅰ）由题意，函数()21cos 2sin cos 222wx f x wx wx wx wx -==+ 1sin(2)62wx π=-+ (2)分所以函数()f x 的最小正周期为πωπ=22，∴1w =， ………………………… …… 3分即 ()1sin(2)62f x x π=-+． ………………………………… 4分 令222262k x k πππππ-≤-≤+，求得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈， (5)分可得函数的增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈． ………………… 6分（Ⅱ）在区间[0,]2π上，则52[,]666x πππ-∈-，则1sin(2)[,1]62x π-∈-，………………9分即()3[0,]2f x ∈， ……………10分关于x 的方程()0f x m -=在区间[0,]2π上有两个实数解， 则()f x 的图象和直线y m =在区间[0,]2π上有两个不同的交点，则312m ≤<． ……………………… 12分19．（本题满分12分） 解析：（1）①②……………1分由①—②可得： …………………………3分 且（不写应扣1分） (5)分 (6)分（2）由（1）知数列，…………… ……7分 则① ………………… 8分 ∴② …………… … 9分由①﹣②得……………………… 11分∴ ,3<∴n T ……………… …12分20．（本题满分12分）解析:（1）在四边形ABCD 中，因为AB AD ⊥，120BCD ∠=，015=∠ABC所以,1350=∠ADC …… 1分在ACD ∆中,可得,3060900=︒-︒=∠CAD ,1350=∠ADC 2=AC由正弦定理得:ADCACCAD CD ∠=∠sin sin ,解得：2=CD (4)分（2）因为60CAB ∠=，AB AD ⊥可得30CAD ∠=, …… …… …… …… 5分四边形内角和360得150ADC θ∠=-， ……………………… 6分∴在ADC ∆中，()()21sin 30sin 150sin 150DC DC θθ=⇒=--. ... ... ... (7)分在ABC ∆中，23sin 60sin BC BC θ=⇒=， … … … … … 8分()131sin12024sin 150sin BCD S DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯- ………………… 9分2334413133sin cos sin sin 2cos 2θθθθθ==+-+ (10)分()3413sin 260θ=-+, ... ... ... ... ... (11)分当75θ=时，S 取最小值633-…………………… 12分21．（本题满分12分）解析:（1）0x >，23212()1f x a x x x ⎛⎫=+-+ ⎝'⎪⎭32322x x ax a x+--= …………………… 1分()()322x x a x +-= (2)分 ()()()()0,,;0,,0>'+∞∈<'∈x f a x x f a x ………………4分 ()f x ∴单调减区间为(0,)a ，单调增区间(,)a +∞。
2021届福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”高三12月三校联考数学试题(解析版)
2021届福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”高三12月三校联考数学试题一、单选题1．已知集合{|12}=+<A x x ，{}2|9=<B x x ，则A B =（ ）A ．()1,3B ．(,1)-∞C ．()3,3-D ．()3,1-【答案】D【分析】先分别求解集合A 与集合C ，然后计算AB .【详解】因为{}{}|12=|1A x x x x =+<<，{}{}2|9|33B x x x x =<=-<<， 所以{}|31AB x x =-<<.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，根据交集的概念计算即可. 2．已知复数21z i=-，则z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】先对复数化简，再利用模的公式求解即可【详解】由()()()()22121211111i i z i i i i i ++====+--+-，则z =故选：B【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，属于基础题 3．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin 2y x =B ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据三角函数的平移原则，直接得出结果.【详解】将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数解析式为2sin 22sin 2366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，αβ⊥，则//m β C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D ．若//m α，//m n ，则//n α【答案】C【分析】A ：根据线面平行的性质进行判断即可； B ：举特例进行判断即可；C ：根据线面平行的性质定理，结合平行线的性质、面面垂直的判定定理进行判断即可；D ：举特例进行判断即可.【详解】A ：因为平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，所以本选项说法不正确； B ：设l αβ=，当m β⊂，m l ⊥时，有m α⊥，显然//m β不成立，因此本选项说法不正确；C ：因为//m β，所存在过m 的平面δ与β相交，设n δβ=，因此有//m n ，而m α⊥，所以n α⊥，而n β⊂，所以αβ⊥，故本选项说法正确； D ：当n ⊂α时，//m α，//m n 也可成立，故本选项说法不正确， 故选：C5．直线10x y +-=被圆222410x y x y +---=截得的弦长为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【分析】由圆的方程写出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离d ，再计算可得弦长.【详解】因为222410x y x y +---=， 所以()()22126x y -+-= ，所以圆心为()1,2，6r =，圆心到直线10x y +-=的距离12122d +-==，所以弦长为2222624r d -=-=， 故选：A【点睛】本题主要考查了几何法求直线与圆相交截得的弦长，属于基础题.6．若偶函数()f x 满足()()11f x f x ⋅+=，()21f -=-，则()2021f =（ ） A ．2 B ．2C ．1D ．－1【答案】D【分析】由已知可知()f x 是周期为2的函数，然后结合函数的周期性及奇偶性即可得解. 【详解】()()11f x f x ⋅+=，()()11f x f x +=令1x x =+，则()()()()11211f x f x f x f x +===+，故函数()f x 是2T =的周期函数， 又()()1211f f -==--，()11f ∴-=-，又函数()f x 为偶函数，()()111f f ∴=-=-()()202111f f ∴==-故选：D【点睛】结论点睛：函数的周期性的基本结论：（1）若函数()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （2）若函数()f x 满足()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （3）若函数()f x 满足1()()f x a f x +=，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； （4）函数()f x 满足()()f x a f x b +=+,则()f x 是以T a b =-为周期的周期函数. 7．角谷猜想，也叫31n +猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取6n=，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若13n=，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为（）A．115B．215C．118D．310【答案】A【分析】根据题意，得出上述过程的整数，结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】若13n=，根据上述过程得出的整数分别为13,40,20,10,5,16,8,4,2,1，共10个数其中奇数共有3个所以随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为23210115CC=故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算，属于中档题.8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，PQ为地路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB PQ⊥，23ABCπ∠=，C处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角3DCEπ∠=，已知2AB=，1BC=．则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为（）A．525B．52C53D．53【答案】C【分析】由题知，CDE△底边DE上的高52h=，又11sin223CDES DE h CD CEπ=⋅=⋅得到53DE CD CE=⋅，根据余弦定理和均值不等式得到2DE CD CE≥⋅，计算得到答案.【详解】设CDE △中，定点C 到底边DE 的距离为h ，则2521sin ,322h ππ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭ 又11sin 223CDESDE h CD CE π=⋅=⋅，即53DE CD CE =⋅， 利用余弦定理：222222cos3DE CD CE CD CE CD CE CD CE π=+-⋅=+-⋅2CD CE CD CE CD CE ≥⋅-⋅=⋅，当且仅当CD CE =时，等号成立，故2DE CD CE ≥⋅，而53DE CD CE =⋅，2533DE DE ∴≥则53DE ≥，DE 的最小值为53. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了余弦定理，三角形面积公式，及均值不等式求最值，解题的关键是通过等面积法找到CDE △三条边的关系，再利用余弦定理及基本不等式即可得解，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.二、多选题9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论错误的是（ ）A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】ABC【分析】由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A 不正确.B.月跑步平均里程不是逐月增加，因此B 不正确；C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C 不正确.D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D 正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10．已知正数a ，b 满足14a b+= ） A ．1ab ab+的最小值为2 B ．ab 的最小值为4 C ．4a b +的最小值为8 D ．4a b +的最小值为8【答案】BD【分析】先利用基本不等式求得4ab ≥判断B ；再结合对勾函数的性质判断A ；利用基本不等式取等号条件判断C,D.【详解】对于B ，因为a ，b 都是正数，14a b =+≥=14a b=，即1,4a b ==时，等号成立，故4ab ≥，即ab 的最小值为4，故B 正确； 对于A ，由选项B 知4ab ≥，结合对勾函数性质知1117444ab ab +≥+=，故A 错误；对于C ，48a b +≥=≥，前一个等号成立的条件是4a b =，即4,1a b ==，而后一个等号成立的条件是4a b =，即1,4a b ==，等号不具有传递性，故48a b +>，故C 错误；对于D ，48a b +≥=≥，两个等号成立的条件都是4a b =，即1,4a b ==，等号具有传递性，故48a b +≥，故D 正确；故选：BD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．如图，在长方体1AC 中，2AD AB ==，11AA =，E 为11D C 的中点，平面1ABD 与平面1B EC 的交线l ，则下列结论中正确的是（ ）A ．直线1//BD lB ．平面1//BDD 平面1B ECC ．三棱锥1A BDD -的外接球的表面积为9π D ．直线l 与平面11CC D D 所成角的正弦值为23【答案】ACD【分析】对A ，连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，可得ME 即为交线l ，利用中位线即可证明1//BD l ；对B ，由图可判断平面1BDD 与平面1B EC 相交；对C ，三棱锥1A BDD -的外接球即为长方体1AC 的外接球，可求得半径为2221312222=++=r ，从而得外接球的表面积；对D ，因为1//BD l ，所以直线l 与平面11CC D D 所成角即为1BD 与平面11CC D D 所成角1∠BD C ，代入求解1sin ∠BD C .【详解】对A ，连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，则ME 即为交线l ，因为,M E 分别为1BC ，11C D 的中点，所以1//ME BD ，即1//l BD ，故A 正确；对B ，平面1BDD 即平面11BB D D ，由图可知平面11BB D D 与平面1B EC 相交，故B 错误；对C ，三棱锥1A BDD -的外接球即为长方体1AC 的外接球，可求得半径为2221312222=++=r ，所以外接球的表面积为249ππ==S r ，故C 正确；对D ，连接1CD ，因为1//BD l ，所以直线l 与平面11CC D D 所成角即为1BD 与平面11CC D D 所成角1∠BD C ，在1Rt BD C △中，112sin 3∠==BC BD C BD ，故D 正确. 故选：ACD.12．已知实数,,a b c ，且12aa =，13b b =，15cc=，则（ ） A ．a b c << B ．a b c >> C ．ln ln ln b a cb ac << D ．ln ln ln a b ca b c>>【答案】BD【分析】由题意，,,a b c 可表示为函数2xy =，3xy =，5xy =分别与函数1y x=交点的横坐标，作出函数图像，数形结合可得,,a b c 的大小关系；对12aa=左右两边取对化简得n n 12l l =a a ，同理可得n n 13l l =b b ，n n 15l l =c c ，然后结合函数ln y x =的单调性判断大小.【详解】由题意，,,a b c 可表示为函数2xy =，3xy =，5xy =分别与函数1y x=交点的横坐标，分别作出函数图像，由图可知，a b c >>，故B 正确；因为12aa=，左右两边取对可得l ln 2n =-a a ，即1ln 2ln 2ln =-=a a ，同理可得n n 13l l =b b ，n n 15l l =c c ，因为函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，且111532<<，所以111ln ln ln 532<<，即ln ln ln <<c b a c b a，故D 正确. 故选：BD【点睛】在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确，如果不同底也不同指数时，可以考虑图像法或者取对数两两比较的方法比较大小.三、填空题13．已知向量()1,2a =，(),3b t =，若//a b ，则t 的值为______． 【答案】32【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于t 的等式，进而可求得实数t 的值. 【详解】已知向量()1,2a =，(),3b t =，若//a b ，则23t =，解得32t =. 故答案为：32. 14．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）． 【答案】210【详解】对于6个台阶上每一个只站一人，有36120A =种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有123690C A =种， 所以不同的站法种数是12090210+=种． 故答案为：210．15．已知抛物线2:8C x y =的准线与y 轴交于点A ，焦点为F ，点P 是抛物线C 上任意一点，令||||PA t PF =，当t 取得最大值时，直线PA 的斜率是________. 【答案】±1【分析】令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===，设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，计算得到答案. 【详解】由题意知()0,2A -，()0,2F ，过点P 作PB l ⊥（l 为抛物线的准线），垂足为B .由抛物线的定义可知||||PF PB =.令PAB α∠=，则||||1||||sin PA PA t PF PB α===， 当sin α最小时，t 最大，当直线PA 与抛物线28x y =相切时，sin α最小，即t 最大.设200,8x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于4x y '=，所以在点P 处切线的斜率04x k =，所以在点P 处的切线方程为()200084x xy x x -=-，又切线过()0,2A -，所以2200284x x --=-，解得04x =±，所以当t 取得最大值时，直线PA 的斜率为±1. 故答案为：±1.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值和直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力16．已知数列{}n a 满足奇数项{}21n a -成等差，公差为d ，偶数项{}2n a 成等比，公比为q ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =．5452S a a =+，934a a a =+．若12m m m a a a ++=，则正整数m =______．【答案】2【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d ，公比q ，分别讨论m 为奇数和偶数时，结合等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求值． 【详解】因为5452S a a =+，934a a a =+，所以1234a a a a ++=，934a a a =+， 又11a =，22a =，奇数项21{}n a -成等差，公差为d ，偶数项2{}n a 成等比，公比为q ， 可得42d q +=，32d q =，解得2d =，3q =．①当n 为奇数时，设21n k =-，则211(1)21n k a a a k d k n -==+-=-=，当n 为偶数时，设2n k =，则1122223nk n k a a a q --===⋅，②当m 为奇数时，由12m m m a a a ++=，可得12232m m m -⋅⋅=+，即122231m m-⋅=+， 当1m =时，不合题意；当3m 时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；当m 为偶数时，12m m m a a a ++=，可得13m +=，解得2m =． 综上，2m =． 故答案为：2．【点睛】关键点睛：解决本题，一是要注意运用基本量来确定数列，二是要注意分奇偶讨论.四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和. 【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【分析】（1）利用等比数列的定义可以证明；（2）由（1）可求n b 的通项公式，结合n n b a n =+可得n a ，结合通项公式公式特点选择分组求和法进行求和.【详解】证明：（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+.又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.解：（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S aa a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. 18．在①sin cos a C c B =+②222sin sin sin sin sin A B C A B C +-=③2AC AB b ab ⋅=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． 设ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，_____________．（1）求角C ；（2）若D 是BC 上的点，且AD 平分BAC ∠，1AD =，CD =，求ABC 的面积．【答案】选择见解析；（1）6C π=；（2）12 【分析】（1）选①用正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换求得角C ， 选②用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得角C ；选③用向量的数量积的定义变形，根据余弦定理化角为边，等式变形后利用余弦定理可得角C ；（2）ADC 中应用正弦定理求得CAD ∠，AC ，得BAC ∠是直角，从而求得AB 后易得三角形面积．【详解】解：（1）选择①：由正弦定理，sin sin sin cos A B C C B =+， 由()sin sin A B C =+，则sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C C B +=+，即sin cos sin B C B C =，因为0B π<<，0C π<<，所以tan C =， 所以6C π=．选择②：222sin sin sin sin sin A B C A B C +-=可得222sin a b c C +-=所以2cos sin ab C C =，解得tan 3C =． ∵()0,C π∈，∴6C π=选择③：因为2cos 2AC AB b c A b ab ⋅=⋅⋅=-，所以222222b c a b c b bc +-⋅⋅=-，即22222b c a b +-=-，所以222b ac +-=，所以222cos 22a b c C ab +-==． 因为()0,C π∈，所以6C π=．（2）在ADC 中，由正弦定理，得sin sin sin AD CD AC C CAD ADC==∠∠∠，即11sin 2CAD =∠，解得2sin CAD ， 因为02CAD π<∠<，所以4CAD π∠=，74612ADC ππππ∠=--=，则17sin 2sin 1122AC ADC π=⨯∠==， 因为AD 平分BAC ∠，所以2BAC π∠=，tan AB AC C ==，则1122ABC S AB AC =⨯=△所以ABC的面积为123+． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题关键是用正弦定理、余弦定理进行边角转换，化边为角或者化角为边后进行变换求解．19．为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男女游戏玩家各200名，其中游戏水平分为高级和非高级两种．（1）根据题意分别求出m ，n ，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？（2）按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手,设抽取的3名选手中女生的人数为X ，求X 的分布列和期望．附表：()()()()()22nab bc K a b c d a c b d -=+⨯+⨯+⨯+，其中n a b c d =+++．【答案】（1）160m =，60n =；没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关；（2）分布列见解析；期望为32．【分析】（1）先求出列联表，再根据公式计算并判断；（2）由题意可知男、女各抽取5人，再得到女生的所有可能取值，根据超几何分布求出分布列及期望.【详解】（1）160m=，60n=.()2240040140160605.3336.635200200100300K⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99％以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关.（2）根据分层抽样的特征10人中男女各5人，女生的人数X的所有取值为0，1，2，3；()35310112CP XC===，()12553105112C CP XC===，()21553105212C CP XC===，()353101312CP XC===；所以X的分布列为X 0 1 2 3 P112512512112()0123121212122E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥底面ABCD，//AD BC，3AB AD AC===，4BC=，M为线段AD上一点，2AM MD=，N为PC的中点．（1）证明：//MN平面PAB；（2）若平面AMN 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值为49，求三棱锥P AMN -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）53． 【分析】（1）取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，先证明四边形AMNT 为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可；（2）以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系．再求平面AMN 和平面PAD 的法向量，再由夹角公式得到h ，最后由体积公式计算可得. 【详解】（1）证明：由已知得223AM AD ==， 取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TNBC ，122TN BC ==．又AD BC ∥，故TN AM ∥，且TN AM =， ∴四边形AMNT 为平行四边形， ∴MN AT ∥．∵AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ．（2）取BC 的中点E ，连接AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，225AE AB BE =-=．以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设()0,0,P h ， 则)5,0,0E，)5,2,0C，()0,2,0M ，)5,2,0B-，52h N ⎫⎪⎪⎝⎭，设()111,,n x y z =为平面AMN 的法向量，()0,2,0AM =，522h AN ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭则∴111120022y hxy z =⎧++=⎪⎩，可取(,0,n h =． 设平面PAD 的法向量为()222,,m x y z =，由()0,0,AP h =，()5,2,0=-AB ，∴222020hz y =⎧⎪-=，可取()2,5,0m =， 由4cos ,9m n <>=，49=得2h=.∴三棱锥P AMN-的体积11112222323P AMN N AMP C APM V V V ---⎛⎫===⨯⨯⨯=⎪⎝⎭． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且点P 到点F+P 到点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（2）2. 【分析】（1）根据题意可得出关于a 、c 的方程组，求出这两个量的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况讨论：①AB x ⊥轴，求得AB ；②直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由直线AB 与圆相切得出()22314m k =+，再将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理结合弦长公式可求得AB 的最大值，进而可求得AOB ∆面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则max min PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b ∴==，因此，椭圆C 的标准方程为2213x y +=；（2）设()11,A x y 、()22,B x y . ①当AB x ⊥轴时，AB =②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=()22314m k ∴=+. 将y kx m =+代入椭圆方程整理，得()222316330k x kmx m +++-=，122631kmx x k ∴+=-+，()21223131m x x k -=+. ()()()()22222211212114AB k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=+⋅+-⎣⎦()()()()()()()()()222222222222222212112131319136131313131m k k m k k k m k k k k k ⎡⎤-++-++⎢⎥=+-==⎢⎥++++⎣⎦2422212123334196196k k k k k =+=+≤=++++，当且仅当k =. max 2AB ∴=，因此，AOB ∆面积的最大值为()maxmax 12AOB S AB ∆=⨯=【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及韦达定理设而不求法以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 22．已知函数()2xf x e ax =-，[)0,x ∈+∞，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）若不等式()()2ln 20f x x e ++-≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）11,12a e ⎛⎤⎛⎫∈-∞+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．【分析】（1）根据函数()f x 的导数的最小值的正负性、极值的定义进行分类讨论求解即可；（2）构造新函数，利用二次求导法进行求解即可.【详解】解：（1）由()()'2212x xf x e ax f x e a =-⇒=-，当[)0,x ∈+∞时，()1,2f x a ⎡⎫'∈-+∞⎪⎢⎣⎭若12a ≤，则()0f x '≥恒成立，()f x 在[)0,x ∈+∞上为增函数，无极值； 若12a >，则令()0f x '=得221x e a =>，02ln 2x a =，当()00,x x ∈时()0f x '<，()0,x x ∈+∞时()0f x '>，此时()f x 有极小值点2ln 2x a =，极小值为()ln22ln 22ln 222ln 2af a e a a a a a =-=-．综上可知：12a ≤时()f x 无极值， 12a >时()f x 极小值为()2ln 222ln 2f a a a a =-，无极大值 （2）令()()()()2ln 2ln 20xF x f x x e e ax x e =++=-++-≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，()()12xF x e a g x x e'=+-=+，则()()21x g x e x e '=-+ 当[)0,x ∈+∞时1xe ≥，()211x e <+，故()0g x '>恒成立，即()0F x '>在[)0,x ∈+∞上恒成立，所以()F x '在[)0,x ∈+∞上递增，且()()1012F x F a e''≥=+- 若1112a e ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，则()0F x '≥恒成立，故()()00F x F ≥=成立，1112a e ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭符合题意；若1112a e ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，则∃唯一()00x ∈+∞,使得()0F x '=，且当()0,x ∈+∞时()0F x '<，此时()F x 在()0,x ∈+∞为减函数，则()()00F x F <=不合题意．综上可知：11,12a e ⎛⎤⎛⎫∈-∞+ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【点睛】关键点睛：根据导数的最小值的正负性进行分类讨论函数极值是解题的关键，对于不等式恒成立问题，构造新函数，二次求导是解题的关键.。
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题(PDF)答案
解得 a 0.002 . --------4 分 （2）依题意， 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24
220 0.08 230 0.02 200 ， --------6 分
故 X ~ N 200,12.22 ，
…… 2 分
∴k 2.
…… 4 分
（2） f (x) ax ax (a>0且a 1)
f (1) 0, a 1 0,又a 0,且a 1, 0 a 1 ， a
而 y ax 在 R 上单调递减， y ax 在 R 上单调递增，
……6 分
故判断 f (x) ax ax 在 R 上单调递减， 不等式化为 f (x2 tx) f (x 4) ， x2 tx x 4 ， x2 (t 1)x 4 0 恒成立，
2
36
2
-------9 分
对于任意的
x
2
,
2
，不等式
f (x) - m
< 3 恒成立，
即m3
f
(x)
m
3
恒成立，
f
f
x max
x min
m3
，
m3
-------11 分
所以
3
3 2
m
3 m
3
，
0
m
3 2
，故实数
m
的取值范围为
0,
3 2
。
-------12 分
20.解：（1）由10 a 0.009 0.022 0.033 0.024 0.008 a 1 ，
a 2sin A 4 3 sin A
3
3
2
同理： c 4 3 sin C 3
2021学年福建省三明市永安一中高三(上)期中数学试卷
2021学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷包治百病的烧仙草高考数学试卷共享2021-03-31原文注：文末有完整版电子打印资料的获取方式。
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无偿分享！11【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点，求出k的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是中档题．12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，由四棱锥外接球的体积求解a，再由矩形及三角形面积公式求四棱锥的表面积．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查多面体的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】利用向量的数量积转化求解即可．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是基础题．14【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数的极值点，列出方程组求解即可．【点评】本题考查函数的极值的求法，切线方程的应用，是中档题．15【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【分析】直线x＝my+1过（1，0），求出p＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线x＝my+1与抛物线y2＝4x联立，结合韦达定理，然后求解直线的斜率即可．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【分析】对于①，当P在C点时，DD1⊥AC，可得异面直线AC与DD1所成的角最大，当P在B1点时，异面直线AB1与DD1所成的角最小，即可判断出结论．对于②，利用BD1⊥平面A1C1D，即可判断出结论；对于③，由B1C∥平面A1C1D，可得点P到平面A1C1D的距离为定值，且等于BD1的，即可判断出正误；对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，，当BP⊥B1C 时，BP最小，tan∠APB最大，即可判断出正误．【点评】本题考查了空间角、空间距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．2.解答17【考点】函数的定义域及其求法；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）a＝1时函数f（x）＝﹣x，令|x+1|﹣1≥0求出解集即可．（2）化简f（x）＝a，利用换元法求出a的解析式，再根据题意求出a的取值范围．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也运算求解能力，是中档题．用户设置不下载评论。
福建省第一中学2021届高三数学上学期第一次阶段考试试题 文
10．若函数 在区间 内没有最值，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
11．在 中，直角 的平分线的长为1，则斜边长的最小值是
A．2B． C． D．4
12．若不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
所以直线AB的方程为 ．------------------------------------------------------（12分）
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）由正弦定理可知 ，
则 ，整理得 ，
因为sinB≠0，所以 ，从而有tanC＝ ，
又因为0＜C＜，所以C＝ ．--------------------------------------------------------------（5分）
2． 是 的条件.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知sin(π＋θ)＝－ cos(2π－θ)，|θ|＜ ，则θ等于
A．－ B．－ C. D.
4．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形(另一种是顶角为 的等腰三角形).例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 中， ，根据这些信息，可得 =
A． B． C． D．
5．已知奇函数 在 上是增函数．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形 中， 为 边的中点，N为线段 上靠近A点的三等分点，则 =
A． B．
C． D．
福建省永安市第一中学2021届高三上学期暑期考试物理试题含答案
永安一中2021届高三年段暑期阶段考试物理试题（考试时间：90分钟总分：100分）第Ⅰ卷(选择题共46分)一、单项选择题（本题共10小题．每小题3分，共30分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对的得3分，有选错或不答的得0分．）1．下列说法中正确的是( )A.将香水瓶盖打开后香味扑面而来，这一现象说明分子在永不停息地运动B.布朗运动指的是悬浮在液体或气体中的固体分子的运动C.一定质量的理想气体从外界吸收热量，内能一定增大D.布朗运动的剧烈程度与温度无关2．一定质量的理想气体发生状态变化时，其状态参量p、V、T的变化情况不可能的是（）A.p、V、T都减小B.V减小，p和T增大C.p和V增大，T减小D.p增大，V和T减小3．甲分子固定在坐标原点O处，乙分子只受两分子间的作用力作用，沿x轴方向运动，两分子间的分子势能E P与两分子间距离x的变化关系如图所示，设分子在移动过程中所具有的总能量为零。
则下列说法正确的是（）A.乙分子在P点时加速度最大B.乙分子在Q点时分子势能最小C.乙分子在Q点时处于平衡状态D.乙分子在P点时分子动能最大4．下列说法正确的是（）A．气体分子热运动的平均动能增大时，则气体压强也一定增大B．分子力随分子间距离的减小会增大C．两块表面磨平、干净的铅块，使之紧密接触后结合在一起，说明分子间有引力D．一定质量的理想气体等温膨胀时会向外放热但内能保持不变5．一定量的理想气体从状态a开始，经历三个过程ab、bc、ca回到原状态，其pT图象如图所示，下列判断正确的是（）A．a和c两个状态中，容器壁单位面积单位时间内受到气体分子撞击的次数不同B．a、b和c三个状态中，状态a分子的平均动能最大C．过程bc中外界对气体所做的功等于气体所放的热D．过程ca中气体既不吸热也不放热6．下列关于温度、内能、热量和功的说法正确( )A．要使物体的内能增加，一定要对物体做功B．要使物体的内能增加，一定要吸收热量C．物体内能增加，它的温度就一定升高D．同一物体温度越高，内能越大7．图示为氢原子的能级图，一个氢原子吸收能量后由基态跃迁到n=4的激发态，然后向低能级跃迁，下列说法正确的是( )A.可能发出6种不同能量的光子B.只能发出1种能量的光子C.吸收的能量为12.75 eVD.可能发出能量为0.85 eV的光子8．足够长的U形玻璃管开口朝下竖直放置，管中有两段水银，右边封闭了一段长度L A的气体，左边的活塞也封闭了一段长度L B的气体，现将活塞缓慢地向上移动，左边的竖直管中始终有水银，两气柱长度变化是（）A ．L A 不变，LB 增大B ．L A 不变，L B 减小C ．L A 减小，L B 增大D ．L A 增大，L B 减小9．一定质量的理想气体,经等温压缩，气体的压强增大，用分子动理论的观点分析，这是因为（ ）A ．气体分子每次碰撞器壁的平均作用力增大B ．单位时间内单位面积器壁上受到气体分子碰撞的次数增多C ．气体分子的总数增加D ．单位体积内的分子数目不变10．某不封闭的房间容积为20m 3,在温度为7℃、大气压强为9.8×104Pa 时,室内空气质量为25kg 当温度升高到27℃、大气压强为1.0×105Pa 时,室内空气的质量是（ ）A ．13.8KgB ．23.8KgC ．20.6kgD ．34.8kg二、多定项选择题（本题共4小题．每小题4分，共16分。
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考数学(理)试题Word版含答案
C. D.
11.已知函数 是定义在R上奇函数，且满足 ,当 时 则当 时 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 当 时 有解，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13.计算 ______________.
14.函数 的图象恒过点 ，且点 在角 的终边上，则
15.如图,已知正方形ABCD的边长为 平行于 轴,顶点 分别在函数 的图象上,则实数 的值为.
16.已知函数 ，若 在区间 上没有零点，则 的取值范围是.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，………………………..4分
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB= ，
又0＜B＜π，则B= ...................................................6分
（2）∵b= ，cosB=cos = ，
（Ⅱ）设点 ，求 的值．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）记 的最小值为 ，已知实数 都是正实数，且 ，求证： ．
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考
数学（理）试题参考答案
一、选择题
1—5，CACBB，6—10，ABABA，11—12，CD
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考
福建省永安市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考试题 数学(文)含答案
18．（12 分）已知an 为公差不为 0 的等差数列， a1 2 ，且 a1,的通项公式； （2）若 bn 2an , cn an 1n bn ，求数列cn 的前 n 项和 Sn .
因为 d 0 ，所以 d a1 2，
所以 an a1 n 1 d 2 n 1 2 2n .
………………………………4 分 ………………6 分
（2）由题意得： bn 22n 4n ， cn 2n 1n 4n 2n 4n ， ………………8 分
所以
Sn
n2
2
2n
4 1 4n 1 4
参考答案
一选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
-3-
答案 D
C
C
B
A
D
A
D
B
B
C
C
72
5
n(n 1)
二、填空题：13． ; 14. ; 15．
; 16．2
50
3
2
三、解答题：
17．解：（1）由正弦定理： a cos C b 1 c 可化为sin Acos C sin B 1 sin C ………1 分
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
x 0，y 0
4．已知实数
x，y
满足
x
y
1
0
，则 z 2 y 3x 的最大值为
3x y 6 0
A．0
B．2
C．4
D．6
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文.doc
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12 C.154D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个 元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记 这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例 如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所 示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个a ，则输 出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则 该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C. 348π- D.π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-， 则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A ．234 B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin)(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ； （2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分 于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分 （Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴5PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴22PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴5AD =，∴()()221225262APDS =⋅⋅-=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且3PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴1131333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅⋅=－△………………………………………………10分 设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴3226ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD 的距离为22．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g .∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即：由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分m ．…………………………………………………………10分∴5。
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确选项的得 3 分，正确选项全部选出的得 5 分.
11..若将函数
f
(x)
cos
2
x
12
的图象向左平移
8
个单位长度，得到函数
g(x)
的图
象，则下列说法正确的是（ ）
A. g(x) 的最小正周期为
B.
g
(
x)
在区间
0,
2
上单调递减
C. x 不是函数 g(x) 图象的对称轴 12
D.
3
3
9
D. 7 9
8. 2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式. 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个
素数 p 使得 p 2 是素数，素数对 p, p 2 称为孪生素数，从 20 以内的素数中任取两个，
其中能构成孪生素数的概率为（ ）
1
A.
14
1
B.
7
3
C.
14
1
D.
3
9.已知函数 f (x) Asin( x ) （ A 0 ， 0 ，| | ）的部分图象如图所示，则
f(x)的解析式为（ ）
A. f (x) 2 3 sin( x ) 84
B. B. f (x) 2 3 sin( x 3 ) 84
D. a 的值可以为 2 2
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.二项式
x
1 x
5
的展开式中含
x
的项的系数是__________.
14.已知集合 A {x | x2 1}, B {x | ax 1} ，若 B A ，则实数 a 的值为
．
15.在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c ，若 a sin A b sin B (c b) sin C ，
则这条公路的总长度的最小值为________km.(备注：把公路看成一条曲 线，公路宽度不计)． 四、解答题：本大题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10 分）已知 A x | 1 x 3, B x | m2 x 1 3m2
（I）当 m 1时，求 A∪B； （II）若 B CR A ，求实数 m 的取值范围．
则角 A 的值为_______
16.某学校高一同学参加社会实践活动，应用所学知识测量一个四边形
公园的面积，如图所示，测量得公园的四边边长分别为 AB = 1 km，BC = 3 km，CD = AD = 2 km，∠BAD = 120°，则公园的面积为________km2， 当地政府规划建一条圆形的公路，使得整个公园都在圆形公路的里面，
C. {0,1,2,3} D. {1,2,3}
2.已知命题 p : x 0, x2 0 ，则 p 为（ ）
A. x0 0, x02 0
B. x 0, x2 0
C. x0 0, x02 0
D. x 0, x2 0
3.在 ABC中，AC 13, BC 1, B 60o ，则 ABC 的面积为
（I）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数 x 和众 数 m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（II）已知样本中玩电脑游戏时长在[50,60]的学生中, 男生比女生多 1 人,现从中选 3 人进行回访,记选出的男生 人数为ξ,求ξ的分布列与期望 E（ξ）.
g
(x)
在
6
,
6
上的最小值为
1 2
12.集合 A (x, y) x y a, a 0 ，B (x, y) xy 1 x y ，若 A∩B 是平面上
正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的是 （ ）
A. a 的值可以为 2
B. a 的值可以为 2
C. a 的值可以为 2 2
C. f (x) 2 3 sin( x ) 84
D. D. f (x) 2 3 sin( x 3 ) 84
10.某校高三年级有男生 220 人，编号为 1，2，…，220；女生 380 人，编号为 221，222，…，
600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10 人进
行问卷调查，第一组抽到的号码为 10，现从这 10 名学生中随机抽取 2 人进行座谈，则这
2 人中既有男生又有女生的概率是（ ）
1
A.
5
B. 7 15
8
C.
15
4
D.
5
二、多选题 分.在每小题给出的四个选项中，至少
有 2 个选项符合题目要求.作出的选择中，不选或含有错误选项的得 0 分，只选出部分正
18.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，b＝2，cosC＝ ，△ABC 的面积为 ．
（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求 sin2A 值．
19.（本小题满分 12 分） 已知函数
．
（I）求函数 f (x) 的最小正周期和对称中心坐标；
（II）讨论 f (x) 在区间[0, ] 上的单调性． 2
20.（本小题满分 12 分）某校为了解本校学生在课外玩电脑游戏的时长情况,随机抽取了 100 名学生进行调查.如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
A. 40 种
B. 60 种
C. 100 种
D. 120 种
6.已知
p:
xa
1，q :
3 x 1
1，若
p
是
q
的充分不必要条件，则
a
的取值范围为(
)
A. [0,1]
B. (0,1]
C. [－1,2)
D. (－1,2)
7.若
sin
6
1，则2 cos2 3
6
2
1
（
）
1
A.
B. 1
7
C.
A. 3
B. 2
C. 2 3
D.3
4.将两颗骰子各掷一次，设事件 A=“两个点数不相同”， B=“至少出现一个 6 点”，则概率
P A | B 等于（ ）
5
A.
11
10
B.
11
5
C.
18
5
D.
36
5.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ）
永安一中 2021 届高三暑期阶段考试数学试卷
一、单选题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1.已知 A x Z x 1 ，集合 B x log2 x 2 ，则 A∩B=（ ）
A. x 1 x 4
B. x 0 x 4