北京邮电大学 数字信号处理 课件 第三章_1

n=0
n=0
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例 ：求出下面周期序列的 DFS 表示式 ~x (n) = {....,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3......}
解：若用Matlab实现
>>xn=[0,1,2,3]; >>N=4; >>xk=dfs(xn,N);
DFS的性质（1）
令 ~x1(n) 、~x2 (n) 都是周期为N的周期序列，它们各 自的DFS分别为 X~1(k ) 、X~2 (k )
WN = exp(-j*2*pi/N);
% Wn factor
nk = n'*k;
% creates a N by N matrix of nk values
WNnk = WN .^ (-nk);
% IDFS matrix
xn = (Xk * WNnk)/N;
% row vector for IDFS values
~x (t)
X (nΩ0 )
t
T
~x(t) ↔ X(nΩ0 )
∑ ~x(t)
=
∞
X(nΩ0 )e
n=−∞
, Ω jnΩ0t 0
=
2π T
∫ X
(nΩ0
)
=
1 T
T 2 ~x(t)e− jnΩ0t dt
−T 2
Ω
Ω0
=
2π T
可以看成：将（1）频域中 X (Ω) 以 Ω0 取样，结果
在时域中信号x(t) 周期性重复，得到（2）的情况，
N
也称为频率分辨率。
X(Z)|z=WN−k = X~(k)
Im
2π
1
N
Re
Z平面
− j 2π
WN = e N
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∑ ∑ 则：
X~(k)
=
N
−1
~x (n)e−
j
(
2π N
)kn
=
N−1 ~x (n)WN kn
n=0
n=0
Q e = e − j2π kn N
− j 2π n(k+N) N
n=0
n=0
∑ ∑ X~(1) = 3 ~x (n)W4n = 3 ~x (n)(− j)n = 0 − j − 2 + 3 j = (−2 + 2 j)
n=0
n=0
∑ ∑ X~(2) = 3 ~x (n)W42n = 3 ~x (n)(− j)2n = −2
n=0
n=0
∑ ∑ X~(3) = 3 ~x (n)W43n = 3 ~x (n)(− j)3n = (−2 − 2 j)
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DFS 的 Matlab 的实现
由 DFS 的定义可以看出它是一种可进行数值计算 表示式，它可由多种方式实现。
（1）利用循环语句 for…..end 实现 为了计算每个样本 ，可用 for ….. end 语
句实现求和。 为了计算所有的 DFS 系数，需要另外一个
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3.1 DFS——离散付氏级数
(1) 连续信号（非周期）的付氏变换
x(t)
X(Ω)
t
x(t) ↔ X(Ω),
∫ x(t) = 1 ∞ X (Ω)e jΩt dΩ
2π −∞
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Ω
t ↔Ω
∫ X(Ω) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
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(2) 周期信号的付氏级数
W ~x = 1 * X~
NN
其中矩阵 WN 由下式给出：
⎯⎯n→
⎡1 1 L 1 ⎤
[ ] ∆
= WN WNkn
0
≤
k,n
≤
N
−1
=k↓⎢源自1 ⎢MW1 NM
L O
W
N N
−1
⎥ ⎥
M⎥
⎢⎣1
W
N N
−1
L
W
(N N
−1)2
⎥ ⎦
矩阵 WN 为方阵，叫做 DFS 矩阵.
DFS 的 Matlab 的实现
1. 线性
~x3(n) = a~x1(n) + b~x2 (n)
X~ 3 (k ) = aX~ 1(k) + bX~ 2 (k)
其中a、b为任意常数。
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DFS的性质（2）
2. 序列的移位 ~x1 ( n ) = ~x ( n + n 0 ) X~ 1(k ) = WN −kn 0 X~ (k )
∑ X (z) = N −1 ~x (n)z −n n=0
∑ X
(z)
|
z=e
jω
=
X(e
jω
)
=
N−1
~x(n)e−
jnω
n=0
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DFS（离散付氏级数）
对于频域取样：
单即位以圆2π分为为间N隔等进分行，等每间份隔为采2N样π 。。
2π k N
2π
N 称为频域中的采样间隔，
k=0，
1，…，N-1 求和，得：
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ N
−1
X~
(k
)e
j(
2π N
) km
=
N
−1
N
−1
~x (n)e
j(
2π N
)k
(m−n)
=
N
−1
~x (n)
⎡ ⎢
N
−1
e
j
(
2π N
)
k
(
m
−n
)
⎤ ⎥
k =0
k=0 n=0
n=0
⎣ k =0
⎦
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反变换（IDFS）
WNnk = WN .^ nk;
% DFS matrix
Xk = xn * WNnk;
% row vector for DFS coefficients
function [xn] = idfs(Xk,N)
n = [0:1:N-1];
% row vector for n
k = [0:1:N-1];
% row vecor for k
第三章 DFT——离散付氏变换
• DFS 和 DFT 的导出 • DFS 和 DFT 的性质 • Z 变换与 DFS 的关系 • FFT • IDFT • 频谱分析
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第三章 DFT——离散付氏变换
在前面我们学习了离散信号在两种变换域中的表 示方法： (1)离散时间傅氏变换；(2) z 变换。
这两种变换有两个共同特征：(1)变换适合于无限 长序列；(2)它们是连续变量 w 或 z 的函数。 从数值计算的角度看，这些特征是不利的，因为 要计算无限长序列的无限项和，而且为了使用 Matlab ，必须截断序列，得到有限个点的序列， 因此，它是对精确计算的一种近似。
如果 ~x4 (n) = ~x1(n)~x2 (n)
∑ 则
X~4(k)
=
1 N
N−1 l=0
X~1(l)X~2(k
−l)
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两个周期序列的周期卷积
~x1(m )
-N
0
N
m
~x 2 (m )
-N
0
N
m
~x 2 (− m ) = ~x 2 (0 − m )
-N
0
N
m
~x 2 (1 − m )
即：时域周期Æ频域离散。
（3）离散信号（非周期的）付氏变换(DTFT)
x(nT)
X (e jΩT )
T
∫ x(nT) = T
2π
π
T −π
X(e
jΩT
)e
jnΩT
dΩ
T
∞
∑ X (e jΩT ) = x(nT )e− jnΩT
n=−∞
Ω 2π T
可以看成：将（1）时域中函数 x(t)以T取样，
结果，在频域中函数 X (Ω) 以 即：时域离散Æ频域周期。
n=0
∴ X~ (k) 也仅有0，1，…，N-1个独立值。
反变换（IDFS）
∑ ∑ ~x(n)
=
1 N
N−1
X~(k)e
j(
2π N
)kn
k=0
=
1 N
N−1 X~(k)WN −kn
k=0
证明：
∑ X~(k) = N−1 ~x (n)WN kn n=0
将上式两端乘以e
j
2π N
km
，m=0，1，…，N-1，然后令
-N
0
N
m
与非周期序列的卷积不同，这里的序列是变量为m的周
期函数，周期为N。而且求和只在一个周期上进行。
周期卷积证明
∵ X~1(k) = N∑−1~x1(m)WNkm m=0 X~ 2(k) = N∑−1~x2(r)WNkr r=0
∴
X~3(k)
=
X~1(k)X~2(k)
=
N−1
∑
N∑−1~x1(m)~x2(r)WNk(r+m)
m=0 r=0
即
~x3(n)
=
1 N
N∑−1X~ 3(k)WN−nk
k=0
=
mN∑=−10~x1(m)Nr∑=−01~x2 (r)⎢⎣⎡
1 N
N∑−1WN−k(n−r−m)
k=0
⎤ ⎥⎦
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Ω0
= 2π T
周期性重复，
结论： 时域中函数取样Æ（映射）频域中函数周期重复； 频域中函数取样Æ（映射）时域中函数周期重复； 取样间隔Æ（映射）周期（ 2π ） 间隔