按叠加原理计算梁的挠和转角
叠加法求梁弯曲变形
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
孙训方第五版材料力学(I)第五章
五邑大学土木建筑系：材料力学
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲 变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件 有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，
所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就
是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和 转角则明显不同。
q w
q l 3 6lx2 4 x 3 24 EI
qx 3 l 2lx2 x 3 挠曲线方程 w 24 EI
23
五邑大学土木建筑系：材料力学
第五章 梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
q max
ql 3 q A qB 24 EI
以x为自变量进行积分得 x2 EIw F lx C1 2
lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
15
C1 0，C2 0
五邑大学土木建筑系：材料力学
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原 来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
2
五邑大学土木建筑系：材料力学
挠曲线近似微分方程
b EIw1 M 1 x F x l 积分得
5-1梁的挠度及转角
A
x y
cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw
（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0
Fab(l b) 6lEI
B
2
xl
Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
x3
l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算 梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
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ql3/6，D＝－ql4/24。
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
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五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
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第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
叠加法求梁的挠度和转角_工程力学_[共2页]
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平面弯曲内力 134 第8章 由于y ″的正负号与弯矩的正负号相同，如图8-23所示，所以上式右端应取正号，即
()
M x y E I ′′= （8.31）
上式称为挠曲线近似微分方程。
对于静定梁，弯矩可由截面法求得。
于是，求等截面直梁
的变形问题归结为求解一个二阶常微分方程。
图8-23 曲率与弯矩正负号的关系
8.6.3 积分法求梁的挠度和转角
对与等截面直梁，EI 为常量，式（8.31）可改写成
()EIy M x ′′= （8.32） 积分一次可得转角方程
()d EI EIy M x x C θ′==+∫ （8.33） 再积分一次可得挠度方程
()d d EIy M x x x Cx D =++∫∫ （8.34）
上式中的C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和连续性条件确定。
8.6.4 叠加法求梁的挠度和转角
在弯曲变形很小，且材料服从胡克定律的情况下，挠曲线微分方程是线性的。
又因在很小变形前提下，计算弯矩时，用梁变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系也是线性的。
这样梁在几个力共同作用下产生的变形（或支座反力、弯矩）将等于各个力单独作用时产生的变形（或支座反力、弯矩）的代数和。
8.7 梁的刚度计算
在工程实际中，对弯曲构件的刚度要求，就是要求其最大挠度或转角不得超过某一规定的限度，即。
材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x
5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq
ql3 2EI
2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B
yA3
ql4 8EI
7ql 4 384EI
5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）
ql 4 8EI
+
Bq
ql3 6EI
迭加法求梁的位移和转角(材料力学)
总
一、对载荷分组叠加
结
二、继承与发扬 在前一点位移的基础上叠加新的位移。 三、切断＋简化，将原来作用在悬臂部分上的载 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁） 四、对称问题（适用于简支梁） 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座， 将一简支端改为自由端；保留半跨上的载荷和简支 端的反力。 五、反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁；保 留半跨上的载荷。
F
(1) A
D
曲线
B
对于图(1)：
qC1 2l qB1
wC1 wB1
wC1 C
q C1
直线
Fl 2 q B1 q C1 （顺时针） 2 EI
4 Fl 3 Fl Fl wB1 wC1 q C1 2l 2l （向下） 3EI 3EI 2 EI
3 2
变形的继承和发扬
对图(2)
F
(2)
B A C 曲线 D
直线
qD1
wD1
qD1 BD qB 2
wB2
q B2
2 Fl 2 q D1 （顺时针） EI
3 2
F (2l ) F (2l ) 14 Fl 3 wB 2 wD 2 q D 2 l l 3EI 2 EI 3EI
（向下）
注意事项
一、不要漏项
二、叠加位移时注意每一项的符号
三、注意载荷的变化
简支梁在半跨均布载荷作用下，简化后集度q减半； 简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶M减半。 四、注意计算长度的变化 公式中长度为l，题目中的计算长度可能是l、a、 2l、2a、l/2或a/2。 五、简支梁在集中力偶作用下两个铰支端的转角不 等，此时的挠度公式计算的时跨中截面的挠度
材料力学第五章梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
用叠加法求挠度和转角
当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系．而且弯曲变形是很小的．因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。
所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法．当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的．下面举例说明．例7-3 图7-8 所示简支梁，承受均布载荷q 和集中力偶M0作用，已知M0 =ql2。
试求跨度中点的挠度f c 和 A 截面的转角θA。
解：利用叠加法求解时，首先将q , M0同时作用下的简支梁( 图7 -8a ) ，分解为q 作用下的简支梁( 图7-8b) 和M0作用下的简支梁( 图7 -8c ) ，然后，由表7.1 查取结果叠加。
从表的第9 栏查得均布载荷q 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为由表7.1 第 5 栏查得集中力偶M0作用下的中点挠度和A 端面转角分别为叠加以上结果，求得q , M0 同时作用下的中点挠度和 A 截面转角为f c为负值，表示挠度向下．θA为负值，表示A 截面顺时针转动．例7-4 简支梁如图7 — 10a 所示，在2a 的长度上对称地作用有均布载荷q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角．解：利用叠加法求解。
由于简支梁上的载荷对跨度中点 C 对称，故 C 截面的转角应为零．因而从 C 截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图7 — 10b 所示。
梁上作用有均布载荷q 和支座 B 的反力R B = qa.这样，悬臂梁上B 端面的挠度在数值上等于原梁中点C 的挠度，但符号相反，B 端面的转角即为原梁 B 端面的转角．经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便．由表7 · 1 的第 2 栏查得，当集中力R B (=qa) 作用时( 图7 — 10c ) ，B 端面的转角和挠度分别为由表7 · 1 的第 4 栏查得，当均布载荷q 作用时( 图7 — 10d) ， E 截面的转角和挠度分别为由于EB 梁段上无载荷作用，所以q 引起 B 点的转角和挠度分别为==叠加上述结果，可得 B 端面的转角和挠度分别为于是，原梁( 图7 — 10a ) 中点 C 的挠度f c为例7-6 某一变截面外伸梁如图7 — 11a 所示．AB 、BC 段的抗弯刚度分别为EI1和 EI2，在C 端面处受集中力P 作用，求 C 端面的挠度和转角．解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表7 ．1 中的结果．为此，必须将外伸梁分为AB 、BC 两段来研究．首先假设梁的外伸段BC 是刚性的，研究由于简支梁AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．然后，再考虑由于外伸段BC 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．最后将其两部分叠加，得 C 截面的实际变形．由于假设BC 段为刚性，故可将P 力向简支梁AB 的 B 端简化，得P 和 Pa ．P 力可由 B 支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。
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一、叠加原理的概念
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时， 梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下， 当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处 的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加 原理。
1
材料力学Ⅰ电子教案
悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。
2
材料力学Ⅰ电子教案
5ql 4 768 EI
0 5ql4 768 EI
qA
q A1 q A2
ql3 48 EI
ql3 384 EI
3ql3 128 EIBiblioteka qBq B1 q B2
ql3 48 EI
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
7
材料力学Ⅰ电子教案
例题2 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的
上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a应叠加到图b
所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2qa
8EI
4
7 qa4 12 EI
12
10
材料力学Ⅰ电子教案
qB
qBq
q BM
q2a3
24 EI
qa2 2a
3EI
1 3
qa3 EI
wD
wDq
wDM
5 384
q2a4
EI
qa2 2a2
16 EI
1 24
qa4 EI
()
11
材料力学Ⅰ电子教案
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同， 但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是
转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。
8
材料力学Ⅰ电子教案
解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和
转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁
(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力
FS B
2qa和弯矩
M B
1 2qa2
2
qa2应当作为外力和
外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也
5q / 2l4 5ql4
wC1
384 EI
768 EI
q A1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
5
材料力学Ⅰ电子教案
在集度为q/2的反对称均布荷
载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该
应与FSB 和M B 的正负相对应，如图b及图c中所示。
9
材料力学Ⅰ电子教案
图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原 外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外 力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按
图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。
二、叠加原理的应用
例题1 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠
度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。
(a)
3
材料力学Ⅰ电子教案
解：作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
4
材料力学Ⅰ电子教案
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 附录Ⅳ表中序号8的公式有
截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨
梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作
用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况
下的公式有
q A2
qB2
q / 2l / 23
24 EI
ql3 384 EI
6
材料力学Ⅰ电子教案
按叠加原理得
wC
wC1
wC 2