第5讲 高斯记号和不定方程
高斯数学五阶 第五讲
例4 解方程
（1） 8 x = 30； （2） x 5 = 6.3； （3） 7x = 105； （4） x 4 = 12.
例5 解方程.
（1）6x 7x = 39； （2）3x 4 7 = 25； （3）10x 14 = 3x.
例6 一个数的6倍减去15， 正好等于这个数的4倍加5，这 个数是多少？
谢谢小朋友们观看
(b c)”，相比较于文字叙述，用字母表示更加
简明易懂，方便运用.
用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，
中间的乘号可以省略不写，或用“.”表示；字母和
数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前.如
“a 4 = 4.a = 4a, a b = a . b = ab”.
例1 阿呆和妈妈区超市买水果，
练4 相同的图形代表相同的数，不同的图形代表不同的数.请计算每 个图形所代表的数.
（1） （2） （3）
3 = 10 = 21 = 18
=
.
=
.
=
.
练5 大宝、二宝和小宝量体重.他们三个 人的体重之和为61千克，已知大宝比二宝重 5千克，二宝比小宝重4千克，那么小宝的体 重是多少千克？
练6 连一连
练1 兔妈妈让小白兔蹦蹦去地里拔萝卜， 蹦蹦平均拔了a分钟，一共拔了108个，蹦 蹦平均每分钟拔几个萝卜？如果a=12，那 么蹦蹦平均每分钟拔几个萝卜？
练2 如图，两个完全相同的长方形拼
成一个新图形，那么这个图形的周长时
多少1 ？
2
3
练3 猎豹的速度时兔子的3倍，又是羚羊 的2倍，已知兔子每小时跑（a 3）千米， 那么羚羊每小时跑多少千米？
买了a千克1苹果，香蕉比3 苹果少买
了1.2千克，买了多少千克香蕉？
高等数学 高斯公式
球 3 r2 r2 sindrdd
O
y
x
3
2
d
d
R r 4 sin dr 12 R5
0
0
0
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q, R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
Dxy
R z
dv
R(
x
,
y
,
z
)dxdy
8
高斯Gauss)公式 通量与散度
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dxdy
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
自 己
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx
证
合并以上三式得
(P x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y 1 z 2 x 2 (如图)
x
y
22
高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
补 1 : y 3, 取右侧.
有 I
1 1
高斯方程解法
高斯方程解法嘿，朋友们！今天咱们来唠唠高斯方程的解法，这高斯方程啊，就像是数学世界里的神秘宝藏，藏得深，但是一旦找到解法，那感觉就像挖到了金山银山一样爽。
就拿一元一次高斯方程来说吧，比如说像3x + 5 = 14这个方程。
这方程啊，就像一场小小的拔河比赛，x就是那个被两边力量拉扯的小可怜。
左边的3x和5在一块儿，右边就孤零零地站着14。
咱们的任务呢，就是要把x这个小可怜解救出来。
首先，就像把多余的小跟班弄走一样，我们要把左边的5给去掉，怎么去掉呢？那就是两边同时减去5，就像从拔河的两边同时减去一个小砝码。
这样方程就变成了3x = 9。
这时候，3就像一个霸道的大哥，紧紧拉着x，咱们得把这个霸道大哥弄走啊，那就两边同时除以3，就像找了个大力士把这个霸道大哥给拉开，最后x就等于3啦，是不是很简单呢？再看看二元一次高斯方程，比如这个方程组：2x + 3y = 8和x - y = 1。
这就像是两个不同的小怪兽在捣乱。
我们可以用消元法来对付它们，就像用魔法棒把其中一个小怪兽的某个能力给消除掉。
我们可以把第二个方程两边同时乘以3，这样就变成3x - 3y = 3啦。
然后把这个方程和第一个方程相加，就像把两个小怪兽的力量合起来又抵消掉一部分，这时候就得到5x = 11，解得x = 11/5。
再把x的值代入到原来的方程里，就能求出y 啦，就像根据小怪兽的一部分特征找到它的其他秘密一样。
还有一元二次高斯方程，像x² + 3x - 4 = 0。
这方程啊，长得就像一个带刺的小怪兽。
我们可以用求根公式来解决它，求根公式就像是一把万能钥匙。
对于一元二次方程ax²+bx + c = 0，求根公式就是x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。
在这个方程里，a = 1，b = 3，c = - 4。
把这些值代入求根公式，就像把钥匙插入锁孔一样，就能求出x的值啦。
三元一次高斯方程组就更有趣了，就像一群小精灵在一个魔法阵里互相作用。
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析在高考数学的冲刺复习阶段，高斯公式是一个重要的考点，理解并掌握它对于提高数学成绩至关重要。
高斯公式，又称为高斯通量定理，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯公式的基本概念。
高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
简单来说，如果我们有一个空间闭区域Ω，其边界曲面为Σ，函数 P、Q、R具有一阶连续偏导数，那么高斯公式可以表示为：∫∫∫Ω （∂P/∂x ＋∂Q/∂y ＋∂R/∂z) dV ＝∫∫Σ Pdydz ＋ Qdzdx ＋ Rdxdy 。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入理解高斯公式的应用。
例 1：计算∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ，其中Ω是由球面 x²＋ y²＋ z²＝1 所围成的闭区域。
我们先求出∂P/∂x ＝ 1，∂Q/∂y ＝ 1，∂R/∂z ＝ 1 ，然后将其代入高斯公式，得到：∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ＝3∫∫∫Ω dV ，而∫∫∫Ω dV 表示闭区域Ω的体积，由于Ω是半径为 1 的球体，其体积为4π/3 ，所以最终结果为4π 。
例 2：计算∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ，其中Σ是立方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1 的表面外侧。
这里，我们直接使用高斯公式，得到：∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ＝∫∫∫Ω （2x ＋ 2y ＋ 2z) dV ，然后分别计算三个积分，最终结果为 3 。
在运用高斯公式时，需要注意一些关键的要点。
一是要正确判断闭区域的边界曲面的方向。
如果方向判断错误，会导致整个计算结果的错误。
二是要注意函数的偏导数是否连续。
如果不连续，可能需要采用其他方法进行计算。
三是在计算过程中，要仔细计算三重积分和曲面积分，避免出现计算错误。
高等数学高斯公式,斯托克斯公式教案
其中 是闭区域 的整个边界曲面 v 为函数 v(x, y, z)沿 的外法线方向的 n
方向导数
符号
x2
y
2
z2
称为拉普拉斯算子
这个公式叫做格林
第一公式
证 因为方向导数
v v cos v cos v cos
n x
y
z
3
其中 cos、cos、cos 是 在点(x y z)处的外法线向量的方向余弦 于是曲面 积分
dydz dzdx dxdy
zdx xdy ydz
x
y
z
z x y
dydz
dzdx
dxdy
dydz
dzdx
dxdy
3
dxdy
3 2
Dyz
Dzx
Dxy
Dxy
讨论 如果 是 xOy 面上的一块平面闭区域 斯托克斯公式将变成什么?
6
P
(
x
Q y
R )dxdydz z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
P
(
x
Q y
R )dxdydz z
(P cos
Q cos
R cos
)dS
。
其中 是 的整个边界曲面的外侧，cos, cos , cos 是 在点(x, y, z)处得
法向量的方向余弦。 简要证明 设 是一柱体 上边界曲面为 1 zz2(x, y) 下边界曲面为 2
u
v n
dS
u(xv
cos
v y
cos
v z
cos
)dS
[(u
v x
) cos
(u
v y
)
高等数学-高斯公式教学内容.ppt
之间部分的下侧.
先二后一
计算曲面积分
作取上侧的辅助面
*
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例3
设 为曲面
取上侧, 求
解
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
*
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在闭区域 上具有一阶
和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
设函数
*
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注意:
曲面论和位势论等.
他在学术上十分谨慎,
原则:
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何
在对天文学、大
恪守这样的
“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
*
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高斯公式
证
由高斯公式得
移项即得所证公式.
令
*
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*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型
设有空间区域 G ,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,
则称 G
为空间二维单连通域 ;
若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,
则称 G 为
例如,
球面所围区域
设 的单位外法向量为
*
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高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,
他的数学成就遍及各个领域 ,
在数论、
级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创
性的贡献,
他还十分重视数学的应用,
地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、
数论高斯记号
数论高斯记号高斯记号是一种数论记号，由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在1801年引入并广泛使用的。
这个记号在数论领域有着广泛的应用，尤其在整数论和二次剩余理论中大量使用。
高斯记号主要用于描述给定整数对于某个模数的剩余性质。
下面我们来详细介绍一下高斯记号的定义和性质。
1.高斯记号的定义：对于给定的整数a和正整数n，高斯记号（a/n）定义如下：（a/n）= 1，如果存在整数x，使得a ≡ x² (mod n)且0 ≤ x < n；（a/n）= -1，如果不存在整数x，使得a ≡ x² (mod n)且0 ≤ x < n。
2.高斯记号的性质：(1)对于任意整数a和正整数n，高斯记号（a/n）的取值只有1和-1；(2)高斯记号在模运算下满足乘法公式：（ab/n）=（a/n）（b/n），其中a、b是任意整数，n是正整数；(3)对于任意整数a和正整数n，高斯记号（a/n）在模n下满足平方公式：（a/n）= a^((n-1)/2) (mod n)；(4)如果给定两个整数a和b，并且a ≡ b (mod n)，那么（a/n）=（b/n）；(5)对于正整数n以及不同的整数a和b，如果a ≡ b (mod n)，那么（a/n）=（b/n）；(6)如果对于给定的正整数n，模n下存在一个平方数k，使得（k/n）= -1，那么在模n下，存在整数x，使得x² ≡ -1 (mod n)；(7)如果给定正整数n是一个素数，那么对于任意整数a，高斯记号具有以下的勒让德符号的性质：（a/n）= 1，如果存在整数x，使得a ≡x² (mod n)且0 ≤ x < n；（a/n）= -1，如果不存在整数x，使得a ≡ x² (mod n)且0 ≤ x < n；这也是高斯记号与勒让德符号的等价关系。
浅析简单的高斯方程的解法
浅析简单的高斯方程的解法广东省深圳市建文中学高中数学老师欧阳文丰一、知识概念介绍1、高斯函数的表示； [x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。
2、高斯函数的基本性质；性质1： [x]≤x＜[x]+1 x-1＜[x] ≤x 0≤{x}<1性质2: [n+x]=n+[x],x为实数, n为整数性质3:{x+n}={x}, n为整数性质4:X= [x] + ｛χ｝3、简单的高斯方程；是指含有[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分的简单方程。
求解简单的含高斯函数方程就是利用以上的性质进行转化来求解方程的未知数的值。
二、例题学习例1、解方程:[x]-4{x}=3,其中:[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。
解：把[x]-4{x}=3整理变形得：[x]= 4{x}+3因为0≤{x}<1，所以3≤4{x}+3＜7即3≤ [x] ＜7 [x] =3, 4, 5, 6。
(1)、当[x] =3时, 代入原方程得:3- 4{x}=3, 解得： {x}=0；所以x= [x] + {x}=3+0=3(2)、当[x] =4时, 代入原方程:4- 4{x}=3, 解得： {x}=；所以x= [x] + {x}=4+=(3)、当[x] =5,代入原方程: 5- 4{x}=3, 解得： {x}=； 所以x= [x] + {x}=5+=5. 5(4)、当[x] =6时,代入原方程得: 6- 4{x}=3, 解得：{x}=； 所以x= [x] + {x}=6+=综上所述， 方程[x]-4{x}=3 的解有四个， 分别为：x=3, , 5. 5, 。
例2、符号[X]表示不超过X 的最大整数.{X}表示X 的正的小数部分,求方程2[X]+5{X}+3=0的解 。
解： 由2[X]+5{X}+3=0得：{X}=(-3-2 [X]) ÷5因为0≤{x}<1 所以0≤ (-3-2 [X]) ÷5 ＜1解以上关于[X]的不等式得：≥ [X] ＞-4故[X]=-2, -3。
高联不定方程
高联不定方程高联不定方程是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的一个难点。
学好高联不定方程对于提高数学能力、加深对代数的理解、培养逻辑思维有着重要的意义。
下面将从定义、解法、应用等方面全面介绍高联不定方程。
高联不定方程是指关于未知数的一元方程，其未知数的次数为2次以上。
一般形式为Ax^n + By^m = C，其中A、B、C为已知系数，n、m为大于等于2的整数，且A、B不全为0。
解高联不定方程的方法有很多种，常见的有因式分解法、换元法、降阶法等。
其中，因式分解法是最常用的方法之一。
通过将方程以不定元的一次幂为基进行因式分解，得到各个因式的表达式，从而解出方程。
换元法则是通过设定一个新的未知数替代原方程中的其中一个未知数，将方程转化为含有更少未知数的一元方程，从而解出方程。
降阶法则是通过变形将高次项的系数变为0，转化为低次方程，然后进行求解。
高联不定方程在数学中有着广泛的应用。
它可以用于解决实际生活中的问题，如经济学中的供求关系、物理学中的运动问题等。
同时，高联不定方程也是其他数学领域的重要工具，如解析几何中的曲线求交问题、微积分中的极值问题等。
学好高联不定方程对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力有着重要的作用。
高联不定方程是代数学中的一个重要内容，通过学习和解题可以提高学生的数学思维能力、数学解决问题能力和综合运用知识的能力。
掌握高联不定方程的解法和应用，不仅可以在考试中得到更好的成绩，也有助于提高学生的综合素质和解决实际问题的能力。
综上所述，高联不定方程是高中数学中的一个重要概念，学好它对于提高数学能力、加深对代数的理解、培养逻辑思维有着重要的意义。
通过掌握解高联不定方程的方法和应用，可以在学习和生活中更好地运用数学知识，提高解决问题的能力。
希望同学们在学习中能够重视高联不定方程的学习，掌握解题技巧，进一步拓宽数学知识的应用范围。
关于含有[X]的方程的解法
关于含有[X]的方程的解法
甘大旺
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1991(000)012
【摘要】高斯记号[x]表示不超过实数x的最大整数,例如
[2]=2,[5<sup>1/2</sup>]=2,[-5<sup>1/2</sup>]=-3。
在数学竞赛试题中,经常要求对含有高斯记号的方程求解,以考查学生识记符号与探索问题的能力。
本文介绍这类高斯方程的五种求解方法,供大家参考。
【总页数】3页(P23-25)
【作者】甘大旺
【作者单位】湖北咸宁高中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.含有绝对值符号的一元一次方程的解法 [J], 刘君;刘大波;
2.对含有字母参数的二元一次方程组的解法探究 [J], 张卫娟
3.含有绝对值的一元二次方程的解法 [J], 苏新民
4.含有高斯函数方程组的解法 [J], 陈彦彦;田国伟;吴康
5.含有[X]或{X}的方程的解法 [J], 王朝霞;刘向阳
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纵观数学史，最富传奇性的不定方程必然是：x n+y n=z n。
1637 年左右，法国“最伟大业余数学家”费马在研究丢番图《算术》时，在该书的第二卷页边写下了这样一个定理“x n+y n=z n，当n是大于2的整数时，没有正整数解”，单单是如此简洁的一个定理就有足够的吸引了，然而让众多数学家们深陷其中的则是费马接下来的一句话“我已发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。
这个方程究竟有多传奇？就让我们从证明的历史中感受吧！
1753 年，欧拉证明了n=3 时成立，不过n还有无限种情况
呢…
1816 年，巴黎科学院说：证明n是质数时成立就行了嘛，于是设了个奖，费马大定理火了。
1847 年，拉梅和柯西说：我证明了！可德国数学家库默尔说：你俩错了。
1850 年，库默尔说：我证明了100 以内除37、59、67 都成立。
1926 年，范狄维尔：库默尔你也不全对，n<211 时都成立。
二十世纪前期，勒贝格说：我证明了！不过很遗憾，发现又错了。
1908 年，沃尔夫斯凯尔奖设立，因为富豪沃尔夫斯凯尔在决意自杀前看到了费马大定理，算着算着就不想自杀了，救命之恩啊有没有！奖金十万马克啊有没有！
1955 年，谷山-志村猜想提出，等等，这是解决椭圆问题的，和费马大定理有啥关系？
1984 年，弗雷认为：应该有关系！可惜当时谷山丰没意识到，否则他应该不会自杀吧！
1986 年，里贝特说：真的有关系！证明谷山---志村猜想就证明了费马大定理。
1993 年，安德鲁·怀尔斯说：我证明了！
不会再错了吧？严格的审查后确定：真的又错了，有严重漏洞！
怀尔斯说：知错就改，我再证！怀尔斯修补了漏洞，绝地逢生！大奖和奖金也收获囊中。
至此，费马大定理得到了最终证明！证明过程历时358年，横跨数学多个分支，吸引众多数学大师，其中历经种种艰辛，远不像文中如此轻描淡写，笔者也非常想详细描述，只是…
“这里空白太小，写不下”
2011 年，谷歌（Google）纪念费马诞辰450 周年的Logo。