高斯函数与不定方程
高斯函数的性质和应用
高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。
【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
漫话高斯函数
漫话高斯函数作者：仓万林来源：《新高考·数学基础》2019年第02期“数学王子”高斯小时候的故事，连小学生都知道.在许多人眼中，他就是数学的代名词.高斯（Gauss，1777 1855），德国著名数学家，近代数学奠基者之一.如果推选世界十大数学家，高斯是其中的一位;如果推选世界三大數学家，高斯仍然位列其中.一、高斯函数简介我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].取整函数y=[x]早在18世纪就为“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.和前面遇到的狄利克雷函数一样，高斯函数也是高中阶段我们会遇到的感觉“怪怪”的函数.它的图象是由一些高低不同的水平线段组成，形状上像个阶梯，通常义称为“阶梯函数”.二、高斯函数的应用例1 （2017年北京顺义区二模）某学校为了提高学生综合素质、发展创新能力和实践能力，促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A.y=[x/10]B.y=[x+2/10]c.y=[x+3/10]D.y=[x+4/10]答案 B.解析由题意，根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表，即余数分别为8，9时可以增选一名代表，此时要进一位，所以x最小应该加2，最大要小于3，因此利用取整函数可表示为y=[x+2/10]，所以选项B是正确的.点评本题在处理时，除了用高斯函数性质来分析外，也可以直接特殊化确定结论.例2 （2016年高考课标理科卷）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[0. 9]=0，[lg99] =1.（1）求bl，b11，b101;（2）求数列{bn}的前1 000项和.解析（1）设{an}的公差为d，据已知有7+21d=28，解得d=l，所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg1]=0，b11=[lg11] =1，b101=[lg101]=2.（2）因为bn={ 0，1≤n<10， 1，10≤n<100， 2，1OO≤n<1 OOO， 3，n=1 OOO，所以数列{bn）的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.点评原本简单的基本量运算问题，和高斯函数进行整合后立即变得很新颖.一是通过转化，化“新”为“旧”;二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”.要看清问题的本质，我们可以在阅读上多下功夫.类比取整函数，我们不难构造出小数函数f（x）=x-[x].图象如图2所示：例3 已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x- [x]在R上为（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数答案 D.解析因为f（x）=x-[x]，则f（x+1）=（x+1）- [x+1]=x+1- （[x]+1）=x-[x]=f（x），所以f（x） =x一[x]在R上是周期为1的函数，故选D.1855年高斯去世，留下遗言把正十七边形（高斯第一个给出了正十七边形的尺规作图法）刻在墓碑上，母校哥廷根大学实现了他的遗愿，树立了以正十七棱柱为底座的墓碑，由于完整的十七边形，看起来会和圆难以区分，所以用正十七边形的各顶点代替，刻在墓碑上，以此纪念“数学王子”对数学的贡献.。
高斯函数-
高斯函数高斯函数（Gaussian Function），又称为正态分布函数（Normal Distribution Function），是一种常见的数学函数。
它是以卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）的名字命名的，因为他首先研究了这种函数。
高斯函数可以用以下公式表示：$$f(x)=\\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}$$其中，$x$ 为自变量，$\\mu$ 为期望值，$\\sigma$ 为标准差。
高斯函数的曲线呈钟形状，中间最高，两边逐渐趋向于零。
高斯函数在统计学和概率论中有广泛的应用。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem），许多随机变量的分布都可以近似为高斯分布。
例如，测量误差、温度、身高和体重等数据都可以用高斯函数来描述它们的分布情况。
在工程、计算机视觉和自然科学领域中，高斯函数也被广泛应用于平滑、滤波、特征提取和图像处理等方面。
高斯函数的一些性质：1.对称性：高斯函数以 $\\mu$ 为中心对称。
2.单峰性：高斯函数是单峰的，即只有一个最高峰值。
3.渐近性：高斯函数的两侧渐近于 $y=0$。
4.面积为 $1$：高斯函数的积分面积是 $1$，因为它代表随机变量在整个取值范围内的概率密度。
5. 方差：方差是 $\\sigma^2$，它决定了高斯函数的宽度。
6.标准差：标准差是 $\\sigma$，它代表了高斯函数的扁度，即曲线在中间多陡峭。
7.期望值：期望值是 $\\mu$，它是高斯函数曲线的对称轴。
在实际应用中，我们可以用高斯函数来拟合一些数据，得到一个高斯分布的特征。
由于高斯函数的定点计算速度比较快，效果也比较好，因此在信号处理、图像处理等领域都有广泛应用。
例如，我们可以用高斯滤波器来消除图像中的噪声，通过调整高斯函数的标准差和滤波器的大小，可以获得不同的平滑效果。
高斯函数公式
高斯函数公式
高斯(Gaussian)函数是指满足下列一元二次方程的函数：
y (x) = ae^(-bx^2)
其中，a，b为常数。
更深入的说，高斯函数是一种随机变量的概率分布，它描述了满足正态性质的随机变量的概率分布，这种性质可以从高斯分布曲线中清楚地看出。
高斯函数具有众多的应用，广泛应用于统计学、物理学、信号处理、机器学习、数字图像处理等各个领域。
在机器学习中，经常用到高斯函数，例如：机器学习算法中的高斯核函数，表示两个输入点之间的相似程度。
在聚类分析和分类分析中，要求输入点的相似程度，以便更好地聚类分析和分类分析。
除此之外，高斯函数还常被用作信号滤波器、模糊处理器等。
此外，高斯函数也能应用于有监督式和无监督式学习，可以帮助人们找出相关的数据和特征，从而更好的理解决策的背后的原因。
总的来说，高斯函数是一种非常有用的数学函数，广泛地应用在各个领域，具有着广泛的应用前景。
无论是分析问题，理解数据，还是从数据中寻找出新的解决方案，高斯函数都是一个极好的工具。
讲函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
与高斯函数有关的恒等式-概述说明以及解释
与高斯函数有关的恒等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述高斯函数是一种在数学和物理领域广泛应用的特殊函数。
它由德国数学家高斯在18世纪末提出，并被广泛研究和应用于各个领域，如信号处理、图像处理、统计学以及自然科学等。
高斯函数不仅具有良好的数学性质，还具有许多重要的物理意义。
在本文中，我们将讨论高斯函数的定义及其一些基本性质，并介绍与高斯函数相关的一些重要恒等式。
这些恒等式是由高斯函数的特殊性质和运算规律导出的，对于解决实际问题和推导其他数学定理具有重要意义。
本文结构如下：第2部分将详细介绍高斯函数的定义与性质。
我们将从高斯函数的数学定义开始，并讨论它的图像、曲线特征以及一些重要的性质，如对称性、峰值和标准差等。
此外，我们还将介绍高斯函数在概率密度函数和误差函数中的应用。
第3部分将重点讨论与高斯函数相关的恒等式。
这些恒等式涉及到高斯函数的运算规律、积分性质以及与其他特殊函数的关系。
我们将详细介绍这些恒等式的推导过程，并给出一些实际应用的例子。
最后，结论部分将对本文内容进行总结，并展望未来对高斯函数及其相关恒等式的研究方向。
高斯函数作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用和深入的研究价值。
未来的研究可以着重于高斯函数在更复杂问题中的应用，以及与其他数学工具的结合，为解决实际问题提供更多的数学方法和技巧。
通过本文的阅读，读者将对高斯函数有更深入的了解，并了解到与高斯函数相关的一些重要恒等式的推导方法和应用。
希望本文能为读者提供有关高斯函数的全面信息，激发读者对高斯函数和相关数学工具的兴趣和研究热情。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分首先概述了与高斯函数有关的恒等式的重要性和应用背景。
然后介绍了本文的结构和目的，以给读者一个整体的了解。
正文部分主要包括两个小节。
第一小节（2.1 高斯函数的定义与性质）详细介绍了高斯函数的定义和一些基本性质，包括其数学表达式、图像特点以及常见的应用领域。
初等数论：不定方程与高斯函数[整理版]
初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。
其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理2.若(a,b)=1，且x0，y0为ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成（t为任意整数)。
定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c(a1,a2, …a n,c∈N)有解的充要条件是(a1,…,a n )|c.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …a n x n=c时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：00t , y=y tx x b a=+-求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
高斯函数.ppt
1 2n n 0,1,2....
其实上述要求就是对谐振子能量有一定的限制，即
E En (n 1/ 2) n 0,1,2...
利用正交性公式：
Hm ( )Hn ( )e 2 d 2n n！mn
可以证明，一维谐振子能量本征函数（实）为：
n (x) Ane2x2 /2Hn (x)
An / 2n n！1/2
f
(
z)
1 2(
z)
(1
2iz
k0 2
)
（12）
因此，（2）中的高斯函数为：
e f (z)(x2 y2 )
exp[
x2 y2
2 (z)
(1
2iz
k02
)]
（13）
函数g（z）的表达式（9）可写为：
g(z)
u0
(
2z
k0
2
)
2
ei
u0
0
ei
（14）
2z
arctan( k02
)
（15）
将（13）（14）代入（2）（4）式得光束场强函数：
u(x,
y,
z)
u0
0
e e
x
2y 2
2
i
k
z
k(x2 y2
2z[1 (02k
) )2
]
2z
（16） （17）
式中因子ei 是相因子，其余的因子表示各点的波幅。
因子
e
x
2y 2
2
是限制波束宽度的因子。波束宽度由函数w（z）代表。 由（12）式，在z=0点，波束具有最小宽度，该处称为光 束腰部。离腰部越远处波束的宽度越大。
1.方垒型波列
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竞赛中的高斯函数与不定方程一．高斯函数][x数学竞赛试题中常常用高斯函数][x 的知识，具体包含： 一、 定义设R x ∈，][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。
函数][x y =的定义域为R ，值域为.Z二、 性质][x 的应用范围很广，很多竞赛题要应用][x 的性质。
性质1。
对任意,R x ∈都有}{][x x x +=，}({x 为x 的小数部分） 性质2。
对任意,R x ∈都有 1][][1+<≤<-x x x x性质3。
对任意,,21R xx ∈且21x x ≤；有][][21x x ≤性质4。
对任意Z n ∈和R x ∈，都有 ][][x n x n +=+ 性质5。
对任意的R y x ∈,，都有}{}{}{],[][][y x y x y x y x +≥++≤+ 性质6。
0,0≥≥y x ，则][][][y x xy ⋅≥ 证：因为}{][x x x +=，}{][y y y +=}){]})([{]([y y x x xy ++=则][][][y x xy ⋅≥性质7。
在!n 的质性质7。
对任意正整数n 和任意实数,x 有 ].][[][nx nx =证： 1][][+<≤n x n x n x 则)1]([][+<≤n x n x n x n其中][n x n 与)1]([+nx n 都是整数，则)1]([][][+<≤nxn x n x n 则 1][][][+<≤nx n x n x所以 ].[]][[n x n x =因数分解中，质数p 的指数是：][...][][2m pn p n p n +++ 二． 一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a 通常称之为二元一次不定方程。
定理1：二元一次不定方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 有整数解的充分必要条件是 .|),(c b a 定理2：二元一次不定方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 若 1),(=b a 且 ),(0y x 为其一组解，则其全部解为,0bt x x += at y y -=0 （t 为整数）。
三．高次不定方程解高次不定方程难度大，且无定073222=--+y x y x 法。
但对某些特别方程可通过特殊方法解。
例1：解下列不定方程（1） ;982515=+y x （2） .1002515-=+-y x解（1）由于98|`5)25,15(= 故该方程没有整数解。
（2）该方程化为 2053=-y x 可以先解方程 2053=+z x由观察得 201553=⨯+⨯，所以得通解 ,550t bt x x +=+=t at z z 310-=-=（t 为整数），故原方程的通解,550t bt x x +=+=t z y 31+-=-=（t 为整数）（求2053=+z x 可以利用,1)5,3(=找出 ),(0z x 适合15300=+z x然后求出2053=+z x 的特解）例2： 求不定方程 471325=++z y x 的全部解。
解 先解 u y x =+1325 及 47=+z u 这两个二元一次不定方程的通解分别为t u y tu x 25213{-=+-= t 为整数 及 vz v u -=+-=173{ v 为整数。
将v u 73+-= 代入y x ,的表达式中就得原方程的通解。
例3. 方程12102......3x xx +++=有多少个非负整数解（每个量都为非负整数）？分析：由题中条件知左边变量中至多有3个为1，特别是由于1x 的系数为2可知1x 只能取0，1两种情况，从而得到相应的解决方法。
解： 1121022......3x x x x ≤+++= 所以 10,1x =下面分两种情况考虑（1）10x = 则 2310......3x x x +++= 且 )10,...,3,2(0=≥i x i 取 1+=i ix y，则原方程等价于 12...1032=+++y y y 且)10,...,3,2(1=≥i y i 则用隔板法知该方程的解的个数为.16512391011811=⨯⨯⨯⨯=C （2）11x=，则2310...1x x x +++= 因此2310,,......,x x x 中必有一个为1，其他的是0，这样的解有199C =于是原方程组的非负解的个数为165+9=174（个）。
例4： 求方程073222=--+y x y x 的整数解解 原方程可改写为163222=--+y x y x左边分解因式得 1)2)(3(2=+-y x若原方程有整数解，则 32-x 与2+y 均为整数，由上式得 1213{2=+=-y x 或 1213{2-=+-=-y x解得 )1,2(),(-=y x 或 ).1,2(-- 例5：试求方程 198822=-y x的正整数解。
解 若方程有正整数解，则 .y x > 由于))((22y x y x y x+-=-，),()(y x y x ->+且y x +与y x -有相同的奇偶性，故从.287114142728444972994119881988⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=知原方程的正整数解必是且仅是下列方程组的正整数解2994{=-=+y x y x .14142{=-=+y x y x故解得原方程的正整数解为 )496,498(),(=y x 或)64,78(。
例6： 解不定方程 22222y x z y x=++解 容易看出 ，若 z y x ,,中有一个为零，则方程有整数解).0,0,0(),,(=z y x 事实上若,0=x 或0=y ，此时结论显然。
现在考虑 0=z ，于是2222y x y x =+，则.|,|x y y x 所以 y x = 或y x -=，代入方程得 422x x =此时的整数解为0，即结论成立。
因此若 不定方程 22222y x z y x =++ 还有其它的整数解，则z y x ,,均不为零 且原方程变形为 .1)1)(1(222+=--z y x(*)（1） 如果 z 为奇数，则12+z为偶数，故12-x 与12-y 中至少有一个是偶数，此时(*)式左边是4的倍数而右边是2的倍数，故z 不可能是奇数。
（2） 如果z 为偶数，则12+z为奇数，于是12-x 与12-y 均为奇数，从而y x ,同为偶数。
此时 z y x ,,可表示为a x m2=，b y n 2=，c z p2= （其中c b a ,,为奇数）.1,,≥p n m 原方程化为 22)(22222222222b ac b a n m p n m+=++(**)若 p n m == 或p n m ,, 中有一个最小的，如 p n m ≤<，则用 m22除（**）式各项得2222)(22)(22222b a c b an m p m n =++--则上式中一边是偶数，一边是奇数，显然无解。
若p n m ,, 中没有最小也不全相等，则必有一个最大的，如pn m <=，则用m22除(**)式各项得2222)(22222b a c b a n m p =++-因 22b a+被4除余2，而2)(22c m p -与 2222b a n 均为4的倍数，仍然不可能。
故原方程的整数解是).0,0,0( 例7．求方程17532=-w z yx的所有非负整数解).,,,(w z y x解： 由 175+wz为偶数知，.1≥x（1） 若,0=y 此时 .1752=-w z x若,0≠z 则)5(mod 12≡x由此.|4x 因此12|3-x ，这与.1752=-w z x 矛盾 若,0=z .172=-w x直接计算得 .1,3;0,1====w x w x 当4≥x 时，有)16(mod 17-≡w，直接计算知不可能。
所以当,0=y 全部非负解仅为)1,0,0,3(),0,0,0,1(),,,(=w z y x（2） 若0>y ，1=x ，则.17532=-⋅w z y因此)3(mod 175≡-w z ，即)3(mod 1)1(-≡-z 从而z 为奇数，故)5(mod 132≡⋅y 则)4(mod 1≡y当0≠w 时，有)7(mod 132≡⋅y因此有)6(mod 4≡y 则与上面矛盾。
所以.0=w 于是.1532=-⋅z y 当1=y 时，1=z ，当2≥y 时，有)9(mod 15-≡z由此知)6(mod 3≡z ，因此15|153++z ，15|73+ 所以 15|7+z ，这与 y z 3215⋅=+矛盾（因为等式右边只有2，3的因数）故此种情况的解为)0,1,1,1(),,,(=w z y x （3） 若2,0≥>x y ，此时)3(mod 175),4(mod 175-≡-≡w z w z 因此)3(mod 1)1(),4(mod 1)1(-≡--≡-z w ，所以w z ,都为奇数，从而)8(mod 413517532≡+≡+=w z y x ，（事实上)8(mod 17322≡≡）所以2=x ，原方程变为 17534=-⋅w z y（其中w z ,为奇数）由此知 ),7(mod 134),5(mod 134≡⋅≡⋅y y从而解得 ).12(mod 2≡y设 0,212≥+=m m y 于是).132)(132(134751616+⋅-⋅=-⋅=++m m y w z因为 ).7(mod 0161861261961323316≡+≡+⋅=+⋅≡+⋅=+⋅+m m m m又因为 1)132,132(1616=+⋅-⋅++m m （两个连续的奇数是互素）所以 ,132|516-⋅+m 于是 z m 513216=-⋅+， w m 713216=+⋅+若1≥m 则得),9(mod 15-≡z则与（2）所讨论类似得出无解。
若0=m 则1,1,2===w z y 此时得出解为 ).1,1,2,2(),,,(=w z y x综上所述，所求的非负解为).1,1,2,2(),0,1,1,1(),1,0,0,3(),0,0,0,1(),,,(=w z y x例8．在正整数构成的等差数列1，3，5，....中删除所有和55不互质的项后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个数列}{na 显然,...13,9,7,3,154321=====a a a a a那么2007a 等于多少？分析：考虑正整数列1，2，3，4，......中每连续的110个数中与2，5，11都互质的数的个数一样多。