初中数学竞赛专题选讲-代数恒等式的证明
初中数学重点梳理恒等式证明
初中数学重点梳理恒等式证明初中数学中的恒等式证明是一个重要的知识点，也是数学学习中的基础内容。
恒等式证明主要通过逐步推导，将一个式子转化为另一个等价的式子，从而证明恒等式成立。
下面是初中数学中常见的恒等式证明的一些重点梳理。
1.基本的恒等式：-交换律：a+b=b+a，a×b=b×a-结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)-分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.等式转换的基本方法：-两边加减相等的量-两边乘除相等的量-合并同类项-提取公因式-分解因式3.恒等式证明的常见例题：- 证明两个三角函数的恒等式，如证明sin²θ + cos²θ = 1-证明平方差等式，如证明a²-b²=(a+b)(a-b)- 证明平方和等式，如证明(a + b)² = a² + 2ab + b²-证明乘法公式，如证明(a+b)×(a-b)=a²-b²4.使用排列组合证明恒等式：-利用组合数等恒等式，如证明C(n,r)=C(n,n-r)-利用排列数等恒等式，如证明A(n,m)=n!/(n-m)!-利用二项式定理等恒等式，如证明(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ+C(n,1)aⁿ⁻¹b+...+C(n,n)bⁿ5.使用数学归纳法证明恒等式：数学归纳法是一种证明恒等式的常用方法，通过证明基础情况成立，以及假设n=k时等式成立，再证明n=k+1时等式成立来证明恒等式的真实性。
6.利用三角恒等关系证明恒等式：三角恒等关系是三角函数中常见的等式，通过变换、代入等方法，可以将一个三角函数的恒等式转化为另一个等价的恒等式。
7.利用代数运算规律证明恒等式：例如利用加法运算的逆元、乘法运算的逆元以及分配律等运算规律，可以将一个等式转化为另一个等价的等式。
恒等式证明
初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )分析：要证等式成立，只要证明1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n =(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )证明：1- a 1- (1-a 1)a 2- (1-a 1)(1-a 2)a 3 -…- (1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=(1-a 1)[ 1- a 2- (1-a 2)a 3- (1-a 2)(1-a 3)a 4 -…- (1-a 2)(1-a 3)…(1-a n-1)a n ]=(1-a 1) (1-a 2)[ 1- a 3- (1-a 3)a 4- (1-a 3)(1-a 4)a 5 -…- (1-a 3)(1-a 4)…(1-a n-1)a n ]=(1-a 1) (1-a 2) (1-a 3)[ 1- a 4- (1-a 4)a 5- (1-a 4)(1-a 5)a 6 -…- (1-a 4)(1-a 5)…(1-a n-1)a n ]=……=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )∴ 原等式成立例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++ (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法()()()()()()11322321121322211113232121132322121111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++++例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a 分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
【初中】初中数学奥赛专题复习 知识梳理例题精讲 第十一讲 代数式的恒等变形(拔高篇,适合八年级使用,无
代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。
恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明：0=-右边左边，或1=右边左边，此时0≠右边。
4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】【例1】已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且xz y y x 1z 11+=+=+，求证：1222=z y x 。
【拓展】若0≠++z y x ，y x z c z x y b z y x a +=+=+=，，，求证：1111=+++++c c b b a a 。
【例2】证明：a a z a y a x aaz z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。
思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。
【巩固】1、求证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。
2、求证：()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。
【拓展】求证：()()()()()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x【例3】已知ac a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111 思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
初二奥数培训05：恒等式的证明
初二奥数培训05：恒等式的证明参考答案与试题解析一、解答题（共18小题，满分150分）1．已知x+y+z=xyz，证明：x（1﹣y2）（1﹣z2）+y（1﹣x2）（1﹣z2）+z（1﹣x2）（1﹣y2）=4xyz．考点：整式的等式证明。
专题：证明题。
分析：将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边即可．解答：证明：∵x+y+z=xyz，∴左边=x（1﹣z2﹣y2﹣y2z2）+y（1﹣z2﹣x2+x2z2）+（1﹣y2﹣x2+x2y2）=（x+y+z）﹣xz2﹣xy2+xy2z2﹣yz2+yx2+yx2z2﹣zy2﹣zx2+zx2y2=xyz﹣xy（y+x）﹣xz（x+z）﹣yz（y+z）+xyz（xy+yz+zx）=xyz﹣xy（xyz﹣z）﹣xz（xyz﹣y）﹣yz（xyz﹣x）+xyz（xy+yz+zx）=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．∴x（1﹣y2）（1﹣z2）+y（1﹣x2）（1﹣z2）+z（1﹣x2）（1﹣y2）=4xyz．点评：此题主要考查了整式的等式证明．本例的证明思路就是“由繁到简”，注意整体思想的应用．2．已知：1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且．求证：．考点：分式的等式证明。
专题：证明题。
分析：先设1989x2=1991y2=1993z2=k，然后向和++的方向转化，最终证明相等．解答：证明：已知：1989x2=1991y2=1993z2，所以设1989x2=1991y2=1993z2=k（k＞0），则1989=，1991=，1993=，1989x=，1991y=，1993z=．∵．∴==．又∵++=++=．所以．点评：本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．3．求证：+=考点：分式的等式证明。
专题：证明题。
分析：首先观察等式两边分式的结构，把转化成形式，利用比差法进行解答即可证明．解答：证明：∵===，∴=﹣，=﹣，∴左﹣右=++=+﹣+﹣=0，∴等式成立．点评：本题主要考查分式的等式证明的知识点，利用比差法解题是解答本题的关键，本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．4．设，，，其中a+b，b+c，c+a全不为零．证明：（1+p）（1+q）（1+r）=（1﹣p）（1﹣q）（1﹣r）．考点：分式的等式证明。
代数式的恒等证明
代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求221111ba+++的值例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：练习：1111,1=++++++++=c ca c b bc b a ab a abc 证明：若二、配方法——构造完全平方式和的形式。
例1、 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求ba a b+之值。
例2 、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，写出其其形式。
例3、 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例1 已知a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ．例2 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值练习：证：))(()()()()(22333c b a bc ac ab c b a abc b a c a c b c b a ++++=++++++++四.换元法例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.练习：求证：22)1(1)2(2--+=-+-+-+ab b a ab b a ab b a ）（）（五．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例1 求证：全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．六、分析法与综合法练习：222222222111,0,0cb a ba c ac b abc c b a -++-++-+≠=++求且已知七、设参法 例1 若求x+y+z 的值.练习：1、 已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．2、求证：8a+9b+5c=0．3、 已知a+b+c=0，求证：2(a 4+b 4+c 4)＝(a 2+b 2+c 2)2．作业：)11()11()11(,01ba c a cbc b a c b a +++++=++求、已知的值。
初中数学竞赛——恒等式的证明
初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。
初中数学重点梳理：恒等式证明
恒等式证明 知识定位代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．知识梳理知识梳理1：由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．知识梳理2：比较法比较法利用的是：若0，则（作差法）；或若1，则（作商法）。
a a b a ba b b-==== 这也是证明恒等式的重要思路之一。
知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k 、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力．例题精讲【试题来源】【题目】已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．【答案】因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2y 2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知1989x 2=1991y 2=1993z 2，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111x y z++=198919911993198919911993x y z ++=++ 【答案】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则又因为所以所以【解析】令1989x 2=1991y 2=1993z 2=k(k ＞0)，则本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k ，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 【题目】求证：()()()()()()222a bcb ca abc a b a c b c b a c a c b ---+=++++++ 【答案】因为所以所以【解析】用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ，c 代b ，a 代c ，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知0a b c ++= ，求证()()24442222a b ca b c ++=++ 。
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习20：代数恒等式的证明
2020-2021学年初中数学竞赛专题专讲及练习（20）代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c −=−11 ∴bc=ba cb −− b-c=ca ac c a −=−11 ∴ca=c b a c −− 同理ab=ac b a −− ∴ab bc ca ＝a c b a −−b a c b −−c b a c −−＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222n c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111−=− 9．己知：ac z c b y b a x −=−=− 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习20参考答案：1. ④左边＝5 n (5 2-1)+3 n －1(33-3)= 24(5 n +3 n-1) 注意右边有3 n-12. 左边－右边＝（a-b ）23. ②左边－右边＝（a 2+b 2-c 2）2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：代数恒等式的证明
初中数学比赛精选标准教程及练习（20）代数恒等式的证明一、内容概要证明朝数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法例、性质。
详细证法一般有以下几种1．从左侧证到右侧或从右侧证到左侧，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不停注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3 ．证明：左侧的代数式减去右侧代数式的值等于零。
即由左侧－右侧＝0 可得左侧＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还能够把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例 1 求证： 3 n+2－ 2 n＋2＋ 2× 5 n+2＋ 3 n－2 n＝ 10（5 n+1+3 n－ 2 n-1）证明：左侧＝2× 5× 5 n+1＋（ 3 n+2+3 n）＋（－ 2 n+2－ 2 n）＝10× 5 n+1＋ 3 n(3 2+1) － 2 n-1(23＋ 2)＝10（ 5 n+1+3 n－ 2 n-1） =右侧又证：左侧＝ 2×5 n+2＋ 3 n（32＋ 1）－ 2 n(22+1)＝2× 5 n+2＋ 10×3 n－ 5× 2 n右侧＝ 10× 5 n+1+10 × 3 n－10× 2 n-1＝2× 5 n+2＋ 10× 3 n－5× 2 n∴左侧＝右侧例 2 己知 :a+b+c=0求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵ a3+b3+c 3－ 3abc＝（ a+b+c）（ a2+b2+c2－ ab－ ac－bc） (见 19 例 1)∵:a+b+c=0∴ a3+b3+c 3－ 3abc＝ 0即 a3+b3+c3 =3abc又证：∵ :a+b+c=0∴ a=－（ b+c）两边立方a3=－（ b3+3b 2c+3bc 2+c3）333移项 a ＋b +c ＝－ 3bc(b+c) ＝ 3abc（－ b－ c）3+ b3+c3＝－（ b3+3b 2c+3bc 2+c 3）+b 3+c3＝－ 3bc(b+c)= － 3bc(－a)＝3abc例 3 己知 a+1b1c1,a≠ b≠ c求证： a2b2c2=1b c a证明：由己知a-b= 11bc∴ bc=bc c b bc a bb-c=11c a∴ ca=ca同理 ab=aba c cabc c a∴ ab bc ca＝a b bc c a ＝1即 a2b2c2=1 c a a b b c例 4 己知 :ax2+bx+c 是一个完整平方式（a,b,c 是常数）求证： b2－ 4ac=0证明：设 :ax 2+bx+c ＝（ mx+n ）2， m,n 是常数那么 :ax2+bx+c ＝ m2x2+2mnx+n 2a m 2依据恒等式的性质得 b22－ 4m22 2mn∴: b－4ac＝（2mn）n =0c n 2三、练习 2022－22＝ 8ab1．求证：①(a+b+c) +(a+b-c)(a-b-c) － (a-b-c)②（ x+y）4+x 4 +y4=2(x 2 +xy+y 2)2③ (x-2y)x 3－ (y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3④3 n+2+5 n+2― 3 n― 5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤ a5n+a n+1=(a3 n－ a2 n+1)(a 2 n+a n+1)2.己知： a2+b 2=2ab求证： a=b3.己知： a+b+c=0求证：① a3+a2c+b2c+b3=abc② a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知： a2=a+1求证： a5=5a+35.己知： x＋ y－ z=0333求证： x +8y =z － 6xyz6.己知： a2+b2+c2=ab+ac+bc求证： a=b=c7.己知： a∶ b=b ∶ c 求证：（ a+b+c）2+a2+b 2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知： abc≠ 0， ab+bc=2ac1111求证：b b cx y za求证： x+y+z=09．己知：b c ca b a210.求证：（ 2x－ 3）（ 2x+1 ）(x － 1)＋ 1 是一个完整平方式32211 己知： ax +bx +cx+d 能被 x +p 整除求证：ad=bc练习 20 参照答案：n2-1)+3n－13n+3n-1注意右侧有3n-11. ④左侧＝ 5 (5(3 -3)= 24(5)2.左侧－右侧＝（ a-b）23.②左侧－右侧＝（ a2+b 2-c2）2-4a2 b2=4.∵ a5=a2a2a,用 a2=a+1 代入5.用 z=x+2y 代入右侧6.用已知的（左－右）× 27.用 b2 =ac 分别代入左侧，右侧化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以 abc9.设三个比的比值为 k,10. (2x 2-x-2) 211. 用待定系数法。
(完整word版)全国初中数学联赛金牌教练讲座：第二十三讲代数证明
兰州第十中学 数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第二十三讲代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系. 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明. 恒等式的证明常用的方法有： （1） 由繁到简，从一边推向另一边； （2） 从左右两边人手，相向推进； （3） 作差或作商证明，即证明：左边一右边 =0,左边1（右边0）. 右边 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既 要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通. 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形 技巧、方法和思想的熟练运用. 例题求解 z 1 1 az a 2 x a y a y 2ay a （2）求证：（a -）2 （b 丄）2 （ab 丄）2 4 （aa b ab 【例1】（1）求证： ax a 思路点拨（1）从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系; （2）等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较. 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等 式.把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等 变形的特点. 代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒 数等是恒等变形常用的技巧与方法. 【例2】 已知x y a b ，且x 2 y 2 a 2 b 2. 求证: x 2001 y 2001 a 2001 b 2001 （ 黄冈市竞赛题）思路点拨 从完全平方公式入手，推出 X 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口.局，如果用a i 和b i ，分别表示第i(l=1, 2, 3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数.(天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键. 【例4】 已知ax 3 by 3 cz 3，且-—1 1 .x y z求证：3'ax 2 by 2 cz 2 爲 Vb Vc .33 【例5】已知abc 0,证明：四个数(a b c)、(b c a)abc abc(北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于 24即可. 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：(1) 将已知条件直接代入求证式； (2) 变换已知条件，再代入求证式； (3) 综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等.不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：(1) 若 A — B>0,则 A>B; (2)若 A — B<0,则 A<B;(3) a 2 b 2 2ab ; 1(4)x 2 (x>0);x(5)若a 1 a 2a M ，则a 1> a 2、 、a n 中至少有一个大于M.n学力训练1 . .已知 Pa b,qb c■3r =c，求证：(1 p)(q)(1 r) (1 p)(1 q)(1 r)a bb cc ab2 2 22 . .已知 x y Z 1 ,a c 0 .求证：2 y 2勺1.a b cx y za b c思路点拨 条件中有一个连等式,恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式. 【例3】有18支足球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队进行一场比赛,假设比赛的结果没有平求证： a 12 a 22 a 182 b 12 b 22b i82 •3 3(Cab) 、(a b c)中至少有一个 abcabc3.已知：a _b bc ca，求证：8a 9b 5c 0 .a b 2(b c) 3(c a) , --- 一 . --------------------------------------------------- 14 .设 39 .432的小数部分为b ，求证：.39 432 2b -.b222222_5.设 x 、y 、z 为有理数，且(y — z) +(x — y) +(z — x) =(y+z — 2x) +(z+x — 2y) +(x+y — 2z)，求证: (yz 1)(zx 1)( xy1)2 2 2 1 .(x 1)( y 1)( z 1)(重庆市竞赛题)11 .设a 、b 、c 均为正数，且a b c 1，证明：1 1 19 .a b c 12 .如果正数 a 、b 、c 满足a c 2b ，求证: （北京市竞赛题）13 .设a 、b 、c 都是实数，考虑如下 3个命题：① 若 a 2 ab c 0，且 c>1 ,则 0<b<2; ② 若 c>1 且 0<b<2，则 a 2 ab c 0 ；③ 若 0<b<2，且 a 2 ab c 00,则 c>1.试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反 例予以否定.（武汉市选拔赛试题）6 .已知14(a 2 b 2c 2) (a 2b 3c)2，求证：a :b ： c=1:2： 3.7 . 已知 1 1111求证：X、 y 、z 中至少有个为1 .x yz x y z8 . 若 xyz，记Ax y y z z t t x ，证明：A 是一个整数.（匈z tz t x t x y x yz t t x xy zy y z牙利竞赛题)9. 已知abc0，求证：a b c 0.c)2 (c a)2 (a b)2b c c aa b(b10 .完成同一件工作,甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的 p 倍，乙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：xp q 2 pq 1丙两人合做所需时间的 q 倍；丙单独做所需时间为甲、）1 1--•a -J b x b -、： c【例匿求解】⑴左血■半二单+£〔厂丁+也二口（■! —E」«（JP—<1）d（r—盘］⑵內为R+打+（H*）T+（"+訝—［卄（卄+）（”++）©+書）］7 + 2+》7+* + —4（曲+書）［（耐£）-{・十+）+（卄*）］右十巒十+亠（如占）（一*_土>7+士+乎+令-卩弓-」-寺叫严*7十胪E 则由07申b纽® 0-®.WCr->y = <ffl-6P,M|J->| - |a^A|，St x-^-a-Art j} j + >-O+i»> V I*r^b■无馆■一帚情形祁雪卢小+」删=卫1 ** 成屯y d«3A1>—6由于特空却轨部害进厅i«-i = n场比豪屈师于第.支琲队有叭亠卜-W (A19 与颈前,0■齢敵帽莓・]+©：+••-+旳一靳+ »十—a、17.i-l.S»3,-]ait 干比•无平屛.ttJFW*iTUi1+fl I14--+d ll*>-Ui,+6!1+^ +*i l,)-itfi*-61,)-*-(4ft r—-i lB,) = 17X|r((i L + a I + - +Cl* 1 —(61 +^ + *,b+ *M > J m0. If ・』+斗'+ *«—J=■石严+6^ 4~ ■*' +^B T*4R卄汇■『(丄+丄+"^)N(>・r" + 収+亦彳£■ *"* ”从而福贬,—(dr + ^ + f]'* (£k—r—a)a亠_^(^—i—r)a _+ “十d* + Hf ¥J +[片一心一術户+3・b-w f严]■ f惴为—誰—+ ―——+ + 血■ ------------------------------ ------------------------- *2占(Sa* ±b 十3F + G MA J—26<3t/ +&= + 3F —_ 2缶& 比上@ 乍-abr ab~悬"a 4 ： ' ' V $' ~~~二-"'” U( ” <r~^M1<fe-U-^H><6T W£KlWfl^小宁勿虑号前睛•故四$脾«[中型夕有一十不小TU.【学力iimii.捋户沖十分卿代人左右两辿1.肚= = wt* 羊An»-^-Np"初in + "+p*l, 立U* 即+ Q .从 ft] w* + J 亠JH + H+刃」—1TOT/九设出础―=吋-计.宀=呱—八于是・册+补- r>«Z（r+tf> 一—•）」_IE三強也中M+S L-O.+«—a》(.一防* (& <>(<• —nJ 丁<^~cl(«—M(c—a)(<i-*W1"设甲，乙[三人草!k 完氐戯项工作分甥用鼻天上灭点天■刚u(&+r> Lorrfa+ fr>m 由"L 冊制■-占=1皿为严庙亦矿£后石爲市厂乔而乔丽＜拓+乖、＜翕4■石）（J7牛掐）又TE HS ZF 说十體t 石十阳S+QS 十石】豚'石十石血十石騷+養石+■苗即拓申屈.庙知7旅十扃13.瞬心―山■弭可以童徒•■!）不止町“牛8存丨町％會证韋■③不止・.•■②iE ・-i£*l ・Fi 由 £＞】*县■■剛 f A 寺＞ （* j手.即「—十 A0*罐+＜H-r — *十-?） *（「一孚；A0+呼£■”（”手）+（于+ 9珂丹却L _ =w奋+遁、二;、啤直■匸口*。
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初中数学竞赛专题选讲
代数恒等式的证明
一、内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
二、例题
例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）
两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+
a
c c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=
bc c b b c -=-11 ∴bc=b
a c
b -- b-c=ca a
c c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=a
c b a -- ∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数
那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2
根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===22
2n
c mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0
三、练习
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)
2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2
4.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+3
5.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz
6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：
c b b a 1111-=- 9．己知：a
c z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc
练习题参考答案
1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-1
2.左边－右边＝（a-b）2
3.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……
4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入
5.用z=x+2y代入右边
6.用已知的（左－右）×2
7.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式
8.在已知的等式两边都除以abc
9.设三个比的比值为k,
10.(2x2-x-2)2
11.11. 用待定系数法
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