逆命题与逆定理
5.7 逆命题和逆定理(2)
A（x,y） x,y）
C（—x,-y） x,-
例、说出真命题“（在直角坐标系中）点（x，y）， 说出真命题“ 在直角坐标系中） （-x，-y）关于原点对称”的逆命题，并判断逆命题的 关于原点对称”的逆命题， 真假 分析： 分析：前提条件是 在直角坐标系中 ； 条件是： 两个点的坐标是（ 条件是： 两个点的坐标是（x，y）与（-x，-y） ；
A
∴△ABC是Rt△，且∠C=Rt∠ ABC是Rt△
c
b
B C a
试一试
请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断， 的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断， 如果三角形一条边上的中线等于这一边的一 逆命题： 逆命题： 半，那么这个三角形是直角三角形 是真命题 已知：如图，ＣＤ ，ＣＤ是 ＡＢＣ的中线 的中线，ＣＤ＝ 已知：如图，ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 2 ＡＢ 求证： ＡＢＣ是 求证：⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿ 证明： ＣＤ是 ＡＢＣ的中线 的中线，ＣＤ＝ 证明：∵ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 2 ＡＢ C 1 2 3 ＣＤ=AD=BD= ∴ＣＤ=AD=BD= AB
想一想：平面直角坐标系中一点关于x 想一想：平面直角坐标系中一点关于x、y轴对称的点 的坐标有什么特点？ 的坐标有什么特点？
合作学习
3、作点A(x,y) 关于原点O的对称点，并写出它的坐标 作点A(x,y) 关于原点O的对称点，
y
想一想： 想一想：平面直角坐标系 中一点关于原点对称的点 的坐标有什么特点？ 的坐标有什么特点？
BC＝ ∵a2+b2=c2 又∵ BC＝a＝
B`C`， AC＝ B`C`， AC＝b＝ A`C`,
2.4 逆命题和逆定理(解析版)
2.4 逆命题和逆定理（3）举出反例即可．【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，结论为：|a|=|b|；（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|，那么a=b；（3）此命题的逆命题是假命题，当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2,b=―2时，|2|=|―2|，而2≠―2．【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．考查题型二互逆定理4．下列说法正确的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题【答案】A【分析】利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.任何命题都有逆命题，故A说法正确，符合题意；B.任何定理不一定有逆定理，故B说法错误，不符合题意；C.真命题的逆命题不一定是真命题，故C说法错误，不符合题意；D. 定理的逆命题不一定是真命题，故D说法错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．5．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】解：A、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，不是逆定理；B、逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是逆定理；C、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是逆定理；D、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是逆定理；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．∠ABC，∴∠CBD=12∴∠CBD=∠BCE，在△BCE和△CBD∠CBE=∠BCDBC=CB∠BCE=∠CBD棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，__________，__________．求证：__________．证明：【答案】见解析【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出OE=OF，进而根据等腰三角形的性质得出OD平分∠AOB．【详解】已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，DG⊥EF，DE=DF（或D是EF的中点），求证：OD平分∠AOB（或∠AOD=∠BOD）．证明：∵DG⊥EF，DE=DF，∴DG垂直平分EF．∴OE=OF．∵DG⊥EF，点O在DG上，∴OD平分∠EOF．即OD平分∠AOB．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：如图所示，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；（2）只需要证明△ACE ≌△ADB 得到AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，再证∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，即∠CAB ＝60°，即可证明△ABC 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ABC 即为完成的图形；已知：如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，在l 1上取点A ，D ，在l 3上取点E ，作等边△ADE ，DE 交l 2于点B ；在l 3上点E 的左侧取点C ，使CE ＝BD ，连接AC ，BC ．求证：△ABC 为等边三角形．（2）证明：由（1）得：∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∠EAD ＝∠EDA ＝∠AED ＝60°，∵l 1∥l 2∥l 3，∴∠EAD ＝∠CEA ＝60°，∴∠AEC ＝∠EDA ，在△ACE 和△ADB 中，AD =AE ∠AEC =∠ADB BD =CE，∴△ACE ≌△ADB （SAS ），∴AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，∴∠CAB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题：______．已知：______．求证：______．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形；证明见解析．【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．已知，如图所示：AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线，求证△ABC是等腰三角形．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到ΔADE≌ΔCBE (AAS )，然后即可得到AE =CE .【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题；①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题；②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为2；（2）选择①②⇒③．证明：在ΔADE 和ΔCBE 中，∠AED =∠CEB (对顶角相等)，∠A =∠C (已知)，AD =CB (已知)，∴ΔADE≌ΔCBE (AAS )．∴AE =CE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.。
八年级数学 第13章 全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 1 互逆命题与互逆定理数学
（4）到一个角的两边距离相Байду номын сангаас的点，在这个角的平分线上. 条件：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离 相等.
条件：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上.
12/13/2021
知识归纳
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论， 并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正 确，它的逆命题未必正确．
例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶 角”，此命题就是假命题．
12/13/2021
例2 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.
观察上面三组命题,你发现了什么?
12/13/2021
归纳
上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题 的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么 这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就 叫做它的逆命题. 命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为： 条件为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为内错角相等，两直线平行.
导入新课
复习引入
1.什么叫命题？ 判断一件事情的句子叫做命题. 2.命题由几部分组成,一般可以写成什么样的形式? 由条件和结论两部分组成. 可以写成“如果……，那么……”的形式. 3.命题有真命题和假命题之分.
12/13/2021
讲授新课
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。
2.难点：对于逆定理的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。
例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。
”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理
（原创版）
目录
1.逆命题和逆定理的定义
2.逆命题和逆定理的区别
3.逆命题和逆定理的应用
正文
一、逆命题和逆定理的定义
在数学中，逆命题和逆定理是两个相关但有所区别的概念。
逆命题指的是，如果一个命题的题设和结论互换位置并且同时取反，那么得到的新命题就是原命题的逆命题。
例如，原命题为“若 A，则 B”，那么逆命题为“若非 B，则非 A”。
逆定理则是指，对于一个定理，如果将其结论和条件互换并且同时取反，得到的新命题称为原定理的逆定理。
二、逆命题和逆定理的区别
逆命题和逆定理在形式上有所不同，但它们之间存在一定的联系。
首先，逆命题是针对命题而言的，而逆定理是针对定理而言的。
逆命题是对原命题的题设和结论进行交换和取反，而逆定理是对原定理的结论和条件进行交换和取反。
其次，逆命题和逆定理的真假性质并不一定相同。
逆命题的真假与原命题的真假并无必然联系，而逆定理的真假则与原定理的真假密切相关。
三、逆命题和逆定理的应用
逆命题和逆定理在数学中有广泛的应用。
在证明过程中，有时候可以通过逆命题或逆定理来简化证明过程。
例如，在证明某个定理时，如果直接证明较为复杂，可以尝试先证明其逆定理，再通过逆定理与原定理的等价性来得到原定理的证明。
此外，逆命题和逆定理在解决实际问题中也有
一定的应用，例如在逻辑推理、问题求解等方面都可以利用逆命题和逆定理来简化思考过程。
逆命题逆定理教案
逆命题逆定理教案 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】4. 逆命题、逆定理我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的题设为__________________________________________________________________________________________________；结论为______________________________________________________________．它的逆命题为_________________________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．在第19章中，我们已经学过勾股定理，即勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的．勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图，在△ABC中，AB＝c, BC＝a,CA＝b,且a2＋b2＝c2．图27.2.9求证：△ABC是直角三角形．分析首先构造一个直角三角形A' B' C'，使得∠C'＝90°，B' C'＝a，C' A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A' B' C'，从而可知△ABC是直角三角形．做一做设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角．（1）7， 24， 25；（2）12， 35， 37；（3）35， 91， 84．练习1. 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．（2）等边三角形的每个角都等于60°．（3）全等三角形的对应角相等．（4）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．2. 举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除．（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．3. 在你所学过的知识中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）试举出2对．4. 三角形ABC三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角（1）a＝8, b＝15, c＝17; （2）a＝241, b＝10, c＝8;（3）a＝6, b＝8, c＝10; （4）a＝1, b＝2, c＝3．5. 给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形习题.1.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求证：（1）∠1＝∠2；（2）AD⊥BC．（第1题）（第2题）2.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且EF∥BC．求证：EF＝BE＋CF．3.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分别是C、D．求证：∠EDC＝∠ECD．(第3题) （第4题）4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC于D ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上．5. 如图，△ABD 、△ACE 都是等边三角形．求证：CD ＝BE ．（提示：找出分别以CD 、BE 为边的两个全等三角形）(第5题)6. 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．（1） 如果x ＝y ，那么x 2＝y 2；（2） 如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角．（3）。
逆命题和逆定理课件
证明定理
逆命题和逆定理常常被用 来证明数学中的定理，通 过逆向推理，我们可以验 证一个命题是否成立。
解决数学问题
在解决数学问题时，逆命 题和逆定理可以帮助我们 从一个已知的结果出发， 反向推导出问题的答案。
数学逻辑
逆命题和逆定理是数学逻 辑中的重要概念，它们有 助于理解数学中的逻辑关 系和推理过程。
决策制定
在日常生活中，我们常常需要做 出决策，逆命题和逆定理可以帮 助我们分析一个决策可能带来的
结果和影响。
问题解决
在解决问题时，逆命题和逆定理可 以帮助我们从问题的结果出发，反 向推导出可能的原因或解决方案。
沟通交流
在沟通交流中，逆命题和逆定理可 以帮助我们理解对方的观点或立场 ，从而更好地进行交流和协商。
04
逆命题和逆定理的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接推理，从已知条件出发，逐步推导出结论。
详细描述
直接证明法是最常见的一种证明方法，它直接利用已知条件和已知定理、定义 进行推理，逐步推导出结论。这种方法逻辑严谨，步骤清晰，易于理解。
反证法
总结词
通过假设与结论相反的情况，推导出矛盾，从而证明结论的 正确性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对其他学科的意义
促进其他学科的发展
逆命题和逆定理在其他学科中也有广 泛应用，如物理学、工程学等，它们 的运用有助于推动这些学科的发展。
提供跨学科研究的工具
逆命题和逆定理可以作为跨学科研究 的工具，促进不同学科之间的交流和 合作。
对日常生活的意义
提高逻辑思维能力和判断力
逆命题和逆定理的学习和应用有助于提高人们的逻辑思维能力和判断力，帮助人们更好 地应对生活中的各种挑战。
第9课时19.4.1逆命题与逆定理
讨论交流： 讨论交流：
在你学过的定理中， 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是 真命题？试举出几个例子说明。 真命题？试举出几个例子说明。
我能行
2
练习3、说出下列命题的逆命题， 练习 、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题 的真假： 既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。 的真假：①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
驶向胜利 的彼岸
浏览诊断
阅读教材88---89页的内容回答下列问题 （1）什么是互逆命题？ （2）什么是互逆定理？
归纳 确认标识
1
概括：一般来说，在两个命题中， 概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命 题的题设是第二个命题的结论 题设是第二个命题的结论， 题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的 结论是第二个命题的题设， 是第二个命题的题设 结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 互逆命题。 互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题， 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题。 命题叫做它的逆命题。
驶向胜利 的彼岸
归纳
2
归纳：如果一个定理的逆命题也是定理， 归纳：如果一个定理的逆命题也是定理，那么 这两个定理叫做互逆定理 互逆定理。 这两个定理叫做互逆定理。 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 逆定理 注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 注意 ：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 逆定理、互逆定理， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意2： 注意 ：不是所有的定理都有逆定理
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交 通工具。 通工具。
逆命题：高速行驶时， 逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮 列车——假命题。 假命题。 列车 假命题
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理摘要：一、逆命题与逆定理的定义二、逆命题与逆定理的关系三、逆命题与逆定理的应用四、总结正文：逆命题与逆定理是数学中非常重要的概念，它们在数学证明中起着至关重要的作用。
本文将首先介绍逆命题与逆定理的定义，然后讨论它们之间的关系，接着分析它们在数学中的应用，最后进行总结。
一、逆命题与逆定理的定义1.逆命题逆命题是针对一个命题的否定并且交换主语和谓语得到的命题。
设命题P 为“若A，则B”，则逆命题为“若B，则A”。
2.逆定理逆定理是将一个命题的逆命题作为前提，原命题作为结论所得到的命题。
设命题P 为“若A，则B”，则逆定理为“若B，则A”。
二、逆命题与逆定理的关系逆命题与逆定理是相互关联的，它们互为逆否命题。
也就是说，如果一个命题的逆命题为真，那么这个命题的逆定理也为真。
反之，如果一个命题的逆定理为真，那么这个命题的逆命题也为真。
三、逆命题与逆定理的应用1.证明的辅助工具逆命题和逆定理在数学证明中经常被用作辅助工具。
通过证明一个命题的逆命题或逆定理，我们可以得到关于原命题的许多有用信息，从而简化证明过程。
2.构造性证明在一些数学问题中，我们可以通过构造性证明来证明一个命题。
构造性证明通常涉及使用逆命题或逆定理，以帮助我们找到一个合适的构造方法。
3.分析问题逆命题和逆定理可以帮助我们分析问题。
通过研究一个问题的逆命题或逆定理，我们可以更好地理解问题的本质，从而找到解决问题的方法。
总之，逆命题和逆定理是数学中非常关键的概念。
它们在数学证明中起着至关重要的作用，可以作为证明的辅助工具，也可以用于构造性证明和分析问题。
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理（1）上海市西延安中学王健教学目标：1、掌握互逆命题，互逆定理的概念。
2、会叙述简单命题的逆命题。
3、搞清每一个命题都有它的逆命题，但逆命题不一定是真命题。
每一个定理不一定有逆定理。
教学重点：命题的题设和结论判别。
教学难点：搞清每一个命题都有它的逆命题，但逆命题不一定是真命题。
每一个定理不一定有逆定理。
教学过程：一、引入探究：给出三组命题，让学生分析每组命题的题设和结论，在此基础上找出以上三组命题的特点、联系与区别。
第一组命题：(1)两直线平行，内错角相等。
(2) 内错角相等，两直线平行。
第二组命题：（1）如果三角形的两条边相等，那么它们所对的角相等。
（2）如果三角形的两个角相等，那么它们所对的边相等。
第三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。
（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角。
探究结果：（1）每一组两个命题的题设和结论正好互换。
（2）第一二组两个命题都是真命题，第三组中第一个命题是真命题，第二个命题是假命题。
二、新授（一）定义定义1：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
定义2：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。
（二）重要结论每一个命题都有逆命题。
但是真命题的逆命题不一定是真命题。
因此，并不是每一个定理都有逆定理。
三、练习练习1：说出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。
（1）同旁内角互补，两直线平行。
（2）如果三角形中有两个角是锐角，那么另一个角是钝角。
( 3 ) 直角三角形的两个锐角互余。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（5）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等。
练习2：说出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题。
（1）线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
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人生在勤，勤则不匮；户枢不蠹，流水不腐。
—— 许名奎(元朝)
13.5.1逆命题与逆定理 编写人：八年级C 段耿建国 第一课时
【学习目标】
1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命 题都有它的逆命题，命题有真假之分。
2、了解逆命题、逆定理的概念。
【重点难点】
重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命 题成立，其逆命题不一定成立．
难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时 了解假命题的证明方法是举反例说明
【学法指导】
分析例题，体会逆命题与逆定理的过程.
【知识链接】
1、下列句子是命题的是（ ）
A.画∠AOB=45°
B. 小于直角的角是锐角吗？
C.连结CD
D. 同位角相等，两直线平行
2、命题定义：_______________________________________________叫命题
3、命题由________、____________两部分组成，
例：命题：“两直线平行，内错角相等”条件是 ，结论是 。
命题：“内错角相等,两直线平行”条件是 ， 结论是 。
以上两个命题有什么不同？请你说一说。
【自学指导、合作探究】
一、自学指导（请阅读课本相关内容，独立思考，相信聪明的你一定能出色完成任务！） 归纳：
1、逆命题
在两个命题中，
师生札记
师生札记
人生在勤，勤则不匮；户枢不蠹，流水不腐。
—— 许名奎(元朝)
如果第一个命题的_______是第二个命题的__________， 而第一个命题的_______是第二个命题的_______，那么这两个命题叫做_互逆命题_。
如果把其中一个命题叫做_原命题_，那么另一个命题叫做它的_逆命题_。
就例题来说，如果说“两直线平行，内错角相等”为原命题， 则“内错角相等,两直线平行”为___________。
我们说两个命题叫做_________。
2、练习：请学生分别写出的下列命题的逆命题并判断它是真命题、假命题。
（1）两直线平行，同位角相等
（2）如果a=b ，那么22b
a
（3）对顶角相等
二、合作探究（请相信集体的智慧是无穷的！）
问：每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；
3、逆定理
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理， 这两个定理叫做互逆定理.是说出我们学过的那些定理互为逆定理
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平
人生在勤，勤则不匮；户枢不蠹，流水不腐。
—— 许名奎(元朝)
行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意2：不是所有的定理都有逆定理
【展示质疑、教师点拨】
【同步演练、拓展提升】
练习
1、（A ）下列说法哪些正确，哪些不正确？请说明理由。
（1）每个定理都是逆定理；
（2）每个命题都有逆命题；
（3）假命题没有逆命题；
（4）真命题的逆命题是真命题.
2、（A ）写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）如果x=1，那么x （x-1）=0
（2）等边三角形的三个角都是60°
3、（A ）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）对顶角相等
（3）内错角角相等，两直线平行
4、（A ）判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题；
（2）真命题没有逆命题；
（3）每个命题都有逆命题；
（4）真命题的逆命题是真命题
5、（B ）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和所得的逆命题的真假：
师生札记 师生札记
人生在勤，勤则不匮；户枢不蠹，流水不腐。
—— 许名奎(元朝)
（1）同位角相等；
（2）如果|a|=|b|，那么a=b ；
（3）等边三角形的三个角都是60°
（4）同角的余角相等。
6、（B ）下列定理中，哪些有逆定理？如果有请说出逆定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）内错角相等，两直线平行。
（4）两直线平行，同旁内角互补
（5）全等三角形的对应角相等。
【归纳总结、回归目标】
人生在勤，勤则不匮；户枢不蠹，流水不腐。
—— 许名奎(元朝) 参考答案
1、（1）× （2）√ （3）× （4）×
2、（1）× （2）√
3、略
4、（1）× （2）× （3）√ （4）×
5、略
6、略。