2019-2020年九年级数学《 24.1.4 弧、弦、圆心角》学案

2019-2020年九年级数学《 24.1.4 弧、弦、圆心角》学案
学习目标：1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理．
2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算．
3、通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问
题、解决问题的能力．
4、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．
教学重点：
圆周角的概念和圆周角定理．
教学难点：
认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性．
一知识频道（交流与发现）
1：创设情境
1）想一想
⑴通过观察课本图24.1-11请回答几个问题;
①它们的视角（∠AOB和∠ACB）由什么关系？答：
②如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，它们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角
相同吗？答
⑵：定义; 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做。

思考两个问题
①顶点在圆上的角是圆周角吗？
②圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？
2）练一练
练习①、判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明由．
②通过练习总结出圆周角的两个要素
3)试一试：
学生们在圆上画一个圆周角，然后再画同弧所对的圆心角，由同桌两人用量角器量出这两个角的度数，请三名同学把量得数据告诉同学们，亲自试验发现它们之间的关系。

①一条弧所对的圆周角有多少个？答：
②一条弧所对的圆心角有多少个？答：
③一条弧所对的圆周角和圆心角的关系? 答：
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
4：议一议．
虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有情况．请说出还有哪几种情况？答：。

二：方法频道（由解题理解知识，由知识学会解题）
圆周角定理的证明
例1 已知：如图⑴⊙O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．
分析：（1）如果圆心O在∠BAC的一边AB上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．
证明（1）图中，圆心O在∠BAC的一边上．
（2）图中，圆心O在∠BAC的内部，作直径AD．利用（1）的结果，有
（3）图中，圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，有
总一总：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等；相等圆周角所对的也相等．
半圆或（直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。

变式训练1）：判断题：
1等弧所对的圆周角相等；（）
2．相等的圆周角所对的弧也相等；（）
3．90°的角所对的弦是直径；（）
4．同弦所对的圆周角相等．（）
变式训练2）
1、说出下图中x的度数。

2、如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC 求证：∠ACB=2∠BAC．
例2 如图7-43，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD 和BD的长．
分析，所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直角三角形的直角边问题，由
于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形，又因为CD平分∠ACB，所以可得=
，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴= ．∴
在等腰直角三角形ADB中，
变式训练3
1）如图7-44，AB为⊙O的直径，弦AC=3cm，BC=4cm，CD⊥AB，垂足为D．求AD、BD和CD的长．
分析1：要求AD、BD、CD的长，
①AB的长，由于AB为⊙O的直径，所以可得到△ABC是直角三角形，即可用勾股定理求出．
②求CD的长，因CD是Rt△ABC斜边AB上的高，所以可以根据三角形面积公式，得到CD×AB=AC·CB 来解决．
解：
三、习题频道（自主训练才会学会解题）
1、初试能力
1）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是
．
2)⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）
（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）60°或120°
3)如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是弧AB上一点，A B与CD交于E点，则图中60°的角共有
( )个．
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
4)如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）
（A）70°（B）65°（C）60°（D）)50°
5)如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC 的长．
2．能力提高
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2.如图7，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠
ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB=
3．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7.如图6，AB是⊙O的直径，
⌒
BC=⌒BD，∠A=25°，则∠BOD= ．
3：中考链接
E O
1：（2008年浙江）如图12所示，A.B.C是⊙O上的三点，∠BAC＝45°, 则∠BOC的大小是 .。

2 (2008,广州中考) 如图7-43，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O
于D，求BC，
AD和BD的长．。