最新小学数学奥数基础教程(六年级)--运筹学初步2优秀名师资料

小学数学奥数基础教程(六年级)--运筹学初步2 小学数学奥数基础教程(六年级)
运筹学初步
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。

1.统筹安排问题
例1 星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间,
分析与解:如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是:先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟(见下图)。

例1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。

2.排队问题
例2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。

怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少,最少要用多少时间,
分析与解:一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。

甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的;乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。

甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为(10×3)分;
然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为(15×2)分;最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。

甲理发的三个人，共用(10×3，15×2，24)分，乙理发的两个人，共用
(12×2，20)分。

总的占用时间为
(10×3，15×2，24)，(12×2，20)=128(分)。

按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10，15，
24,49(分)。

如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为
10，12，20,42(分)。

例3 车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少, 分析与解:因为(18，30，17，25，20)?2=55(分)，经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟。

上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。

第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，第2人按需25，30分钟的顺序修理，经济损失为
5×,(17×3，18×2，20)，(25×2，30),=935(元)。

3.最短路线问题
例4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间(单位:分)。

小明从A到B最快要几分钟,
分析与解:我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。

从A到O有两条路，A?C?O用6分钟，A?F?O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF，简化为左下图。

从A到E还剩两条路，A?C?G?E用12分钟，A?C?O?E用10分钟，排除前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。

从A到D还剩两条路，A?C?O?D用12分钟，A?H?D用13分钟，排除后者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。

从A到B还剩两条路，A?C?O?E?B用17分钟，A?C?O?D?B用16分钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。

小明按A?C?O?D?B走最快，用16分钟。

4.场地设置问题
例5 下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，?中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位:千米)。

现在要在五村之中选一个村建立一所小学。

为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。

分析与解:我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。

例如比较 A和 C，若设在 A村，则在 C村一侧将集结 20，20，35，50=125(人)，
这些人都要走 AC这段路;若设在C村，则只有40人走AC这段路。

对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。

从上面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。

同理，经比较得到C比B好，D比E好。

最后比较C和D。

若设在 C村，则在D村一侧将集结 35， 50= 85(人);若设在 D村，则在C村一侧将集结 40，20，20=80(人)。

因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。

经过上面的比较，最合理的方案是设在D村。

不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。

例6 某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的A,G七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示(单位:千米)。

管道有粗细两种规格，粗管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千米3000
元。

粗、细管的转接处必须在居民区中。

问:应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省,
分析与解:在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段就应选用粗管。

从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有7个居民区，所以至少有3个居民区由粗管通达。

因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。

经过计算比较，得到最佳方案:
(1)天然气站经G，F，E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C到B安装1根细管;
(2)天然气站到A安装1根细管。

此时总费用最少，为
8000×(3+12+8+6)+3000×2×5+3000×(9+10)=319000(元)。

练习29
1.早饭前妈妈要干好多的事:烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。

如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间,怎样安排,
2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作。

问:加工完七个零件最少需多长时间,
3.车间里有5台车床同时出现故障。

已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

问:(1)如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少,(2)如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟,
4.下页左上图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间(单位:分)。

小王从A到B，最快需要几分钟,
5.东升乡有8个行政村。

分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长(单位:千米)。

现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。

问:电线至少要架多长,
6.有七个村庄A1，A2，…，A7分布在公路两侧(见下图)，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里,
7.有一个水塔要供应某条公路旁的A,F六个居民点用水(见下图，单位:千米)，要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供
应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省,费用应是多少,
答案与提示练习29
1.22分。

提示:先烧开水后煮牛奶共需22分，其它事情可以在这个期间做，顺序是买油条，准备暖瓶，擦桌椅(水开时暂停，煮上奶)，灌开水，继续擦桌椅。

2.17分。

3.(1)780元;(2)36分。

提示:(1)按修复时间需7，8，10，15，29分的顺序修理;(2)一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的。

4.48分。

提示:A?E?O?G?B。

5.50千米。

提示:架设的线路如下图。

6.D。

提示:本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人(见下页图)，求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”。

7.从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元。

提示:当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管。