第三章 动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
第三章动量与角动量
上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率 (dm / dt )及 喷 出 气 体 的 相 对 速 度 u 成 正 比 。 Mi v f v i u ln 练习：3.9 M f
z
3.4
质心
rC
C
一. 质心的定义
由下式决定的位置矢量 rc 所对
应的c，称为质点系的质心。
rC mi mi ri
动量（角动量）、动量（角动量）定理、 动量（角动量）守恒定律
本次课主要内容
1、第二章小结 2、冲量、动量 #3、动量定理、动量守恒 4、火箭飞行原理
3.1 冲量与动量定理
一、冲量和动量
1. 冲量: 力F对dt时间的积累 量，叫做在dt时间 内质点所受合外力 的冲量。
F
I
t
Fdt
O t0
K
R
t
v0 R vt R K vt v0t vt ( R K v0t ) v0 R vt v0 R ( R K v0t )
S
t 0
vt d t
t 0
v0 R R v0 K t 1
dt
v0 R v0 K R
t 0
R v0 K t
2. 动量
p mv
F dp dt Fdt dp
二. 用冲量表示的动量定理
1. 牛顿第二定律的普遍形式
2. 动量定理(质点）
t t0
Fdt
p p0
dp
I p p0
上式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在 同一时间内质点动量的增量。
矢量法
z
3.4
质心
rC
C
一. 质心的定义
由下式决定的位置矢量 rc 所对
应的c，称为质点系的质心。
rC mi mi ri
动量（角动量）、动量（角动量）定理、 动量（角动量）守恒定律
本次课主要内容
1、第二章小结 2、冲量、动量 #3、动量定理、动量守恒 4、火箭飞行原理
3.1 冲量与动量定理
一、冲量和动量
1. 冲量: 力F对dt时间的积累 量，叫做在dt时间 内质点所受合外力 的冲量。
F
I
t
Fdt
O t0
K
R
t
v0 R vt R K vt v0t vt ( R K v0t ) v0 R vt v0 R ( R K v0t )
S
t 0
vt d t
t 0
v0 R R v0 K t 1
dt
v0 R v0 K R
t 0
R v0 K t
2. 动量
p mv
F dp dt Fdt dp
二. 用冲量表示的动量定理
1. 牛顿第二定律的普遍形式
2. 动量定理(质点）
t t0
Fdt
p p0
dp
I p p0
上式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在 同一时间内质点动量的增量。
矢量法
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第三章 动量和角动量
2、冲量的方向
由动量定理： I p2 p1
冲量的方向与动量增量的方向一致 3、平均冲力
p2
I
p1
F
平均冲力：真实力在一个作用过程中的时间平均值
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
Fm I p p2 p1 t t t 2 t1 F
平均冲力等于质点动量的增量与作用时间之比。
o
t1
t2
t
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m· s-1的刚球,以与钢板法线 呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来 . 设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F .
解 建立如图坐标系, 由动量定理得
2mv cos Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0 2mv cos mv2 F Fx 14.1 N
2. 动量守恒定律
如 果 F外 Fi 0 i 则 P2 P1 0
§ 3-4
角动量 质点的角动量定理
前面我们引入了描述物体运动状态的量 ——动量。 本章引入新的状态量 —— 角动量
地球绕太阳运动？原子中的电子绕着原子核运动？
引入角动量是为了研究转动，角动量守恒定律的应用 非常广泛。
解：由质点的动量定理，
t1
F/N 30
t2 I Fdt p2 p1
0-4s，F为恒力
I ( F m g)t p2 p1 0 7 t/s 4 v 4m / s 1 0-7s， I (4 7) 30 mg t 25 N s p2 p1 2 v 2.5m / s
第三章动量与角动量
分量式:
Ix
t 0
t 0
Fi xdt mi vi x mi vi 0 x
Fi ydt mi vi y mi vi 0 y
Iy
§2.质点系动量定理和质心运动定理
一.质点系动量定理 对于有n个质点的质点系,它们每个质点既所受外力, 也受内力. 若第i质点在to时刻动量为
t ix i ix i
0
ix 0
t
iy
i
iy
i
iy 0
0
t
iz
i
iz
i
iz 0
0
二.质心
对于有n个质点的质点系,
, m , m 的位置矢量分别为 : r , r , r ; m
1 2 n 1 2 n
则定义质点系的质心位置:
r
c
mr mr mr
1 1 2 2 n
第三章
动量与角动量
§1.冲量和动量定理
1. 动量
P mv
大小： mv
方向： 速度的方向 单位： kg m · -1 s
2. 力的冲量 元冲量
dI Fdt
大小：
Fdt
方向： 力的方向 单位： N · s
(1) 恒力的冲量
(2) 变力的冲量 分量式
I FΔt t I Fd t
n
上式表明:作用于质点系的外力矢量和的冲量等于 质点系动量的增量. 上式称为质点系动量定理.
. t F dt m v m v
t n n
0
i
i 1
i
i
i 1
i
i0
分量式:
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−
2m
vK
K 。 (2) 第二只船运动的速度为v 2＝
2m vK
。（水的阻力不计，所有速度都
m + m0
m0
1
姓名 __________ 学号 ____________
《大学物理Ⅰ》答题纸 第三章
相对地面而言） 提示：第一跳
第二跳
m−mvK vK++mm0vK01′vK=1′ =0
(m
+
m0
K )v1
摆球一起运动的速率为
(A) 2 m/s．
(B) 4 m/s．
(C) 7 m/s ． (D) 8 m/s．
30° K v2
提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。
mv2l sin 30° = (M + m)lV ;其中 m 为子弹质量， M 为摆球质量， l 为
摆线长度。
图 3-15
［D］4．（自测提高 4）用一根细线吊一重物，重物质量为 5 kg，重物下面再系一根同样的
= (3 + 2t) i (SKI)的作G用下，从静 s 时物体的速度v1 ＝ 2i (m / s) 。
提示：用动量定理计算。
∫1 0
K Fdt
=
Δ(mvK)
=
K mv1
−
0
9．（自测提高 8）两球质量分别为 m1＝2.0 Kg，m2＝K5.0 g，在K 光滑的水K 平桌面K上运动．用 直角坐标 OXY 描述其运动，两者速度分别为K v1 = 10i cm/s，v 2 = (3.0Ki + 5.0 j ) cm/s．若 碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v 的大小 v＝ 6.14 m/s ，v 与 x 轴的夹角α＝
1 2
mω12r12
(
r12 r22
− 1)
。
提示：在拉绳过程中小球角动量守恒。
r1mv1
=
r2mv2
， v1
=
r1ω1 ， v2
= ω2r2 ，得 ω2
=
⎛ ⎜ ⎝
r1 r2
⎞2 ⎟
ω1
⎠
ΔEk
=
Ek 2
−
Ek1
=
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
1 2
mω22r22
−
1 2
mω12
r12
=
1 2
mω12r12
K mv
=
(m
+
(m + m0 )vK2′
m=0−)vmK2′vK
+
K m0v2
6．（基础训练 11）将一质量为 m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平
桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为 r1 的圆周运动，然后缓慢
将绳下拉，使半径缩小为 r2，在此过程中小球的动能增量是
y
m
y0
v0
1 2 y0
O
1 2
v
0
x
图 3-17
提示： I y = mv2 y − mv1y = m
2g y0 − (− 2
2gy0 ) = (1 +
2 )m
gy0
Ix
=
mv2 x
−
mv1x
=
m
v0 2
−
mv0
=
−
1 2
mv0
故 I y = (1 + 2 )m gy0
Ix
=
1 2
mv0
K
K
8．（自测提高 7K）一物体质量 M＝2 kg，在合外力 F 止开始运动，式中 i 为方向一定的单位矢量, 则当ｔ＝1
=
K v1
=v=
2gh
I = 2mv cos 30° = m 6gh 方向垂直斜面向上。
图 3-20
而小球对斜面的冲量方向垂直斜面向下。 三、计算题
mgdt − 0 T 下 dt = 0
t ' 为下拉力作用时间，由于 t >> t ' ，因此，上面的细线也不断。
二、填空题
5．（基础训练 8）静水中停泊着两K只质量皆为 m0 的小船．第一只船在左边，其上站一 质量为 m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后K又以 同样的速率 v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为 v 1＝
35.5° ．
提示：用动量守恒定律计算。
K m1v1
+
K m2v2
=
(m1
+
K m2 )v
，得 vK
=
K 5i
+
25 7
K j(m
/
s)
v=
52
+
⎛ ⎜⎝
25 7
⎞2 ⎟⎠
=
6.14(m / s) ，α
=
arctg
⎛ ⎜⎝
5 7
⎞ ⎟⎠
=
35.5° 。
2
姓名 __________ 学号 ____________
细线，细线只能经受 70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为 50 N，则
(A)下面的线先断．
(B)上面的线先断．
(C)两根线一起断．
(D)两根线都不断．
提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。
t+t'
t+t'
t'
∫ ∫ ∫ 对重物用动量定理： 0
T 上 dt − 0
(B) 向右加速运动．
(C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．
m m0
θ
图 3-11
提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得
m0V + m(V − v cosθ ) = 0 ，而 v = 0 ，得V = 0
［C］2.（基础训练 3）如图 3-12 所示，圆锥摆的摆球质量为 m，速率 为 v，圆半径为 R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的 大小为
(
r12 r22
− 1)
7.（自测提高 6） 质量为 m 的小球自高为 y0 处沿水平方向以速率
v0
抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为
1 2
y0，水平速率为
1 2
v0，如
图 3-17.(1)地面对小球的竖直冲量的大小为 (1 + 2 )m gy0 ； (2)
地面对小球的水平冲量的大小为
1 2
mv0
。
姓名 __________ 学号 ____________
《大学物理Ⅰ》答题纸 第三章
第三章 动量与角动量
一、选择题
[ A ] 1．（基础训练 2）一质量为 m0 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将 一质量为 m 的木块轻轻放于斜面上，如图 3-11．如果此后木块能静止于 斜面上，则斜面将
(A) 保持静止．
(A) 2mv．
(B) (2mv )2 + (mgπR /v )2
(C) πRmg/v ． (D) 0．
K 提示： IG
= mg × T 2
，T
=
2π R v
m
R
K
v
图 3-12
[ B ]3. （自测提高 2）质量为 20 g 的子弹，以 400 m/s 的速率沿图 3-15 入一
原来静止的质量为 980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与
《大学物理Ⅰ》答题纸 第三章
10．（自测提高 9）如图 3-20 所示，质量为 m 的小球，自距
m
离斜面高度为 h 处自由下落到倾角为 30°的光滑固定斜面上。
h
设碰撞是完全弹性的，则小球对斜面的冲量的大小为 m 6gh ，方
30°
向为垂直斜面向下。
提示IKK：=碰m撞vK2过−程m中vK1 斜面对小球的冲量vK2