第四章、 动能和势能
漆安慎《力学》教案第04章 动能和势能
(4) 热学中永动机不可能实现的确认和各种物理现象之 间的普遍联系的发现，导致了能量守恒定律的最终确立.
(5) 能量守恒定律的发现最重要的贡献者是迈耶（M.Meyer） 焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍兹（H.von.helmholtz）三位伟大的 科学家.
若 F F1 F2
则合力 F 的元功为：
dA ( Fi ) dr (Fi dr )
即合力所做的元功等于各分力所做元功的代数和.
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第四章 动能和势能
⑷ 充分理解功的定义中的位移 dr ：
① 更换受力点并不意味受力质点有位移，P.125
② 如果研究对象不是质点，则在力 F 的作用下，各部
F Fr
r
A F r F r cos Fr r
2. 变力的功 思想：无限分割，变曲为直
力 F 在元位移 dr 上的元功.
( r 是一有限位移)
dr m F
dA F dr F dr cos 元功的定义式
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第四章 动能和势能
不管是恒力还是变力，由功的定义可以看出以下几点：
Δt0 Δt dt
dt
在SI单位制中功率的单位为瓦特(W)，1W=1J/s dimP=L2MT3
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第四章 动能和势能
§4.2.2 利用不同坐标系表示元功
元功的定义式： dA F dr
1. 平面直角坐标系
y
Δr
r1
F Fxi Fy j
y
F
dr dxi dyj
4.7非对心碰撞
m 1 v 10 y m 1 v 1 y m 2 v 2 y
v 10 y e v 2 y v 1 y
v 10 x v 10 cos
v1 y
v 10 y v 1 sin
小球光滑
v2x 0
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第四章 动能和势能
特例 m1 m2 m2始终不动
v 1 x v 10 cos
第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
1.非对心碰撞基本公式 2.完全弹性碰撞的几种特殊情况
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第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
1.非对心碰撞基本公式 非对心碰撞(又称斜碰)——两球相碰之前的速
度不沿它们的中心连线.
斜碰一般为三维问题，较复杂.
这里讨论特殊情况，设小球光滑，碰撞前一个 小球处在静止状态，即 v 20 0 则这种碰撞是二维问题. 在碰撞中动量守恒. 动画演示
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第四章 动能和势能 令接触面法线方向为y 轴正方向
m 1 v 10 m 1 v 1 m 2 v 2
e v 2 y v1 y v 10
y
v1
m1
v2 y
x v10
m2
分量式
m 1 v 10 x m 1 v 1 x m 2 v 2 x
y
v1 x
v 1 y v 10 sin
v 10
ev 10 sin
v 10 cos cos v 10
v 10 sin
O
y
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普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第四章 动能和势能
第4章动能和势能习题解答4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。
绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg ，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。
分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg ，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦）4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为l l k l k f ,321+=表示弹簧的伸长量，k 1为正，⑴研究当k 2＞0、k 2<0和k 2=0时弹簧的劲度df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由l 1拉长至l 2时弹簧对外界所做的功。
解：弹簧的劲度df/dl=k 1+3k 2l 2. k 2=0时，df/dl =k 1，与弹簧的伸长量 无关；当k 2>0时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k 2<0时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。
在以上三种情况中，劲度df/dl 与弹簧伸长量l 的关系如图所示。
))](([)()()(2122212222112141422412122121321321212121l l l l k k l l k l l k dll k ldl k dl l k l k A l l l l l l -++-=----=--=+-=⎰⎰⎰4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，线穿过桌中心光滑圆孔，用力F 向下拉绳，证明力F 对线做的功等与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸长。
证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球的位置由r 1,θ1变为r 2,θ2，由于忽略绳的质量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=FFT F r r r r r r rT A A r r T r r F A r r T drTTdrdr FA =∴-=-=-==-==⎰⎰⎰),()()(2121211221214.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h 的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02，所受阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N,由质点平衡方程有，F = (0.04+sin α)mg ，∴N = Fv = (0.04+sin α)mgv设卡车匀速下坡时，速率为v ’,牵引力为F',功率为N', 由质点平衡方程有 F'+ mg sin α= 0.04mg, F'=(0.04-sin α)mg, ∴N'= (0.04-sin α)mgv'.令N'= N, 即（0.04+sin α）mgv = (0.04-sin α)mgv'，可求得：v'= v(0.04+sin α)/(0.04-sin α). 利用三角函数关系式，可求得： sin α≈tg α=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103/602 m/s = 12.5m/s.4.3.1质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力T=50N ，木块在A 点时具有向右的速率v 0=6m/s ，求力T 将木块从A 拉至B 点时的速度。
3 对心碰撞
打桩时,要求 Ek 0, 即m1>>m2 .
第四章 动能和势能
例题2 冲击摆可用于测子弹速率. 长度为 l 的线绳悬挂质量为m 的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木
块内一定位置，且测得木块摆过角度 ，m m0
求: 子弹射入的速率v.
l m0 m
(a)
(b) O
(c) x
解：（1）全过程可分为：A下降、A与B碰撞和A、B下落。
（2）设A与B碰撞前的速 A
度为VA0，碰后它们的速度分 别为VA和VB，则
mAvA0
mAvA
mBvB
1 2
mAv
2 A0
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
B P
O LA A B LB
第四章 动能和势能
可解出：
VA
mA mA
v1 y v10 sin
v1 y
（m1
em2 )v10 sin
m1 m2
v2 y
（1
e）m1v10 m1 m2
sin
v10 cos
v10 cos
ev10 sin
v10
v10 sin
O
y
第四章 动能和势能
§4.7.2 完全弹性碰撞的几种特殊情况
已知mN = 14mp
m
vNmN vpmp vp vN
1.16mp
现代精确测量表明, m=1.01 mp
第四章 动能和势能
例题1 如图所示，质量为 mA的小球沿光滑的弧形轨道下滑，与 放在轨道水平面端点P处的静止的小球B发生弹性碰撞，B的质 量为mB, A、B两球碰后同时落在水平地面上。如果A、B两球的 落地点距P点正下方O点的距离之比LA/LB=2/5，求它们的质量比 mA/mB.
漆安慎 杜禅英 力学习题及答案04章
第四章 动能和势能 一、基本知识小结1、功的定义式：⎰⋅=2112r r r d F A直角坐标系中：⎰⎰+==221121,,1212y x y x yxx x xdy F dx F A dxF A ，自然坐标系中：⎰=2112s s ds F A τ极坐标系中： ⎰+=2211,,12θθθθr r rrd F dr F A2、⎰⋅-=-=b ap p k r d F a E b E mv E 保势能动能)()(,212重力势能mgy y E p =)(弹簧弹性势能 2)(21)(l r k r E p -=静电势能 rQqr E p πε4)(=3、动能定理适用于惯性系、质点、质点系∑∑∆=+k E A A内外4、机械能定理适用于惯性系∑∑+∆=+)p k E E A A（非保内外5、机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，C E E p k =+6、碰撞的基本公式接近速度）（分离速度（牛顿碰撞公式）动量守恒方程）e v v e v v v m v m v m v m =-=-+=+)((2010122211202101 对于完全弹性碰撞 e = 1对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。
7、克尼希定理∑+=22'2121i i c k v m mv E 绝对动能=质心动能+相对动能 应用于二体问题 222121u mv E c k μ+=212121m m m m m m m +=+=μu 为二质点相对速率二、思考题解答4.1 起重机起重重物。
问在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。
又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所做的功是否一样多？答:在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。
质点和质点系动能定理
x dr2 dr dr1
y
dr
dr1
F
dr2
er
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第四章 动能和势能 2.说明 (1)内力的总功一般不为零. (2)内力的总功与参考系无关
F只与1、2质点相对距离变化有关， 而二质点距离变化与参照系的选择无关. (3)一对内力所做的功, 只决定于两质点的相 对路径.对非惯性系同样成立.
第四章 动能和势能
定义
Ek
1 2
m v2
单位和量纲与功同.
——物体的动能
则：
A
1 2
mv
2
1 2
mv
2 0
或：
A Ek Ek0 ——动能定理
即：合力 F 对质点所做的功等于质点动能的增
量，是动力学基本定理之一.
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第四章 动能和势能 2.说明: (1)质点的动能定理中的功永远是合力的功. (2)Ek是状态量Ek ,A > 0 ; Ek ,A < 0，
动能是物体因具有速度而具有的作功的本领 与过程无关. 而功与过程有关. (3)动能定理只适用于惯性系. (4) 动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛 顿运动定律少.
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第四章 动能和势能
[例题1]如图,物块质量m置于粗糙水平面上,用橡皮绳系于
墙上,橡皮绳原长a，拉伸时相当于劲度系数为k的弹簧,现
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第四章 动能和势能
§4.3.3质点系的动能定理
n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理
Ai外 Ai内 Eki Eki0
n个质点
Ai外 Ai内 Eki Eki0
第四章 动能和势能
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第四章 动能和势能
§4.3 质点和质点系动能定理
一、质点的动能定理
1.质点的动能定理 物体在合力作用下,由ab
dv A F dr m dr dt
dr m dv dt m v dv
va
a
dr
vb
F
b
L
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第四章 动能和势能 [解] 1.用质点动能定理求解
FN
FN2
F
Ff
受力分析如图，只有力 Ff , Ff 和 F 做功
根据质点动能定理得
1 [ 1W1 2 (W1 W )] L 0 m0 v 2 2 (1)
W
FN1
W1
Ff
O
s1
dr dset
et
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第四章 动能和势能 3.平面极坐标
F Fr er F e dr drer rde O dA F dr
e
Δr
F
er
A
(r, )
dA （Fr er F e） （ drer rde）
第四章 动能和势能
第四章 动能和势
§4.1 能量—又一个守恒量
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第四章 动能和势能
§4.2 力的功· 用线积分表示功
一、力的元功和功率
功——力对空间的积累作用. 1. 恒力的功
A Ft r
Fn
F cos r
F Ft
r
F r
第四章 动能和势能
教学时数:11教学目的与要求:（1）着重讲授正功与负功的意义，变力的功以弹性力的功为主，可用图解法导出其计算公式。
（2）关于系统的势能，本章仅讲授重力势能及弹性势能。
（3）使学生深刻地认识功能关系，并指出功是能量变化的量度，能是以作功的方式传递并转化的。
（4）结合本章内容，指出只有量纲相同的物理量间才能构成等式关系。
（5）分别讲授质点的与质点组的功能原理与机械能守恒定律，并通过势能曲线研究动能与势能间的相互转化关系。
（6）讲授质点组的功能原理时，要阐明内力做功与内势能的概念。
（7）要分清动量守恒定律与现机械能守恒定律的适用条件的不同，使学生能正确运用两个守恒定律解决实际问题。
教学重点:功，变力的功；功率，动能，动能定理；保守力与非保守力；势能（重力势能、弹性势能、引力势能）势能曲线和从势函数求力；功能原理；力学中的能量守恒定律；普遍的能量转换和守恒定律,对心和非对心碰撞教学难点:动能定理; 功能原理; 能量守恒定律本章主要阅读文献资料:顾建中编《力学教程》人民教育出版社赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社能量——另一个守恒量能量概念的认识和由来:从“使物体运动起来需要付出代价”（人们最早对生活中实际的问题的认识）；“运动的物体具有某种功效（例如：运动的子弹可以嵌入泥土）”；1686年莱布尼茨提出：物体“运动的量”与物体速度平方成反比；1965年,“运动的量”发展为“”,并称作“活力”；科里奥利称之为“功”；1801年，托马斯·杨提出将“”称作“能”，“功能原理”和“机械能守恒”思想，自然界一切过程都必须满足能量守恒定律；从经典物理学到现代物理学，对能量的认识发生了巨大的变化：能量可连续取值普朗克指出：物体只能以为单位发射和吸收电磁波微观世界的原子光谱是线状谱能级是分立的。
可以看出：能量概念最早源于生产经过概念的比较和辨别升华为科学的概念。
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；匀速上升(1)
,
｝,
处势能为零。
处势能为零处势能为零
N=F =50kg×9.8N/kg×2m/s=980w
拉伸至时，由于，所以
拉伸至
分解为沿( 为对
∴ （是力
∵
的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量
上坡受力分析下坡受力分析∴ ∴
向右运动。
弹簧的劲度系数为为
和
4.3.5 相对于
, 沿
∵
∴
∵
∴
∴
系，动能定理的形式不变。
() ∴
、、
为圆柱体的绝对速度。
它们自由伸长的长度相差
和
时，无势能，只有有势能。
外界压缩弹簧势能增加。
设原点处为势能零点，则：
：外力做功
（ 1）运动员在A到B的滑动过程中，受到了重力和地面支持力作用。
（忽略摩擦）。
重力为保守力，支持力不做功以 B点为重力势能零点，得到运动员离开B处的速率：
（ 2）运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知：沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。
所以B、C的（ 3）因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：
（ 4）d的高度:水平射程的一半
4.5.2 装置如图所示：球的质量为 5kg ，杆 AB 长 1cm ， AC 长 0.1m ， A 点距 O 点 0.5m ，弹簧的劲度系数为 800N/m ，杆为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。
球小球到铅垂位置时的速度。
不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。
∵
由橡皮筋固
）物
和光滑圆弧的水平方向的作用力作用，为保守力，不做功。
所以机械能守恒。
4 ，氢原子的质量为；。
:
（
高度）又落下与开始向上运动。
如此往复。
由于冲击力大于重力、（
=0.790kg
=100m/s 内，问弹簧最多压缩了多少？为共同速度）
为子弹、小鸟共同速度）。
得：
，即
，。
运动。
另一车厢以 2 从相反方向向左运动
角散射。
（完全弹性碰撞）
方向上有关系式：。