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历年高考理科数学真题汇编+答案解析(1):集合、复数、框图、简单逻辑、推理、平面向量、不等式与线性规划

历年高考理科数学真题汇编+答案解析(1):集合、复数、框图、简单逻辑、推理、平面向量、不等式与线性规划

7.(2017 全国 I 卷理 3)设有下面四个命题
p1
:若复数
z
满足
1 z
R
,则
z
R

C. 3 i
D. 3 i
-4-
p2 :若复数 z 满足 z2 R ,则 z R ; p3 :若复数 z1, z2 满足 z1z2 R ,则 z1 z2 ; p4 :若复数 z R ,则 z R .
|
c
|2
4a
2
4
5a
b
5b 2
9
,∴ |
c
|
3
.
∵ a c 2a2
5a
b=2
,∴
cos
a , c
|aa||cc|
=
2 3
.
2
【答案】
3
4.(2018 全国 I 卷理 6)在△ ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, E 为 AD 的中点,则 EB
A.
3 4
AB
1 4
AC
B.
1 4
3)2 3 ,
22
∴当 x=0,y=
3
时,
PA
(PB
PC )
取得最小值
3
.
2
2
【答案】B
9.(2017 全国 III 卷理 12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆
9. (2017 全国 III 卷理 1)已知集合 A= (x, y│) x2 y2 1 ,B= (x, y│) y x ,则 A B 中元素的个数
为 A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】方法一:联立方程组

集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)

 集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6.(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 , ,则 ()
A. B. C. D.
【答案】B
解析:由题设有 ,故选B.
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7.(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()
【解析】 或 , ,
故 ,故选A.
【点评】本题主要考查一元二次不等式,一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题.
本题考点为集合的运算,为基础题目,难度偏易.不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},则a=()
A.–4B.–2C.2D.4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得: ,
求解一次不等式 可得: .
A.{−2,3}B.{−2,2,3}C.{−2,−1,0,3}D.{−2,−1,0,2,3}
【答案】A
解析:由题意可得: ,则 .
故选:A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用,属于基础题.
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 , ,则 中元素的个数为()

函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)

 函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题02函数
一、选择题
1.(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R,且 .若 的图像关于直线 对称, ,则 ()
A. B. C. D.
2.(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R,且 ,则 ()
A. B. C.0D.1
A. B. C. D.
12.(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()( )
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
27.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A. B. C. D.
24.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 ()
A. B.0C.2D.50
13.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ,则()
A. B. C. D.
14.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据 得到下面的散点图:
由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 , 为偶函数, 为奇函数,则()

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a ( ). A .2 B .1 C .23 D .1-2.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件考点02 交集1.(2024∙全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-2.(2024年全国甲卷高考真题)若集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ( ) A .{}1,3,4 B .{}2,3,4 C .{}1,2,3,4 D .{}0,1,2,3,4,93.(2023∙北京∙高考真题)已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A .{21}x x -≤<∣ B .{21}xx -<≤∣ C .{2}xx ≥-∣ D .{1}x x <∣ 4.(2023全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( ) A .{}2,1,0,1-- B .{}0,1,2 C .{}2- D .{}25.(2022∙全国新Ⅱ卷高考真题)已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = ( ) A .{1,2}- B .{1,2} C .{1,4} D .{1,4}- 6.(2022年全国乙卷∙高考真题)集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N ⋂=( ) A .{2,4} B .{2,4,6} C .{2,4,6,8} D .{2,4,6,8,10}7.(2022年全国甲卷∙高考真题)设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = ( ) A .{}0,1,2 B .{2,1,0}-- C .{0,1} D .{1,2}8.(2022全国新Ⅰ卷∙高考真题)若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N ⋂=( ) A .{}02x x ≤< B .123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}316x x ≤< D .1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9.(2021年全国乙卷∙高考真题)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T?( )A .∅B .SC .TD .Z10.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>,则M N ⋂=( )A .{}7,9B .{}5,7,9C .{}3,5,7,9D .{}1,3,5,7,911.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N ⋂=( )A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B .143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤12.(2021全国新Ⅰ卷∙高考真题)设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B = ( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,4考点03 并集1.(2024∙北京∙高考真题)已知集合{|31}M x x =-<<,{|14}N x x =-≤<,则M N ⋃=( ) A .{}11x x -≤< B .{}3x x >-C .{}|34x x -<<D .{}4x x <2.(2022∙浙江∙高考真题)设集合{1,2},{2,4,6}A B ==,则A B ⋃=( )A .{2}B .{1,2}C .{2,4,6}D .{1,2,4,6}3.(2021∙北京∙高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=( )A .{}|12x x -<<B .{}|12x x -<≤C .{}|01x x ≤<D .{}|02x x ≤≤4.(2020∙山东∙高考真题)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =( )A .{x |2<x ≤3}B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}考点04 补集1.(2024年全国甲卷∙高考真题)已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( ) A .{}1,4,9 B .{}3,4,9 C .{}1,2,3 D .{}2,3,52.(2023年全国乙卷∙高考真题)设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则U M N ⋃=ð( ) A .{}0,2,4,6,8 B .{}0,1,4,6,8 C .{}1,2,4,6,8 D .U3.(2023年全国乙卷∙高考真题)设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=( )A .()U M N ðB .U N M ðC .()U M N ðD .U M N ⋃ð4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则( )A .2M ∈B .3M ∈C .4M ∉D .5M ∉5.(2022∙北京∙高考真题)已知全集{33}U x x =-<<,集合{21}A x x =-<≤,则U A =ð( ) A .(2,1]- B .(3,2)[1,3)-- C .[2,1)- D .(3,2](1,3)--6.(2021全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()U A B = ð( )A .{3}B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}7.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知全集{},,,U a b c d =,集合{},M a c =,则U M ð等于( ) A .∅ B .{},a c C .{},b d D .{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设向量()()1,,,2a x x b x =+= ,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B .“3x =-”是“//a b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件2.(2024∙天津∙高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.(2024∙北京∙高考真题)设 a ,b 是向量,则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.(2023∙北京∙高考真题)若0xy ≠,则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设甲:22sin sin 1αβ+=,乙:sin cos 0αβ+=,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.(2023∙天津∙高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}n S n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(2022∙浙江∙高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题2.(2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)下列命题为真命题的是( )A .10>且34>B .12>或45>C .x R ∃∈,cos 1x >D .x ∀∈R ,20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a ( ). A .2 B .1 C .23 D .1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论,运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆,则有:若20a -=,解得2a =,此时{}0,2A =-,{}1,0,2B =,不符合题意;若220a -=,解得1a =,此时{}0,1A =-,{}1,1,0B =-,符合题意;综上所述:1a =.故选:B.2.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时,集合{}1,0M =,{}1,0,1N =-,可得M N ⊆,满足充分性,若M N ⊆,则0a =或1a =-,不满足必要性,所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件,故选:A.考点02 交集1.(2024∙全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-.故选:A.2.(2024年全国甲卷高考真题)若集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ( )A .{}1,3,4B .{}2,3,4C .{}1,2,3,4D .{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素,然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得,对于集合B 中的元素x ,满足11,2,3,4,5,9x +=,则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8,即{0,1,2,3,4,8}B =,于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选:C3.(2023∙北京∙高考真题)已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A .{21}x x -≤<∣ B .{21}xx -<≤∣ C .{2}xx ≥-∣ D .{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ,然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣, 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤< .故选:A4.(2023全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( ) A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}2【答案】C 【详细分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出.方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出. 【答案详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--, 所以M N ⋂={}2-.故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.故选:C .5.(2022∙全国新Ⅱ卷高考真题)已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = ( )A .{1,2}-B .{1,2}C .{1,4}D .{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一:求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]:直接法因为{}|02B x x =≤≤,故{}1,2A B = ,故选:B.[方法二]:【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤,可得21≤,不满足,排除A 、D ;4x =代入集合{}11B x x =-≤,可得31≤,不满足,排除C.故选:B.【整体点评】方法一:直接解不等式,利用交集运算求出,是通性通法;方法二:根据选择题特征,利用特殊值代入验证,是该题的最优解.6.(2022年全国乙卷∙高考真题)集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N ⋂=( ) A .{2,4} B .{2,4,6} C .{2,4,6,8} D .{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出.【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =,{}|16N x x =-<<,所以{}2,4M N = .故选:A.7.(2022年全国甲卷∙高考真题)设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = ( )A .{}0,1,2B .{2,1,0}--C .{0,1}D .{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出.【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = .故选:A.8.(2022全国新Ⅰ卷∙高考真题)若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N ⋂=( )A .{}02x x ≤<B .123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}316x x ≤< D .1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣,故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选:D9.(2021年全国乙卷∙高考真题)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T ?( )A .∅B .SC .TD .Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆,由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈,则()41221t n n =+=⋅+,其中Z n ∈,所以,t S ∈,故T S ⊆,因此,S T T = .故选:C.10.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>,则M N ⋂=( )A .{}7,9B .{}5,7,9C .{}3,5,7,9D .{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭,故{}5,7,9M N ⋂=, 故选:B.11.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N ⋂=( ) A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B .143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤,所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选:B.【名师点评】本题考查集合的运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12.(2021全国新Ⅰ卷∙高考真题)设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B = ( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=,故选:B .考点03 并集1.(2024∙北京∙高考真题)已知集合{|31}M x x =-<<,{|14}N x x =-≤<,则M N ⋃=( ) A .{}11x x -≤< B .{}3x x >-C .{}|34x x -<<D .{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选:C.2.(2022∙浙江∙高考真题)设集合{1,2},{2,4,6}A B ==,则A B ⋃=( )A .{2}B .{1,2}C .{2,4,6}D .{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ,故选:D.3.(2021∙北京∙高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=( ) A .{}|12x x -<< B .{}|12x x -<≤C .{}|01x x ≤<D .{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得:{}|12A B x x =-<≤ .故选:B.4.(2020∙山东∙高考真题)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =( ) A .{x |2<x ≤3} B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选:C【名师点评】本题考查集合并集,考查基本详细分析求解能力,属基础题.考点04 补集1.(2024年全国甲卷∙高考真题)已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( )A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ,结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,所以{}1,4,9,16,25,81B =, 则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D 2.(2023年全国乙卷∙高考真题)设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则U M N ⋃=ð( ) A .{}0,2,4,6,8 B .{}0,1,4,6,8 C .{}1,2,4,6,8 D .U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值,然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð,则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选:A.3.(2023年全国乙卷∙高考真题)设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=( ) A .()U M N ð B .U N M ðC .()U M N ðD .U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ,则(){}|2U M N x x =≥ ð,选项A 正确; {}|1U M x x =≥ð,则{}|1U N M x x =>- ð,选项B 错误;{}|11M N x x =-<< ,则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥,选项C 错误;{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥,则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥,选项D 错误;故选:A.4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则( ) A .2M ∈ B .3M ∈ C .4M ∉ D .5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知,A 正确,BCD 错误故选:A5.(2022∙北京∙高考真题)已知全集{33}U x x =-<<,集合{21}A x x =-<≤,则U A =ð( ) A .(2,1]- B .(3,2)[1,3)-- C .[2,1)- D .(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项.【答案详解】由补集定义可知:{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<,即(3,2](1,3)U A =-- ð,故选:D .6.(2021全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()U A B = ð( ) A .{3} B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð,故(){}U 1,6A B ⋂=ð, 故选:B.7.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知全集{},,,U a b c d =,集合{},M a c =,则U M ð等于( ) A .∅ B .{},a cC .{},b dD .{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选:C考点05 充分条件与必要条件1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设向量()()1,,,2a x x b x =+= ,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.【答案详解】对A ,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅=,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误. 故选:C.2.(2024∙天津∙高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件. 故选:C.3.(2024∙北京∙高考真题)设 a ,b 是向量,则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =,结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ,可得22a b = ,即a b = ,可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = , 若a b = 或a b =- ,可得a b = ,即()()0a b a b +⋅-=,可知必要性成立;若()()0a b a b +⋅-= ,即a b =,无法得出a b = 或a b =- , 例如()()1,0,0,1a b ==,满足a b = ,但a b ≠ 且a b ≠- ,可知充分性不成立;综上所述,“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选:B.4.(2023∙北京∙高考真题)若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一:由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断;解法二:证明充分性可由0x y +=得到x y =-,代入x y y x+化简即可,证明必要性可由2x yy x +=-去分母,再用完全平方公式即可;解法三:证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入即可,证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入,解方程即可. 【答案详解】解法一: 因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以x y =-, 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--, 所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-, 所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-, 所以()20x y xy+=,所以()20x y +=,所以0x y +=,所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选:C5.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设甲:22sin sin 1αβ+=,乙:sin cos 0αβ+=,则( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时,例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠, 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=;当sin cos 0αβ+=时,2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=,即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知,甲是乙的必要不充分条件. 故选:B6.(2023∙天津∙高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系,即可得答案.【答案详解】由22a b =,则a b =±,当0a b =-≠时222a b ab +=不成立,充分性不成立; 由222a b ab +=,则2()0a b -=,即a b =,显然22a b =成立,必要性成立; 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选:B7.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}nS n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义,再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.,【答案详解】方法1,甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d , 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+, 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t ,即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥,两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件,C 正确.方法2,甲:{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的首项1a ,公差为d ,即1(1)2n n n S na d -=+, 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-,因此{}n S n 为等差数列,即甲是乙的充分条件;反之,乙:{}nS n 为等差数列,即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+, 即1(1)n S nS n n D =+-,11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--,当2n ≥时,上两式相减得:112(1)n n S S S n D --=+-,当1n =时,上式成立, 于是12(1)n a a n D =+-,又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件. 故选:C8.(2022∙浙江∙高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得: 当sin 1x =时,cos 0x =,充分性成立; 当cos 0x =时,sin 1x =±,必要性不成立; 所以当x ∈R ,sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选:A.9.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列,则0d >,若10a ≥,则当2n ≥时,10n a a >≥;若10a <,则()11n a a n d +-=, 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-,取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,则当0n N >时,0n a >,所以,“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”; 若存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >,取N k *∈且0k N >,0k a >, 假设0d <,令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-,且k ak k d->, 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时,0n a <,与题设矛盾,假设不成立,则0d >,即数列{}n a 是递增数列.所以,“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”.所以,“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的充分必要条件. 故选:C.10.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当{}n S 是递增数列时,必有0n a >成立即可说明0q >成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案. 【答案详解】由题,当数列为2,4,8,--- 时,满足0q >, 但是{}n S 不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若{}n S 是递增数列,则必有0n a >成立,若0q >不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则0q >成立,所以甲是乙的必要条件. 故选:B .【名师点评】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.考点06 全称量词与存在量词1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题 B .p ⌝和q 都是真命题 C .p 和q ⌝都是真命题 D .p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言,可分别取=1x -、1x =,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题, 综上,p ⌝和q 都是真命题. 故选:B.2.(2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)下列命题为真命题的是( ) A .10>且34> B .12>或45> C .x R ∃∈,cos 1x > D .x ∀∈R ,20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项:因为43>,所以10>且34>是假命题,A 错误; B 项:根据12<、45<易知B 错误; C 项:由余弦函数性质易知cos 1≤x ,C 错误; D 项:2x 恒大于等于0,D 正确, 故选:D.。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编【2023年真题】1. (2023·新高考II 卷 第6题) 已知函数()ln x f x ae x =-在区间(1,2)单调递增,则a 的最小值为( ) A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -2.(2023·新课标I 卷 第11题)(多选) 已知函数()f x 的定义域为R ,22()()()f xy y f x x f y =+,则( ) A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点3.(2023·新课标II 卷 第11题)(多选)若函数2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值,则( ) A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac < 4. (2023·新课标I 卷 第19题) 已知函数(1)讨论()f x 的单调性;(2)证明:当0a >时,3()2ln a+.2f x >5.(2023·新高考II 卷 第22题)(1)证明:当01x <<时,2x x sinx x -<<;(2)已知函数2()(1)f x cosax ln x =--,若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.【2022年真题】6.(2022·新高考I 卷 第7题)设0.10.1a e =,19b =,ln 0.9c =-,则( ) A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<7.(2022·新高考I 卷 第10题)(多选)已知函数3()1f x x x =-+,则( )A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8.(2022·新高考I 卷 第15题)若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是__________. 9.(2022·新高考II 卷 第15题)曲线ln ||y x =经过坐标原点的两条切线方程分别为__________,__________.10.(2022·新高考I 卷 第22题)已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.(1)求a ;(2)证明:存在y b =直线,其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.(2022·新高考II 卷 第22题)已知函数().ax x f x xe e =-(1)当1a =时,讨论()f x 的单调性;(2)当0x >时,()1f x <-,求实数a 的取值范围; (3)设*n N ∈ln(1).n ++>+【2021年真题】12.(2021·新高考I 卷 第7题)若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<13.(2021·新高考I 卷 第15题)函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________. 14.(2021·新高考II 卷 第16题)已知函数,函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直,且分别交y 轴于M ,N 两点,则||||AM BN 取值范围是__________.15.(2021·新高考I 卷 第22题)已知函数()(1ln ).f x x x =-(1)讨论()f x 的单调性.(2)设a ,b 为两个不相等的正数,且ln ln b a a b a b -=-,证明:112.e a b<+< 16.(2021·新高考II 卷 第22题)已知函数2()(1).x f x x e ax b =--+(1)讨论()f x 的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:()f x 有一个零点.①21,222e a b a <>…; ②10,2.2a b a <<…【2020年真题】17.(2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题)已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若()1f x …,求a 的取值范围.参考答案1. (2023·新高考II 卷 第6题) 解:由题意,1()0xf x ae x'=-…对(1,2)x ∀∈恒成立, 1x a xe ∴…,由于1()xg x xe =在(1,2)单调递减,1()(1)g x g e∴<=,1.a e ∴…故答案选:.C2.(2023·新课标I 卷 第11题)(多选)解:选项A ,令0x y ==,则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯,则(0)0f =,故A 正确; 选项B ,令1x y ==,则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯,则(1)0f =,故B 正确; 选项C ,令1x y ==-,则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-,则(1)0f -=, 再令1y =-,则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-,即()()f x f x -=,故C 正确; 选项D ,不妨设()0f x =为常函数,且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+, 而常函数没有极值点,故D 错误. 故选:.ABC3.(2023·新课标II 卷 第11题)(多选) 解:因为2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠,所以定义域为(0,)+∞, 得232()ax bx c f x x'--=,由题意知220ax bx c --=有两个不相等的正解12,.x x 则,易得0.bc <故选.BCD4. (2023·新课标I 卷 第19题) 解:(1)()1x f x ae '=-,当0a =时()10f x '=-<,()f x 在(,)-∞+∞单调递减, 当0a <时0x ae <,()0f x '<,()f x 在(,)-∞+∞单调递减,当0a >时,令()0f x '=,=-ln x a ,(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<,()f x 单调递减. (ln ,)x a ∈-+∞时()0f x '>,()f x 单调递增, 故当0a …时()f x 在(,)-∞+∞单调递减,当0a >时, () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减,在区间(ln ,)a -+∞单调递增.(2)由(1)知当0a >时, () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减,在区间(ln ,)a -+∞单调递增.故,令,221()a g a a -'=,令()0g a '=,因为0a >,故2a =,() g a 在区间(0,2单调递减,在区间(,)2+∞单调递增,,即 >?0,()?>?0a g a 时恒成立, 即min 3()2ln 2f x a >+,即当0a >时,3()2ln a+.2f x > 5.(2023·新高考II 卷 第22题)(1)证明:构造函数2()g x sinx x x =-+,则()12g x cosx x '=-+, 令()()h x g x =', 则()20h x sinx '=-+>,所以()h x 在(0,1)上单调递增,则()(0)0g x g '>'=,所以()g x 在(0,1)上单调递增,所以()(0)0g x g >=,即2x x sinx -<;构造函数()G x x sinx =-,则()10G x cosx '=->,所以()G x 在(0,1)上单调递增,则()(0)0G x G >=,即sinx x <, 综上,当01x <<时,2x x sinx x -<<;(2)解:由210x ->,得函数()f x 的定义域为(1,1).-又()()f x f x -=,所以()f x 是偶函数,所以只需考虑区间(0,1).22()1xf x asinax x'=-+-, 令()()F x f x =',则222222()(1)x F x a cosax x +'=-+-, 其中,①若,记a <<时,易知存在0δ>,使得(0,)x δ∈时,,()f x ∴'在(0,)δ上递增,()(0)0f x f ∴'>'=,()f x ∴在(0,)δ上递增,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾,舍去.②若,记a <或a >存在0δ'>,使得(,)x δδ∈-''时,,()f x ∴'在(,)δδ-''上递减,注意到(0)0f '=,∴当0x δ-'<<时,当0x δ<<'时,,满足0x =是()f x 的极大值点,符合题意.③若,即a =时,由()f x 为偶函数,只需考虑a =.此时22())1xf x x '=+-,(0,1)x ∈时, 2221()22(1)011x f x x x x x'>-+=->--,()f x ∴在(0,1)上递增, 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾,舍去.综上:a 的取值范围为(,).-∞⋃+∞ 6.(2022·新高考I 卷 第7题)解:0.10.1a e =,0.110.1b =-,ln(10.1)c =--,①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-, 令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则1()1011x f x x x-'=-=<--, 故()f x 在(0,0.1]上单调递减,可得(0.1)(0)0f f <=,即ln ln 0a b -<,所以a b <; ②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-, 令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+-=--, 令()(1)(1)1x k x x x e =+--,所以2()(12)0x k x x x e '=-->, 所以()k x 在(0,0.1]上单调递增,可得()(0)0k x k >=,即()0g x '>,所以()g x 在(0,0.1]上单调递增,可得(0.1)(0)0g g >=,即0a c ->,所以.a c > 故.c a b <<7.(2022·新高考I 卷 第10题)(多选)解:32()1()31f x x x f x x =-+⇒'=-,令()0f x '=得:3x =±,()03f x x '>⇒<-或3x >;()033f x x '<⇒-<<,所以()f x 在(,3-∞-上单调递增,在(,)33-上单调递减,在(,)3+∞上单调递增,所以()f x 有两个极值点(3x =为极大值点,3x =为极小值点),故A 正确;又((1103939f -=---+=+>,(1103939f =-+=->, 所以()f x 仅有1个零点(如图所示),故B 错;又3()1()()2f x x x f x f x -=-++⇒-+=,所以()f x 关于(0,1)对称,故C 正确;对于D 选项,设切点00(,)P x y ,在P 处的切线为320000(1)(31)()y x x x x x --+=--, 即2300(31)21y x x x =--+,若2y x =是其切线,则2030312210x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,方程组无解,所以D 错. 8.(2022·新高考I 卷 第15题)解:(1)x y x a e '=++,设切点为00(,)x y , 故0000(1)x y x a e x =++, 即0000()(1).x x x a e x a e x +=++ 由题意可得,方程(1)x a x x a +=++在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有两个不相等的实数根.化简得,20x ax a +-=,240a a =+> ,解得4a <-或0a >,显然此时0不是根,故满足题意. 9.(2022·新高考II 卷 第15题)解:当0x >时,点111(,ln )(0)x x x >上的切线为1111ln ().y x x x x -=- 若该切线经过原点,则1ln 10x -=,解得x e =, 此的切线方程为.x y e=当0x <时,点222(,ln())(0)x x x -<上的切线为()()2221ln y x x x x --=-若该切线经过原点,则2ln()10x --=,解得x e =-, 此时切线方程为.x y e=-10.(2022·新高考I 卷 第22题) 解:(1)由题知()x f x e a '=-,1()g x a x'=-, ①当0a …时,()0f x '>,,()0g x '<,则两函数均无最小值,不符题意; ②当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增;()g x 在1(0,a单调递减,在1(,)a +∞单调递增;故min ()(ln )ln f x f a a a a ==-,min 11()()1ln g x g a a==-,所以1ln 1ln a a a a -=-,即1ln 01a a a --=+, 令1()ln 1a p a a a -=-+,则222121()0(1)(1)a p a a a a a +'=-=>++, 则()p a 在(0,)+∞单调递增,又(1)0p =,所以 1.a =(2)由(1)知,()x f x e x =-,()ln g x x x =-,且()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增;()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,且min min ()() 1.f x g x ==①1b <时,此时min min ()()1f x g x b ==>,显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点,不符合题意;②1b =时,此时min min ()()1f x g x b ===,故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点,交点的横坐标分别为0和1; ③1b >时,首先,证明y b =与曲线()y f x =有2个交点, 即证明()()F x f x b =-有2个零点,()()1x F x f x e '='=-, 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增, 又因为()0b F b e --=>,(0)10F b =-<,()20b F b e b =->,(令()2b t b e b =-,则()20b t b e '=->,()(1)20)t b t e >=->所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点,设为1x ,在(0,)+∞上存在且只存在1个零点,设为2.x其次,证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点, 即证明()()G x g x b =-有2个零点,1()()1G x g x x'='=-, 所以()(0,1)G x 上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,又因为()0b b G e e --=>,(0)10G b =-<,(2)ln 20G b b b =->,(令()ln 2b b b μ=-,则1()10b bμ'=->,()(1)1ln 20)b μμ>=-> 所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点,设为3x ,在(1,)+∞上存在且只存在1个零点,设为4.x再次,证明存在b ,使得23:x x =因为23()()0F x G x ==,所以2233ln x b e x x x =-=-, 若23x x =,则2222ln x e x x x -=-,即2222ln 0x e x x -+=, 所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可, 即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点,因为313312()30e e e eϕ=--<,(1)20e ϕ=->,所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点,取一零点为0x ,令230x x x ==即可, 此时取00x b ex =-则此时存在直线y b =,其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点, 最后证明1402x x x +=,即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列, 因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ====== 所以100()()(ln )F x G x F x ==,又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减,10x <,001x <<即0ln 0x <,所以10ln x x =, 同理,因为004()()()xF xG e G x ==,又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增,00x >即01x e >,11x >,所以04xx e =,又因为0002ln 0xe x x -+=,所以01400ln 2x x x ex x +=+=,即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.(2022·新高考II 卷 第22题)解:(1)1()(1)()x x x x a f x xe e x e f x xe =⇒=-=-⇒'= 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,()f x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增.(2)令()()11(0)()(0)0ax x g x f x xe e x g x g =+=-+⇒=厔对0x ∀…恒成立 又()(0)0ax ax x g x e axe e g ''=+-⇒=令()()()()(2)ax ax ax x ax ax x h x g x h x ae a e axe e a e axe e ='⇒'=++-=+-,则(0)21h a '=- ①若(0)210h a '=->,即12a >,00()(0)()(0)limlim 00x x g x g g x h x x ++'→→'-''==>- 所以00,x ∃>使得当时,有()0()0()g x g x g x x'>⇒'>⇒单调递增0()(0)0g x g ⇒>=,矛盾 ②若(0)210h a '=-…,即12a …时,1111ln(1)ln(1)2222()0()x x x x ax ax x ax ax xxx g x e axe e ee eeee g x +++'++=+-=---=⇒剟在[0,)+∞上单调递减,()(0)0g x g =…,符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是1.2a …(3)求导易得12ln(1)t t tt->>令112ln ln(1tn =⇒->⇒>+111231ln(ln()ln(ln(1)12n nk kn k nnn k n==+++⇒>⇒>=⋅=+∑()ln1n++⋅⋅⋅>+,证毕.12.(2021·新高考I卷第7题)解:设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义,易知xxe bex a-=-,整理得:000x x xe b x e ae--+=有两解,令()x x xg x e b xe ae=--+,()()xg x a x e'=-,易知()g x最大值为().g a即,解得bae>,又因为当x趋近正无穷时()0g x<,当x趋近负无穷时,()g x趋近0b-<,则0.b>综上,a0b e<<故选.D13.(2021·新高考I卷第15题)解:已知函数,易知函数定义域为(0,)+∞,①:当1(0,]2x∈时,,所以2()2f xx'=--,在1(0,]2x∈单调递减,②当1(,)2x∈+∞时,,所以22(1)()2xf xx x-'=-=,所以()f x在1(,1]2x∈单调递减,在(1,)x∈+∞单调递增,又因为12ln 2<,所以最小值为1. 故答案为1.14.(2021·新高考II 卷 第16题) 解:由题意,,则,所以点和点,12,xxAM BN k e k e =-=,所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=,所以,所以,同理,所以故答案为:15.(2021·新高考I 卷 第22题)(1)解:的定义域为,,由解得1x >, 由解得01x <<, 在上单调递增,在上单调递减;(2)证明:由ln ln b a a b a b -=-可得ln ln 11a b a b b a-=-, 整理得:11lnln 11a b a a b b -=-,即,不妨设1211,x x a b==,且120x x <<,即,即证明122x x e <+<, 由在上单调递增,在上单调递减,且,可得1201x x <<<,()f x ()f x先证明122x x +>, 令,02x <<,,在上单调递增,又1201x x <<< ,,,即,由(1)可知在上单调递减,212x x ∴>-,即122x x +>;下面再证明12x x e +<, 不妨设21,x tx = 则1t >,由可得,化简1ln ln 11t tx t =-- , 要证12x x e +<,即证,即证,即证,即证, 设,1t >,,令,1t >, ,, 在上单调递减, ,,在上单调递减,()fx,即,12x x e ∴+<,故112.e a b<+< 16.(2021·新高考II 卷 第22题) 解:(1)由函数的解析式可得:, 当0a …时,若,则单调递减,若,则单调递增; 当102a <<时,若,则单调递增,若,则单调递减, 若,则单调递增; 当12a =时,在R 上单调递增; 当12a >时,若,则单调递增,若,则单调递减, 若,则单调递增;(2)若选择条件①:由于2122e a <…,故212a e <…,则,又((1)0f e=<,由(1)可知函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.,由于212a e <…,故,(0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得,()f x 有一个零点. 若选择条件②: 由于102a <<,故021a <<,则,当0b …时,24,42e a ><,,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点. 当0b <时,构造函数,则,当时,单调递减, 当时,单调递增,注意到,故恒成立,从而有:1x e x +…,此时:,当x >,取01x =+,则,即:,而函数在区间上单调递增,故函数在区间上有一个零点.,由于102a <<,021a <<,故,结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得,()f x 有一个零点.17.(2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题)(0,)x ∈+∞解:(1)当a e =,()ln 1x f x e x =-+,1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+,所以切线方程为:1(1)(1)y e e x --=--, 即(1)2y e x =-+,所以切线在y 轴上的截距为2,在x 轴上的截距为21-e, 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+,要使()1f x …,只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+…,即ln 1ln -1ln a x e a x +-+…,即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+…, 令()x g x e x =+,,()g x 单调递增,故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-…, 因为()g x 为增函数, 只需证ln 1ln a x x +-…,即ln ln 1a x x +-…, 设()ln 1h x x x =+-,11()1xh x x x-'=-=, 所以()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,max ()(1)0h x h ==,所以ln 0a …,1a …, 即a 的取值范围为[1,).+∞。

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编(附答案)

历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编【2023年真题】1. (2023·新课标I 卷 第13题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).2. (2023·新课标II 卷 第3题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种【2022年真题】3.(2022·新高考I 卷 第13题)8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).4.(2022·新高考II 卷 第5题)甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( ) A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【2020年真题】5.(2020·新高考I 卷 第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( ) A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种6.(2020·新高考II 卷 第6题)要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种C. 6种D. 8种参考答案1. (2023·新课标I 卷 第13题)解:当从这8门课中选修2门课时,共有1144.16C C =; 当从这8门课中选修3门课时,共有12214444..48C C C C +=;综上,共有64种. 2. (2023·新课标II 卷 第3题)解:结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1,抽取初中部40人,高中部20人,故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅ 种,故选.D3.(2022·新高考I 卷 第13题)解:因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=,令5r =,则35x y 的系数为5856C =;令6r =,则26x y 的系数为6828C =,所以26x y 的系数为562828.-+=- 4.(2022·新高考II 卷 第5题)解:先利用捆绑法排乙丙丁成四人,再用插空法选甲的位置,则有23123224A A C =种. 5.(2020·新高考I 卷 第3题)解:可以按照先选1名志愿者去甲场馆,再选择2名志愿者去乙场馆,剩下3名安排到丙场馆,安排方法有123653C C C 60.=故选:.C6.(2020·新高考II 卷 第6题)解:要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有:212312 6.C C A =故选:.C。

2024年全国高考甲卷理数真题试卷含答案

2024年全国高考甲卷理数真题试卷含答案

2024年高考全国甲卷数学(理)一、单选题1.设5i z =+,则()i z z +=( )A .10iB .2iC .10D .2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则∁A (A ∩B )=( )A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为( )A .5B .12C .2-D .72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若510S S =,51a =,则1a =( )A .2-B .73C .1D .25.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -,点()6,4P -在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A .4B .3C .2D6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .16B .13C .12D .237.函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为( )A .B .C .D .8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.1B.1-CD.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件10.设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是( )A .①③B .②④C .①②③D .①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B=,294b ac =,则sin sin A C +=( )A.32B C D 12.已知b 是,a c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( )A .2B .3C .4D .二、填空题13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是 .14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ,母线长分别为()212r r -和()213r r -,则两个圆台的体积之比=V V 甲乙.15.已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a .16.有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 .三、解答题17.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,且434n n S a =+.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和为n T .19.如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-.(1)当2a =-时,求()f x 的极值;(2)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于AB 、两点,若2AB =,求a 的值.23.实数,a b 满足3a b +≥.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-≥.2024年高考全国甲卷数学(理)一、单选题1.设5i z =+,则()i z z +=( )2.集合{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则∁A (A ∩B )=( )A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为( )A .5B .12C .2-D .72-根据5z x y =-可得1155y x z =-,即则该直线截距取最大值时,z 有最小值,此时直线4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若510S S =,51a =,则1a =( )A .2-B .73C .1D .25.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -,点()6,4P -在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )6.设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .16B .13C .12D .237.函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为( )A .B .C .D .8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1B .1-C D .19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“ ”的必要条件10.设是两个平面,是两条直线,且.下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是( )A .①③B .②④C .①②③D .①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①;举反例即可判断②④;根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α,当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,①正确;②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,②错误;③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,③正确;④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,④错误;①③正确,故选A.11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=( )A .32B C D12.已知b 是,a c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( )故选C二、填空题13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是 .14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ,母线长分别为()212r r -和()213r r -,则两个圆台的体积之比=V V 甲乙.15.已知1a >,115log log 42a -=-,则=a .16.有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 .三、解答题17.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,且434n n S a =+.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和为n T .为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+()(42Δ102443464k k k =-+21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-.(1)当2a =-时,求()f x 的极值;0f x ≥a.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于AB 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】(1)221y x =+满足.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-≥.【答案】(1)见解析(2)见解析。

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案( 集合)

近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编试卷含答案( 集合)

B.{0,1}
C.{1,1, 2}
D.{1, 2}
10.(2020·海南)设集合 A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则 A∪B=( )
A.{x|2<x≤3}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4}
D.{x|1<x<4}
11.(2020·浙江)已知集合 P={x |1 x 4}, Q {x | 2 x 3} ,则 P Q=( )
A. 7, 9
B. 5, 7, 9
C. 3, 5, 7, 9
D. 1, 3, 5, 7, 9
3.(2021·全国(理))设集合 M
x 0 x4
,N
x
1 3
x
5
,则
M
N (

A.
x
0
x
1 3
C.x 4 x 5
B.
x
1 3
x
4
D.x 0 x 5
4.(2021·全国(理))已知集合 S s s 2n 1, n Z ,T t t 4n 1, n Z ,
A {1,0,1, 2}, B {3,0, 2,3},则 A ðU B ( )
A.{3,3}
B.{0, 2}
C.{1,1}
D.{3, 2, 1,1,3}
9.(2020·北京)已知集合 A {1, 0,1, 2} , B {x | 0 x 3},则 A B ( ).
A.{1, 0,1}
机调查了 100 学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位,阅读过《红
楼梦》的学生共有 80 位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位,则
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最新整理历年理数高考试题分类汇编第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算一、选择题1.[2020•全国Ⅰ,2]已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案 B解析解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2},故选B.2.[2020•全国Ⅱ,2]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9 B.8 C.5 D.4答案 A解析∵x2+y2≤3,∴x2≤3,∵x∈Z,∴x=-1,0,1,当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1,所以A中元素共有9个,故选A.3.[2020•全国Ⅲ,1]已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}答案 C解析因为集合A={x|x≥1},所以A∩B={1,2},故选C.4.[2017•全国Ⅰ,1]已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=答案 A解析∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.5.[2017•全国Ⅱ,2]设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B =( )A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}答案 C解析∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.6.[2017•全国Ⅲ,1]已知集合A={(x,y)│x2+y2=1},B={(x,y)│y=x},则A∩B 中元素的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0答案 B解析集合A表示以原点O为圆心,半径为1的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.7.[2017•北京卷,1]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=( ) A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}答案 A解析 ∵A ={x |-2<x <1},B ={x |x <-1或x >3},∴A ∩B ={x |-2<x <-1}.故选A.8.[2017•天津卷,1]设集合A ={1,2,6},B ={2,4},C ={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B )∩C =( )A .{2}B .{1,2,4}C .{1,2,4,6}D .{x ∈R |-1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ={1,2,4,6}.又C ={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B )∩C ={1,2,4}.故选B.9.[2017•浙江卷,1]已知集合P ={x |-1<x <1},Q ={x |0<x <2},那么P ∪Q =( )A .(-1,2)B .(0,1)C .(-1,0)D .(1,2)答案 A解析 ∵P ={x |-1<x <1},Q ={x |0<x <2},∴P ∪Q ={x |-1<x <2}.故选A.10.[2016•全国Ⅰ,1]设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,-32B.⎝⎛⎭⎪⎫-3,32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,3 答案 D 解析 易知A =(1,3),B =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞,∴A ∩B =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,3.故选D. 11.[2016•全国Ⅱ,2]已知集合A ={1,2,3},B ={x |(x +1)(x -2)<0,x ∈Z },则A ∪B =( )A .{1}B .{1,2}C .{0,1,2,3}D .{-1,0,1,2,3}答案 C解析 由(x +1)(x -2)<0-1<x <2,又x ∈Z ,∴B ={0,1},∴A ∪B ={0,1,2,3}.故选C.12.[2016•北京卷,1]已知集合A ={x ||x |<2},B ={-1,0,1,2,3},则 A ∩B =( )A .{0,1}B .{0,1,2}C .{-1,0,1}D .{-1,0,1,2}答案 C解析 由题意得A =(-2,2),A ∩B ={-1,0,1},选C.13.[2016•全国Ⅲ,1]设集合S ={x |(x -2)(x -3)≥0},T ={x |x >0},则S ∩T =( )A .[2,3]B .(-∞,2]∪[3,+∞)C .[3,+∞)D .(0,2]∪[3,+∞)答案 D解析 S ={x |(x -2)(x -3)≥0}={x |x ≤2或x ≥3},在数轴上表示出集合S ,T ,如图所示:由图可知S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选D.14.[2016•天津卷,1]已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=( )A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}答案 D解析由题易知B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4},故选D.15.[2016•浙江卷,1]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪()=( )A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B解析∵Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴=(-2,2),∴P∪()=(-2,3],故选B.16.[2016•四川卷,1]设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 C解析A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.17.[2016•山东卷,2]设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞)答案 C解析∵A=(0,+∞),B=(-1,1),∴A∪B=(-1,+∞).故选C.18.[2015•全国Ⅱ,1]已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}答案 A解析由于B={x|-2<x<1},所以A∩B={-1,0}.故选A.19.[2015•天津卷,1]已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=( )A.{2,5} B.{3,6} C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8} 答案 A解析先求得集合B的补集∁U B={2,5,8},A∩∁U B={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5} 20.[2015•重庆卷,1].已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )A.A=B B.A∩B=∅C.A ⊂≠B D.B⊂≠A答案 D解析根据集合的关系判断.∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴B ⊂≠A.21.[2015•浙江卷,1]已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=( ) A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]答案 C解析∁R P={x|0<x<2},故(∁R P)∩Q={x|1<x<2}.22.[2015•浙江卷,6]设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).( )A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立答案 A解析由题意,d(A,B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,对于命题①,A=B card(A ∪B)=card(A∩B)d(A,B)=0,∴A≠B d(A,B)>0,命题①成立.对于命题②,由韦恩图易知命题②成立,下面给出严格证明:d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C) card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B)card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B).因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B)≤0,故命题②成立.23.[2015•陕西卷,1]设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1]答案 A解析∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N={x|0≤x≤1},故选A.24.[2014•全国Ⅰ,1]已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)答案 A解析由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,因此集合A={x|x≤-1或x≥3},又集合B={x|-2≤x<2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},故选A.25.[2014•全国Ⅱ,1]设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}答案 D解析由已知得N={x|1≤x≤2},∵M={0,1,2},∴M∩N={1,2},故选D.26.[2014•大纲卷,2]设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0]答案 B解析M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},则M∩N={x|0≤x<4}.故选B.27.[2014•北京卷,1]已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}答案 C解析A={0,2},B={0,1,2},∴A∩B={0,2}.故选C.28.[2014•陕西卷,1]设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)答案 B解析∵N=(-1,1),∴M∩N=[0,1),故选B.29.[2017•山东卷,2]已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D. 9答案 C解析①当x=0时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为0,-1,-2;②当x=1时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为1,0,-1;③当x=2时,y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0.综上可知,x-y的可能取值为-2,-1,0,1,2,共5个,故选C.30. [2017•广东卷,2]设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=( )A. {0}B. {0,2}C. {-2,0}D. {-2,0,2}答案 D解析化简两个集合,得M={-2,0},N={0,2},则M∪N={-2,0,2},故选D.31.[2017•四川卷,1]设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},则A∩B=( )A. {-2}B. {2}C. {-2,2}D.答案 A解析由已知得A={x|x+2=0}={x|x=-2}={-2},B={x|x2-4=0}={-2,2},则A∩B={-2}∩{-2,2}={-2}.故选A.32.[2017•辽宁卷,2]已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )A. (0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. (1,2]答案 D解析A={x|0<log4x<1}={x|log41<log4x<log44}={x|1<x<4},A∩B=(1,2],故选D.33.[2017•天津卷,1]已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=( )A. (-∞,2]B. [1,2]C. [-2,2]D. [-2,1]答案 D解析易知A={x∈R|-2≤x≤2},故A∩B={x|-2≤x≤1}.故选D.34.[2017•北京卷,1]已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( )A. {0}B. {-1,0}C. {0,1}D. {-1,0,1}答案 B解析∵A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},∴A∩B={-1,0},故选B.35.[2017•课标Ⅱ,1]已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M ∩N=( )A. {0,1,2}B. {-1,0,1,2}C. {-1,0,2,3}D. {0,1,2,3}答案 A解析 化简得M ={x |-1<x <3},所以M ∩N ={0,1,2},故选A.36.[2017•湖北卷,2]已知全集为R ,集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1,B ={x |x 2-6x +8≤0},则A ∩∁R B =( )A. {x |x ≤0}B. {x |2≤x ≤4}C.{x |0≤x <2或x >4}D. {x |0<x ≤2或x ≥4}答案 C 解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1得x ≥0,即A =[0,+∞),又B =[2,4],故 ∁R B =(-∞,2)∪(4,+∞),∴A ∩∁R B =[0,2)∪(4,+∞).37.[2017•重庆卷,1]已知全集U ={1,2,3,4},集合A ={1,2},B ={2,3},则 ∁U (A ∪B )=( )A. {1,3,4}B. {3,4}C. {3}D. {4}答案 D解析 A ∪B ={1,2,3},∁U (A ∪B )={4}.故选D.二、填空题1.[2017•江苏卷,1]已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3}.若A ∩B ={1},则实数a 的值为________.答案 1解析 ∵A ∩B ={1},A ={1,2},∴1∈B 且2B .若a =1,则a 2+3=4,符合题意.又a 2+3≥3≠1,故a =1.2. [2016•江苏卷,1]已知集合A ={-1,2,3,6},B ={x |-2<x <3},则A ∩B =________. 答案 {-1,2}解析 ∵A ={-1,2,3,6},B ={x |-2<x <3},∴A ∩B ={-1,2}.。

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