最新微分算子法
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
微分算子法例题
微分算子法例题
微分算子法是微积分中的一种常用方法，用于求解微分方程和函数的导数。
以下是一个微分算子法的例题：
例题：使用微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0。
解答：
首先，我们定义微分算子 D 为导数运算，即 D(y) = y'，D^2(y) = y''。
将微分方程 y'' - y = 0 重写为 D^2(y) - y = 0。
现在我们假设 y 的形式为 y = e^(rx)，其中 r 是待定系数。
对 y 进行两次导数得到：
D^2(y) = D^2(e^(rx)) = r^2e^(rx)。
将 D^2(y) 和 y 代入初始微分方程，得到：
r^2e^(rx) - e^(rx) = 0。
将 e^(rx) 提取出来，得到：
e^(rx) * (r^2 - 1) = 0。
根据零乘法则，得到两个解：
e^(rx) = 0 或者 r^2 - 1 = 0。
可以发现，e^(rx) = 0 没有实数解，所以我们只关注第二个解：
r^2 - 1 = 0。
解这个二次方程，得到两个解：
r = 1 或者 r = -1。
根据假设的 y 的形式，我们可以得到两个特解：
y1 = e^x，y2 = e^(-x)。
由于微分方程是线性的，所以通解可以通过特解的线性组合得到：
y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，
其中 C1 和 C2 是任意常数。
这就是微分算子法求解微分方程 y'' - y = 0 的过程和结果。
第四节 微分算子法
3 xy 0，
2
u2 ( x, y, z , t ) 3 xyt B( x, y, z )t 代入方程u tt a u xx , 得到：
2
3
6Bt a 0 Bt
2
2
B( x, y, z ) 0 令 B ( x, y , z ) 0
2
故u ( x, y, z, t ) x 3xy 5 xyz a t 2 6 x 10 xy
2 2 2 2
A( x, y, z ) 0 令 A( x, y, z ) a 2 2 6 x 10 xy
二、波动方程Cauchy问题的解法
utt a 2uxx 0 ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R) 1 shat u ( x, t ) chat ( x) ( x) a
2
2
k 0
2
a t [ x
2 k k
2
k!
3 xy 5 xyz ]
2 2
at 2 2 2 x 3xy 5 xyz x 3xy 5 xyz 0 1!2 x 2 3 xy 2 5 xyz 2 a t 2 6 x 10 xy
at k [ ( x)] 1 at k [ ( x)] 2k 1! 2k ! a k 0 k 0
2k 2 k 1
( x)
t k 1
2k
A2k ( x) ( x)t
u1
t k 1
微分算子——精选推荐
一、概念精髓1、概念精髓：积分变微分对大多数人来说，积分难于上青天，微分三下五除二。
微分算子法正是将积分的难转化为微分的易。
这也正是引入微分算子法的最大最好的理由依据2、概念正误分辨说明D是微分，1/D 是积分。
在其前的都是因式，其后的都是待微分或积分的分辨x(1/D)e x=(1/D)xe x=e x(1/D)x ? 错，因为顺序不一样，待积分的项也不一样，分别为e x，xe x，xsinxD(e x) =e x D(sinx) ? 错，因为待微分的项分别为e x,sinx总之，在有微分算子的式子中不要以为就像普通的因式相乘一样可以前后交换因式。
但是，它以算子为分界，只分前后两部分，如xe x sinx(1/D)x3cos4x前面的因式中xe x sinx是可交换的相乘，后面的待微积分的x3cos4x也可交换(是因式)。
二、方法单纯项这是基础，要牢记若f(x)含常数系数，直接保留不变。
这适合所有算子公式。
1、f(x)=e kx (纯幂函数)直接代入系数如y”+2y’+3y=4e5x→ y*=(1/D2+2D+3)4e5x=(1/(25+10+3))4e5x=4/38e5x=2/19e5x2、f(x)=v(x)=a0x m+a1x m-1+…a m-1x+a m (纯多项式)用长除法如y”+2y’+3y=4x2+5x+6 → y*=(1/D2+2D+3)4x2+5x+6长除法就是仅对1/(D2+2D+3)的除法用小学的除法计算式来算。
限于文本方式无法直观示出。
本例中先以1除以3得商1/3，要减的乘积为1+2/3D+1/3D2，余数为-2/3D-1/3D2。
再除以3得商-2/9D，要减的乘积为-2/3D-4/9D2-2/9D3，余数为1/9D2。
此时3次方项不必再写出，因为此多项式的最高次为2。
再除以3得商1/27D2，至此计算结束，即1/(D2+2D+3)= 1/3-2/9D+1/27D2。
∴y*=(1/3-2/9D+1/27D2)4x2+5x+6 (上面是积分，现已变为微分)=(4/3x2+5/3x+6/3)+(-2/9*8x-2/9*5)+(1/27*8)=4/3x2-1/9x+32/27这算是一个较复杂的例子，但若用待定系数法应该会更复杂。
微分方程算子法总结
=(1-D )(x2-x+2)=x2-x
5
dy d2y 2 -x +2y=x 例 9、 2 +2 dx dx
e ,则(D +2D+2)y=x2e-x
2
特解 y
*
= ( D + 1) 2 + 1 x2e
-x
1
-x
=e-x ( D -1 + 1)
(1-D )x
2
1
2
2 x +1 2
=e D 2 1 x2=e +
2 2
e2x D1
2
x
2
=
1 4 2x x 12
e
（性质二）
x
-3 ddxy +3 dy dx
*
y=e ,则(D3-3D2+3D-1)y=e
x x
x
特解 y
= 3 3 e =e （D -1 ） （D +1-1 ）
x
1
1
•
1
=e D 3
d3y 例 5、 3 dx
1 •
1=
3
1 3 x x (性质二） 6
2
1 1 sin(ax)= sin(ax) F(-a 2 ) F(D 2 )
1 1 cos(ax) 2 cos(ax)= F(-a 2 ) F(D )
若 F(-a )= 0 ， 则按 i.进行求解， 或者设-a 为 F(-a )
2 2 2
的 m 重根，则
1 1 m sin(ax)=x sin(ax) F(m) (D2 ) F(D 2 )
1
ix e = -1
4
1 d2y * 2 例 6、 2 +y=cosx ，则(D +1)y=cosx ，特解 y = 2 cosx D +1 dx
微分算子法中D的运算
微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x , D 3x 2=0D 1：积分的意思，如D 1x=2x 2**＊*＊＊**＊＊*＊*＊*＊＊＊*＊*＊＊＊＊*＊**＊*＊＊＊**＊＊*＊＊******＊＊***＊＊*＊＊***＊*＊*＊*＊＊＊*＊＊＊******定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论:)(1)(F 1k F e e D kx kx = （F(k ）≠0） 例：x e y y 2=+''x e y D 22)1(=+x x x e e e D y 22222*51121)1(1=+=+= ＊＊＊**＊*＊＊*＊＊＊**＊＊＊＊**＊*＊＊＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊*＊*****＊＊＊******＊**＊＊***＊＊＊＊＊＊*＊＊***＊*＊定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(cos cos )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序 推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= (F （—a 2) ≠0) 例：x y y 3cos 24=+）（x y D 3cos 2)1(4=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。
F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D ）。
***＊＊＊＊＊*＊**＊＊**＊＊****＊＊**＊*＊＊*＊*＊*＊＊*＊＊*＊＊＊＊＊**＊*＊*＊＊**＊＊＊＊***＊*＊**＊＊＊＊*＊***＊*定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论：)()(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx +=例：x e x y y 22y 44⋅=+'-''x e x y D D 222)44(⋅=+-42222222222*1211)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-= 例：x e y y y =-'+''-'''y 33x e y D =-3)1(x e D y 3*)1(1-= 此时不能用定理1，故 3333*61111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x ⋅⋅=⋅=⋅=-+= ＊＊＊*＊*＊**＊*＊＊****＊＊＊＊＊*****＊**＊*＊*＊＊**＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊**＊＊*＊*＊***＊＊＊**＊**＊**＊＊**例： x y y e 4=-）（x e D e D e e D e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例:22+-=+''x x y y2)1(22+-=+x x y D)2()1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
微分方程的算子算法
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
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微分算子法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x xy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()nn n n n n n d y d ydy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+= 解 (1)12x x y C e C e -=+34(cos 2sin 2)x e C x C x -++(2)12(cos sin )22x x xy e C C =+7.求解下列cauchy 问题 (1)330;y y y y ''''''-+-=(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+==== 解 (1) (1)x y e x =+(2) x y x e -=+ 8.求解非齐次方程21(0)y y y x x x'''++=≠解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x'''++=的两个线性无关的特解。
现设用观察法得到两个特解12sin cos ,x xy y x x== 令12sin cos ()()()x xy x C x C x x x=+考虑方程组1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x xx x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩最后解得1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为12sin cos 1()x x y x C C x x x=++注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。
因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。
这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解256y y y x '''++=解 写成 2(2)(3)D D y x ++=故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为 23112()x x y x C e C e --=+今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足*2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x*21()(2)(3)y x x D D =++仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6222222222222222222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111(()())224111(()())33911122()()223391561x D D x x D D x x D DD D x D D x D D x D D xx x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=- ３９ ３９ 198108x +通解为*123212()()()1519618108xxy x y x y x C e C e x x --=+=++-+注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运算来处理，上法中1(2)(3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D+展开或读作除数，最后，又将2,,D D 恢复其运算功能。
至此，积分微分方程问题已变为求导问题。
上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。
10.给定一个微分算子111n n n n n L D a D a D a --=++++ (,1,2,,)i a i n =为常数则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x(())()n L g x f x =今定义逆运算1(())()nf xg x L =g 恰为微分方程(())()n L g x f x =的一个特解。
证明下列事实：(1)给定f 后，g 不唯一(2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立 111(()())(())(())n n nah x bg x a h x b g x L L L +=+ (3)设有另一微分算子11m m m L D a D -=++m a +，则1111(())(())m m n ng x g x L L L L = (4)有下式成立1111(())(())()()k n k g x g x L D D ρρλλ=-- 证明 (1)设1()g x 是方程()0n L y =的特解，则有1(()())(())()n n L g x g x L g x f x +== 故11(())()()nf xg x g x L =+(2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定，此处+1n a λ-++e ()kx kx f x e =仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6()kx kxf x e =1sin ()F ik =1)()1)(1()n n kxD D e F k ρρ---= )x())kx g x e g ρ+2)()D k -11))n m m a D b b -++++++++ 0时，此时宜用cos sin kx i +以上两题旨在建立我们算子法的理论基12.求下面方程的特解 2226x d yy e dx-=解 2222211()(6)62121x x x y x e e e D ===--13.求方程2442x y y y e '''-+=的一个特解解 221()244x y x e D D =-+ 22222212(2)121(22)121xx x e D e D e D=-=+-=设211()g x D=，则2()1D g x =，即可知 21()2g x x =故最后可得22()x y x x e =也可以直接安照文登考研书的解法即如不懂，可参看我在豆丁上仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6222222221()24412(2)122xx x xy x e D D e D x e x e =-+=-== 14.解x y y e ''-=解 2111()1(1)(1)x x y x e e D D D ==--+ 1111112122x x x e e xe D D ===-得通解为121()2x x x y x xe C e C e -=++15.求下面方程特解 2552y y x x '''-=-+解 221()(52)5y x x x D D =-+- 2222222311(52)5111()(52)51511()[1()](52)555111()[52(102)551(10)]2511()[5]5113x x D D x x DD D Dx x D x x x D x D x x D =-+-=--+-=-++-+=--++-++-=--== 16.求26535x y y y e x '''-+=-+ 解 显然12()()()y x y x y x =+其中121()(3)65x y x e D D =--+1(3)(1)(5)x e D D --- 221()(5)(1)(5)y x x D D =-- 今有11111()(3)(3)15115x xy x e e D D D =-=-----3131314144x x x e e xe D D ===- 22111()()(5)415y x x D D =-+--222221111()(5)4151511(1(1))(5)455256212255x D D D D D D x x x =---=++--+=++ 最后得236212()4255x y x xe x x =+++17.求6cos 23sin 2y y x x ''+=+的特解 解 12()()()y x y x y x =+2222116cos 23sin 211116cos 23sin 2(2)1(2)12cos 2sin 2x x D D x x i i x x =+++=+++=-- 18.求下面方程的特解 13sin 2y y y x '''++=-解21()(13sin 2)1y x x D D =-++ 22224224221[()1]()11(13)sin 211[1](13)sin 211(13)(1)sin 2(2)(2)1(1)sin 23sin 22cos 2D D D D xD D D D x D D D D xi i D D xx x=--+--+⨯-++=-+-++=--+++=--+=+ 19.求下面方程的特解 44cos 2y y y x '''++= 解 2()[(2)]y x D =-+2211cos (2)(2)x D D -++仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢62221(2)cos 2(4)D x D =--222cos 1(2)sin 2((2)4)8x D x i =-=- 20.求2sin y y x ''+=的特解解 因2()10i +=，上法无效，今取1sin []2ix ix x e e i -=-(*)则特解211()([])1ix ix y x e e D i -=-+2222111([])11111[11]()1()111111[11]22111[]2212[]2ix ix ix ix ix ix ix ix ix e e i D D e e i D i D i e e i D i D D i D e x e x i D i D ilm e x D i----=-++=-++-+=-+-=-+-=+ lmz 表示复数zi 虚部，今1112212ixix e x e x DD i i i=++ 111[1]()222211cos sin (cos sin )422ix ix D e x e x i i i i x x x i x x x =-=-=--+故1()cos sin 2y x x x x=--21.求下面方程的特解 cos x y y e x x ''-= 解 今有(1)(1)1cos ()2x i x i x e x x xe xe+-=+(1)Re()i x xe +=(Re z 表示复数z 的实部)故可写成(1)21()Re()1i x y x e x D +=-而(1)(1)22111(1)1i x i xe x e x D D i ++=-++- (1)i xe +=)(1(1)11412(cos sin )[()(2)5]55i x x i x e e e x i x x i x ++==-+-++=故1422()[()cos ()sin ]525525x x y x e x x x =-+++22.求解方程33(5)x y y y y e x -''''''+++=-解 3311()(5)(5)(1)x x y x e x e x D D --=-=-+ 设31()(5)g x x D=-，则3()5D g x x =-故知435()246x g x x =- 最后得通解 32123()(20)24xxxxx y x C e C xe C x e e x ----=+++-注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。