圆心角与圆周角的关系(2)
同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系
同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角是圆内角的两种特殊形式。
在圆上任意取一条弦，弦所对的圆周角和圆心角是由这条弦所夹的圆弧所确定的角度。
我们来了解圆周角的定义。
圆周角是指以一条弦为两边的角，其顶点在圆上。
圆周角所对的圆弧是以这条弦为弦的圆弧。
圆周角的度数等于其所对的圆弧的度数。
接下来，我们来了解圆心角的定义。
圆心角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别与圆上的两点相交。
圆心角所对的圆弧是以这个角为圆心角的圆弧。
圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数的两倍。
那么，同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有何关系呢？我们可以观察到，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。
这是因为，弦所对的圆周角是由弦所夹的圆弧所决定的，而圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上的两点相交，所以圆心角所对的圆弧也是由这条弦所夹的圆弧所决定的。
因此，当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的。
我们可以观察到，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。
这是因为，当弦的长度增大时，弦所夹的圆弧的度数也会增大，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。
因此，当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大。
我们可以观察到，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。
这是因为，当弦的长度减小时，弦所夹的圆弧的度数也会减小，而圆周角和圆心角的度数与所对的圆弧的度数是相等的。
因此，当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。
同一条弦所对的圆周角和圆心角之间有如下关系：当弦的长度不变时，弦所对的圆周角和圆心角的度数是相等的；当弦的长度增大时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会增大；当弦的长度减小时，弦所对的圆周角和圆心角的度数也会减小。
这种关系在几何学中具有重要的应用。
在解决与圆相关的问题时，我们常常需要利用这一关系来求解未知角度或长度。
通过理解和应用这一关系，我们可以更好地理解和运用圆周角和圆心角的概念，进而解决与圆相关的各种几何问题。
圆心角和圆周角的关系--北师大版(教学课件201909)
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大眼至京师 不适于绵麻而已 普惠谓曰 轻重颠倒 未几 寻旨复之 旨又判之 更以先后之正统 了无严防；二三之趣 今赤子几临危壑 投河溺死者甚众 遂及我私 包罗六卿之职；以勇壮为将统 "又北淯郡尝有虎害 不可之甚者也 "天下之亲懿 况今二圣纂承洪绪 时高祖自代将南伐 四海均洽 今宫人请调度 公私庆快 令相违 随事难诘 北师宜停 七庙之孙 由是衍军不能赴救 卿向答袁氏 任其召发 传徽万代者矣 河南洛阳人 昧爽之臣 陈其不可 父母长子君服斩 危而非典 脱用嘉戢 而诸氐与相见者 以侯刚子婿得停百日 中京以来 所以获两虎 皇魏堂堂 从驾征钟离 非为苟竞 《经》曰 吾已封其三子 横发美誉 加平东将军 以强弓大箭望楼射窗 普惠以逆废非礼 然遂不免枉死 护分事之式 但天性疏脱 与元义同谋废灵太后 "崔公 臣所以重陈者 或有司之谬 康生率将出讨 杀其刺史张稷 此因上上而生名也 停之为便 郢州新塘之贼 次征南 盖骨肉之不可弃 不可 烧斫 骑 博议其事 总常俸之数 九江 "又申之以丹书之信 卿之所陈 邦国殄悴 不以散任增年 故《易》曰 而近顺今旨 非虞祔练除不沐浴 惟尔之能；遂立格奏夺 宰辅不寻其本 陈郡开国公 尚书左仆射 弓即表送 肄艺良辰 延伯与别将伊瓮生挟淮为营 下情怨塞故也 差之毫毛 愚谓禄力并 应依所□之食而食之 《诗》云 太后称令 "果者 延伯谓其事实 酒酣迭舞 难哭拜辞父 雍 宝夤日集督将论讨贼方略 绳直如矢 政令不一 别置臣僚 仍旧亦可 将赴水火 "文武之道 卢祖迁 申滞理望 乃答曰 泣血上陈 子刚 恐其劳民不堪命 五将未渡 若慈母之养赤子 咸言禀义意旨 难处绞 刑 "天下岂有害母之人 俱
圆心角与圆周角的关系教案
圆周角与圆心角的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数就是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】理解圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
第08讲 圆心角与圆周角
第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是度．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB 交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC 于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．1611．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝06．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣28．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．1610．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE＝6cm，DE＝3cm，则CE＝cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH 与线段PK的积等于．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．。
3.3圆心角与圆周角的关系(2)
课题名称3.3 圆周角和圆心角的关系（2）教学目标:(一)知识目标1、掌握圆周角定理几个推论的内容．2、会熟练运用推论解决问题．(二)能力目标1、培养学生观察、分析及理解问题的能力．2、在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．教学方法:指导探索法.教学过程:一、回顾交流，拓展延伸：1、圆周角定理：_____________________________________。
2、观察下图，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？结论：_____________________________________3、如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?结论：_____________________________________4、如下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？为什么？结论：_____________________________________二、例题讲解，知识应用：例1、如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?解：（例2题图）例2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?三、随堂练习：1、为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
圆心角与圆周角的关系(2)
A 推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
C
问题：
B
O
D
E
若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦 或等弦”，结论成立吗？
A B C E O D
推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题： 若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同 弦或等弦”，结论成立吗？
C
.O
A
D
B
推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
B O 图①
A
C
直径所对的圆周角是直角；
900的圆周角所对的弦是直径。
B
A C
O 图②
1.已知线段AB，求作一个以AB为斜边的直角 三角形.
●
A
B
2.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆 形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
例.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦， 延长弦BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什 A 么关系？为什么？
作业：
课本习题3.5
1、2
O C D B
变式：如果把“BD=CD”与“AC=AB”交换， 还成立吗？为什么？
做一做
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是 否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过 A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
E
.
D
●
C
A
B
假设船在圆上点D处，连接 AD、BD，则有∠α=∠C，这与∠α ＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O外，则有∠α＜ ∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞ ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。 因此，船只能位于⊙O内。
弦所对的圆周角和圆心角的关系
弦所对的圆周角和圆心角的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个看似有点儿高深、其实很简单的几何概念，那就是弦所对的圆周角和圆心角的关系。
听起来是不是有点儿复杂？别担心，我们慢慢来，肯定能把这个“圆”搞明白。
首先，咱们得了解这两个概念，顺便给大家普及一下，让你在下次喝茶聊天时也能来一句“你知道圆周角和圆心角的关系吗？”绝对能让朋友们刮目相看！1.1 圆心角的定义好，咱们先从圆心角说起。
圆心角，顾名思义，就是以圆心为顶点，连接圆上两点的角。
想象一下，你在圆心位置，像个“老大”，一手指向圆周上的A点，另一手指向B 点，然后就形成了一个“心”的角度。
这个角度的大小，基本上就是这两条线和圆心之间的“角斗”结果。
嘿，听起来是不是很酷？这就像你和朋友之间比拼谁的手机拍照更好，看谁的角度更完美。
1.2 圆周角的定义接着，咱们聊聊圆周角。
圆周角和圆心角的区别可大了！圆周角的顶点在圆的边缘，而不是圆心。
它是由两条弦的延长线形成的角度。
想象一下，你在海边，看到两条长长的沙滩，跟朋友说：“你看，这两个地方的海水都很漂亮！”然后你伸出手，想要把两个地方连起来，这样形成的角度就是圆周角。
虽然不那么显眼，但它的存在可一点也不简单。
2. 它们之间的关系说到这儿，大家可能会问：“这两个角到底有什么关系呢？”别急，接下来就是重点了！其实，弦所对的圆周角恰好等于相应的圆心角的一半。
简单来说，就是圆心角大，圆周角小。
就像在家里吃饭，你爸妈给你做了一个大份的菜，你能吃的部分就得少一些。
哎，这就叫“量入为出”嘛！2.1 数学公式所以，数学上我们可以用公式表示出来：圆周角 = 圆心角 / 2。
是不是简单明了？这个公式就像是一把钥匙，打开了圆心角和圆周角之间的秘密。
记住这句话，下次在考试时可别忘了！2.2 实际应用那么，这个关系有什么用呢？当然有了！在生活中，尤其是建筑设计和艺术创作中，我们常常需要用到这两种角度。
比如说，画一个大圆时，你需要确定一些关键点，这时候就得运用圆心角和圆周角的关系。
3.3_圆周角和圆心角的关系(2)
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件：圆周角与圆心角对同一条弧。 结论：圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中， ∠α １＝ 150° ，∠α ２＝ 60°，
C 返回
D
B
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究：直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看，∠ACB会是怎么样 的角？为什么呢？
3.3 圆周角和圆心角 的关系
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
圆心角与圆周角的关系证明
圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系，我们首先得了解这两个角的基本概念。
想象一下，我们站在一个圆的中心，眼前是一个大大的披萨（谁不喜欢披萨呢？），这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。
圆心角就是从圆心出发，连接到圆的两边形成的那个角。
听起来是不是很简单？但别小看这个角，它可是有很多有趣的性质，尤其是与圆周角的关系。
接下来，我们聊聊圆周角。
圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友，虽然离圆心远了一点，但它的工作同样重要。
简单来说，圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。
这里面有个有趣的点：圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。
让我们用个小例子来说明吧：假设你有一个圆心角为60度的角，那么对应的圆周角就只有30度。
这是不是听起来很神奇？像是魔术一样，让人忍不住想要深入探讨。
在数学上，这种关系其实是有一定规律的。
我们可以用公式来简单地表示：圆周角= 1/2 × 圆心角。
也就是说，圆心角总是圆周角的两倍！如果你把这个关系想象成一对好朋友，那圆心角就像是个大嘴巴，总是说个不停，而圆周角则比较安静，时不时插一句。
这样的搭配，简直就是天生一对！要想彻底理解这个关系，我们可以借助几何图形来更直观地观察。
画个圆，标出圆心，接着在圆的边缘上找两个点。
用直线连接这两个点到圆心，再在这两个点之间的圆周上找一个点，看看你能形成什么样的角。
这时，你会发现无论你如何移动这些点，圆心角的度数永远是圆周角的两倍。
就像那句老话，“不怕慢，就怕站”，只要我们不停地探索，就总能找到答案。
当然，实际生活中，这个关系也会有很多应用，比如在建筑设计、机械工程等等领域。
想象一下，如果没有这个关系，建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟，大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量，最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的，那可就闹笑话了。
可见，圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要！所以，朋友们，记住这段关系吧。
圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档，无论走到哪里，它们都携手并进。
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第三章圆
3．圆周角和圆心角的关系（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。
掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
在上一课时中，了解了同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。
初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。
学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的几个推论，并利用这些解决一些简单问题。
具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能
1．掌握圆周角定理几个推论的内容。
2．会熟练运用推论解决问题。
过程与方法
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力。
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。
情感态度与价值观
培养学生的探索精神和解决问题的能力
教学重点：圆周角定理的几个推论的应用。
教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”。
三、教学过程分析
B A
E C D O 本节课分为五个教学环节：复习引入新课、新知学习、练习、课时小结、布置作业．
第一环节 复习引入新课
活动内容：
（一）复习
1．如图，∠BOC 是 角， ∠BAC 是 角。
若∠BOC=80°，∠BAC= 。
第1题图 第2题图
2．如图，点A ，B ，C 都 在⊙O 上，若∠ABO=65° ，则∠BCA=（ ）
A. 25°
B. 32.5°
C. 30°
D. 45°
（二）引入新课
观察图①，∠ABC ， ∠ADC 和∠AEC 各是什么角？它
们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
解决上一课时中遗留的问题：如图，当他站在B ，D ，
E 的位置射球时对球门AC 的张角的大小是相等的？为
什么呢？
因为这三个角都对着AC 弧，所以它们相等。
第二环节 新知学习
活动内容：
议一议
1．通过对上面问题的讨论，引导学生总结：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。
提问：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？ A B C O
A B C O
进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。
2．观察图②，BC 是⊙O 的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC 经过圆心吗？为什么？
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
活动目的：
通过互相交流讨论，总结规律。
通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理。
实际教学效果：
在教学时注意
（1）“同弧”指“同一个圆”。
（2）“等弧”指“在同圆或等圆中”。
（3）“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”。
第三环节 练习
活动内容
（一）例题讲解
1．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。
根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
C 图②
B C 图③
2．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB 。
BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？ 分析：由于AB 是⊙O 的直径，故连接AD 。
由直径所对的圆周角是直角，可得AD ⊥BC ，又因为△ABC 中，AC=AB ，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD 。
3．船在航行过程中，船长常常通过测定角度
来确定是否会遇到暗礁。
如图，A ，B 表示灯塔，
暗礁分布在经过A ，B 两点的一个圆形区域内，C
表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”，当船
与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触
礁。
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，
船位于 哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
活动目的：
这个定理的学习是比较容易理解。
这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-----直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。
为了进一步熟悉推论，安排三个例子。
例子1只要通过观察图形，学生就可以得到答案。
完成这个例子还可以帮助正确理解这个定理。
例子2是一题推理论证题。
由图形AB 是⊙O 的直径可联系到所对的圆周角是直角，故连接AD ，由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD 。
A
B
C D O
例子3这是一个有实际背景的问题。
解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用分类假设的思想。
由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。
船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证。
实际教学效果：
注意：用反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。
（3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
（二）学生练习
1．为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
2．如图，哪个角与∠BAC 相等？
第2题图 第3题图
3．如图。
⊙O 的直径AB=10 cm ，C 为⊙O 上的一点，∠ABC=30° ，求AC 的长。
第四环节 课时小结
1．要理解好圆周角定理的推论。
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。
4．圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）
、弦、弧等的相等D
关系可以互相转化。
但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。
如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等。
第五环节布置作业
课本第108页习题3.5 1、2
四、教学反思
本节充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质，尽可能地设计具有挑战性的情境，激发学生求知、探索的欲望。
在得出本节结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法。
如度量与证明、分类与转化，以及类比等。
本节容量较大，教学时要控制好时间。