向量组的线性相关、行和秩
第三章 向量 线性关系 秩
第三章 向量 线性关系 秩基本要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念.3. 掌握向量组的线性相关、线性无关的有关性质及判别方法.4. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 一、向量及其运算 1. 向量向量是用有序数组表示的既有大小又有方向的量，又称矢量. n 维向量有两种表示形式：12n a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,na a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量常记作a 、或a、或α等.有大小无方向的量，称为数量或标量.注：列向量可视为或等同于列矩阵，行向量可视为或等同于行矩阵 2. 向量运算及其运算规律 零向量、负向量(1)运算①相等 ②加法 ③数乘 ④转置若12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12,,,T n a a a a = .⑤内积(向量与向量的乘法)(见下一章)注：相等、加法、内积运算要求向量同型、同维.向量没有“逆”运算，即向量没有逆向量. (2)运算规律同矩阵的运算规律，故略.定义了加法与数乘法两种运算的所有n 维列(行)向量的全体构成一个所谓的n 维线性空间(见第五章)，亦称向量空间.以下讨论一般在n 维向量空间中进行. 3. 应用用向量表示线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (1) 设12(1,2,,)i i i in a a a i n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组(1)可表示为 1122n n x a x a x a b +++=. (2)作业：P63 1. 2. 二、向量组的线性关系 1. 基本概念定义1 若存在一组数s k k k ,,,21 使1122s s k k k βααα=+++ ， (3)则称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示，也称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合.例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示. 例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合. 其实，可以利用(分块)矩阵乘积的形式表示(3)式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k 2121),,,(αααβ. (当12,,,s ααα 为列向量时)或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s s k k k αααβ 2121),,,(. (当12,,,s ααα 为行向量时)定义2 若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21使1122s s k k k αααο+++= . (4)则向量组12,,,s ααα 称为线性相关.不线性相关的向量组称为线性无关.定义2表明，向量组12,,,s ααα 线性相关仅当齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解s k k k ,,,21.定义2表明，向量组12,,,s ααα 不线性相关，若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21总有οβββ≠+++s s k k k 2211.换句话说，1122s s k k k αααο+++= 成立仅当021====s k k k .例如：3112210ο--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即齐次线性方程组0723032001321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k 当且仅当1230k k k ===，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.2. 基本结论(1)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其它向量线性表示. P55 证向量组12,,,s ααα 线性无关⇔12,,,s ααα 中任意一个向量不能由其它向量线性表示.证(2)向量组12,,,s ααα 线性相关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 有非零解. P54 证推论 n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式为0.向量组12,,,s ααα 线性无关⇔齐次线性方程组1122s s x x x αααο+++= 只有零解. P54 推论 n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量所构成的方阵的行列式不为0. (3)一个向量α线性相关αο⇔=. P54 证一个向量α线性无关αο⇔≠. 例如，(4)两个向量,αβ线性相关k l αββα⇔=或＝(几何上，即,αβ共线或平行). 证两个向量,αβ线性无关k l αββα⇔≠≠且(几何上，即,αβ不共线或不平行). 例如，(5)标准单位向量组是线性无关的向量组. P54 证(6)若向量组中的一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) P55 证若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关.(整体无关，部分无关) P55 推论 含有零向量的向量组线性相关. P55 (7)设向量组12,,,s ααα 线性无关，向量组12,,,,s αααβ 线性相关，则β可由向量组12,,,s ααα 唯一线性表示.(表示系数称为β关于向量组12,,,s ααα 的坐标) P55证(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关. 证 设1122s s k k k αααο+++= ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111s ms m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 不妨去掉最后一个方程，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---,0,0,0121211122221211212111s s m m m ss s s k a x a k a k a k a k a k a k a k a 即12,,,s ααα 的少一个分量的缩短向量组也线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. P56(9)任意1n +个n 维向量线性相关. P59 推论 任意()m m n >个n 维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(下面讲). 作业：P64 6. 7. 8. 9. 10.-11. 三、秩1. 向量组的秩设有两个向量组(Ⅰ)12,,,s ααα ；(Ⅱ)12,,,t βββ .定义3 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出. P57线性表出的性质: 1)反身性；2)传递性.定义4 若两个向量组可以互相线性表出，则称它们等价. P57向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当它们都是列向量组时，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .向量组等价的性质: 1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义5 若一个向量组的某个部分向量组线性无关，且向量组中没有包含该部分向量组的更大线性无关组，则称这个部分向量是向量组的一个极大线性无关组. P57注：一个向量组可能有极大线性无关组，也可能没有极大线性无关组；可能有一个极大线性无关组，也可能有多个极大线性无关组.例如，1)只有零向量的向量组没有极大线性无关组；2)线性无关的向量组只有一个极大线性无关组.如：标准单位向量组只有一个极大线性无关组；3)102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大线性无关组.定理1(P57 命题3.5) 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价. 推论1(P57 推论) 向量组中的任意两个极大线性无关组等价.定理2(P57 引理3.6) 若列向量组12,,,r ααα 线性无关，且()12,,,r A O ααα= ，则A O =. 定理3(P58 定理3.7) 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.证 设向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，且它们都是线性无关的列向量组，则有s t ⨯矩阵A 和t s ⨯矩阵B 使(12,,,s ααα )=(12,,,t βββ )A ，(12,,,t βββ )=(12,,,s ααα )B .从而(12,,,s ααα )=(12,,,s ααα )BA .于是由定理2有O BA E s =-，即BA E s =.同理有AB E t =.根据第38页上的例2.11知，必有t s =.所以等价的线性无关向量组所含向量的个数相等. 推论2(P58 推论) 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同.定义6 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作)(⋅r 或)(⋅rank . P58 规定：没有极大线性无关组的向量组的秩为0.例如: 102,,2013r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝.关于向量组还有以下常识结论：(1)对于任意一个向量组12,,,s ααα ，总有{}12,,,s r s ααα≤ .(2)若向量组12,,,s ααα 是向量组12,,,t βββ 的一部分，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(3)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，则{}{}1212,,,,,,s t r r αααβββ≤ .(P58 定理3.8)(4)若线性无关的向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表示，则 s t ≤.(P58 推论2) (5)若向量组12,,,s ααα 可由向量组12,,,t βββ 线性表出，且s t >，则12,,,s ααα 线性相关.(P58 推论3)(6)等价向量组的秩相等.(P58 推论1)(7)对于任意两个向量组12,,,s ααα 和12,,,t βββ ， 总有{}{}{}{}{}{}121212121212max ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,t s s t s t r r r r r βββααααααβββαααβββ≤≤+ 求极大线性无关组的方法：(1)观察法并参考基本结论；(2)初等行变换法(后面讲)；(3)常识结论法.作业：习题A P64 12. 2. 矩阵的秩一个m n ⨯矩阵可以写成如下两种分块形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T Tmn m m n n a a a a a a a a a A ααα 21212222111211()TnT Tβββ 21=， 其中T m T T ααα,,,21 叫作A 的行向量组，TnT T βββ,,,21 叫作A 的列向量组. 定义7 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理1(P59 引理3.9) 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩. 定理2(P60 定理3.10) 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.定理2表明：)()(A r A r T =.推论(P61 定理3.11) 初等变换不改变矩阵的秩.定义8 矩阵的行秩(或者列秩)称为矩阵的秩.记作)(⋅r 或)(⋅rank .定义9 在m n ⨯矩阵A 中任选k 行与k 列(},min{1n m k ≤≤)，则由这些行、列交叉点上的元素(不改变它们的相对位置)所构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式.定理3(P61 定理3.12) r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则所有r 阶以上的子式皆为零.定理4 r A r =)(的充分必要条件是A 至少有一个r 阶子式不为零，且若有r 阶以上的子式，则含该r 阶子式的所有r 阶以上的子式皆为零.定理3、定理4其实给出了求矩阵的秩的一种原则方法. 例(P63 例3.9) 解 分析： 形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521. 的矩阵称为行阶梯形矩阵. P62形如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021. 的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.行阶梯形矩阵的特点：(1)； (2)； (3)； (4).定理5(P63 命题3.13) 行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理6(P63 命题3.14) 任意矩阵都可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例(P63 例3.9)定理7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例(P63 例3.9)关于矩阵还有以下常识结论：(1)()()(),r AB r A r B ≤简证：()()()12 c c B AB AB A AB A O A -⎧⊂⎪⇒⎨→⎪⎩ ()()() r AB r AB A r A ≤=. (2)()()()r AB r A r B A ≥+-的列数(3)()()()()(), r A r B r A B r A r B ≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)()()()r A B r A r B ±≤+简证：()()12c c A B A B B A B ±⊂±→()()()()() r A B r A B B r A B r A r B ⇒±≤±=≤+求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)初等变换法；(4)基本结论法. 作业：习题A P64 13. 15. 16.习题B P65 5*.。
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
3/23
给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
向量组的线性相关性
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
三、应用举例
例1 设 1 1,1,0T ，2 0,1,1T ， 3 (3,4,0)T
3 1
求
,
,
其中(
,
)
(1
,
2
,
3
)
2 1
1 1
.
解
，
31
22
，
3
1
2
3
1 0 3 0
31 22 3
k k ka1, ka2, , kan
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （1） （交换律）
（2） ( ) ( ) （结合律） （3） O （4） ( ) O （5） 1 （6） () ( ) ( ) （7） ( )
二、向量的运算
1、加法 (a1,a2,...,an ), (b1,b2,...,bn ),
a1 b1, a2 b2 , , an bn
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
向量组线性相关与秩的关系
向量组线性相关与秩的关系摘要：向量组线性相关性对于数学学科中很多问题都具有极其重要的作用，且与向量组线性相关性紧密相关的秩也有极为重要的意义。
本文从定义、特性及性质三方面详细剖析了向量组线性相关性与秩之间的关系并举例说明，最后总结出两者的关联性。
关键词：线性相关性；秩；关系根据定义和特性，向量组线性相关性与秩之间的关系划分如下：一、定义1、向量组线性相关性：指向量组之间存在相同的值，当向量组自身中存在两个不同的元素值出现在多个向量组时，这两个元素之间就具有线性相关性。
2、秩：指向量组的组件元素可以依照一定的次序组合出一系列不同的向量，而这些向量所能形成的矩阵的秩就被称为该向量的秩，用数字表示的时候我们称为秩值。
二、特性1、向量组线性相关性与秩之间存在着一定的联系，当向量组存在线性相关性时，秩值一定要小于其中的维数，因为线性相关性就是说必须要有不同的元素值在向量组中出现两次以上，这样一定会减少可以被组合出新向量的组件维数。
2、向量组线性相关性若是存在，秩值必定小于维数，但若向量组线性相关性不存在，秩值可能和维数相同。
三、性质1、向量组线性相关性和秩之间的关系：若向量组中存在相关性，则秩值必定小于该向量组的维数，反之若无相关性，秩值理论上可以等于其维数。
2、秩的确定性：确定一个向量组的秩依据主元素的构成，若一个向量组是由各位秩相等的多个线性无关子组组成，则它的秩为子组秩之和，即主元素的总数。
3、向量组的线性相关性和秩之间的关系实例：❶若有 A=(1,2,3),B=(2,4,6),C=(3,6,9),则可以看出，ABC三个向量的每个分量的值按照等比数列变化，因此A、B、C三个向量之间存在线性相关性，且它们的秩值只有一（即rank(A)=1）；❷若有 D=(1,2,3),E=(4,8,9),F=(7,14,15),则可以看出，DEF三个向量之间不存在线性相关性，且它们的秩值是３（即rank(D)=3）；分析：从来上可以看出，线性相关性和秩值之间存在着一定的联系，若向量组中存在线性相关性，则秩值一定要小于其维数，即秩值=元素数-线性相关项数，反之，若无线性相关性，秩值可以和维数相同。
2.2向量组的秩和线性相关性
故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。
(2)记
1 0 1 1 2
2
1
0
1
0
3 1 1 1 1
容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。
(3) 因为ε1, ε2 ,..., εn 对应的矩阵是单位矩 阵, 从而其秩为n，故该向量组是线性无关的
例题2.3 设 1,2,3 线性无关，且
1 1 22, 2 2 23, 3 3 21
证明：1, 2 , 3 线性无关。
解：只对列向量的情形证明。记
1 0 2
A
(1,2
,3
),
B
(1,
2
,
3
),
P
2
1
0
0 2 1
据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆
的，因此，r(A)=r(B)，因此 1, 2, 3
线性无关。
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例2.4. 设有两个向量组
I: 1=[1, 1], 2=[1, 1], 3=[2, 1],
II: 1= [1, 0], 2= [1, 2].
则1=
1 2
1+
1 2
2,
2=
3 2
1
1 2
2,
3=
3 2
1+
1 2
2,
即I可以由II线性表示.
1=
1 2
1+
1 2
2+03,
2=
1 2 1
（1）1
=
0
2
=
1
3
=
1
-1
1
第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
注：向量组 1,2 ,,r (其中1 0) 线性相关
的充要条件是至少有一个向量 i (1 i r) 可由
1 ,2 ,,i 1
线性表示。---P44-45
性质
性质1 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
性质2 两个向量相关的充要条件是 它们的
两个向量组的线性表示、等价关系 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 , , s .
若向量组A中的每个向量都可由向量组 B 中的向量线性表示，则称向量组 A 可由 向量组B线性表示。 若向量组A可由向量组B线性表示，向 量组B也可由向量组A线性表示，则称向量 组A与向量组B等价。
故 1 , 2 , , m 线性相关.
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m 0.
因k1 , k 2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
主要 线性相关性的判定、 内容： 线性相关性的性质
定理1:向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1 个向量线性表示．
证明： 充分性 设
1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
向量组与向量组之间的线性表示关系， 具有传递性。
例如 ：向量组A可由向量组B线性表示； 向量组B可由向量组C线性表示； 则向量组A可由向量组C线性表示。
线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
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第六讲 向量组的线性相关和秩
一、何为线性组合和相关性：
1、线性组合：设有向量组A:1α,2α,…,m α，对于任何一组实数:1κ,2κ,…,m κ,表达式11κα+22κα+…+m m κα,称向量组A 的一个线性组合；同时，对于向量β，如果存在一组数1κ,2κ,…,m κ，使得β=11κα+22κα+…+m m κα，则称向量β能由向量组A 线性表示。
2、相关性：对于11κα+22κα+…+m m κα=0（i κ不全为零，i =1,2，…,m ）,则称向量组A 线性相关；否则称向量组A 线性无关。
例1：判断向量组1α=310⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2α=160⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3α=475⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭的线性相关性。
解：令11κα+22κα+33κα=0，即123314167005κκκ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
=0
由于A =314
167005
=85≠0 所以由克拉默法则知，该方程组只有零解，
即1κ= 2κ= 3κ=0，所以1α,2α,3α线性无关。
3、 定理1 向量组A:1α,2α,…,m α(m ≥2)线性±相关的充分必要条件是向量组
A 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。
4、 定理2 向量组1α,2α,…,m α线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m 。
例2： 设
1α=111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2α=201-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3α=012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，4α=122-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭，
试讨论向量组1α,2α,3α,4α及1α,2α,3α的线性相关性。
解: 设
(1α,2α,3α,4α)=120112011012021311220013----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
可见R(1α,2α,3α,4α)=3小于向量个数4，故向量1α,2α,3α,4α线性无关；同时可得R(1α,2α,3α)=3，等于向量个数，故向量组1α,2α,3α线性无关。
注意：上述例1亦可由这一定理求解，即例1矩阵的秩为3，等于向量的个数，，所以1α,2α,3α线性无关。
5、向量组之间的等价关系和线性表示：
引例：已知向量组
1α=242⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 2α=121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, 3α=354⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，4α=140⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，问可否由1α,2α,3α线性表示
4α？
解：设有1κ,2κ,3κ使11κα+22κα+33κα=4α,
可得方程组123213425214κκκ-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=140⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
容易得出此方程无解，因此4α不能由1α,2α,3α线性表示。
注意：线性方程组11κα+22κα+…+m m κα=β有解的充分必要条件是向量β可以由向量组1α,2α,…,m α线性表示。
因此，由线性方程组有解的充分必要条件，可得：
定理3： 向量β可以由向量组A:1α,2α,…,m α线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩等于矩阵B=(1α,2α,…,m α, β)的秩。
定义：若向量组A:1α,2α,…,m α中的每一个向量i α均可由向量组β：
1β,2β,…,l β线性表示，则称向量组A 可由向量组B 线性表示。
若向量组A 与向
量组B 可相互线性表示，则称向量组A 与向量组B 等价。
定理4： 向量组β：1β,2β,…,l β能由向量组1α,2α,…,m α线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩等于矩阵B=(1β,2β,…,l β)的秩,即R(A)=R(A,B)
推论：向量组β：1β,2β,…,l β与向量组1α,2α,…,m α等价的充分必要条件是: R(A)=R(B)=R(A,B)
例3： 设1α=1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,2α=3113⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1β=2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2β=1102⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,3β=3120⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,证明向量组1α,2α与向量组1β,2β,3β等价。
证： 记A=(1α,2α),B=(1β,2β,3β),根据上述定理4推论，只需证明R(A)=R(B)=R(A,B)
所以(A,B)=1
3213132131
10110211111102000001
31
2000000⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--
⎪ ⎪
→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
可见，R(A)=R(B)=R(A,B)=2. 6、结论：
（1）含有零向量的向量组一定是相关的；
（2）一个向量组中有线性相关的部分组，则该向量组线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。
二、向量组的秩:
1、定义： 设有向量组A ，如果在A 中能选出r 个向量1α,2α,…,r α ，满足(1) 向量组0A :1α,2α,…,r α线性无关；（2）向量组A 中任意r+1个向量(如果A 中有r+1个向量的话)都线性相关，则称向量组0A 是向量组的A 的一个极大无关向
量组（简称极大无关组）；极大无关组中向量的个数称为向量组的秩，记为A R 特别的，若向量组A 本身线性无关，则A 便是一个极大无关组；而只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.
极大无关组的特点：极大无关组是A 的部分值，且都是相互线性无关的，若在其中间加入任一剩余的向量便线性相关。
例4： 设1α=324⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,2α=617-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,3α=452⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,4α=375⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
,5
α100⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,求A 中一个极大无关组，并将余下向量用这个极大无关组线性表示。
解：A=（1α,2α,3α,4α,5α）=364312157047250-⎛⎫ ⎪-→ ⎪ ⎪--⎝⎭100337/15010116/1500106/5⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
所以R(1α,2α,3α)=R(1α,2α,3α,4α,5α)=3 所以1α,2α,3α为一个极大无关组，则
4α=31α+2α
5α=37/151α+16/152α+6/53α
三、结论：
（1）极大无关组不唯一(除A 本身无关)；
（2）极大无关组中向量个数都相同，并且等于R(A)； （3）极大无关组一定是等价的。