小波分析在故障诊断中的实际应用
小波神经网络技术在故障诊断中的应用
知机模型， 即神经网络的雏形， 其原理是在功 分析。这种方法在统计的能量理论上更为完 能上对人类大脑的机构模拟， 其中最有代表性 整， 并且和FFT 不同的是， 胜任各 它 种非平稳 的是 1974 年， Dua1 T . Werb s 发明的 Back o 信号的处理。如果在用这种方法之前， 已经 ProgaPation 算法(即BP 算法)1 3]。后经证实， 做好了大量的数据统计， 那小波包分析就可以 在神经科学领域内， 法是解释大脑皮层中 BP 为后面的神经网络提供有效的特征向t 。 某些神经元功能的有用工具。因为用该算法 (2)小波和神经网络的紧致型融合 构造出了自动识别， 预测货币兑换率等网络， 紧致型融合， 即用小波函数或尺度函数作 人们对神经网络兴趣和信心大涨， 新的神经网 为神经网络的激励函数 ， 形成神经元。就是 络不断涌现 ， 成了学术界的宠儿。 狭义上的小波神经网络。 2. 2 人工神经元 故障诊断就是要实现症状空间到故障空 人工神经元是人工神经网络的基本组成 间的映射， 为了方便， 用函数逼近来表示。实 单位， 其模型是生物神经元的抽象和模拟， 是 际三层的神经网络就可以逼近任何函数， 但后 一个多输入单输出的非线性阂值元件 ， 假定 来发现在过去应用的紧致型融合激励函数 一
g i 数的多层 感知器 并不是最好的逼 l xZ， x x ， …，n 表示某一神经元的n 个输入， Si mo d 函 wl」 表示第j 个神经元与第1个神经元的突触连 近， 激励函数具有局部性特征的径向基函数网 接强度， 值称为权值， 表示第1个神经 其 i A 元 络(RBF )有更好的效果。它克服 了 全局激励
现代工业对故障诊断技术的要求越来越 高， 需求决定技术的发展。故障诊断技术随 着计算机技术、现代测量技术和信号处理技 术的迅速发展， 不断的融合新的理论和方法， 已经从对零部件的诊断发展到对整台设备、 机组、甚至是整条生产线进行诊断 ， 近而使 整个企业真正实现全盘数字化、智能化成为 可能川 。 小波变换理论是进十年来影响最大的新 的信号处理方法， 其应用非常广泛， 基本上取 代了傅立叶变换。近年来， 小波分析在故障 诊断领域应用已经比较多了， 实践证明， 小波 分析是最先进的故障诊断工具之一， 尤其在振 动信号的监测和处理中的应用， 实现了信号处 理的时频域分析， 解决 r 多年来处理不善的非 平稳信号处理问题， 使信号处理技术登上了 新 的高度。 人工神经网络理论进入状态识别和信号处 理领域， 使智能诊断系统有了突破性的进展。 小波分析和人工神经网络的强强联合一 直是科技工作者的目 而实际 L这已经代表 标， 了信号处理技术和神经网络融合的主要发展
小波理论在滚动轴承故障诊断中的应用
ｈｔ： ｗｗ ｃＳ ．ｒ． ｔ ／ ｐ／ ｗ ． － ｏｇｃ －ａ ａ
汁 算 机 系 统 应 用
已广泛应 用于信 号及 图像处理 、 语音 处理、数值计算 、 模 式识别 、量子物理 、故障诊 断［等领域 ，被认为是 】 在工具和方法上 的重大突破 。 由基本 小波 或母小波 （ 通过伸缩 ａ和平移 ｂ产 ｆ ） 生一个 函数族称 ｛ （ ） ｆ 为小波 。有： ）
（） 原始信号 ａ （） 含噪信号 ｂ
率确定小波最大分解层数 。 ２ 对细节系数做相关分析 ，阈值选择可用 公式如 ）
下描述：
图 ｌ 信号时域 图
分别用上述两种方法对信 号进行消噪 处理 ，实验 结果分别见 图 ２ａ和 图 ２ｂ所示 。 （） （） 可 以看 出，用 小波 消噪对信 号 中的尖 峰和 突变部 分有着很好 的处理 ，而 Ｆ Ｔ滤波 消噪则不能对 有用信 Ｆ
留。因此分解层数 的选 择要使信噪比提 高的同时也要
考虑到对低频 噪声的抑制。小波降噪分 析实质 上是抑
制信号 中的无用成 份，恢复有用成份 的过程 ，因此小
波分解系数要 能够 反映有用 信号中的最小频 率成分 ， 将信号分解 到各个 独立的频带上，高层 的细节 系数反
映 了信号 的低频部 分，从而提 出由有用信 号的最小频
３ 利用处理后的细节信号和最后一层 的逼近 信号 ）
进行重构 ，得到降噪后的信号 。 ４ 二阶循环统 计量分析 ． ２
系数。通常，把 （ ≠ 的频率 称为信号 （ 的循 ｆ ０ ） ｆ ）
环频率 。循环 自相关函数与传统相关 函数 的区别是 ， 引入因子 ｅ ，使得 相关域分 析拓展到 循环相 关域 － 。 分析 中，这个加权因子 ｅ 被称为循环权重因子。
小波变换在电力系统故障检测中的实际应用案例
小波变换在电力系统故障检测中的实际应用案例电力系统是现代社会中不可或缺的重要基础设施，而电力系统故障的发生常常给人们的生活和工作带来很大的不便。
因此，对电力系统的故障检测和诊断具有重要的意义。
小波变换作为一种强大的信号处理工具，被广泛应用于电力系统故障检测中，取得了令人瞩目的成果。
在电力系统中，故障信号往往是由于电力设备的损坏或异常引起的。
这些故障信号具有复杂的波形特征，包含了丰富的频率和时间信息。
传统的傅里叶变换在处理这些信号时存在一些局限性，无法有效地提取出故障信号中的细节信息。
而小波变换通过将信号分解成不同频率的子信号，能够更好地反映信号的时频特性，从而实现对故障信号的准确检测和诊断。
以变压器故障检测为例，变压器是电力系统中最重要的设备之一，其故障会对整个系统的运行造成严重影响。
传统的故障检测方法主要是基于变压器的运行参数进行分析，但这种方法往往无法及时发现变压器内部的隐患。
而小波变换结合故障特征提取技术，可以对变压器的电流和电压信号进行分析，从而实现对变压器内部故障的早期检测。
在实际应用中，可以将小波变换应用于变压器的故障诊断中。
首先，将变压器的电流和电压信号进行小波分解，得到不同频率的子信号。
然后，通过对子信号进行特征提取，可以得到反映变压器健康状态的特征参数。
最后，通过对特征参数进行分析和判断，可以准确地检测出变压器是否存在故障，并确定故障的类型和位置。
例如，当变压器内部存在绕组短路故障时，小波变换可以通过对电流信号进行分析，提取出与短路故障相关的高频成分。
而当变压器存在绝缘老化故障时，小波变换可以通过对电压信号进行分析，提取出与绝缘老化故障相关的低频成分。
通过对这些特征参数的分析，可以准确地判断变压器的健康状态，及时采取相应的维修措施，避免故障的进一步扩大。
除了变压器故障检测，小波变换还可以应用于其他电力设备的故障检测中，如发电机、开关设备等。
通过对不同设备的电流和电压信号进行小波分析，可以提取出与故障相关的特征信息，实现对故障的准确检测和诊断。
小波变换在电力系统负荷状态监视和故障诊断中的应用
１ １连续 小波 变换 的定义 ．
Ｉ ， Ｉ ） ａ ≤
变为：
（） ４
小波 变换 可 以将信 号分解 成位 于不 同频 带和 时 段上 的各 个 成分 ， 而对 信 号进行 分 析 。连续 小波 从 变换公 式如下 ：
采用 离散 二进制 尺度 ａ＝２ （ ∈ Ｊ 变换 ） ，上 式
排 除某 些 因素如天气 条件 、历年影 响 ，非正 常值 以 及 已知 的外部 影响 以后 ，则产 生 了 Ｓ Ｒ Ｍ Ａ Ｉ Ａ参数模
中图 分 类 号 ：Ｔ ７ ４ 文 献 标 识 码 ：Ｂ 文 章 编 号 ： １０ — １５ ２ １） ０ ０ ４ — ３ Ｍ １ ０ ７ ３ ７ （０ ０ １— ０ ７ ０
Ａｐｐ ｉａ ｉ ｎ ｆ ａ ｅｅ ａ ｆ ｒ ｎ Ｌｏ ｄ Ｓ ａ ｅＭ ｏ ｔ ｒｎｇａ ｄ ｌｃ ｔｏ ｓｏ ｖ ｌｔＴｒ ｎｓｏ ｍ ｉ ａ ｔ ｔ ｎｉｏ ｉ ｎ Ｗ
后 的短 时变化趋 势 是一直 以来存 在 的难 题 。随着 电
力市 场 改革 的进 行 ，对全 天 电价进 行分 时 段报 价 ，
短时负荷 预测在 这方面 的要求将 不 断提 高 。 小波 分析 是一 种 时域 一 域 分析 方法 ，它在 时 频
域和频域 上 同时具有 良好 的局部化 性质 ，并 且能根
且 哪些 信息 是有 用 的信息 ； （）是否 存在有 一些 不 ２ 同种类 的噪声 ，是否能对它 们进行 区别 。
在常数Ａ 。 次多项式Ｐ （） 、ｈ及力 ，使得当０ ｌ ＜ｌ ＜ 时，有 Ｉ（０ ） （） ≤ ｌ ｆ ｘ＋ 一 Ｉ Ｉ 成立，则称ｆ ｘ （） 。
阐述 了 小波 变 换 的基 本 原 理 及 其 特 性 ，通 过 Ｍ Ｔ Ａ 软件具 体说 明如何利 用小波 变换分 析 电力 负 Ａ ＬＢ
基于LabVIEW的小波分析在船舶柴油机故障诊断中的应用
Ａｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ａ ｅ ｅ ａ ｙ ｉ ｎ Ｆａ ｔＤｉ ｇ ｏ ｉ ｐｌｃ ｔｏ ｆＷ ｖ ｌ ｔＡｎ ｌ ｓｓｉ ｕｌ ａ ｎ ｓｓ
ｏ ａ ｉ ｅ Ｄｉ ｓ ｌ ｆＭ ｒｎ ｅ ｅ ｇ ｎ ｓ ｄ ｏ ｂ ＥＷ Ｅｎ ｉ ｅ Ｂａ ｅ ｎ Ｌａ ＶＩ
ｔ ｉｉ ａ ｍ ｔｒ ｗ ｒ ｉｋｄｕ ｏｄａ ｏｅｔｅｅ￣ｎ ａｌ． ｈ ｅｕｔ ａ ｃｏｄｗｔ ｅａｔａ ｃｒ ｅ ｓｃ ｐｒ ｅｅｓ ｅｅｐｃｅ ｐｔ ｉｇ ｓ ｈ ｎ ｅｆｕｔ Ｔ ｅｒｓｌ ｃｎａｃｒ ｉ ｔ ｃｕｌ ｉ ｒ ｔｓ ａ ｎ ｓ ｈｈ —
ｃ ｍｓ ｎ ｅ Ｓ ｈ ｓｍｅ ｏ ｓｖ ａ ｌ ｎ ａ ｉ ． ｕ ｔ ｃ ， Ｏｔｉ ａ ｔ ｄ ｉ ｉｂ ｅ ａ ｄ ｖ ｄ ｈ ｌ Ｋｅ ｒ ｓ ａ ＶＩ Ｗ ；ｗａ ｅ ｅ ｎ ｙ ｉ ；ｄ ｅ ｅ ｎ ｉ ｅ ａ ｌ ｄ ａ ｏ ｉ ；ｓｇ ａ ｒ ｃ ｓｉ ｇ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｌ ｂ Ｅ ｖ ｌ ｔ ａ ｓｓ ｉｓ ｌ ｇ ｎ ；ｆｕ ｔ ｉ ｇ ｓｓ ｉ ｎ ｐ ｏ ｅ ｓ ａｌ ｅ ｎ ｌ ｎ
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第２然科 学版） Ｊｕ ａ ｏ ｈ ａｇＯ ｅｎＵ ｉｅｓｙＮ ｔｒ ｃｅｃ） ｏｒｌ ｆ ￣ｉ ｃａ ｎｖｒｉ （ａ ａ Ｓｉ ｅ ｎ Ｚ ｎ ｔ ｕｌ ｎ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ２ １ ２ ．
波方式 ， 在实际应用中可 以调用上述函数来实现各种信号处理功能。经过处理后 的信号可进行时域分析 、 频域分析 ， 小波变换等相关的频谱分析 。
１１ ． 时域 分 析 法
直接对振动时域信号的时间历程进行分析 和评估是状态监测和故障诊断最简单 、 最直接的方法。 在时
柴油机是船舶动力的主要来源 ， 在船舶设备中占有重要 的地位 ， 其运行状态直接关系到船舶的运行安 全。 ， 因此 将现代信号处理方法应用于柴油机 的故障诊断 中， 并研究在不解体的情况下 ， 有效地检测诊断故 障具有十分重要的意义。目 国内柴油机监测和诊断系统大多由硬件组成和实现 ， 前 系统不易更新 。 随着虚 拟仪器技术在故障诊断领域 的日益广泛应用 ， 使用软件故障诊断仪器来完成信号 的处理与分析， 可满足故 障诊断要求的同时较好地解决硬件设备带来的不足 ， 因此越来越受到重视和欢迎。本文利用 Ｌｂ Ｉ Ｗ 软 ａＶＥ 件编程并结合小波分析理论对柴油机振动信号进行分析处理 和故障诊断。
一种改进的小波网络及其在故障诊断中的应用
小波 网络 训 练 算 法 逐 步 更 新 神 经 元 问 的连 接 权值 及小 波 的伸缩 因子 和平移 因子 ：
对 于现 在 复杂机 器设 备 ， 兆 与故 障在很 多情 征 况 下都 不是 简单 的一 一 对应关 系 ， 而是 呈 现 出交 错 复杂 的情况 。一种 故 障可 能对应 多 种 征 兆 ， 种征 一 兆 也可 能对 应 多种 故 障 。在 一个 多 征 兆故 障里 ， 有
取 信 息熵 函数 作为 代价 函数 ：
图 １ 小 波 网 络 的 结 构
Ｅ 一一 ∑ ∑ ｌ １ ） １ ） （一 ｌ２ ｎ ＋（一 ｌ １ ）（） （ ｎ
式 中 ： 为输 出层 第 咒个 节 点 第 Ｐ 次 训 练 时 的 期
望输 出 ， 为 输 出层 第 个节 点 第 Ｐ 次 训 练 时 的 实 际输 出 。沿 用 图 ２的符 号 并 取 厂 ） ｓ ｍｏｄ （・ 为 ｉ ｉ ｇ
２ ３ 改进 结构Ｉ １ ｙ１ （ 一 ）（ ３
－
Ｙ
一
一
一
一
ｏ 一
一
一
一 ＼ Ｐ ｐ ｙ ｃ ｙ ） ｙ ］ ． ．－ Ｃ ｚ 一 ． －ｙ ， １ １
一
，
（ １Ｙ） 一－￣
Ｎ
＝＝＝
ｃ
ｄ ｅ￣ ｎ ｔ
这里 采用 成批 训练 算 法 ， 一 批 样本 所 产 生 的 将 修正 值 累计后 统 一 进 行 一 次 处 理 。在 权 值 和 阈值
爰一Ｎ ｃ
刘
超 ： 种 改 进 的小 波 网 络及 其 在 故 障 诊 断 中的 应用 一
总第 ２３ ０ 期
眺一
因子 与平移 因子 ， 于信 号 （ 函数 ） ￡ ， 对 或 厂（） 其局 部 结 构 的分辨 可以通 过调 节 参数 ａ ６ 即调 节 小波 基 、， 窗 口的大小 和位置来 实现 。 小 波神经 网络 是 近 年 来 在小 波 分 析 研究 获 得 突破 的基 础上 提出 的一 种前 向 网络 ， 有小 波变 换 具
电力系统故障诊断中的小波及多辨分析理论的应用
第０ｌ 第６月 期 ２３ 卷 ｏ ３ ０ ８年
四 川 电 力 技 术
Ｓ ｃ ｕ ｎ Ｅ ｅ ｔ ｃ Ｐ ｗｅ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｉｈ ａ ｌｃ ｒ ｏ ｒＴ ｃ ｎ ｌｇ ｉ
Ｖｏ ． １ Ｎ ３ １ ３ ， ｏ．
Ｊ ｎ． ２ ０ ｕ ．０８
记 ， ￡ ＝ｌ （ ６ ） Ｉ （ ａ一 ）
（ １ ）
（） ２
在 实际 的处 理 过 程 中 ， 由于采 样 误 差 、 界 随机 外
干扰 、 系统 内部 不稳 定 等 因素 ， 得 采 样 的 暂 态信 号 使 中经常夹 杂着 噪声 ， 随机 噪声在 信号 中也 体 现为奇 而 异点 ， 噪声 背 景 较强 时 ， 会 给信 号 奇 异点 的检 测 当 将 带来误 差 。如何 从 随 机 噪声 中提 取 暂 态 信 息或 者 说
检 测 和 信 号 消噪 过 程 中的 应 用 ． Ｆｕ ｅ 变换 结 果 和 小 波 变 换 结 果 作 比 较 ， 出 小 波 变换 有 着 Ｆｕｉ 变 换 无 可 比 拟 将 ｏｒ ｒ ｉ 得 ｏｒ ｒ ｅ
的优 越 性 。 并结 合 这 两 个 应 用 ， 电 力 系统 中 的 故 障 检 测 进 行 了模 拟 仿 真 ， 真 结 果表 明 小 波 变 换 能 够 很 好 地 消 除 对 仿 电 力 系统 故 障信 号噪 声 ， 检 测 出故 障 点 。 并 关 键 词 ： 力 系 统 ； 分 辨 分 析 理 论 ； 号 消 噪 ； 障诊 断 电 多 信 故
小波 满足 如下 标准 化条 件 ：
¨ （ ） ｔ Ｉ ＝１ 』ｔ （ ） ｔ Ｉ ＝０ Ｉ
电力系统故 障诊 断 中的小 波及 多辨分析理论 的应用
冯 雪 张 玉 文 周 慧 莹 。 。
小波分析在机械故障诊断中的应斥
以一个三层 的分解说 明小波包 分析 的原理 ，其小波
包分解 树如图 ２所示 。
厂 日
图 ２ 三层小波包分析树结构
Ａ表 示低 频 ．Ｄ表示高 频 ，数字 表示 分解 层数
信号 ｓ可 以被表 示 成 ｓ＝Ａ Ａ Ａ ＋Ｄ Ａ Ａ ＋Ａ Ａ Ｄ ＋
ＤＤＡ３＋ ＡＤＡ３＋ ＤＡＤ３＋ ＡＤＤ３＋ ＤＤＤ３
Ｐ（ （ ）＝ Ｉ － （） ｔ １ １ 厂 ｔｄ ｅ
（） 的傅里叶逆变换定义为 ：
．
信号分析技术相 比，小波分析还能在没 有明显损失 的情
况下 ，对信号进行消噪和压缩 ，是经典傅 立叶分 析的重
大突破 。
－￡＝１ （） 厂 ） 幽 （ Ｉ
小波分析源于信号分析 中函数 的伸缩 和平移。它是
小波包 的主要优点是小波包可 以对信 号的高频 部分
做更加细致 的刻画 ，对信号 的分析 能力更强 ，当然其代
价是信号 分析 的计算量将显著上升
测点 １
测点 ２
图 ３ 风机传动示意图
四、傅 里 叶分析 与小 波 分析 在故 障 诊 断 中的应用
目前 已有的故障诊 断技 术 ，大都采用傅 里叶变换 进 行信号分析 ，但是傅里叶分 析存在时域和频域 局部 化的 矛盾 ，缺乏空间局部性 ，而且傅 里叶分析 是以信号 平稳
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自 与 测ＡｏｎｌＭｉｉ 控 监 ｕｃｔ＆ｏｏｇ ｔ ｎｒ ｏｒ ｔｎ ｏ
运行ｓ直甩１ ｌ ＮＩ ：
小 波 分 析 在 机 械 故 障 诊 断 中 的应 用
河南理工大学 （ 河南 ４４０ ） 华 ５ ０ ３ 伟
【 要 】 分析傅里叶变换及小波变换在机械故障诊 断中的应用及局限性，并用实例说 明用傅里叶变 摘
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测 控 系统 课 程 设 计题目:基于小波分析的故障诊断院 （系） 机电及自动化学院专 业 测控技术与仪器1班学 号 0911211014姓 名 李志文级 别 2 0 0 9指导老师 王启志2012年6月Huaqiao university摘要基于小波变换的故障诊断是当前比较热门的一项研究之一，如何快速、准确地提取故障信号，如何准确定位故障的发生点及进行故障的预测是故障分析与检测的关键性问题。
本文就此问题展开如下研究。
本文详细分析了小波变换的基本理论、小波变换用于故障检测的基本原理。
介绍了几种常用的小波及其应用特点。
通过实例分析比较不同小波类型的应用特点，通过对他们的优缺点的了解，能够在不同的环境下选取合适的小波类型进行故障检测，同时针对不同的着重点选取恰当的小波。
关键词：小波分析，故障检测，小波基选取，奇异性ABSTRACTFault diagnosis based on wavelet transform is one of the popular a study, how quickly and accurately extract the fault signal, and how to accurately locate the fault occurred and the failure of the forecasts are the key issues of fault analysis and detection. On this issue, the following research.In this paper a detailed analysis of the basic theory of wavelet transform, the basic principles of wavelet transform for fault detection. Several commonly used wavelet and its application characteristics. By case analysis comparing different wavelet characteristics, by understanding their strengths and weaknesses in different environments to select the appropriate wavelet for fault detection, and select the appropriate wavelet for a different focus.KEY WORDS:wavelet analysis，defect detection，wavelet basis selection, singularity目录一、小波分析概述 (1)二、小波分析的兴起及其在故障诊断的应用 (1)三、几种常用小波介绍 (3)四、小波分析在故障诊断中的应用实例 (7)4.1 利用小波分析检测传感器故障 (7)4.2 利用小波分析检测信号突变点 (10)4.3 小波类型的选择对检测突变信号的影响 (11)4.4 Daubechies5小波用于检测含有突变点的信号 (18)五、心得体会 (20)六、参考文献 (21)一、小波分析概述小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。
小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。
经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。
二、小波分析的兴起及其在故障诊断的应用小波分析是近年来国际上掀起的一个前沿领域，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质。
可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。
因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶:在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。
小波分析最初由法国理论物理学家Grossman和法国数学家Morlet共同提出的。
与傅里叶变换相比，它具有许多优良的特性。
小波变换能够通过多尺度分析提取信号的奇异点。
基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数a>0时，其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当a<0时，则随尺度的增大而减小。
噪声对应的Lipschitz指数远小于0，而信号边沿对应的Lipschitz指数大于或等于0因此，利用小波变换可以区分噪声和信号边沿，有效地检测出强噪声背景下的信号边沿(缓变或突变)。
离散正交小波变换和连续正交小波变换的时频特性相似，二者都能够描述信号的频谱随时间变化情况或信号在某时刻附近的频率分布。
目前利用小波变换进行故障诊断的方法有三种:（l）利用观测信号的奇异性进行故障诊断动态系统的故障通常会导致系统的观测信号发生变化，若能采取一定的措施消除系统状态变化以外的因素的影响，直接利用连续小波变换检测观测信号的奇异点就可以检测出系统故障。
（2）利用观测信号频率结构的变化进行故障诊断振动系统的故障通常会导致系统观测信号的频率发生变化。
若能采用一定的措施消除系统状态变化以外的因素对观测信号的影响，则利用离散正交小波变换分析观测信号的频率结构随时间的变化情况，就可以检测系统的故障。
（3）利用脉冲响应函数的小波变换进行故障诊断Eykhoff的连续系统脉冲响应辨识方法的基本思想是将系统脉冲响应函数的辨识转化为脉冲响应函数在一组正交函数基上的投影系数的辨识。
若将Eykhoff 方法中的正交函数基取为离散正交小波基，所得到的脉冲响应辨识方法除了保持原方法的有效性外，而且较基于传统正交函数基的Eykhoff方法，具有更强的跟踪参数变化的能力，辨识结果具有明确的频域物理意义。
系统脉冲响应函数在最大尺度下的小波变换系数描述了它在大尺度下的概貌情况，完全可以代表其整体特性。
而且通常这些小波变换系数中只有2-3个元素具有较大的模，其余元素的模都非常小。
系统故障导致的系统脉冲响应函数的变化也必然反映在这少数几个小波变换系数的变化中。
以系统的状态为参照，根据系统待检状态下辨识得到的这几个元素或其平均值随时间的变化情况就可以判断有无故障。
由于这些元素或其平均值和系统的状态相对应，还可以利用它们在突变后的取值并结合系统的先验知识进行故障分离。
基于小波变换的故障诊断方法无需对象的数学模型，且对于输入信号的要求较低，计算量不大，灵敏度高，克服噪声能力强，是一种很有前途的故障诊断方法。
三、几种常用小波函数介绍与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数y(x)具有多样性。
但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。
目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。
根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：(1) y、Y、f和F的支撑长度。
即当时间或频率趋向无穷大时，y、Y、f和F 从一个有限值收敛到0的速度。
(2) 对称性。
它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。
(3) y和f(如果存在的情况下)的消失矩阶数。
它对于压缩是非常有用的。
(4)正则性。
它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。
但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。
我们可以通过waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数y和尺度函数f可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。
在本节中，我们主要介绍一下MATLAB中常用到的小波函数。
3.1Haar小波Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。
Haar函数与下面将要介绍的db小波函数是一样的。
Haar函数的定义为101211210H x x ψ≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 （3-1）尺度函数为 ()1010x x φ≤≤⎧=⎨⎩其他 （3-2） 在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(¢haar¢)获得Haar 函数的一些主要性质，如图2.1所示。
图3.1Harr 小波函数 3.2 Daubechies(dbN)小波系Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1(即haar 小波)外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。
db N 函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。
假设()110N N k k k k P y C y --+==∑，其中1N k k C -+，为二项式的系数，则()2220cos sin 22Nm P ωωω⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3-3） 其中， ()2100N jk k k m h e ωω--==∑ （3-4）小波函数y 和尺度函数f 的有效支撑长度为2N －1，小波函数y 的消失矩阶数为N 。
大多数db N 不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。
正则性随着序号N 的增加而增加。
函数具有正交性。
在这里，我们画出db2和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图3.2和3.3所示。