高中数学湘教版必修1：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.2 第1课时
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接] br . 1.ar· as＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ ar· 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2
个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得
到的细胞个数 y 与 x 之间构成的函数关系为 y＝2x ，
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
D.a＜b＜1＜d＜c
11
解析 方法一 在y轴的右侧，指数函数的
图象由下到上，底数依次增大.
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
∴b＜a＜1＜d＜c.
方法二
作直线x ＝ 1，与四个图象分别交于 A、 B 、C、 D四点，
由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
例1 给出下列函数：
①y＝2· 3x；②y＝3x＋1；③y＝ 3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x. 其中，指数函数的个数是( A.0 B.1 C.2
第1课时
) D.4
7
2.1.2 指数函数的图象和性质
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是 x＋1，不是自变量 x，故②不是指数 函数； ③中， 3x 的系数是 1 ，幂的指数是自变量 x ，且只有 3x 一项， 故③是指数函数；
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
1 x 1 －x 3.如果底数 a∈(0,1)， 那么， 它的倒数 a ＞1， y＝a ＝ ， a 1 x 它的图象和 y＝ 的图象关于 y轴 对称，可以类似地得到函 a 数y＝ax(0＜a＜1)的性质： (1)图象总在 x轴 上方，且图象在y轴上的射影是 y轴正半轴 (不
y＝|ax－1|的图象(如图(1)).
由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解. 当0＜a＜1时，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2)).
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
16
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共 1 点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜ . 2 1 答案 (0， ) 2
点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.
答案 B
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
12
规律方法
1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝
ax(a ＞0，a ≠1) 的图象与直线 x＝ 1相交于点 (1，a)，由图象
可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.
包括原点).由此，函数的值域是R＋；
(2)图象恒过点 (0,1) ，用式子表示就是 a0＝1 ；
(3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递 减 函数，由此有：当x＞0
时，有0＜ax＜a0＝1；当x＜0时，有ax＞a0＝1.
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
6
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 指数函数的概念
4 故 a 的取值范围为{a|a＜ ，且 a≠1}. 3
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
10
要点二 指数函数的图象 例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，
③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，
b，c，d与1的大小关系是( A.a＜b＜1＜c＜d ) B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
答案 B
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
8
规律方法
1. 指数函数的解析式必须具有三个特征： (1) 底
数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数； (2) 指数位置是自变量 x ； (3)ax的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
度得到的，
故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，
下方部分对折到x轴的上方得到的.
答案 B
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
15
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共
点，则a的取值范围是________.
解析 当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和
第2章——
2.1 指数函数 2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时 指数函数的图象和性质
[学习目标]
1.理解指数函数的概念和意义.
2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.
3.初步掌握指数函数的有关性质.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点 (0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
13
跟踪演练2 (1)函数y＝|2x－2|的图象是(
)
2.1.2 指数函数的图象和性质
第1课时
14
解析
y ＝ 2x － 2 的图象是由 y ＝ 2x 的图象向下平移 2 个单位长
2.1.2 指数函数的图象和性质
第1课时
9
跟踪演练 1
若函数 y ＝ (4 － 3a)x 是指数函数，则实数 a 的取 4 {a|a＜ ，且 a≠1} 值范围为________________. 3 解析 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
4－3a＞0， 4 解得 a＜ 且 a≠1. 3 4 － 3 a ≠ 1 ，
x∈{0,1,2，…}.
2.1.2 指数函数的图象和性质 第1课时
4
[预习导引]
1.函数y＝ax叫作 指数函数，其中a是不等于1的 正实数 ，函数的 定义域是 R . 2.从图象可以“读”出的指数函数y＝ax(a＞1)的性质有： (1)图象总在 x 轴上方，且图象在y轴上的射影是 y轴正半轴 (不包 括原点).由此，函数的值域是 R＋ ； (2)图象恒过点 (0,1) ，用式子表示就是 a0＝1 ； (3)函数是区间(－∞，＋∞)上的递 增 函数，由此有：当x＞0时， 有ax＞a0＝1；当x＜0时，有0＜ax＜a0＝1.
高中数学本章归纳整合(第二章)课件湘教版必修1
对数函数 (1)定义域：R＋
(2)值域：R (3)过点(1，0)
(4)a>1时为增函数， 0<a<1时为减函数
(4)a>1时为增函数， 0<a<1时为减函数
如果两个函数y＝f(x)和x＝g(x)描述的是同一个对应关系， 则称这两个函数互为反函数．这时两者之间满足关系g(f(x)) ＝x和f(g(y))＝y，并且它们的图象关于直线y＝x成轴对 称．函数f叫作g的反函数，g也叫作f的反函数．f的定义域 是g的值域，f的值域是g的定义域，两者同为递增或递减．
一可以进行换算，二可以通过对数表求值．
(4)指数和对数的运算法则有：
am·an＝am＋n，
loga M＋loga N＝loga(MN)，
(am)n＝a(mn), loga Mn＝nloga M，
(ab)n＝an·bn. loga M－loga N＝logaMN.
(a，b∈R＋，m，n∈R)(M，N∈R＋，a>0，a≠1)．
题型三 数形结合思想的应用
【例3】 已知x1是方程x＋lg x＝3的一个根，x2是方程x＋10x
＝3的一个根，那么x1＋x2的值是
( )．
A．6
B．3
C．2
D．1
解析 将已知的两个方程变形得lg x
＝3－x，10x＝3－x.
令f(x)＝lg x，g(x)＝10x，h(x)＝3－x.
如图所示，记g(x)与h(x)的交点为
由上面反函数的定义，我们知道，指数函数y＝ax和同底 数的对数函数y＝logax互为反函数．这给研究对数函数的 图象和性质带来了方便． (3)幂函数y＝xn在第一象限内的图象由幂指数的不同取值 可分为三种走势． 由下图，当n>0时幂函数的主要性质是：
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1
如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.
…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…
= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：
最新-2021数学湘教版必修1课件：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.3.12.3.2 精品
D.2，12，－2，－12
解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性.
注意当n＞0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n＜0时
看|n|的大小.
根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，
n越大，y＝xn递增速度越快， 故 c1 的 n＝2，c2 的 n＝12，当 n＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭， 所以曲线 c3 的 n＝－12，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B. 答案 B
∴α＝21，∴f(x)＝
x
1 2
1
，∴f(100)＝1002
＝10.
要点二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数
y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，
±12 四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－21，－2
C.－21，－2,2，12
_偶__
上递增
在(－∞，0)
_{_x|_x_≠__0_}_ {y|y≠0} 上__递__减__ _奇__ 在(0，＋∞)
上_递__减__
[预习导引]
1.幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非0实数时，函数y＝xα叫作(α次
的) 幂函数 .
2.幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2
y＝x3
规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同 而底数相同，则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相 同，是否可以引入中间量.
跟踪演练3 比较下列各组数的大小： (1)230.5 与350.5； 解 ∵y＝x0.5 在[0，＋∞)上是增函数且23＞35， ∴230.5＞350.5. (2)－3.143与－π3；
高中数学第2章指数函数、对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修1
2.2对数函数问题探究问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？探究:《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数. 对数换底公式:log b N=bN a a log log (a>0且a ≠1,b>0且b ≠1,N>0). 推论:log a b=ab log 1,log a m b n =m n log a b. 更特别地有log a a n =n.问题2对数函数的运算性质有几条？探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,则有(1)log a (M ·N)=log a M+log a N;(2)log a (N M )=log a M-log a N; (3)log a M n =nlog a M(n ∈R ).问题3对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函数的图象再作出其关于直线y=x 的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)的性质.探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a 的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+∞);(2)值域都为R;(3)图象恒过点(1,0).与a 的取值有关的两个特性:(1)a>1时,y=log a x 在(0,+∞)上是增函数;0<a<1时,y=log a x 在(0,+∞)上是减函数.(2)a>1:⎩⎨⎧<<<>>;0,10,0,1y x y x 时时0<a<1: ⎩⎨⎧><<<>.0,10,0,1y x y x 时时 问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:(1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.典题精讲例1:比较下列各组中两个值的大小.(1)log 31.9,log 32; (2)log 0.90.1,log 0.92;(3)log 35,log 53; (4)log 23,log 0.32;(5)log a π,log a 3.141.思路分析:比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对数函数图象来比较大小;若底数与1的大小关系不确定,要分情况讨论.解:(1)因为y=log 3x 在(0,+∞)上是增函数,所以log 31.9<log 32.(2)因为y=log 0.9x 在(0,+∞)上是减函数,所以log 0.90.1>log 0.92.(3)因为log 35>log 33=1=log 55>log 53,所以log 35>log 53.(4)因为log 23>log 22=1,log 0.32<0,所以log 23>log 0.32.(5)当a>1时,log a π>log a 3.141;当0<a<1时,log a π<log a 3.141.例2:已知a=lg(1+71),b=lg(1+491),试用a 、b 的式子表示lg1.4. 思路分析:求以a 、b 表示的lg1.4的式子,实际上是寻找lg 78、lg 4950和lg1.4之间的关系,所 以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数),便于寻找关系.解:a=lg(1+71)=lg 78=3lg2-lg7①.b=lg(1+491)=lg 4950=lg 2100-lg72=2-lg2-2lg7②. 由①②得lg2=71 (2a-b+2),lg7=71 (-a-3b+6), ∴lg1.4=lg 1014=lg2+lg7-1=71 (a-4b+1). 例3:已知函数y=lg(12+x -x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.思路分析:这是一个常用对数,只要考虑真数大于0即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内的式子大于0时自变量的取值.解:由题意知12+x -x>0,解得x ∈R ,即定义域为R;又f(-x)=lg[1)(2+-x -(-x)]=lg(12+x +x)=lg x x -+112=lg(12+x -x)-1=-lg(12+x -x)=-f(x).∴y=lg(12+x -x)是奇函数.∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,∴我们只需研究R +上的单调性.任取x 1、x 2∈R +且x 1<x 2, 则121+x <122+x ⇒121+x +x 1<122+x +x 2⇒ 12111x x ++ >22211x x ++, 即有121+x -x 1>122+x -x 2>0.∴lg(121+x -x 1)>lg(122+x -x 2),即f(x 1)>f(x 2)成立.又f(x)是定义在R 上的奇函数,故f(x)在R -上也为减函数.例4:(1)函数y=lg 11-x 的图象大致是( )图2-2-1(2)作出函数y=|log 4x|-1的图象.思路解析:(1)本题通法有两种:①图象是由点构成的,点点构成函数的图象,所以可取特殊点(2,0),(1011,1).②利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1,+∞),在定义域上函数为减函数.(2)y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到:将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去,得到y=|log 4x|的图象,再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log 4x|-1的图象.答案:(1)A(2)如图2-2-2所示.图2-2-2例5:(1)已知函数y=log 3(x 2-4mx+4m 2+m+11-m )的定义域为R ,求实数m 的取值范围; (2)已知函数y=log a ［x 2+(k+1)x-k+41］(a>0,且a ≠1)的值域为R ,求实数k 的取值范围. 思路分析:题(1)中,对任意实数x,x 2-4mx+4m 2+m+11-m >0恒成立;题(2)中,x 2+(k+1)x-k+41取尽一切正实数.解:(1)∵x 2-4mx+4m 2+m+11-m >0对一切实数x 恒成立,∴Δ=16m 2-4(4m 2+m+11-m )=-4(m+11-m )<0. ∴112-+-m m m >0.又∵m 2-m+1>0,∴m-1>0.∴m>1.(2)∵y ∈R ,∴x 2+(k+1)x-k+41可取尽一切正实数.∴Δ=(k+1)2-4(-k+41)≥0.∴k 2+6k ≥0.∴k ≥0或k ≤-6.。
版高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.2.3第2
要点三 对数函数的综合应用 x＋1 例 3 已知函数 f(x)＝loga (a＞0 且 a≠1)， x－1 (1)求f(x)的定义域； 解 要使此函数有意义，
x＋1＞0， x＋1＜0， 则有 或 x－1＞0 x－1＜0.
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
图象
定义域 值域 性质 过定点
(0，＋∞) ___________ ____ R (1,0) ，即当x＝1时，y＝__ 0 ______ 在(0，＋∞)上是 增函数 _________ 在(0，＋∞)上是 减函数 _________ 非奇非偶函数
单调性
奇偶性
[预习导引] 形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝logaf(x)的定义域须满足
f(x)＞0
.
(2)当a＞1时，函数y＝logaf(x)与y＝f(x)具有 相同 的单调性； 当0＜a＜1时，函数y＝logaf(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反 .
要点一 对数值的大小比较
例1 比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2； 解 因为函数y＝ln x是增函数，且0.3＜2，
例2 求函数y＝log 1 (1－x2)的单调增区间，并求函数的最
小值.
2
2
解 要使 y＝log 1 (1－x2)有意义，则 1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1， 因此函数的定义域为(－1,1).令t＝1－x2，x∈(－1,1).
当 x∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y＝ log 1 t 减小，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
高中数学第2章指数函数对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修1
高中数学第2章指数函数对数函数和幂函数2.2对数函数命题与探究素材湘教版必修12.2对数函数问题探索问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？询问：考试大纲要求你知道如何使用底部交换公式将一般对数转换为指定的基本对数的对数底部公式：logbn=logan(a>0且a≠1,b>0且b≠1,n>0).Logab推理：Logab=n1mn，logab=logab。
mlogbaN更特别地有logaa=n.问题2：对数函数的运算性质是什么？探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:如果a>0且a≠1,m>0,n>0,则有(1)loga(mn)=logam+logan;(2)loga(Nm)=logam-logan;n(3)logam=nlogam(n∈r).问题3关于对数函数的图像和性质的研究。
教材是根据互逆函数的图像特征，从指数函数图像中得到关于直线y=x的图像，即得到对数函数图像，并在数形结合的数学思想指导下，推导出对数函数的性质。
请总结一下对数函数y=logax（a>0和a）的性质≠ 1)探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+∞);(2)值域都为r;(3)图象恒过点(1,0).与a的取值有关的两个特性:(1)a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;0? 十、1点钟，是吗？0，数字（2）a>1:？00?x?1时,y?0;??x?1时,y?0,??0?x?1时,y?0.问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？查询：比较两个数（公式）的大小主要是为了找到合适的函数，将要比较的两个数作为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较两个数的大小，一般的方法有：（1）直接法：直接用函数的单调性作答；(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;（3）商业定律：如果两个数字相同，则将这两个数字视为商业变形，并确定它们是否大于、等于或小于1；（4）转换方法：将要比较的两个数字正确转换为两个新数字大小的比较；（5）介质方法：选择合适的“介质”数量，将大小与要比较的两个数字进行比较，从而间接获得两个数字的大小典题精讲示例1：比较以下组中的两个值(1)log31.9,log32;(2)log0.90.1,log0.92;一(3)log35,log53;(4)log23,log0.32;(5)logaπ,loga3.141.思路分析:比较两对值的大小：对数函数的单调性可用于相同的基，如（1）（2）；如果基数和真数不同，可以借助常数（常用的-1,0,1）间接比较大小，例如（3）（4）；如果真数相同而基数不同，则可以借助对数函数图像来比较大小；如果基数和1之间的关系不确定，则应根据情况解决方案进行讨论：（1）因为y=log3x是（0，+∞), log319log0。
高中数学第2章指数函数、对数函数和幂函数2.1指数函数命题与探究素材湘教版必修1
2.1指数函数问题探究问题1指数函数的走势是由什么来决定的？探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结. 应该明确是底数来决定指数函数的走势:(1)当a>1时,函数图象在第一象限的值随a 值的增大而增大,图象越靠近y 轴.如图2-1-1所示.(2)当0<a<1时,函数图象在第二象限的值随a 值的增大而减小,图象越靠近y 轴.如图2-1-2所示.图2-1-1 图2-1-2问题2对于指数函数y=a x(a>0且a ≠1),有人总结出其底数a 越接近1,其图象就越接近直线y=1,你认为该结论成立吗？探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x 、y=3x 和y=5x的图象,根据图象能看出该结论是正确的. 典题精讲例1:计算下列各式: (1)432981⨯;(2)(253)0+2-2·(24121)--(0.01)0.5.思路分析:第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数. (1)解法一:432981⨯=421322)9(9⨯=.39)9(996712741374374312====⨯解法二: 432981⨯=.3333818181818166724284646743===⨯==⨯(2)解:(253)0+2-2·(24121)--(0.01)0.5=1+41×(9421)-(100121)=1+41×32-1516101 .例2:指数函数①f(x)=m x;②g(x)=n x满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( )图2-1-3思路解析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解法一:由0<m<n<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是C 或D,进而再判断①②与n 和m 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,①②对应的函数值分别为m 和n,由m<n 可知应选C.图2-1-4解法二:只要按照题目条件的要求来取m 和n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是正确的选项. 取m=21,n=31的草图(如图2-1-4所示),则见m 在左上方,n 对应的图象在右下方,对应的选项是C.答案:C例3:比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2. 思路分析:此题考查指数函数的单调性.对y=a x,当0<a<1时,函数为减函数;当a>1时,函数为增函数.结合相应图象可顺利解题.解:(1)1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,图象如图2-1-6,当x=2.5和3时的函数值.因为1.7>1,所以函数y=1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73.图2-1-6 图2-1-7(2)0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,图象如图2-1-7,当x=-0.1和-0.2时的函数值.因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.例4:富兰克林(Benjamin Franklin,1706～1790)是美国著名的科学家、社会活动家,他的业绩遍及十九个科技领域.“你热爱生命吗？那么别浪费时间,因为时间是组成生命的材料.”就是这位科学家留下的名言.这位科学家死后只留下了一千英磅的遗产,然而他却留下了几十万英磅的遗嘱,这份有趣的遗嘱内容是这样的:“……一千英磅赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些钱过了100年增加到131 000英磅.我希望那时候用100 000英磅来建立一所公共建筑物,剩下的31 000英磅拿去继续生息100年……”请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗？思路分析:要想判断富兰克林的遗嘱能否实现,需计算100年后他留下的1 000英磅的本息和.这是一个指数函数问题.解:设经过x年后这1 000英磅的本息和为y,则有y=1 000(1+5%)x,当x=100时,计算得y=131 501.26.因此,富兰克林的遗嘱能实现.例5:某债务市场发行三种债务券,P种面值为100元,一年到期本息和为103元;Q种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;R种面值为97元,一年到期本息和为100元,作为购买者,分析三种债券的收益,从小到大的排列为( )A.Q,P,RB.P,R,QC.P,Q,RD.R,P,Q思路解析:设这三种面值的半年利率分别为x、y、z,则按前面说的模型可知100(1+x)2=103,50(1+y)=51.4,97(1+z)2=100.经计算比较可知y>z>x.答案:B。
高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.4.1 方程的根与函数的零点课件 湘教版必修1
1.函数 y＝4x－2 的零点是( D )
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 考察下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3； (2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1； (3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的 坐标吗？
(3)f(x)＝2x－1－3；
解 解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，
所以函数的零点是log26.
x2＋4x－12
(4)f(x)＝
.
x－2
x2＋4x－12
解 解方程 f(x)＝
＝0，得 x＝－6，
x－2
所以函数的零点为－6.
规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x) ＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性的曲线，当x从a到b逐渐增加时， 如果f(x)连续变化而且 f(a)·f(b)＜0 ，则方程f(x)＝0在(a，b) 内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使 f(x0)＝0.
要点一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)＝x2＋7x＋6； 解 解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； 解 解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1， 所以函数的零点是－1.
跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
高中数学湘教版必修1：第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.1.1
2．1 指数函数 2．1.1 指数概念的推广[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2. 2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引]1．把n (正整数)个实数a 的连乘记作a n ，当a ≠0时有a 0＝1，a －n ＝1a n (n ∈N )．2．整数指数幂的运算有下列规则： a m·a n＝am ＋n，a m a n ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n ·b n，(a b )n ＝a n bn (b ≠0)． 3．若一个(实)数x 的n 次方(n ∈N ，n ≥2)等于a ，即x n ＝a ，就说x 是a 的n 次方根.3次方根也称为立方根．当n 是奇数时，数a 的n 次方根记作na .a ＞0时，n a ＞0；a ＝0时，n 0＝0；a ＜0时，na ＜0.当n 是偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n 次方根叫作算术根，记作n a .也就是说，当a ＞0时，如x n ＝a ，那么x ＝±n a . 规定：n0＝0，负数没有偶次方根．4．式子n a 叫作根式(n ∈N ，n ≥2)，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．一般地，有(na )n ＝a .当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |. 5．当a ＞0，m ，n ∈N 且n ≥2时，规定 na m＝a m n，1n a m＝am n-.6．规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a ＞0时，对于任意有理数m ，n 仍有公式 a m·a n＝am ＋n，a m a n ＝a m －n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )m ＝a m ·b m，(a b )m ＝a m bm (b ≠0)． 7．对任意的正有理数r 和正数a ，若a ＞1则a r ＞1；若a ＜1则a r ＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：对任意的负有理数r 和正数a ，若a ＞1，则a r ＜1；若a ＜1则a r ＞1.8．任意正数a 的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数a ，对任意实数x ，a 的x 次幂a x 都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数x 和正数a ，若a ＞1则a x ＞1；若a ＜1则a x ＜1. 对任意的负实数x 和正数a ，若a ＞1则a x ＜1；若a ＜1则a x ＞1.要点一 根式的运算 例1 求下列各式的值：(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3(－2)3＝－2.(2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式．(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4. 解 (1)5(－2)5＝－2.(2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a ＜b .要点二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式： (1)3a ·4a ； (2)a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝a 13·a 14＝a 712； (2)原式＝a 12·a 14·a 18＝a 78； (3)原式＝a 23·a 32＝a136；(4)原式＝(a 13)2·a 12·b 32＝a 76b 32.规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a mn＝na m 和am n-＝1amn＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式：(1)3a ·6－a (a ＜0)；(2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)(4b 23)23(b ＜0)；(4)13x (5x 2)2(x ≠0)．解 (1)原式＝a 13·(－a )16＝－(－a )13·(－a )16＝－(－a )12(a ＜0)；(2)原式＝3ab 2·a 32b 32＝3a 52b 72＝(a 52·b 72)13＝a 56b 76(a ，b ＞0)； (3)原式＝b 23×14×23＝(－b )19(b ＜0)； (4)原式＝1x 13·x45×13＝1x35＝x53-.要点三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06413-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]43-＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)化简：3a92a －3÷3a －7·3a 13(a ＞0)．解 (1)原式＝(0.43)13-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[a 13×92·a13×(32-)]÷[a12×(73-)·a12×133]＝a96－36＋76－136＝a 0＝1.规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)3a 32·a －3·(a －5)12-·(a12-)13.解 (1)原式＝(－1)23-⎝⎛⎭⎫33823-＋⎝⎛⎭⎫150012-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27823-＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝(a 32·a 32-)13·[(a －5)12-·(a12-)13]12＝(a 0)13·(a 52·a132-)12＝(a －4)12＝a －2.1．下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝aB ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a |D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b答案 C解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3．计算[(－2)2]12的结果是( ) A. 2 B ．－ 2 C.22D ．－22答案 A解析 [(－2)2]12＝[(2)2]12＝ 2.4．在⎝⎛⎭⎫－12－1，212-，⎝⎛⎭⎫1212-，2－1中，最大的数是( )A.⎝⎛⎭⎫－12－1 B ．212-C.⎝⎛⎭⎫1212-D ．2－1答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫－12－1＝－2,212-＝12＝22，⎝⎛⎭⎫1212-＝2，2－1＝12，所以⎝⎛⎭⎫1212-最大． 5．212-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a ＜0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标 1．化简3a a 的结果是( )A ．a B.a C ．a 2 D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 12)13＝(a 32)13＝a 13＝a .2．若(1－2x )34-有意义，则x 的取值范围是( )A ．RB ．{x |x ∈R 且x ≠12}C ．{x |x ＞12}D ．{x |x ＜12}答案 D解析 (1－2x )－34＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.3．1614-等于( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 A 解析 1614-＝(24)14-＝24×(14-)＝2－1＝12.4．计算0.25－0.5＋⎝⎛⎫12713-－416的值为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．5 答案 B 解析 0.25－0.5＋⎝⎛⎭⎫12713-－416＝⎝⎛⎭⎫1412-＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13313-－424＝⎝⎛⎭⎫122×（12-）＋⎝⎛⎭⎫133×（13-）－2 ＝2＋3－2＝3. 5．设a 12－a12-＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 答案 C 解析 ∵a 12－a12-＝m ，∴⎝⎛⎭⎫a 12－a 12-2＝m 2，即a ＋a －1－2＝m 2，a ＋1a ＝m 2＋2.∴a 2＋1a＝m 2＋2.故选C.6．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝________. 答案 3×2n －3解析 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫384317n －3＝3(12817)n －3＝3×2n －3. 7．求下列各式的值：(1)733－3324－6319＋4333；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫2102723-－3π0＋3748. 解 (1)原式＝7×313－3323×3－63⎝⎛⎭⎫132＋43×313＝7×313－6×313－6×323-＋313＝2×313－2×3×323-＝2×313－2×313＝0.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋102＋⎝⎛⎭⎫642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 二、能力提升8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝m 1a ，5＝m 1b ，∵2×5＝m 1a ·m 1b ＝m 1a＋1b∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 9．化简23－610－43＋22得( )A ．3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 答案 A 解析 原式＝23－610－4(2＋1)＝ 23－622－42＋(2)2＝23－6(2－2)＝9＋62＋2＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14215解析 利用一元二次方程根与系数的关系， 得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.11．计算下列各式的值：(1)(0.027)13－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a 85·b65-)12-·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝a 85×(12-)·b(65-)×(12-)·a 45÷b 35＝a 45-·b 35·a 45÷b 35＝a45-＋45b35－35＝a 0b 0＝1.三、探究与创新12．(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 12－y12x 12＋y 12的值． 解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a . (2)x 12－y 12x 12＋y 12＝(x 12－y 12)2(x 12＋y 12)(x 12－y 12)＝(x ＋y )－2(xy )12x －y.①∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×912－63＝－33. 13．当x ＝2＋2，y ＝2－2时，化简(x 23－y 13-)·(x 43＋x 23y13-＋y23-)．解 原式＝(x 23)3－(y 13-)3＝x 2－y －1，因为x ＝2＋2，y ＝2－2，所以原式＝2＋2－12－2＝2＋22.。