数学建模阶梯电价

阶梯电价的效用分析问题摘要阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用。

对居民用电实行阶梯式递增电价可以提高能源效率。

本文选择湖北省为参考对象对问题进行研究。

针对问题一，本文先把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，根据曲线的走势，得出改革前后的变化情况：当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。

故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这符合阶梯电价“多用者多付”的机制相符，适合社会发展需求。

针对问题二，本文建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出人年均电量与人均支出的相关系r ，可以看出其两者相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可数0.8149支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出第二档灵敏度最高，影响程度最高。

针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。

在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大小作为衡量对居民生活费用的影响程度。

相关系数为0.5625。

说明影响程度很大，且第二档的用户最为灵敏程度最高。

针对问题四,本文通过类比法以及分段评估的方式，将湖北省的居民水价设为三档，且一、二、三档的价格分别为：1.52元/吨，2.28元/吨，3.04元/吨。

关键词：阶梯电价 matlab软件阶梯水价相关系数一．问题重述1.1问题背景阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用，对居民用电实行阶梯式递增电价，阶梯式电价的具体内容是：第一阶梯为基数电量，此阶梯内电量较少，电价也较低；第二阶梯电量较高，电价也较高一些；第三阶梯电量更多，电价更高。

随着户均消费电量的增长，每千瓦时电价逐级递增。

市场的差别定价，提高用电效率。

1.2问题重述2010年10月，国家发改委关于向社会公开征求居民生活用电实行阶梯电价意见时明确指出，在我国全面实行居民阶梯电价，主要考虑建立3个机制：一是合理电价机制；二是公平负担的用电机制；三是促进节能减排机制。

通过实行居民阶梯电价政策，可以充分发挥价格杠杆的作用，引导用户特别是用电量多的用户调整用电行为，促进合理节约用电。

从2012年7月1日到今年上半年，全国除新疆、西藏以外的大部分省市都陆续开始实行居民用电阶梯价格新方案，由此引发了一系列与老百姓日常生活息息相关的问题：新的阶梯电价主要变化有哪些？实行阶梯电价后居民日常用电的费用是增加还是减少？居民的生活水平将受到怎样的影响等。

到今年4月末，阶梯电价已经实行了近两年。

本文以湖北省的居民日常用电量为标准，进行数据调查。

在湖北省的阶梯电价的实施方案中电量分为三档，第一档为0—180千瓦时/户•月，第二档为181—400千瓦时/户•月，第三档为超过400千瓦时/户•月以上的电量。

电价实行分档递增，其中第一档保持现行电价标准不变，第二档每千瓦时提价0.05元，第三档每千瓦时则提价0.30元。

根据搜集到的数据，建立数学模型，给出相关的分析结果，回答以下问题：1. 阶梯电价实行前后，居民日常用电费用的变化情况；2. 阶梯电价实行后，居民的生活费用支出情况有怎样的变化；3. 通过分析、构建模型，说明阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度；4. 对照阶梯电价实行的目的和建立机制，分析实行阶梯水价的可能性，并给出合理的居民用水阶梯水价。

二．问题分析根据问题重述，可以知道这是一个综合评价问题，根据题目要求本文选着湖北省为参考对象对问题进行研究，该问题在于看湖北省各地阶梯电价使用前后的用电量的情况，进行对比分析；看阶级电价前后，对生活费用支出情况的变化；对居民生活费用支出的影响。

最后根据阶梯电价的效用分析，对阶梯电价的效用分析，通过数据处理和分析后建立模型，对阶梯水价实施的可能性给予相关建议。

针对问题一，首先本文把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，进行对比分析，从而得出改革前后的变化情况。

针对问题二，本文运用了对比分析及层析分析法。

先建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出其相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出阶梯电价对居民生活费用支出的影响程度。

针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。

在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大型作为衡量对居民生活费用的影响程度。

针对问题四，本文通过类比方法，从梯度电价设置可得到启示。

可以将水价设置为三个梯度，保证绝大多数的居民使其用水量在一档内，少数在二档，极少数在三档。

三．问题假设1.假设本题中的数据真实可靠；2.假设电力供应足够满足居民用电需求；3.假设电力原料价格不发生大的变化；4.假设不考虑城乡差距、地区差距的影响；5.假设不考虑短时间的人口流动。

四．符号说明五．模型的建立与求解5．1问题一的解答:针对问题一，本文先根据调查的资料，列出改革前后关于电价的函数表达式，设用电量为t，居民电费为y，则改革前的电费：0.573y x=改革后的电费:()0.57301800.62139(180400)0.873109(400)x xy x xx x<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩：图1（红色代表改革前的函数图像，蓝色为改革后的函数图像）由上图可知，在实施了阶梯电价后，当居民所用电量在180度到400度时，电费应多付0元至11元；当月用电量超过400度时，超出的部分电每一度多付0.3元。

当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。

故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这与阶梯电价“多用者多付”的机制相符，有利于社会公平，资源节约，社会和谐。

5．2问题二的解答：通过调查资料，得出湖北省人均支出费用的函数与湖北省年人均用电量的函数，并运用互相关函数，得出相关系数。

100200300400500600700800月用电量费用200396200(20082009)6001199800(20092010)21004214800(20102011)7001399400(20112012)24004814800(20122013)a a a ab a a a a a a -≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎪-≤≤⎪⎩图2（湖北省年人均支出费用）125000250250000(20082009)100000200000000(20092010)4000079400000(20102011)120000240280000(20112012)13520002719064000(20122013)n n n n m n n n n n n -≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎪-≤≤⎪⎩图3（湖北省人均用电量）通过matlab程序计算得出人均用电量和人均支出费用得到相关系数r=0.8149可以看出相关性是很高，证明使用阶梯电价以后，人均用电量对人均支出费用有很大的影响。

（具体步骤见问题二附件3）根据湖北省电力公司有关部门统计的数据显示，截至2013年6 月，一档用电量的用户覆盖率91.77%，二档用电户覆盖率为98.66%，三档用电户覆盖率1.34%。

使用一档电量和二档电量用户覆盖率为98.66%。

下表为湖北省按收入等级分居家庭平均每人全年消费支出的情况：从上表可以看出中等以下收入的人群占到全国的80%,和阶梯电价的第一档、第二档相对应。

统计出档次平均可支配收入、评价用电量情况以及对电费的承受能力等状况如下表所示：表2根据调查的资料，往年的用电量求出居民生活用电量需求曲线如下：表3根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户根据电能消费倾向和边际电能消费倾向可以得出居民用户的人均电费支出和人均收入的关系有如下规律：（表示每个档次的人均收入）首先，居民的电能消费倾向在不同的收入阶段，其变化规律是不同的。

当居民的人均收入小于Y1时，居民增加的收入主要是解决基本生活消费问题，没有多余的钱购买电器设备,居民的电能消费倾向几乎为零；当居民的人均收入大于Y1时，随着收入的增加，居民有多余的钱购买少量的家用电器设备，在此阶段，居民的收入水平相对较低，当基本生活消费品的物价不上涨或上涨的速度和居民收入的增长速度相比很小时，居民增加的收入主要用于提高生活质量，居民的电力消费倾向逐渐增加，但是，当基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大时，居民增加的收入主要用于支付基本生活消费品的增加费用和储蓄，这样，边际电能消费倾向马上变成减少。

这种边际电能消费倾向增加和减少交替出现的情况一直持续到居民的收入增加到Y2时，才能改变；当居民人均收入大于Y2时，由于收入水平相对较高，居民随着收入的增加，将有多余钱购买大量家用电器设备，居民的用电量也大幅度增加，居民的边际电能消费倾向是逐步增加的，即使基本生活消费品的物价上涨超过了居民收入的增长，以及由此造成居民对未来这部分费用的预期增加比较大，边际电能消费倾向也不会减少，这种情况一直到居民的收入增加到Y3时，才能改变；当居民人均收入大于Y3时，虽然收入逐渐增加，但是大多数家用电器已经购买，居民主要是增加用电时间来提高生活质量电能的边际消费倾向将逐渐降低或维持不变。

5.3问题3的求解在本题的解决研究中，我们选择用效用函数的阶梯式电价模型来分析。

将电价分为m 个阶梯,在第i 阶上的电价为p i ，需电量i l ，对于其他商品而言，p i 表示商品的价格， i l 表示第i 种商品的需求量。

根据线性支出系统理论,消费者所用的各个梯度上的电,以及其他各种商品满足如下所示的效用函数:⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∑∑=+=m i nm i i l i i i l l l a U i 11)ln()ln( （1）式中：∑=-mi i l l i 1)ln(表示阶梯电价；∑+=-mm i i l l i1)ln(表示其他商品；i l 表示起码生活水平下第i 种商品的需求量；n 代表商品的种类与电价梯数m 的和。

预算约束为01=-∑=M l p i ni i （2）式中:M 为居民总支出。