电路原理-动态电路的暂态过程.
第七章 动态电路的暂态分析
（4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求 得微分方程的特解（即待求电路响应）。
A u C (0 ) 3
微分方程的特解为
uC Ae 3e
t 2
t 2
V
t 0
（5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流
t uC 3 2 i e A 2 2
第七章 动态电路的暂态分析
第一节 第二节 换路定律与初始值的计算 一阶电路的零输入响应
第三节
第四节
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
第五节
第六节
一阶电路的三要素法
RLC串联电路的零输入响应
第七章小结
电路
电阻性电路 ：仅含有电阻性元件（包括独立 电源和受控电源）的电路。 动态电路 ：含有动态元件（即储能元件） 的电路。
iC (0 ) iL (0 ) 2 A u L (0 ) R3iC (0 ) u C (0 ) u2 (0 ) 6 (2) 8 8 V 12 V
初始值的计算步骤
（1）由换路前的电路计算出电容元件的电压uC和电感元件 的电流iL，确定它们在t＝0－时的值uC (0－)和iL (0－) 。 （2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始 值uC (0＋)和iL (0＋) 。
（1）换路前：开关合于位置1，电路 处于稳态，电容元件已充电，其电压 为U0（U0=US）。开关合至位置2的最 初瞬间，由于电路中的电流不是不穷 大，电容元件的电压不能跃变，电容 元件中的电压仍保持为U0，即uC (0＋) =U0 。 （2）换路后：电路脱离电源，电容元 件两极上的正负电荷不断的地中和， 直至电容元件两极上的电荷全部中和， 电路中电压均为零时，电路暂态过程 告以结束，电路进入稳态。 换路后电路所经历的物理过程，实际 上就是电容元件的放电过程。
电路的暂态过程
电路的暂态过程由电源和线性电阻构成的电路，这类电路中的电压、电流随电源电压、电流的加入（或断开)而立即达到稳态值（或立即消失）。
但是，当有电容（或电感）接入电路时，电容丙端的电压（或电感的电流)从一个稳定状态变到另一个新的稳定状态，需要经过一个过程(一定的时间），这个过程称为暂态过程。
RC电路的暂态过程在由电阻R及电容C组成的直流串联电路中，暂态过程即是电容器的充放电过程。
充电过程1.当开关K未接通“1”之前电容器C不带电，两极板之间的电压Uc为零。
2.当开关K合向“1”时，电源E通过电阻R向电容器C充电，充电电流i和电容器两端的电压Uc都随时间而变化。
3.在电容器的充电过程中，电容器两极板之间的电压Uc和充电电流都随时按指数规律变化。
在充电过程中，iR+Uc=E.4.当t=0时，Uc=0,i=E/R, 刚开始充电时，电容器两端的电压为零，电源的电动势全部加于电阻R上，这时充电电流最大；5.当t=∞时，Uc=E，i=0，表示当充电时间足够长时，电容器两端的电压达到最大，其值等于电源的电动势E，而充电电流则趋于零，这时电路达到了稳定状态。
6.乘积RC 被称为time constant（时间常数）, 表示为：τ = RC。
当R 的单位为（欧姆）以及C 的单位用（法拉）, RC 的单位为（秒）。
实际上，可以认为经过4 ~ 5 个时间常数后，电路已达到稳定状态，充电过程就可结束。
7.当充电时间t=RC时，电容器两端的电压Uc和充电电流i分别为Uc=E(1-e-1)=0.63E,i= E/R(e-1)=0.37E/R放电过程1.图1-11中的电容器充电达到稳态后，如果将开关K合向“2”的位置，则电容器C将通过电阻R放电，RC电路进入放电暂态过程，这时电阻R上的电压降iR等于电容器两端的电压uc，即iR=uc2.根据初始条件t=0时，u=E，解方程得出电容器放电时两端的电压和放电电流分别是：Uc=Ee-t/RC, i=E/Re-1/RCRL电路的暂态过程暂态电路小结正弦交流电的三要素正弦电流的波形i=I m sin（ωt+φi）,u=U m sin（ωt+φu）式中Im——幅值；φ——初相位；ω——角频率。
动态电路的暂态响应研究
∆ (∞) − (∞) −
( ) ( )
其中∆t = − ， uC(∞)为电容电压的稳态值。本实验可以利用此式来测量时间常数。 注意，uC(∞)可以用 uC(t＞5τ)近似代替，误差将不超过 1%。 6. 凡是可用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。图 7 所示的线性 RLC 串联电路 是一个典型的二阶电路(图中 US 为直流电压源)，它可以用下述线性二阶常系数微分方程来 描述 ： LC
2 0 2
1 R2 LC 4 L2
设 I0＝0，有
uc (t )
其中 tan
1
U 00
。
e t sin(t )
t0
(4)当 R＝0 时， 响应是等幅振荡性的， 称为无阻尼情况， 等幅振荡角频率即为谐振角频率 0 。 设 I0＝0，有， uc (t ) U 0 cos 0t ，t≥0 (5)当 R＜0 时，响应是发散振荡性的，称为负阻尼情况。 8. 对于欠阻尼情况，衰减振荡角频率 和衰减系数 可以从响应波形中测量出来，例如： 在响应 i(t)的波形中(图 9)， 可以利用示波器直接测出，对于 ，由于有
其中τ的定义同上。可见，全响应可以看成零状态响应和零输入响应的叠加，也可以分解为 强制分量与自由分量之和。当 t→∞时，自由分量趋于零，过渡过程结束，电路进入稳态。 同理，由响应曲线图 6 可得 τ= ln − − −
图 5 全响应电路图 5.以上三种响应τ的表达式可以统一表示为: τ= ln
图 6 全响应曲线
t≥0。其中τ的定义同上，同理，由响应曲线图 4 所示，可得： τ= − ln
图 3 零输入响应电路图 图 4 零输入响应曲线 4.全响应是输入激励和储能元件的初始状态共同作用下引起的响应。对于图 5 所示的电路 有 (0 ) = ,当 t=0 时，开关 K 打开，此时电源通过 R 向 C 充电。有 ( )= − t≥0
动态电路
单元三动态电路分析一、过渡过程（暂态过程）1. 概念：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。
2. 产生过渡过程的原因：内因：电路中含有储能元件。
外因：换路二、换路定律1. 换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。
2. 换路定理：电容上的电压u C 及电感中的电流i L 在换路瞬间不能发生跃变，即：t=0+换路，则注意：只有u C 、i L 受换路定理的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
)0()0()0()0(L L C C -+-+==i i u u 1）概念：电压、电流的0+值。
2. 分类3. 初始值独立初始值：)0(C +u )0(L +i )0(C +i )0(R +i )0(R +u )0(L +u 相关初始值：3）初始值的计算（1）在换路前的稳态电路中，求)0(-C u )0(-L i 直流电路：C 开路、L 短路稳态电路正弦交流电路：相量法计算（2）在换路瞬间，利用换路定律得)0()0()0()0(L L C C -+-+==i i u u （3）画t=0+电路，求相关初始值。
t=0+电路C 用值的电压源替代。
)0(C +u L 用值的电流源替代。
)0(L +i例：图示电路原处于稳态，t =0时开关S 闭合，求初始值u C (0+)、i C (0+)和u (0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感L 相当于短路、电容C 相当于开路，因此t =0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：4ΩR 1R 22Ω+u－+C u C － +U s 12V － L i L + u L － R 36Ωi 1 i C V2.762.1)0()0()0(A2.16412)0(3L 31C 31L =⨯====+=+=----R i R i u R R U i s 在开关S 闭合后瞬间，根据换路定理有：V 2.7)0()0(A 2.1)0()0(C C L L ====-+-+u u i i由此可画出开关S 闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。
第5章 电路的暂态过程分析
第五章电路的暂态过程分析初始状态过渡状态新稳态t 1U Su ct0?动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。
上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
iRU SKCu C +_R i +_U S t =0一、什么是电路的暂态过程K 未动作前i = 0u C = 0i = 0u C = U s K 接通电源后很长时间C u C +_R i+_U S二、过渡过程产生的原因。
(1). 电路内部含有储能元件L 、M 、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成(2). 电路结构、状态发生变化支路接入或断开，参数变化(换路)三、动态电路与稳态电路的比较：换路发生后的整个变化过程动态分析微分方程的通解任意激励微分方程稳态分析换路发生很长时间后重新达到稳态微分方程的特解恒定或周期性激励代数方程一、电容元件§5-1 电容与电感元件uCi+_q i)()(t Cu t q =dtdu Cdt dq i ==任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比。
电荷量q 与两极之间电压的关系可用在q -u 平面上可用一条曲线表示，则称该二端元件称为电容元件。
二、电感元件+–u (t)i (t)Φ(t)N uLi+_()()()()t Li t d di t u t Ldt dtψψ===任何时刻，电感元件两端的电压与该时刻的电流变化率成正比。
Φi交链的磁通链与产生该磁通的电流的关系可用在Ψ-i 平面上可用一条曲线表示，则称该二端元件为电感元件。
§5-2 换路定则与初值的确定t = 0+与t = 0-的概念设换路在t =0时刻进行。
0-换路前一瞬间0+ 换路后一瞬间00(0)lim ()t t f f t -→<=00(0)lim ()t t f f t +→>=初始条件为t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。
0-0+0tf (t )基本概念：一、换路定则1()()d tC u t i C ξξ-∞=⎰0011()d ()d t i i C C ξξξξ---∞=+⎰⎰01(0)()d tC u i C ξξ--=+⎰t = 0+时刻001(0)(0)()d C C u u i C ξξ++--=+⎰当i (ξ)为有限值时u C (0+) = u C (0-)电荷守恒结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
电路的暂态过程分析
对模拟结果进行分析，得出电 路暂态过程的规律和特性。
注意事项
初始条件的设定
正确设定初始条件是模拟电路暂态过程的关键， 需根据实际情况进行合理设定。
实验测试的安全性
在实验测试中，需注意安全操作，避免电路短路 或过载导致设备损坏或人员伤亡。
ABCD
模拟软件的准确性
选择可靠的电路模拟软件，确保模拟结果的准确 性。
详细描述
在电感元件的数学模型中，电流和磁通量之间的关系是线性的。当电流发生变化 时，电感中的磁通量也会相应地发生变化，从而影响电压的大小。因此，电感元 件在电路的暂态过程中也起着重要的作用。
电阻元件的数学模型
总结词
电阻元件的数学模型描述了电阻中的电压和电流之间的关系，其基本公式是$R = frac{V}{I}$，其中 $R$是电阻值，$V$是电阻上的电压，$I$是流过电阻的电流。
电路的暂态过程分 析
目录
• 电路暂态过程的概述 • 电路暂态过程的产生与消失 • 电路暂态过程的数学模型 • 电路暂态过程的模拟与分析 • 电路暂态过程的控制与优化 • 电路暂态过程的发展趋势与展望
01
CATALOGUE
电路暂态过程的概述
定义与特点
定义
电路的暂态过程是指电路从一个稳定 状态过渡到另一个稳定状态所经历的 过程。
详细描述
在电容元件的数学模型中，电压和电流之间的关系是非线性的。当电压发生变 化时，电容上的电荷量也会相应地发生变化，从而影响电流的大小。因此，电 容元件在电路的暂态过程中起着重要的作用。
电感元件的数学模型
总结词
电感元件的数学模型描述了电感中的电流和磁通量之间的关系，其基本公式是$L = frac{di}{dt}$，其中$L$是电感的感抗，$i$是电感中的电流，$dt$是时间的变 化量。
电工电子学
uC
–
(t →)
i
R +
i = 0 , uC= Us
C
US R
Us
uC
–
uc
US
?
t1
暂态
i
t
新稳态
有一过渡期
5
初始状态 0
电感电路 (t = 0)
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
Us
K
R
i = 0 , uL = 0
L
K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
diL L Ri L 0 dt i (0 ) I 0
S(t=0) + Us R1 R uR + iL L
iL + R u R L uL +
u， i uR
diL uL L dt
P
R t L
特征方程: Lp+R=0 解得： i L I 0 e
R t L
3
当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过 程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的暂 态过程。
例
+
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
i
us
R1
i U S ( R1 R2 )
-
R2
0
t
暂态过程为零
4
电容电路 (t = 0)
Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
R
i = 0 , uC = 0
S(t=0) + i1 Us R1 R2
第04章动态电路的分析
5103 t t
V
5103 t
1.1e
A
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
(4)画出uC, uR, i的曲线如图:
（5） 当 t 1ms 10 3 s 时
uC 220 (1 e uR 220 e i 1.1e
5103 103
由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得
di iL R L U s dt L diL Us iL R dt R
故
t
uC (60 s ) 10 2 10 3 e
60 120
8576V 8.6k V
600 120
uC (600 s ) 10 2 10 3 e
95 .3V
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
二、 RL电路的零输入响应
由KVL得
uR u L 0
换路瞬间等效电路
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
根据KVL, uR=uC=Ri, 而i=-C(duC/dt)(式中负号表明iC与
uC的参考方向相反)。将i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得
duC RC uc 0 dt uC Ae pt RCpAe pt Ae pt 0 ( RCp 1) Ae pt 0 RCp 1 0 p 1 RC
t RC
由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即 将A=U0代入上式，得
uC Ae pt Ae
U0 Ae
0 RC
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线性常系数微分方程的求解
A df (t) Bf (t) C dt
1. 先求对应的齐次方程的通解
通解前的 系数a是未 知量
A df (t) Bf (t) 0 特征方程 Ap B 0
0 1
t 0 t 0
O
t
移位的单位阶跃函数：
ε(t t ) 0
1
0 ε(t t0 ) 1
t t0 t t0
O
t 0
t
幅度为A的阶跃函数：
Aε(t)
A
0
Aε(t
)
A
t 0 t 0
O
t
负单位阶跃函数：
ε(t t ) 0 t 0
O
t
0 - ε(t t0 ) 1
t t0 t t0
1
单位阶跃函数对应着物理世界中在某一时刻发生突变的
物理量。应用单位阶跃函数可以描述电路中因开关动作导
致的某些电压、电流发生的跃变。
S (t 0)
1
u/V
+
+6
6V 6V
Ru
-
-
S (t 1s)
2
O
1
u/V 6 (t)
)V-6V
+
1μF
u
-C
ic (t) C
duc dt
5106 (t)
这是一个瞬间存在的，幅度无穷大，强度有限的电流
例4-2-2 图示一个已充电且电压为 5 V 的电容元件在 t 0 时，通过开关S闭合使电容元件两极板被短接 放电的电路。求电容的放电电流 iC 。
S(t 0) i C
+
1μF
u 5V
-C
i C
+
1μF
u
-C
u /V C 5
t/s O
uc 51 (t)
例4-2-3 图示电路，开关S在 t 0 时断开，求电感
电流 iL 和电感电压uL
S(t 0) 0.2A 6V
6
t/s O
u/V
1
t/s
O
t / s 6 6 (t 1)
t<0 S1断开，S2闭合； t=0 S1闭合，S2闭合； t=1 S1闭合，S2断开。
u [6ε(t) 6ε(t 1)]
单位阶跃函数还可以用来“起始”任意一个函数f(t)
f (t)
f (t)
f
(t)ε(t
t 0
)
dt
特征根
通解
p
B A
f
(t)
ae
B A
t
至此a仍 然未知
2. 求特解
根据原方程等号右边的函数式，设特解为与其相同的形
式b，并将特解带回原方程求出特解 b C / B
3. 通解与特解之和就是方程的解 f (t) aeBAt C / B
4. 利用初始条件求出通解中的未知系数a
f (t) aeBAt C / B f (0) a C / B a f (0) C / B
瞬间完成 渐变完成
新稳态 新稳态
动态电路的渐变过程称为瞬态过程（又称过渡过程），处 于瞬态过程中的工作状态称为瞬态。此过程中的电路响应称 为瞬态响应。求解瞬态响应的过程称为瞬态分析。
电路出现瞬态过程的原因是，动态元件的储能不能突变。
S(t 0) 10
+ 6V-6V
+
50 u
-
S(t 0) 10
第四章 动态电路的暂态 过程·暂态与稳态
内容提要
➢ 动态电路的过渡过程
➢ 单位阶跃函数
➢ 单位冲激函数 ➢ 电容电压和电感电流的
连续性条件 ➢ 输入-输出方程和初始条件
的确定 ➢ 动态电路的响应
4-1 动态电路的过渡过程
动态电路
电容和电感元件是动态元件，其电压
电流关系（u-i关系）是用导数或积分形式 表示的。
i C du dt
u L di dt
u(t
)
u(t0
)
1 C
t
i( )d
t0
1
i(t) i(t0) L
t
u( )d
t0
含有动态元件的电路是动态电路。
电路的输入、输出方程
如果将电路中的电压源的电压或电流源的电流 称为输入，将待求的响应电压或响应电流称为输出， 可以建立一种描述该电路的输出变量与输入变量之 间的关系的电路方程，通常称其为输入——输出方 程。
δ(t t0 ) 0
δ(t t0 ) dt 1
t t0
1
O
t
t
0
三、单位阶跃函数与单位冲激函数的关系
0 ε(t) 1
t 0 t 0
ε(t) 1
O δ(t)
δ(t) 0
t0
1
δ(t)dt 1
O
t t
δ(t) dε(t) dt
t
ε(t) δ( ) d
t
δ( )
d
0 1
t 0 t 0
例4-2-1 图示电路表示一个未充电的电容元件在 t 0 时通过开关S接入一个5 V的电压源，求电容
电压 uC 和电容电流 iC
S(t 0) i C
i C
+
5V 6V
-
+
+
1μF
u
-C
u s
5ε(t
+ 6V-6V
+
5μF u
-
10 u u 6 50
解得 u＝5V
u/V
5
10 5106
duC dt
uC
6
uC (6e－2000t 6) V t≥0
u/V
6
O
t/s O
t/s
4-2 单位阶跃函数和 单位冲激函数
一、单位阶跃函数
单位阶跃函数的定义：
ε(t)
1
ε(t
)
A df (t) Bf (t) C 的完整解为： dt
f (t) ( f (0) C / B)eBAt C / B
换路
换路：指电路工作条件的改变。
包括：电源或电路的接通与断开、开关的接通与断开、
电路连接结构或元件参数的改变。
设定 t＝0 发生换路。
换路在0-
t＝0－ 表示换路前的终了瞬间。
0
t t 0
t t 0
O
f (t)ε(t t ) 0
tO
t 0
t
二、单位冲激函数
δ(t)
单位冲激函数的定义：
δ(t) 0
δ(t)dt 1
t0
1
O
t
单位冲激函数的理解：从一个时刻看，其幅度是无穷大，但从一段
时间看，它带来的能量变化是有限的。
移位的单位冲激函数：
δ(t t ) 0
到0+的瞬 间内完成
t＝0＋ 表示换路后的初始瞬间。
本章以后分析的动态电路大多是t≥0时的电路，电路方
程亦是指t≥0时电路的输入—输出方程。如果输入—输出方
程是n阶微分方程，则电路方程的初始条件是所求变量（电
压或电流）及其(n－1)阶导数在t＝0＋时的值。
电路的瞬态过程
电路 条件 改变
电阻电路 动态电路