向量空间的基本概念
向量空间与子空间的基本概念
向量空间与子空间的基本概念向量空间是数学中的一个重要概念，它是一种拥有加法和数乘运算的集合，这些运算满足一些基本性质。
而子空间则是向量空间中的一部分，它也是一个向量空间，具有与原向量空间相同的加法和数乘运算。
一、向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V及其上的“加法"+"和数乘"·"运算，满足以下条件：（1）对于任意x, y∈V，其和x + y也在集合V中。
（2）对于任意x∈V，k∈R（实数域），则有kx∈V。
（3）满足交换律、结合律、分配律和存在零元素和负元素的运算法则。
（4）向量空间V中有加法单位元素，即有一个向量0∈V，使得对于任意的x∈V都有x+0=x。
（5）向量空间V中的每个向量x∈V都有一个负元素-x∈V，使得x+(-x)=0。
二、子空间的定义子空间是指一个向量空间的某个非空子集W，其自身也是一个向量空间，它包含在原始向量空间中。
若W是一个向量空间，则它必须满足以下条件：（1）对于任意x, y∈W，其和x + y也在集合W中。
（2）对于任意x∈W，k∈R，有kx在W中。
（3）包含0向量。
当子空间W是包含原始向量空间V中所有符合以上定义的向量的集合时，W就是V的子空间。
三、子空间的性质1.子空间可以是原始向量空间的一个平面、一条直线、一个点、一根坐标轴，或者一个原始向量空间的一个超平面。
例如在三维空间中，一个平面就是一种子空间。
2.子空间的维数小于或等于原始向量空间的维数。
3.子空间的基底通常来自原始向量空间的基底。
子空间也可以通过列向量等方式来表示，并且子空间具有很多与原始向量空间相同的属性和操作。
四、向量空间的例子（1）N维实数空间R^n，其中n∈N+。
（2）一个矩阵的行或列向量的集合。
（3）多项式函数的向量空间P_n五、子空间的例子（1）实数数轴R可以作为实数空间R^2的一个子空间。
（2）空集合和R是R的子空间。
（3）零矩阵的集合和行和列和都为0的矩阵的集合是矩阵向量空间的子空间。
线性代数中的向量空间及其基本性质
线性代数中的向量空间及其基本性质向量空间是线性代数中的一个重要概念。
它起源于欧氏空间中的几何向量，但不仅仅局限于几何背景。
向量空间是所有线性组合构成的集合，在数学中有广泛的应用，如线性代数、微积分、统计学等。
本文将就向量空间及其基本性质进行详细的阐述。
一、向量空间的定义定义1：设V为一个数域k上的非空集合，称V上的元素为向量。
如果：① V中定义了向量的加法（+），使得∀u，v∈V，都有u+v∈V；② V中定义了数乘，即对于任意的k∈K，都有ku∈V；满足：①加法交换律：∀u，v∈V，都有 u +v=v +u；②加法结合律：∀u，v，w∈V，都有 u +(v +w)=(u +v)+w；③加法有零元：∃0∈V，使得对于任意的u∈V，都有u+0=u；④加法有负元：∀u∈V，∃v∈V，使得u+v=0；⑤数乘结合律：∀k，l∈K，∀u∈V，都有 (kl)u=k(lu)；⑥数乘分配律1：∀k∈K，∀u，v∈V，都有k(u+v)=ku+kv；⑦数乘分配律2：∀k，l∈K，∀u∈V，有 (k+l)u=ku+lu；⑧数乘有单位元1：∀u∈V，都有1u=u。
则称V是数域k上的向量空间，简称向量空间。
向量空间的典型例子包括n元有序实数对$(x_1,x_2,...,x_n)$以及所有n次实系数多项式构成的集合$P_n(R)$。
二、基本概念1. 向量向量是指向量空间中的元素。
2. 零向量零向量是指满足向量空间中定义的加法有零元的向量，用0表示。
3. 运算在向量空间中，有两种运算：加法和数乘。
向量空间中的任何向量都可以通过加法和数乘来表示。
4. 线性组合若给定向量空间V中的n个向量${\{v_1, v_2, …, v_n}\}$以及n 个标量${\{k_1, k_2, …, k_n}\}$，则它们的线性组合是指如下表达式：${v=k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=\sum_{i=1}^n k_iv_i}$其中，${v_1, v_2, …, v_n}$是向量空间V中的向量，${k_1,k_2, …, k_n}$是一个数域k中的标量。
什么是向量空间向量空间的定义
什么是向量空间向量空间的定义 向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。
那么你对向量空间了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是向量空间的内容，希望⼤家喜欢! 向量空间的简介 在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是⽅便的。
单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分⽀称为泛函分析。
向量空间它的理论和⽅法在科学技术的各个领域都有⼴泛的应⽤。
向量空间的线性映射 若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。
这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。
这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是⼀个域F上的向量空间。
当 V 及 W 被确定后，线性映射可以⽤矩阵来表达。
同构是⼀对⼀的⼀张线性映射。
如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每⼀n 维向量空间都与向量空间F同构。
⼀个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成⼀个范畴，即阿贝尔范畴。
向量空间的额外结构 研究向量空间很⾃然涉及⼀些额外结构。
额外结构如下： ⼀个实数或复数向量空间加上长度概念。
就是范数称为赋范向量空间。
⼀个实数或复数向量空间加上长度和⾓度的概念，称为内积空间。
⼀个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。
⼀个向量空间加上双线性算⼦(定义为向量乘法)是个域代数。
向量空间的公理化定义 设F是⼀个域。
⼀个F上的向量空间是⼀个集合V和两个运算： 向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w; 向量加法交换律：v + w = w + v; 向量加法的单位元：V ⾥有⼀个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v; 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0; 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w; 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 标量乘法⼀致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这⾥ 1 是指域 F 的乘法单位元。
大学数学向量空间的基本性质与运算
大学数学向量空间的基本性质与运算向量空间是线性代数中的一个基本概念，它是一种由向量和一些基本运算构成的数学结构。
在大学数学中，研究向量空间的基本性质与运算是非常重要的，本文将介绍向量空间的定义、基本性质和运算法则。
一、向量空间的定义向量空间是一个非空集合V，其中包含了两个运算，即向量的加法和数乘运算。
具体而言，对于V中的任意两个向量u、v和任意标量a，满足以下条件：1. 加法运算：对于V中的任意两个向量u和v，定义u+v为V中的一个向量，称为向量u和v的和。
2. 数乘运算：对于V中的任意一个向量u和任意一个标量a，定义au为V中的一个向量，称为向量u的标量倍。
同时，向量空间需要满足以下性质：1. 封闭性：对于V中的任意两个向量u和v，u+v仍然属于V；对于任意向量u和任意标量a，au仍然属于V。
2. 结合律：对于V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)；对于任意向量u和任意两个标量a和b，(a+b)u=au+bu。
3. 交换律：对于V中的任意两个向量u和v，u+v=v+u。
4. 零向量：存在一个特殊的向量0，对于V中的任意向量u，有u+0=u。
5. 相反向量：对于V中的任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
以上就是向量空间的基本定义和性质，根据这些性质，我们可以进行向量空间的运算和推导。
二、向量空间的运算在向量空间中，我们可以进行向量的加法和数乘运算。
具体而言，对于V中的任意向量u和v，以及任意标量a和b，有以下运算法则：1. 加法运算：u+v=v+u。
即向量的加法满足交换律。
2. 数乘运算：(a+b)u=au+bu。
即对于两个标量的和，与向量的数乘先后顺序不影响结果。
3. 数乘结合律：a(bu)=(ab)u。
即标量的乘法满足结合律。
4. 数乘单位元：1u=u。
即1乘以任意向量等于该向量本身。
5. 数乘零元：0u=0。
即0乘以任意向量等于零向量。
通过这些运算法则，我们可以进行向量的运算以及证明向量空间的性质。
4-1向量空间
r 基， 称为向量空间 V 的维数，记作dimV=r,并称 维数， 维向量空间． 向量空间 V 为 r 维向量空间．
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 ）只含有零向量的向量空间称为 维向量 空间，因此它没有基． 空间，因此它没有基． 看作向量组， （2）若把向量空间 V看作向量组，那末 V 的基 ） 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 就是向量组的最大无关组 秩. 的基不是唯一的； （3）向量空间 的基不是唯一的；若dimV=r, ）向量空间V的基不是唯一的 中任意r个线性无关的向量都是 的基. 则V中任意 个线性无关的向量都是 的基 中任意 个线性无关的向量都是V的基
例6 设矩阵
2 2 1 a1 = 2 , a2 = 1 , a3 = 2 1 2 2
1 ,β = 0 4
证明： 的一个基， 证明： a1 , a2 , a 3 , 是 R 3的一个基，并求 β 在这组基 下的坐标 .
的一个基， 解 要证 a1 , a2 , a3是R 3的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关
T
则2α = (2,2a 2 ,,2a n ) V2 .
T
维向量， 例3 设 a, b为两个已知的 n维向量，集合 V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间 解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
= {x = (0, x , , x
2
)T n
x2 , , xn ∈ R
}
解 V1是向量空间 .
12向量空间及线性方程组的解结构
x1 + x2 x3 x4 = 0 例2 求齐次线性方程组 2 x1 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 0 7 x 7 x + 3 x + x = 0 的基础解系。 的基础解系。 2 3 4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 解： → 0 7 5 4 2 5 3 2 7 7 3 1 0 14 10 8 1 1 1 1 1 0 2 / 7 3 / 7 0 1 5 / 7 4 / 7 → 0 1 5 / 7 4 / 7 → 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 2/ 3 4/ 3 → 0 1 0 2 / 3 1 0 0 1 1 2 / 3
线性无关，并且： 从中可以看到α1, α2, α3线性无关，并且：
2 2 4 2 β 1 = α1 α 2 α 3 ; β 2 = α1 + α 2 + α 3 3 3 3 3
二. 线性方程组的解结构
2 3 5 4 由此可知： 由此可知： 1 = ,α 2 = α 7 0 0 7 是该齐次线性方程组的基础解系。 是该齐次线性方程组的基础解系。 8 5 13 9 例3 证明 β 1 = , β 2 = 7 7 7 14
也是上面齐次线性方程组的基础解系
x1 c1 + c2 + 0.5 x c 令: x2 = c1, x4 = c2, 则 2 = 1 x3 2c2 + 0.5 c2 x4
证明： 证明：验证向量组α1, α2与β1, β2相互等价便可
2 5 7 0
3 4 0 7
8 13 7 14
5 2 3 8 5 1 2 3 1 9 → 7 7 0 7 7 7 0 7 14 7
1 2 3 1 1 2 2 3 8 5 0 7 → → 7 0 7 7 0 14 0 7 14 7 0 7
线性代数中的向量空间
线性代数中的向量空间线性代数是数学中的一个重要分支，研究的是向量和线性方程组的性质。
在线性代数中，向量空间是一个基本的概念，它在许多数学和科学领域中都有重要的应用。
本文将介绍关于向量空间的定义、性质以及应用。
一、向量空间的定义在线性代数中，向量空间是指由一组向量构成的集合，其中包含了向量加法和标量乘法两种运算，并满足以下八个性质：1. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，被称为零向量，记为0，它满足对于任意向量v，有v + 0 = v。
2. 向量加法封闭性：对于任意向量v和w，它们的和v + w也属于向量空间。
3. 向量加法结合律：对于任意向量u、v和w，有(u + v) + w = u + (v + w)。
4. 向量加法交换律：对于任意向量u和v，有u + v = v + u。
5. 标量乘法封闭性：对于任意标量k和向量v，k * v也属于向量空间。
6. 标量乘法结合律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k * l) * v = k * (l * v)。
7. 向量与标量加法的分配律：对于任意标量k和向量v、w，有k * (v + w) = k * v + k * w。
8. 向量与标量乘法的分配律：对于任意标量k和l以及向量v，有(k + l) * v = k * v + l * v。
满足以上八个性质的集合即可称为向量空间。
二、向量空间的性质在向量空间中，还有一些重要的性质：1. 零向量的唯一性：向量空间中的零向量是唯一的，即任意向量空间中的零向量都相等。
2. 负向量的存在性：对于任意向量v，在向量空间中存在一个向量-u，使得v + (-u) = 0。
这里的-u被称为v的负向量。
3. 数乘的零乘性：对于任意标量k和向量v，在向量空间中，有0 * v = 0，其中0表示标量的零。
4. 数乘的单位元性：对于任意向量v，在向量空间中，有1 * v = v，其中1表示标量的单位元。
三、向量空间的应用向量空间的概念和性质在数学和科学中有广泛的应用。
线性代数课件--5.1向量空间基本概念
R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax，x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理 定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ，a2 ，… ，an 的线性组合 则方程组有解的条件是 b 可作为
定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集
合称为向量组． 有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c ， 必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ，即 cx1 N ( A) ； 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论，先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3
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向量空间的基本概念
【例3-19】
证明向量组α1=1,1,2T,α2=3,－1,0T,α3=（2,0,－11）T构成R3的 一组基，并求出向量β=1,－1,7T在此基下的坐标.
证明 要证明α1,α2,α3构成R3的一组基，只需证明α1,α2,α3线性 无关.
构造矩阵A=α1,α2,α3,并对A进行初等行变换：
对于向量空间Rn的一组基α1,α2,…，αn，任取Rn中的 一个向量α，则α可由α1,α2,…，αn线性表示，且表达式是 唯一的.由此，我们引进如下定义：
向量空间的基本概念
定义3-14
设α1,α2,…，αr是向量空间V的一组基，α是V中的向量， 则存在唯一的一组数x1,x2,…,xr，使
α=x1α1+x2α2+…+xrαr 称x1,x2,…,xr为向量α在基α1,α2,…，αr下的坐标. 特别地，在n维向量空间R n中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en为基，则以x1,x2,…,xn为分量的向量x=x1,x2,…,xn可 表示为
向量空间的基本概念
二、 向量空间的基与维数
向量空间中的每一个元素都是一个 向量.我们在前面介绍的关于n维向量的 概念（线性组合、相性相关、线性无关 等）及有关结论都可以推广到向量空间 上.为简便起见，在向量空间里，我们直 接利用这些概念和性质.
向量空间的基本概念
定义3-13
设向量组V是Rn的一个子空间，则称向量组V的一个极 大无关组为向量空间V的一组基，并且称向量组V的秩为向量 空间V的维数，记作dimV.
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
一、 向量空间与子空间
定义3-11
设V为n维向量的集合，如果集合V非空且对于向 量的线性运算（向量的加法及数乘运算）封闭，即对任 意的α，β∈V和常数k∈R都有
α+β∈V, kα∈V 就称集合V为一个向量空间. 由一个零向量所构成的集合{0}也是一个向量空间， 称之为零空间.
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
即
这就是从旧坐标y1,y2,y3到新坐标z1,z2,z3的坐 标变换公式.
谢谢聆听
向量空间的基本概念
定义3-12
如果V1是向量空间V的一个非空子集，且V1关于向量的 加法和数乘运算都封闭，那么称V1是V的一个子空间.
向量空间V本身和V中零向量组成的零空间都是V的子空 间.这两个子空间称为V的平凡子空间，它们分别构成V的最 大和最小子空间.V的其他子空间称为非平凡子空间.
任何由n维向量所组成的向量空间都是Rn的子空间.
向量空间的基本概念
【例3-16】
集合 V=x=0,x2,…,xnTx2,…,xn∈R 是一个向量空间.因为若α=0,a2,…,anT∈V，β=0,b2,…,bnT∈V， 则 α+β=0,a2+b2,…,an+bnT∈V，λα=0,λa2,…,λanT∈V
向量空间的基本概念
【例3-17】
集合 V=x=1,x2,…,x nTx2,…,x n∈R 不是向量空间.因为若α=0,a2,…,anT∈V，则 2α=2,2a2,…,2anTV
如果向量空间V没有基，就称V的维数为0，0维向量空间 只含一个零向量.
我们注意到，向量空间V的基就是把V看成向量组时的极 大无关组，因此，向量空间的基未必唯一，但任意两个基所 含向量的个数，即向量空间的维数是不会变的.
由定义3-13知，全体n维向量构成一个向量空间，记作 Rn.容易验证Rn的维数为n，所以我们把Rn称为n维向量空间.
向量空间的基本概念
值得注意的是：不要把向量空间的维数和向量的维数 这两个概念搞混淆.一个向量有n个分量，则称此向量为n维 向量；而由n维向量构成的向量子空间，它的维数是指基 中所含向量的个数，可能是0,1,…,n.由于已知超过n个的n 维向量一定线性相关，所以由n维向量构成的向量空间V的 维数不会超过n.
定义3-13的等价叙述如下： 设向量组V是Rn的一个子空间，若有向量组α1,α2,…， αr∈V，满足： （1）α1,α2,…，αr线性无关. （2）V中任意一个向量都可由α1,α2,…，αr线性表示.
向量空间的基本概念
则称向量组α1,α2,…，αr为向量空间的一个基，基中所含 的向量个数r称为向量空间V的维数，记为dimV=r，并称V为 r维向量空间.
向量空间的基本概念
有RA=Rα1,α2,α3=3,所以α1,α2,α3线性无关，它 们一定构成R3的一个基.
下面求向量β在基α1,α2,α3下的坐标. 构造矩阵A,β=α1,α2,α3,β,并对A,β施行初等行变 换，将其化为行最简形矩阵：
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
=α1,α2,α3， B=β1,β2,β3.求用α1,α2,α 3表示β1,β2,β3的表达式（基变换公式）， 并求向量x在两组基下的坐标之间的关系式（坐标变换公式）.
x=x1e1+x2e2+…+xnen
向量空间的基本概念
可见，向量在e1,e2,…,en基下的坐标就是该向量 的分量.因此，e1,e2,…,en也称为Rn中的自然基.
当然，同一个向量在不同的基下会有不同的坐 标.求向量α在基α1,α2,…,αr下的坐标的方法，就是求 方程组
x1α1+x2α2+…+xrαr=α 的解.
解 α1,α2,α3=e1,e2,e3A，e1,e2,e3=α1,α2,α3A－1 故 β1,β2,β3=e1,e2,e3B=α1,α2,α3A－1B
向量空间的基本概念
即基变换公式为 β1,β2,β3=α1,α2,α3P 其中，变换公式的系数矩阵P=A－1B称为从旧 基到新基的过渡矩阵. 设向量x在旧基和新基下的坐标分别为y1,y2,y3 和z1,z2,z3，即