第三节 泰勒公式
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第三节泰勒公式-PPT精选文档
从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该 点处的切线来拟合曲线。--------以直代曲 不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。
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因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出 误差公式。 问：若f (x)在 x0 处二阶可导, 会不会有一个二次多项式来近似表示？ 若f (x)在 x0 处 n 阶可导, 结果又会如何？
π
π
x
O
-1
p2(x)
. p8( x)比 p2(在更大的范围内更接近余弦函数 x)
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lim f( x )f( x ) (1) 若 f (x )在 x 连续 , 则有 x 0 0 x
0
由极限和无穷小量间的关系
f ( x ) f ( x ) 0
f( x )f( x ) 用常数代替函 0
第三章
第三节 泰勒公式
一、问题的提出 二、泰勒公式
三、麦克劳林公式
四、泰勒公式的应用
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一、问题的提出
1、关于多项式
2 n 1 n ( x ) a a x a x a x a x 多项式 P 是最 n 01 2 n 1 n
简单的一类初等函数. 由于它本身的运算仅是 有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面， 多项式是人们乐于使用的工具. 因此我们经常用多项式来近似表达函数
O
x
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八次逼近
2 8 p ( x ) a a x a x a x 八次多项式 8 逼近 0 1 2 8 y1 p y=1 1( x) f ( x ) cos x p (x) p ( 0 ) f ( 0 ) 令： ,求出a0 1 8
泰勒公式 (1)
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麦克劳林公式
f ( x) f (0) f (0) x
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1 f (0) 2 x x x (n 1) ! n! 2! (0 1)
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2
(4) f ( x) (1 x) , ( x 1)
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(n) (n) Rn ( n ) Rn ( x0 ) R ( n1) ( ) n (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
( 在 x0 与 xn 之间 )
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Rn ( x) f ( x) pn ( x) Rn ( x) ) ( x x0 ) n1 (n 1) !
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麦克劳林公式
f ( x) f (0) f (0) x
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1 f (0) 2 x x x (n 1) ! n! 2! (0 1)
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三、泰勒公式的应用
麦克劳林公式
(1 x) 1 x
( 1)
(5) f ( x) ln(1 x) ( x 1) k 1 ( k 1) ! (k ) ( k 1, 2 ,) 已知 f ( x) ( 1) (1 x) k 因此可得 xn x 2 x3 ln(1 x) x ( 1) n 1 Rn ( x) 2 3 n
1 p ( x ) a2 2 ! n 0
2 !a2 n(n 1)an ( x x0 ) n2
麦克劳林公式
f ( x) f (0) f (0) x
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1 f (0) 2 x x x (n 1) ! n! 2! (0 1)
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2
(4) f ( x) (1 x) , ( x 1)
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(n) (n) Rn ( n ) Rn ( x0 ) R ( n1) ( ) n (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
( 在 x0 与 xn 之间 )
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Rn ( x) f ( x) pn ( x) Rn ( x) ) ( x x0 ) n1 (n 1) !
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麦克劳林公式
f ( x) f (0) f (0) x
f ( n ) (0) n f ( n1) ( x) n1 f (0) 2 x x x (n 1) ! n! 2! (0 1)
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三、泰勒公式的应用
麦克劳林公式
(1 x) 1 x
( 1)
(5) f ( x) ln(1 x) ( x 1) k 1 ( k 1) ! (k ) ( k 1, 2 ,) 已知 f ( x) ( 1) (1 x) k 因此可得 xn x 2 x3 ln(1 x) x ( 1) n 1 Rn ( x) 2 3 n
1 p ( x ) a2 2 ! n 0
2 !a2 n(n 1)an ( x x0 ) n2
第三节、泰勒公式
第三节、泰勒公式
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
一、泰勒（Taylor）定理
定理1(Taylor中值定理)
设函数f ( x)在x0处n阶可导,则
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2！
)
(x
x0 )2
f
n( x0 n！
)
(x
x0 )n
o(( x
x0
)n )
f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
...
f (2m1) (0) x 2m1 (2m 1)!
f (2m) (0) x 2m (2m)!
R2m ( x).
sin x
x
x3 3!
x5！5 (1)m1
(2xm2m11)！
f (2) 3(2)2 4(2) 3 23. f (2) 6(2) 4 12 4 16.
f (2) 6. f (4) ( ) 0.
f ( x) 26 23( x 2) 8( x 2)2 ( x 2)3
x2 x x x 2 ln 2 o( x 2 )( x 0).
例3、设f ( x)在[a, b]上满足f ( x) 0, 证明:
对任意的x1 , x2 [a, b], 都有
证明
f
(
1 3
x1
2 3
x2 )
1 3
f ( x1 )
2 3
f ( x2 ).
令
:
x0
泰勒公式
f
(k )
(k = 0 , 1 , 2 , … , n) (0) sin(x k ) 2 x 0
k si n 2
0 ,
k = 2m
(－1)m , k = 2m+1
数学分析（上）
可得
x sin x x 3!
3
3
(1)
5
n 1
x n cos x 2 n 1 (1) x (2n 1)! (2n 1)!
数学分析（上）
x 0 I， 设 f ( x ) 在区间 I 上具有 n+1 阶导数，
多项式 ( n) f ( x0 ) n Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n! 称为 f ( x )在x0处 n次Taylor多项式,公式(1)称为 f ( x ) 按 ( x x0 ) 的幂展开的 n阶泰勒公式， Rn ( x ) 称为拉格朗日型余项 . 注 1) n = 0 时 , 得到 Lagrange 中值定理 . 因此 Taylor公式是 Lagrange 定理的推广 . 2) n = 1 时 , 得到微分近似计算公式 .
2 n 1
x x sin x x 3! 5!
2 4
(1)
n 1
x 2 n 1 o x (2n 1)!
2n
2 n 1
x x n x 2 n 1 cos x 1 (1) o( x ) 2! 4! (2n)!
o( x )
数学分析（上）
Rn
( n 1 )
( x) f
( n 1 )
( x)
( n)
令 g（x）= ( x －x0 )n+1 , 则
高等数学-导数-第三节 泰勒公式
0 (x x )k R (x)
k 0
k!
0
n
称为
f
(x)
按
(x
x 0
)
的幂展开的
n
阶泰勒公式
拉格朗日形式的余项
Rn (x)
f
(n1) ( )
n 1!
(
x
x0
)n1
(
在x0与x之间)
余项也可写为
Rn ( x)
f
(n1)( x0 ( x
(n 1)!
x0 ))
(x
x0 )n1
(0 1)
f '''(0) 1, f (4) (0) 0,...,
sin x
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
...
( 1)( m 1)
x 2m1 (2m 1)!
R2m
sin[x (2m 1) ]
其 中 R2m
2 x2m1 (2m 1)!
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2.取 x0 0,
在0与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
估计式
由泰勒中值定理可知,用泰勒多项式Pn(x)近似表达 函数f (x)时,其误差为 Rn (x) .如果对于某个固定的n,
之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
3.3 泰勒公式
答案
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
高等数学：第三节 泰勒公式
Rn( x)
f
(n1) ( )
n1 !
(
x
x0
)n1
Lagrange型余项
11
（2）n 0时，Taylor公式变为Lagrange中值公式：
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
（3）若对某固定的n，当x (a, b)时，| f ( (n1) x) | M ,则
第三节 泰勒（Taylor）公式
一、问题的提出 二、泰勒（Taylor）中值定理 三、常见函数的Taylor（Maclaurin)公式 四、简单的应用 五、小结 思考题 六、作业
1
一、问题的提出
复杂函数用简单函数逼近（近似表示） 多项式表示的函数很简单（只含有加、减、乘三种运 算，易于计算函数值，更易于在计算机上实现运算）
n k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(x
x0 )k
.
6
当f ( x)在x0处有直到n阶的导数时，用f (k)( x0 )构造出
pn( x)的系数ak
f (k) ( x0 ) , 从而得 k!
n
pn ( x) ak ( x x0 )k ,
k0
这个多项式在x0点与f ( x)具有相同的函数值及相同 直至n阶的导数值，该多项式称为函数f ( x)在x0处的
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn( x)
f (n1) ( ) (
(n 1)!
x
x0 )n1
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
′ ′ ′ Rn (ξ1 ) Rn (ξ1 ) − Rn ( x0 ) = n ( n + 1)(ξ1 − x0 ) ( n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′ Rn′(ξ 2 ) = n( n + 1)(ξ 2 − x0 )n−1 (ξ 2在x0与ξ1之间)
−6
e 1 1 e = 1+1+ +L+ + (0 < θ < 1) n ! (n + 1) ! 2! 由于 0 < eθ < e < 3 , 欲使 3 < < 10−6 Rn (1) (n + 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e ≈ 1 + 1 + + L + = 2.718281 2! 9!
x
代入公式,得
x n+1
x x eθ e = 1+ x + +L+ + x 2! n! ( n + 1)!
2 n
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10 . 解: 已知 e x 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn x eθ x x n +1 e =1 + x + + +L + + 2 ! 3! n ! (n + 1) ! (0 < θ < 1) 令x=1,得 θ
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
′ ′ ′ Rn (ξ1 ) Rn (ξ1 ) − Rn ( x0 ) = n ( n + 1)(ξ1 − x0 ) ( n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′ Rn′(ξ 2 ) = n( n + 1)(ξ 2 − x0 )n−1 (ξ 2在x0与ξ1之间)
−6
e 1 1 e = 1+1+ +L+ + (0 < θ < 1) n ! (n + 1) ! 2! 由于 0 < eθ < e < 3 , 欲使 3 < < 10−6 Rn (1) (n + 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
1 1 e ≈ 1 + 1 + + L + = 2.718281 2! 9!
x
代入公式,得
x n+1
x x eθ e = 1+ x + +L+ + x 2! n! ( n + 1)!
2 n
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10 . 解: 已知 e x 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn x eθ x x n +1 e =1 + x + + +L + + 2 ! 3! n ! (n + 1) ! (0 < θ < 1) 令x=1,得 θ
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
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f(
k
)
(x) n(n 1)(n k
f (k)(0) n(n 1)(n
1)(1 x)n牛k顿二项展开式是
k 1). 泰勒公式的特例!
ff(1((x x)x))n f(a )
f
1(f
0(a))
( x
f
a
)n(0f )(ax)
(x naf()n2(01))
x2
1!
1! 2!
2!
n(nf
1()k()n(0k )1) xn k!
1!
2!
f (n)(a) (x a)n
多项式 f (x) 的泰勒公式
n!
例1. 按x 1的方幂展开f ( x) x3 3x2 2x 4.
解: f ( x) x3 3x2 2x 4 f (1) 6;
f (x) 3x2 6x 2
f (1) 7;
f ( x) 6x 6
f (x) f (x0) x x0
f ( x0 )
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 ),
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). (3.1)
一次多项式 p1( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(
x0
)
lim
x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
.
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) a2(x x0 )2 o[(x x0 )2].
f
( x)
f
( x0 ) f ( x0 )( x ( x x0 )2
x0 )
a2
o[( x x0 )2 ] ( x x0 )2
第三章
第三节 泰勒( Taylor )公式
一、多项式的泰勒公式 二、泰勒公式的引入
三、泰勒公式 四、泰勒公式的应用
回顾
拉格朗日中值公式:
f ( x) f (a) f ( )( x a)
(在 a 与 x 之 间)
或
f ( x) f (a) f ( )(x a)
问题: 能否推广此公式? 泰勒公式!
令 xa
b0 f (a)
f (x) b1 2b2(x a) nbn(x a)n1
令xa
b1 f (a)
f (x) 2b2 3 2b3(x a) n(n 1)bn(x a)n2
令xa
b2
1 2!
f
(a)
…
bn
1 n!
f
(n) (a)
按
x
–
a
的方
f ( x) f (a) f (a) ( x a) f (a) ( x a)2 幂把 f (x) 展开
说明：在x a邻近,容易计算g( x)的近似值, 也容易讨论g( x)在 x a 的性质.
按 x – a 的方幂把 f (x) 展开:
f (x) b0 b1(x a) b2(x a)2 bn (x a)n
f ( x) b0 b1( x a) b2( x a)2 bn( x a)n
(1) 若 f ( x) 在 x0 处连续,则
f (x0 )
lim
x x0
f (x)
a0 .
f ( x) f ( x0 ) a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[(x x0 )2],
f
(
x) x
f( x0
x0
)
a1
a2
(
x
x0
)
o[(
x x
x0 x0
)2
]
(2) 若 f ( x0 ) 存在,则
f(
n n)!(a)( x
fa()nnn!) (0) n!
xn
三、泰勒公式的引入
当 x 很小时, ex 1 x,
ye
y ex
x
ln(1 x) x. y x
y 1 x
y ln(1 x)
பைடு நூலகம்
不足: 1. 精确度不高; 2. 误差不能估计.
方法: 试找出一个关于( x x0 )的n 次多项式:
6( 1()x(
x
1)12)4
( x1)f3
.(n0)
(1)
(
x
1)n
4!
n!
例2. 按 x 的方幂展开f ( x) (1 x)n .
解: 按 x 的方幂展开, 即是按 x － 0 展开.
f ( x) (1 x)n
f (0) 1;
f (x) n(1 x)n1
f (0) n;
f (x) n(n 1)(1 x)n2 f (0) n(n 1);
pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n 满足: (1) f ( x) pn( x);
(2) 误差 Rn( x) f ( x) pn( x) o(( x x0 )n ).
设 f ( x) 在 x0 处可导, 即
lim
x x0
f ( x) p1( x)
f (x) 一次近似式
误差： R1( x) f ( x) p1( x) o( x x0 ).
问题：能否找到三个常数 a0 , a1 , a2，使得
f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[(x x0 )2]?
f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 o[( x x0 )2 ].
(3) 若 f ( x0 ) 存在,则令 x → a, 在上式两端取极限得
f ( x0 ) 2!
一、多项式的泰勒公式 f ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn (1)
f (0) a0 f ( x) f (0) a1x a2 x2 an xn f ( x) f (0) a1x a2 x2 a1xn 说明：当| x | 很小时,容易计算f ( x)的近似值,
f (1) 12;
f ( x) 6
f (k)( x) 0 (k 4)
f (1) 6; f (k)(1) 0 (k 4).
f ( x) f 6(1) f 7(1) ( x 1) f12(1) ( x 1)2 f 6(1) ( x 1)3
1!
2!
3!
6
7(
x
1f)
(04)
也容易讨论f ( x)在原点的性质.
问题: 在 x = a (a≠0) 邻近 f (x) 具有什么性质？
g( x) b0 b1( x a) b2( x a)2 bn( x a)n (2)
g(a) b0 g(x) g(a) b1(x a) b2(x a)2 bn(x a)n