华师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
华师大版数学九年级上册期中考试试卷带答案详解
华师大版数学九年级上册期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1x 的取值范围是（ ）A ．5x ≥B ．5x >C ．5x <D ．5x ≤2．一元二次方程2x 2﹣3x +1＝0化为（x +a ）2＝b 的形式，正确的是（ ）A ．23x-=162⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2312x-=416⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．231x-=416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．以上都不对 3．在ABC 与'A B ’'C 中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断'''ABC A B C ∽的共有（ ）组． ①AB BC A B B C =''''； ②BC AC B C A C =''''； ③'A A ∠=∠；④'C C ∠=∠． A ．1B ．2C ．3D ．4 4．点()1,3N -可以看作由()1,1?M --（）得到． A ．向上平移4个单位 B ．向左平移4个单位 C ．向下平移4个单位 D ．向右平移4个单位 5．用公式法解231x x -+=时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（ ） A ．1-，3，1- B ．1，3-，1- C ．1-，3-，1- D ．1-，3，1 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD=8，DB=2，则CD 的长为（ ）A ．4B ．16C ．D ．7．关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－18．如图所示：两根竖直的电线杆AB 长为6，CD 长为3，AD 交于BC 于点E 点，则E 到地面的距离EF 的长是（ ）A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.59．如果a ，b 是一元二次方程2240x x --=的两个根，那么322a b a b -的值为（ ） A ．8- B ．8 C ．16- D ．1610．如图，EF 是ABC 的中位线，O 是EF 上一点，且满足2OE OF =．则ABC 的面积与AOC 的面积之比为（ ）A ．2B ．32C ．53D ．3二、填空题11与x 的值是________． 12．在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局胜者记2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分．某位同学统计了比赛中全部选手的得分总和为110分，则这次比赛中共有________名选手参赛．13．梯形的下底长为8cm ，中位线长为6cm ，则上底长为________cm ．14=________．15．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________． 16．ABC 中，A 的坐标是()3,6，以原点为位似中心，将三角形缩小到原来12，则对应点的'A 的坐标是________．17．当1a =，1b =时，11a b-=________．18．若12a c e b d f ===，则a c e b d f++=++________． 19．已知a 、b 、d 、c 是成比例线段，a=4cm ，b=6cm ，d=9cm ，则c=_____．20．在平面直角坐标系中，点()4,2A ，关于x 轴的对称点坐标是________，关于原点对称的点的坐标为________．三、解答题21．如图ABC 的顶点坐标分别为()1,1A ，()2,3B ，()3,0C ．（1）以点O 为位似中心画DEF ，使它与ABC 位似，且相似比为2．（2）在()1的条件下，若(),M a b 为ABC 边上的任意一点，则DEF 的边上与点M 对应的点'M 的坐标为________．22．用适当的方法解下列方程：（1）2420x x +-=； （2）()()323x x x -=-．23．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.24．在正方形ABCD 中，已知13AF AB =，14CG CB =， 求：（1）::EF FG GH ，（2）:AE CH ．25．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，15AB =，30CD =，点E ，F 分别为AD ，BC 上一点，且//EF AB ．若梯形AEFB ∽梯形EDCF ，求线段EF 的长．26．Rt ABC 中，90A ∠=，8AB cm =，6AC cm =，P 、Q 分别为AC ，AB 上的两动点，P 从点C 开始以1/cm s 的速度向点A 运动，Q 从点A 开始以2/cm s 的速度向点B 运动，当一点到达终点时，P 、Q 两点就同时停止运动．设运动时间为ts ．（1）用t 的代数式分别表示AQ 和AP 的长；（2）设APQ 的面积为S ，①求APQ 的面积S 与t 的关系式；②当2t s =时，APQ 的面积S 是多少？（3）当t 为多少秒时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？答案与详解1．A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】∵∴x −5≥0，解得x ≥5.故选A.【点睛】考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题的关键.2．C【分析】先进行移项，再把二次项系数化为1，配方即可．【详解】移项得2x ²-3x =-1， 二次项系数化为1得23122x x -=-， 配方得23919216216x x -+=-+， 即231()416x -=， 故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，运用配方法时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键．3．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似，③有三组对应边的比相等的两三角形相似）得出即可．【详解】能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的有①②或②④或③④，共3组，故选：C.【点睛】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.4．A【解析】【分析】根据向上平移，纵坐标加进行计算即可得解．【详解】由M (−1,−1)得到N (−1,3)，−1+4=3，所以，向上平移4个单位.故选:A.【点睛】考查点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键.5．A【分析】把方程变为一般式，即可确定a ，b ，c ．注意a ，b ，c 可同时乘以一个不为零的数．【详解】把方程231x x -+=化为一元二次方程的一般形式为2310x x -+=，∴a =1，b =−3，c =1.但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：2310x x -+-=，此时a =−1，b =3，c =−1.故选:A.【点睛】考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.6．A【详解】∵∠C=90°，CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠CDB=90°, ∠CAD+∠CBD=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBD ，∴△ADC ∽△CDB ， ∴=CD BD AD CD， ∵AD=8，DB=2∴CD=4．故选A7．C【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根， ∴()a 1a 10{{4412a 10a 3≠-≠⇒∆=--≥≤. 即a 的取值范围是4a 3≤且a 1≠. ∴整数a 的最大值为0.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键.8．A【解析】【分析】 根据相似三角形对应边成比例可得DF EF BF EF BD AB BD CD==，， 然后代入数据两式相加其解即可．【详解】∵两根电线杆AB 、CD 都竖直，EF 垂直于地面，∴△ABD ∽△EFD ，△BCD ∽△BEF ， ∴DF EF BF EF BD AB BD CD==，， ∴DF BF EF EF BD BD AB CD+=+， 即163EF EF +=， 解得EF =2.故选:A.【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.9．C【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到ab=-4，再把原式表示得到原式=a 2•ab -2a•ab ，利用整体代入的方法可化简得到原式=-4a 2+8a ，接着根据一元二次方程解的定义得到a 2=2a+4，然后再次利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意，ab =−4，所以原式()222242448a ab a ab a a a a =⋅-⋅=--⋅-=-+， ∵a 是一元二次方程2240x x --=的根，∴a 2−2a −4=0,即a 2=2a +4，∴原式=−4(2a +4)+8a =−8a −16+8a =−16.故选：C.【点睛】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-= 是解决本题的关键.10．D【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，12EF BC=，再求出OE与BC的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可．【详解】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC,12EF BC=，∵OE=2OF，∴1212123OE BC BC =⨯=+，设点A到BC的距离为h，则11111,22236 ABC AOCS BC h S OE h BC h BC h =⋅=⋅=⨯⋅=⋅，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比=3.故选：D.【点睛】考查三角形中位线定理, 三角形的面积，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.11．2-或5【解析】【分析】直接利用二次根式的性质得出x2-4x=10-x，进而求出即可．【详解】∵与∴x2−4x=10−x，解得：x1=−2,x2=5，故答案为：−2或5.【点睛】考查最简二次根式的定义，掌握同类同类二次根式的定义是解题的关键.12．11【解析】【分析】每局的得分均为2分，2人的比赛只有一局；局数=12×选手数×（选手数-1）；等量关系为：2×局数=所得分数．【详解】设这次比赛中共有x 名选手参加，则，12(1)1102x x ⨯⨯-=， 解得x =11，故答案是：11.【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.13．4【解析】【分析】根据梯形的中位线定理得：下底=中位线长的2倍-上底．【详解】根据梯形的中位线定理得，上底=2×6-8=4cm ．故答案为：4.【点睛】考查梯形中位线定理，掌握梯形的中位线定理是解题的关键.14．【解析】【分析】由于两个分母互为有理化因式，故先将分式通分，然后再计算．【详解】== 故答案为：【点睛】考查二次根式的加减，掌握分母有理化的方法是解题的关键.15．0a =或316a ≥-【分析】，∴y≥0，则原方程可化为：211023ay y +-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．【详解】y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解)当△=0时,14043a +=， 解得：316a =-， 故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-， 故答案为0a =或316a ≥-【点睛】考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.16．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k 求解．【详解】根据题意得对应点的A ′的坐标为(12×3,1 2×6)或(−12×3,−1 2×6)， 即A ′的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故答案为:3,32⎛⎫⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【点睛】考查位似变换，位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．17．-2【解析】【分析】由a 与b 求出ab 与b-a 的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．【详解】∵1a =，1b =∴1)12ab b a ==-=-，， 则原式 2.b aab -==-故答案为：−2.【点睛】考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算是解题的关键.18．12【解析】【分析】 由12aceb d f ===，可得b=2a ，d=2c ，f=2e ，代入可求得a c eb d f ++++的值．【详解】 ∵12ace b df ===，∴b =2a ，d =2c ，f =2e ， ∴a c e b d f ++++1.2222()2ac e a c e a c e a c e ++++===++++ 故答案为：1.2【点睛】考查比例的性质，分式的化简求值，根据12a c eb d f ===，可得b=2a ，d=2c ，f=2e ，代入所求代数式是解题的关键.19．13.5cm【解析】解：∵a 、b 、d 、c 是成比例线段，∴a ：b =d ：c ．∵a =4cm ，b =6cm ，d =9cm ，∴4：6=9：c ，∴c =13.5（cm ）．故答案为：13.5cm ．20．()4,2- ()4,2--【解析】【分析】根据关于x 轴对称的点的规律，关于原点对称的点的规律，可得答案．【详解】在平面直角坐标系中，点A (4,2)，关于x 轴的对称点坐标是(4,−2)，关于原点对称的点的坐标为(−4,−2)，故答案为：(4,−2)，(−4,−2).【点睛】考查关于原点对称的点的坐标，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.21．()2,2a b 或()2,2a b --【解析】【分析】（1）把点A 、B 、C 的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D 、E 、F 的坐标，再描点可得△DEF ；把点A 、B 、C 的横、纵坐标都乘以-2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′； （2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【详解】（1）如图，△DEF 和△D′E′F′为所作；（2）点M 对应的点M′的坐标为（2a ，2b ）或（-2a ，-2b ）．故答案为（2a ，2b ）或（-2a ，-2b ）．【点睛】考查位似变换，找到对应点是解题的关键.22．（1）12x =-22x =-（2）13x =，22x =-．【解析】【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先变形得到x （x-3）+2（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）242x x +=，2446x x ++=，2(2)6x +=，2x +=所以12x =-22x =-（2）()()3230x x x -+-=，()()320x x -+=，30x -=或20x +=，所以13x =，22x =-．【点睛】考查解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法是解题的关键.23．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 24．()1 ::3:6:2EF FG GH =；()2 :27:16AE CH =．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AD ∥BC ，CD ∥AB ，再根据平行线分线段成比例定理，由AE ∥BG 得到EF AF FG BF =，而13AF AB =，则12EF FG =，同理可得3FG GH=，然后利用比例性质得到EF ：FG ：GH=3：6：2； （2）根据平行线分线段成比例定理和（1）中的结论，由AF ∥DH 得到38AE EF AD FH ==，即38AE AD =，同理可得29CH GH CD EG ==，即29CH CD =，根据正方形的性质得AD=CD ，所以AE ：CH=27：16．【详解】()1∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，//CD AB ，∵//AE BG ， ∴EFAFFG BF =，而13AF AB =， ∴12AFBF =， ∴12EFFG =，∵//CH BF ， ∴FGBGGH CG =， 而14CGBG =， ∴3BGCG =， ∴3FGGH =， 即36EFFG =，62FGGH =，∴::3:6:2EF FG GH =；()2∵//AF DH ， ∴38AEEF AD FH ==，即38AE AD =，∵//CG DE ， ∴29CHGHCD EG ==，即29CH CD =，而AD CD =，∴:27:16AE CH =．【点睛】考查平行线分线段成比例，三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例.25．．【解析】【分析】根据相似多边形对应边成比例列出关系式，代入已知数据计算即可．【详解】∵AEFB ∽梯形EDCF ， ∴AB EF EF CD=， ∴2450EF AB CD =⨯=，解得EF =【点睛】考查相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例.26．()1?2AQ t =，6AP t =-；()2 ①26S t t =-，②28cm ；()3当t 为2.4秒或1811时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．【解析】【分析】（1）用t 的代数式分别表示AQ=2t ，AP=6-t ；（2）设△APQ 的面积为S ，①根据三角形的面积公式可知()21126622S AQ AP t t t t =⋅=⨯⨯-=-，即S=6t-t 2； ②当t=2s 时，代入三角形的面积公式即可求值．（3）①当当AQ AP AB AC =时2666t t -=，则有t=2.4（s ）； ②当AQ AP AC AB =时2668t t -=，则有()1811t s =； 【详解】()1用t 的代数式分别表示2AQ t =，6AP t =-；()2设APQ 的面积为S ，①APQ 的面积S 与t 的关系式为：()21126622S AQ AP t t t t =⋅=⨯⨯-=-，即26S t t =-，②当2t s =时，APQ 的面积()()2112262822S AQ AP cm ⎡⎤=⨯⋅=⨯⨯⨯-=⎣⎦； ()3当t 为多少秒时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，①当AQ AP AB AC =时2666t t -=，∴()2.4t s =； ②当AQ AP AC AB =时2668t t -=，∴()1811t s =； 综上所述，当t 为2.4秒或1811时， 以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．【点睛】 考查相似三角形的性质, 列代数式, 根据实际问题列二次函数关系式，掌握相似三角形的性质是解题的关键.。
华师大版数学九年级上册期中考试试卷含答案详解
华师大版数学九年级上册期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．如果y ，那么y x 的算术平方根是（ ） A ．2B ．3C ．9D ．±32．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）A B CD 3．一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的根是（ ） A ．x 1=1，x 2=6B ．x 1=2，x 2=3C ．x 1=1，x 2=﹣6D ．x 1=﹣1，x 2=64．用配方法解方程x 2﹣23x ﹣1＝0时，应将其变形为( ) A ．(x ﹣13)2＝89B ．(x+13)2＝109C ．(x ﹣23)2＝0D ．(x ﹣13)2＝1095．下列各线段的长度成比例的是（ ）A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，6cm ，7cm ，9cmD ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm 6．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果AE EC =35，那么ACAB等于（ ）A ．35B ．53C ．85D ．327．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ） A ．有两不相等实数根 B ．有两相等实数根 C ．无实数根D ．不能确定8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ）A．168（1+x）2＝108 B．168（1﹣x）2＝108C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1﹣x2）＝1089．已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2 10．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF，已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF 的长度是（）A．247B．4 C．127或2 D．4或247二、填空题11．计算：2(=_____．12．已知513ba=，则a ba b-+=_____．13．若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为__________．14．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC的度数为_____．15．如图，点G为△ABC的重心，GE∥BC，BC=12，则GE=________．16．如图所示，已知点F的坐标为（3，0），点A，B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣35x （0≤x≤5），则下列结论：①AF=2； ②S △POF 的最大值是6；③当d=165时，OP=； ④OA=5．其中正确的有_____（填序号）．三、解答题17﹣（12）﹣1π﹣3.14）04|． 18．解方程：2(x 3)3x(x 3)-=-19．先化简，再求值：）其中a=17﹣20．如图，△ABC 三个顶点分别为A （0，﹣3），B （3，﹣2），C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1．21．已知关于x 的方程x 2+2（a ﹣1）x+a 2﹣7a ﹣4=0的两根为x 1，x 2，且满足x 1x 2﹣3x 1﹣3x 2﹣2=0，求a 的值．22．如图，一条河的两岸BC 与DE 互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m ，在与河岸DE 的距离为16 m 的A 处(AD ⊥DE)看对岸BC ，看到对岸BC 上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE 上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．第五届中国机器人峰会将于5月9日在余姚开幕，某公司购买一种T恤衫参加此次峰会．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．(1)如果购买x件(10＜x＜60)，每件的单价为y元，请写出y关于x的函数关系式；(2)如果该公司共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤衫的购买数量．24．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）25．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．答案与详解1．B【详解】解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得：x=2，∴y=3，则y x=9，9的算术平方根是3．故选B．2．B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可.【详解】，不是最简二次根式；是最简二次根式；.故选B.【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义.3．D【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=0，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．【详解】x2-5x-6=0（x-6）（x+1）=0x1=-1，x2=6故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．4．D【详解】分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．详解：∵x2﹣23x﹣1=0，∴x2﹣23x=1，∴x2﹣23x+19=1+19，∴（x﹣13）2=109．故选D．点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5．D 【详解】 因为2658≠，1324≠，3769≠，所以排除A 、B 、C ，选D ． 6．B 【详解】 解：∵DE ∥AB ， ∴∠ADE ＝∠BAD ， ∵AD 为△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠EAD ， ∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，∵AE 3EC 5=， ∴EC 5DE 3=， ∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CBA ，∴DEAB ECAC =， ∴5AB3EC A DE C==． 故选B ． 7．A【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可. 【详解】()2x k 3x k 0-++=，△=[-(k+3)]2-4k=k 2+6k+9-4k=(k+1)2+8， ∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．8．B【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【详解】设每次降价的百分率为x，根据题意得：168（1﹣x）2＝108．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握相关方法是解题关键.9．D【解析】试题分析：∵x12﹣x1x2=0，∴x1=0，或x1=x2．①把x1=0代入已知方程，得a﹣1=0，解得，a=1．②当x1=x2时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得，a=2．综上所述，a=1或a=2．故选D．10．D【解析】【分析】设BF=x，得出B＇F、CF的长度，分类讨论，根据相似三角形的性质分别列方程求解即可. 【详解】设BF=x，则B＇F=x，CF=8﹣x，①当△CFB ＇∽△CBA 时，B F AB ＇=CFBC ， ∴6x =88x -， 解得x =247；②当△CFB ＇∽△CAB 时，B F AB＇=CFAC ， ∴6x =86x -， 解得x =4. ∴BF =4或247. 故选D. 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质以及分类讨论思想的运用. 11．3 【解析】【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【详解】(2=3， 故答案为3【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 12．49【解析】试题解析：设b=5k ，a=13k ，则：13541359a b k k a b k k --==++． 考点：比例的性质． 13．2018 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018故答案为2018【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．14．140°【详解】如图，连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，BD=2EF=12，∴∠ADB=∠AFE=50°，∵BC=15，CD=9，BD=12，∴BC2=225，CD2=81，BD2=144，∴CD2+BD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50°+90°=140°.故答案为：140°.15．4．【解析】试题分析：首先根据G点为△ABC的重心，判断出AG：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判断出GECD =AGAD=23，即可求出GE =23CD=23×6=4．考点：三角形的重心16．①②④【解析】【分析】①由x 的范围得出OA 的长度，进而得出AF 的长度；②要使△POF 的面积最大，即要使点P 到OA 的距离最大，当点P 与点B 重合时，点P 到OA 的距离最大，求出此时△POF 的面积即可；③已知d ，求出x ，再结合勾股定理求出OP 的长度即可；④x 最大值为5，当点P 与点A 重合时，x 最大，所以OA =5.【详解】①由题意得OA =5，由点F 的坐标得OF =3，所以AF =5﹣2=3，此结论正确；②令x =0，此时P 到OA 的距离最大，即△POF 面积最大，∴PF =5，∴OP =4，∴S △POF =12×3×4=6，此结论正确； ③令d =165，即5﹣35x =16，解得x =3， ∵OF =3，∴PF ⊥OA ，∴OP 5≠5，此结论错误； ④由x 的范围可得OA =5，此结论正确.故答案为①②④.【点睛】本题是一次函数的综合题，结合勾股定理与一次函数的性质求出对应线段的长度是解题的关键.17 【分析】根据二次根式的性质、负整数指数幂的性质、分母有理化的方法、零指数幂的性质及绝对值的性质依次计算各项后，再利用实数的运算法则计算即可解答.【详解】原式=2﹣2+312+﹣1+4﹣2．【点睛】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂的性质、分母有理化的方法、零指数幂的性质、绝对值的性质及实数的运算法则，熟知性质及运算法则是解决问题的关键.18．x1=3，22x3=【解析】解：2（x－3）=3x（x－3）移项得：2（x－3）－3x（x－3）=0提取公因式x－3得：（x－3）（2－3x）=0 ∴x－3=0或2－3x=0解得：x1=3，22x3=。
华师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案
华师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（ ）A ．a 1-B ．1a -C ．()21a -D ．11a -2．若tan(a+10°a 的度数是 ( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．50°3．在化简甲、乙、丙三位同学化简的方法分别是甲：原式233633==；乙：原式33===( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．都正确4．用配方法解方程x 2﹣23x ﹣1＝0时，应将其变形为( ) A ．(x ﹣13)2＝89 B ．(x+13)2＝109 C ．(x ﹣23)2＝0 D ．(x ﹣13)2＝109 5．如图，已知123∠=∠=∠，则下列表达式正确的是( )A ．AB DE AD BC= B ．AC AD AE AB = C ．AB AD AC AE = D ．BC AE DE AC = 6．如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为( )A ．5mB ．4mC ．6mD ．8m7．如图，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,1)．若将线段AB 平移至11A B ，1A 、1B 的坐标分别(3,)b 、(,2)a ，则+a b 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如果代数式225x x -+的值等于7，则代数式2361x x --的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．89．某商务酒店客房有50间供客户居住．当每间房 每天定价为180元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为10890元?设房价定为x 元，根据题意，所列方程是( )A ．()18020501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ B ．()1805050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭ C ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭ D ．()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭10．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，AB =3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．4.5D ．5二、填空题11__．12．计算：÷=__．13．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，8AD cm =，动点P ，Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm s 的速度向B 移动，一直到达B 为止；点Q 以2/cm s 的速度向D 移动．当P 、Q 两点从出发开始到__秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ．14．如图，ABC ∆是等腰三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连结CE ，则tan ACE ∠的值为__．三、解答题15．计算 sin 230°+cos 245°·tan45°；16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，若BC ，3AC =，求A ∠和AB 的值．17．已知2240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值． 18．如图，大楼AB 高16m ，远处有一塔CD ，某人在楼底B 处测得塔顶C 的仰角为38.5°，在楼顶A 处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD 的高及大楼与塔之间的距离BC 的长． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，si38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）．19．如图，在ABC ∆中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时QBP ∆与ABC ∆相似？20．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕，且tan ∠EFC=34． （1）△AFB 与△FEC 有什么关系？试证明你的结论．（2）求矩形ABCD 的周长．21．一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC ⊥BD ．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm 和14cm ．（1）小风筝的面积是多少？（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？22．如图，在△ABC 中，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，∠CBD ＝∠A ，过D 作DH ∥AB ，交BC 的延长线于点H ．（1）求证：△HCD ∽△HDB ．（2）求DH 长度．23．在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE ~；（2）若AB ＝AD ＝4，求EC 的长．24．如图，一次函数23y x =-+的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合）过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．（1）关于矩形OCPD 面积的探究：①点P 在何处时，矩形OCPD 的面积为1？写出计算过程；②是否存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32？说说你的理由． （2）设点P 的坐标是(P x ，23)(0)x x -+>，图中阴影部分的面积为S ，尝试完成下列问题： ①建立x 与S 的关系式，并类比一次函数猜想S 是x 的什么函数，能否对此类函数下一个描述性的定义，其中包含它的一般形式；②我们知道代数式2(1)9x ++有最小值9，试问当P 在何处时S 有最小值，请把你的理由．参考答案1．D【详解】解：A ．当a ≥1时，根式有意义．B ．当a ≤1时，根式有意义．C ．a 取任何值根式都有意义．D ．要使根式有意义，则a ≤1，且分母不为零，故a ＜1．故选D ．点睛：判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．2．D【分析】根据特殊角的三角形函数值即可求解.【详解】∵tan60︒=tan(a+10°∴a+10°＝60°，即a＝50°.故选D.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.牢记tan60︒=.3．D【分析】根据二次根式的性质化简，方法过程可以略有不同，本题甲、乙、丙三位同学化简的方法和结果都是正确的.【详解】甲：原式233633==，正确；乙：原式33==丙：原式==故选：D．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握性质，灵活运用化简方法是关键.4．D【详解】分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．详解：∵x2﹣23x﹣1=0，∴x2﹣23x=1，∴x2﹣23x+19=1+19，∴（x﹣13）2=109．故选D．点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．C【分析】题目中给出的条件主要是角度相等，观察图形，寻找其他等角，根据“有两个角对应相等的三角形相似”，找出图中所有相似三角形，对答案逐一判断.【详解】12∠=∠，12DAC DAC∴+=+∠∠∠∠，即BAC DAE∠=∠，23∠=∠，AFE DFC∠=∠，C E∴∠=∠，BAC DAE∠=∠，C E∠=∠，BAC DAE∴∆∆∽，∴AB BCAD DE=，A选项错误；BAC DAE∆∆∽，∴AC ABAE AD=，B选项错误；BAC DAE∆∆∽，∴AB ADAC AE=，C选项正确；BAC DAE∆∆∽，∴BC ACDE AE=，D选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，认真观察图形，找到角的相等关系，运用判定定理找出所有相似三角形是关键.6．B【分析】根据题意可得△ABD ∽△ACE ，根据相似三角形的性质可求得AE=6m ，再由DE=AE-AD 即可求得DE 的长.【详解】根据题意，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴△ABD ∽△ACE ，又AD=2m ，BD=3m ，CE=9m ． ∴BD AD CE AE =，即329AE=， ∴AE=6m ，∴DE=AE-AD=4m ．故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，解决本题要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．7．A【分析】根据点在平面直角坐标系中左右上下平移与坐标变化的关系解答，()2,0A 变为()13,A b ，说明线段右移一个单位，()0,1B 变为()1,2B a ，说明线段上移一个单位，由此判断,a b 的值即可.【详解】观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段11A B ，1a ，1b =，2a b ∴+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移与坐标的变化之间的关系，结合图形，熟练掌握这种关系是解答关键.8．A【分析】仔细观察已知代数式与要求的代数式，可发现它们的二次项与一次项存在倍数关系，据此可用整体代入法解决问题.【详解】代数式225x x -+的值等于7，222x x ，2361x x ∴--23(2)1x x =--61=-5=．故选：A ．【点睛】本题考查运用整体带入法求代数式的值，找到已知条件与要求的代数式之间的数量关系是关键.9．D【分析】设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】设房价定为x 元，根据题意，得()18020501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．10．A【分析】根据三角形中位线定理可知EF =12DN ，求出DN 的最大值即可． 【详解】解：如图，连结DN ．∵DE =EM ，FN =FM ，∴EF =12DN ，当点N 与点B 重合时，DN 的值最大即EF最大．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB∴BD，∴EF的最大值=12BD=3．故选A．点睛：本题考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．11【分析】.【详解】=【点睛】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的意义，理解掌握该知识点是解答关键. 12．3．【分析】先将括号中两数化为最简二次根式，再根据乘法分配律分别除以. 【详解】原式=÷=3=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查二次根式的化简与计算，熟练掌握化简方法，运用运算律解答是关键. 13．2或225． 【分析】本题可作PE CD ⊥，设当P 、Q 两点从出发开始到x 秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ，再表示出AP ，DQ ，EQ 的长度，在Rt PEQ 中根据勾股定理列出方程式，解之即可，需注意有两个答案.【详解】设当P 、Q 两点从出发开始到x 秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ，此时3AP xcm =，(162)DQ x cm =-，()1623EQ x x cm =--在Rt PEQ 中有：222(1623)810x x --+=，解得：12x =，2225x =． 答：当P 、Q 两点从出发开始到2秒或225秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ． 故答案为：2或225． 【点睛】 本题是综合了矩形与勾股定理等知识的动点问题，除了掌握知识点之外，动点问题一定要将整个运动过程思考清楚，在运动过程中寻找符合要求的节点和此时的数量关系.14．3．【分析】想求tan ACE ∠，需构造与之相关的直角三角形，可作EF AC ⊥于F ，设BE x =，则BD ，通过等腰直角三角形各边的数量关系用x 表示出EF ，CF 即可解答.【详解】作EF AC ⊥于F ，如图，ABC ∆是等腰三角形，90ACB ∠=︒，45A B ∠，AC BC ==， EF AC ⊥，DE AB ⊥，AEF ∴∆和BED ∆都是等腰直角三角形，设BE x =，则BD =，点D 为BC 的中点，BC AC ∴==，4AB x ∴==，43AE x x x ∴=-=，AF EF AE x ∴===，CF AC AF ∴=-=-=， 在Rt EFC ∆中，tan 3EF ECF CF ∠===． 故答案为3．【点睛】本题结合三角函数考查了等腰直角三角形的性质，关键还是根据等腰直角三角形的性质求出与三角函数相关的边长.15．34【分析】此题主要考查特殊角三角函数值的应用，代入值就可以求得结果.【详解】解：原式=（12）2+（2）2 1=14+12=34考点：特殊角三角函数值16．30A ∠=︒，AB =【分析】在直角三角形中根据勾股定理和三角函数关系解答即可.【详解】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BC ，3AC =，则AB ==tan BC A AC ∠== 30A ∴∠=︒．【点睛】本题考查的是根据勾股定理和三角函数的解直角三角形，熟练掌握三角函数与勾股定理是解答关键.17．1x 2=1c =【解析】试题分析：设另一根为x 1,由根与系数的关系得,两根和为4,求得x 1,,再根据两根积求得常数项c.试题解析：设另一根为x 1,由根与系数的关系得:12x 4∴=1x 2∴=∴(2c =∴1c =考点：根与系数的关系.18．40米【解析】【分析】过点A 作AE ⊥CD 于点E ,由题意可知：22,CAE ∠= 38.5CBD ∠=，ED =AB =16米，设大楼与塔之间的距离BD 的长为x 米,则AE =BD =x ，分别在Rt △BCD 中和Rt △ACE 中，用x 表示出CD 和CE ，利用CD −CE =DE ，得到有关x 的方程求得x 的值即可．【详解】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ,由题意可知：22,38.5CAE CBD ，∠=∠= ED =AB =16米设大楼与塔之间的距离BD 的长为x 米,则AE =BD =x (不设未知数x 也可以)∵在Rt △BCD 中,tan ,CD CBD BD∠= ∴ t an?38.50.8,CD BD x =⋅≈∵在Rt △ACE 中,tan ,CE CAE AE∠=∴ t an220.4,CE AE x =⋅≈∵CD −CE =DE ，∴0.8x −0.4x =16 ，∴x =40，即BD =40(米) ，CD =0.8×40=32(米)，答：塔高CD 是32米，大楼与塔之间的距离BD 的长为40米．19．经过2秒或0.8秒时，QBC ∆与ABC ∆相似．【分析】观察图形可得，QBP ∆与ABC ∆已经有公共角B ，根据题意需要考虑B 的两条边对应成比例，此时会出现两种情况，BP BQ BA BC =和BP BQ BC BA=，可设经过t 秒时QBC ∆与ABC ∆相似，用时间t 分别表示出相关线段的长度，代入比例式解答即可.【详解】设经过t 秒时，QBC ∆与ABC ∆相似，则2AP t =，82BP t =-，4BQ t =，PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC=时，BPQ BAC ∆∆∽，即824816t t -=，解得2()t s =； 当BP BQ BC BA=时，BPQ BCA ∆∆∽，即824168t t -=，解得0.8()t s =； 即经过2秒或0.8秒时，QBC ∆与ABC ∆相似．【点睛】本题是结合了相似三角形的判定的动点问题，在运动过程中寻找符合要求的节点，转化为判定三角形的相似是解答关键.20．（1）△AFB ∽△FEC （2）36cm【分析】（1）由四边形BCD 是矩形，可得∠AFE=∠D=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC ，即可证得：△AFB ∽△FEC ；（2）由Rt △FEC 中，tan ∠EFC=34，可得34CE CF =，则可设CE=3k ，则CF=4k ，由勾股定理得EF=DE=5k ．继而求得BF 与BC ，则可求得k 的值，由矩形ABCD 的周长=2（AB+BC ）求得结果．【详解】解：（1）△AFB ∽△FEC ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，由折叠的性质可得：∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△AFB ∽△FEC ；（2）∵tan ∠EFC=34， ∴在Rt △EFC 中，设EC=3xcm ，FC=4xcm ，5(cm)EF x ∴==，由折叠的性质可得：DE=EF=5xcm ，∴AB=CD=DE+CE=8x （cm ），∵∠BAF=∠EFC ，3tan 4BF BAF AB ∴∠==， ∴BF=6x （cm ），10(cm)AF x ∴==，(cm)AE ∴==， 5AE =，∴x=1，∴AD=BC=AF=10x=10（cm ），AB=CD=8x=8（cm ），∴矩形ABCD 的周长为：10+10+8+8=36（cm ）．21．(1)84（cm ）2;(2) 78cm;(3) 756（cm ）2【分析】（1）根据三角形的面积公式列式计算即可；（2）根据相似三角形的性质得到A′C′=3AC=42cm ，同理B′D′=3BD=36cm ，于是得到结论； （3）根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴小风筝的面积S＝12AC•BD＝12×12×14＝84（cm）2；（2）∵小风筝与大风筝形状完全相同，∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′，∴△ABCD∽△A′B′C′D′，∵它们的对应边之比为1：3，∴A′C′＝3AC＝42cm，同理B′D′＝3BD＝36cm，∴至少需用42+36＝78cm的材料；（3）从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积＝矩形的面积﹣大风筝的面积＝42×36﹣9×84＝756（cm）2．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）DH的长度为2．【分析】（1）根据两个角对应相等即可证明△HCD∽△HDB；（2）根据DH∥AB，AC=3CD，对应线段成比例可得CH=1，再结合（1）△HCD∽△HDB，对应边成比例即可求出DH的长度．【详解】（1）证明：∵DH∥AB，∴∠A=∠HDC，∵∠CBD=∠A，∴∠HDC=∠CBD，又∠H=∠H，∴△HCD∽△HDB；（2）∵DH∥AB，∴CD CH AC BC=，∵AC=3CD，∴133CH =，∴CH=1，∴BH=BC+CH=3+1=4，由（1）知△HCD ∽△HDB ， ∴DH CH BH DH=， ∴DH 2=4×1=4，∴DH=2（负值舍去）．答：DH 的长度为2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．23．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）先根据矩形的性质可得90B C D ∠=∠=∠=︒，再根据翻折的性质可得90AFE D ∠=∠=︒，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得AFB FEC ∠=∠，最后根据相似三角形的判定即可得证；（2）设EC x =，先根据翻折的性质可得4AF AD ==，再根据勾股定理可得2BF =，从而可得2CF =，然后根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由翻折的性质得：90AFE D ∠=∠=︒，∴90,90AFB EFC FEC EFC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴AFB FEC ∠=∠，在ABF 和FCE △中，B C AFB FEC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ABF FCE ~；（2）设EC x =，由翻折的性质得：4AF AD ==，∴2BF ===，∵四边形ABCD 是矩形，4BC AD ∴==，∴2CF BC BF =-=，由（1）可知，ABF FCE ~， ∴CF ECAB BF =2x =，解得x =即EC =． 【点睛】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24．（1）①当(1,1)P 或1(2，2)时，矩形OCPD 的面积为1；②不存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32；理由见解析；（2）①29234S x x =-+，它是二次函数，若两个变量x ，y 的对应关系可以表示2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的形式，则称y 是x 的二次函数；②当3(4P ，3)2时，S 有最小值． 【分析】（1）①可设(P x ，23)(0)x x -+>，则矩形OCPD 的面积可表示为(23)x x -+，令其等于1，解方程即可. ②令矩形OCPD 的面积表达式(23)x x -+等于32，解方程看是否有解即可. （2）①观察图形可知，阴影部分面积等于AOB 的面积减去矩形OCPD 的面积，代入数值计算整理为函数的一般形式即可. ②把第①问里的二次函数整理变形为顶点式，根据二次函数的性质求最值即可.【详解】（1）点P 在线段AB 上，∴设(P x ，23)(0)x x -+>，①由题意得，(23)1x x -+=，解得：11x =，212x =，21 231x ∴-+=或1232x -+=， 综上所述，当(1,1)P 或1(2，2)时，矩形OCPD 的面积为1； ②由题意得，3(23)2x x -+=， 整理得，24630x x -+=，△36480=-<，此方程无实数根，∴不存在一点P ，能使矩形OCPD 的面积为32； （2）①一次函数23y x =-+的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，3(2A ∴，0)，(0,3)B ， ()213932323224AOB OCPD S S S x x x x ∆∴=-=⨯⨯--+=-+矩形， 它是二次函数，类比得到一般的，若两个变量x ，y 的对应关系可以表示2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠的形式，则称y 是x 的二次函数； ②22939232()448S x x x =-+=-+， ∴当34x =时，S 有最小值， ∴当3(4P ，3)2时，S 有最小值．【点睛】本题结合平面直角坐标系中由一次函数形成的图形的面积问题考查了二次函数及其性质，理解题意，熟练掌握函数及其性质是解答关键.。
华师大版九年级上册数学期中考试试题及答案
华师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1）A．3B．3-C．3±D．9 2有意义的条件是()A．x≠2B．x＞﹣2C．x≥2D．x＞23．一元二次方程230 4y y--=配方后可化为（）A．2112y⎛⎫+=⎪⎝⎭B．2112y⎛⎫-=⎪⎝⎭C．21324y⎛⎫+=⎪⎝⎭D．21324y⎛⎫-=⎪⎝⎭4．下面四个等式：①===-，347=+=，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．45．已知34ab=，则下列等式不成立的是()A．4a＝3b B．74a bb+=C．43a b=D．37aa b=+6．如图，DE∥FG∥BC，DF＝2FB，则下面结论错误的是()A．EG＝2GC B．DF＝EGC．BF×EG＝DF×GC D．DF FB EG GC=7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为()A．2B．4C．6D．88．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD＝12DB，若S△ADE＝3，则S四边形DBCE＝()A．12B．15C．24D．279．已知三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x2﹣16x+55＝0的根.则这个三角形的周长是()A．16B．22C．16或22D．010．已知点M(2，2)，规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2019次变换后，点M的坐标变为()A．(﹣2016，2)B．(﹣2016，﹣2)C．(﹣2017，2)D．(﹣2017，﹣2)二、填空题112x+3x-是同类二次根式，则x的值为______.12．已知x：y＝1：2，2y＝3z，则23x yy z++＝______.13．设(a2+a+1)2﹣2(a2+a+1)﹣3＝0，则a＝______.14．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于点M，N为BC 的中点，连结MN，则MN的长为______.15．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个长度单位的速度向点B运动：同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个长度单位的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A、P、Q为顶点的三角形相似时，运动时间为______秒.三、解答题﹣3﹣21).16．计算：17．解方程：(1)2x2﹣7x﹣4＝0(2)x2+4x+4＝(3x+1)218．在所给格点图中，画出△ABC作下列变换后的三角形，并写出所得到的三角形三个顶点的坐标.(1)沿y轴正方向平移2个单位后得到△A1B1C1；(2)关于y轴对称后得到△A2B2C2.(3)以点B为位似中心，放大到2倍后得到△A3B3C3.19．已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+(2k+1)x+k＝0.(1)依据k的取值讨论方程解的情况.(2)若方程有一根为x＝﹣2，求k的值及方程的另一根.20．某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有228人次获奖.求这两年中获奖人次的年平均增长率.21．小明想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是1.4米；此时，他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得BD＝11.2米，CD＝3米，求旗杆AB的高度.22．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG.(1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°.(2)证明：△AFC∽△AGD；(3)若BFFC＝12，请求出FCFH的值.23．在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE ；（2）若AB ＝AD ＝4，求EC 的长．24．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F.(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：△DEC ∽△DFB ．(2)当点E 在线段AC 的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；(3)若ACBC ＝2，DF ＝，请直接写出CE 的长.参考答案1．A【解析】3==．故选A．考点：二次根式的化简2．D【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣2＞0，再解即可.【详解】解：由题意得：x﹣2＞0，解得：x＞2，故选：D.【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．3．B【分析】根据题意直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可．【详解】解：根据题意，把一元二次方程2304y y--=配方得：22113()()0224y---=，即21()102y--=，∴化成2()x a b+=的形式为21()12y-=．故选：B．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．A 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.【详解】解：①＝24，故此选项错误；=，正确；＝，故此选项错误；5，故此选项错误；故选：A.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．5．C 【分析】依据比例的基本性质，依次判断即可.【详解】解：A.由34a b =，可得4a ＝3b ，故本选项正确；B.由74a b b +=可得ab +1＝74，即34a b =，故本选项正确；C.由4a ＝3b 可得a b ＝43，故本选项错误；D.由a a b +＝37可得3b ＝4a ，即34a b =，故本选项正确；故选：C.【点睛】本题主要考查了比例的基本性质.6．B 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.【详解】解：∵DE ∥FG ∥BC ，DF ＝2FB ，∴DF EG2FB GC1==，故A正确；∴BF•EG＝DF•GC，故C正确；∴DF FBEG GC=，故D正确；故选：B.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7．D【分析】根据三角形的中点的概念求出AB、AC，根据三角形中位线定理求出DF、EF，计算得到答案.【详解】解：∵点E是AC的中点，AB＝AC，∴AB＝AC＝4，∵D是边AB的中点，∴AD＝2，∵D、F分别是边、AB、BC的中点，∴DF＝12AC＝2，同理，EF＝2，∴四边形ADFE的周长＝AD+DF+FE+EA＝8，故选：D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．8．C【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9，则可求出S△ABC，问题得解.【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，：S△ABC是1：9，∴S△ADE＝3，∵S△ADE＝3×9＝27，∴S△ABC＝S△ABC﹣S△ADE＝27﹣3＝24.则S四边形DBCE故选：C.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．9．A【分析】求出方程的解，即可得出三角形三边长，看看是否符合三角形三边关系定理即可.【详解】解：x2﹣16x+55＝0，(x﹣11)(x﹣5)＝0，x﹣11＝0，x﹣5＝0，x1＝11，x2＝5，①当三角形的三边是4，7，11，此时4+7＝11，不符合三角形三边关系定理，②当三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4+7+5＝16，故选：A.【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，解一元二次方程的应用，关键是求出三角形的三边长．10．D【分析】根据轴对称判断出点M变换后在x轴下方，然后求出点M纵坐标，再根据平移的距离求出点M变换后的横坐标，最后写出坐标即可.【详解】解：由题可得，第2019次变换后的点M在x轴下方，∴点M的纵坐标为-2，横坐标为2﹣2019×1＝﹣2017，∴点M的坐标变为(﹣2017，-2)，故选：D.【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，读懂题目信息，确定出连续2019次这样的变换得到点在x轴下方是解题的关键．11．1 2【分析】根据同类二次根式的定义得出方程x+2＝3﹣x，求出方程的解即可.【详解】解：由题意，得x+2＝3﹣x解得x＝1 2.故答案是：1 2.【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．12．2 3【分析】依据比例的基本性质，即可得到2x＝y，进而得出23x yy z++的值.【详解】解：∵x：y＝1：2，∴2x＝y，又∵2y＝3z，∴23x yy z++＝2y yy y++＝23，故答案为：2 3.【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据性质变换求解即可．13．1或﹣2【分析】设a2+a+1＝t，则原方程为t2﹣2t﹣3＝0，利用因式分解法解方程求得t的值，然后再求关于a的一元二次方程即可.【详解】解：设a2+a+1＝t，则原方程为t2﹣2t﹣3＝0，所以(t﹣3)(t+1)＝0.解得t＝3或t＝﹣1.所以a2+a+1＝3，或a2+a+1＝﹣1.所以a2+a﹣2＝0或a2+a+2＝0(无解).所以(a﹣1)(a+2)＝0解得a＝1或﹣2.故答案是：1或﹣2.【点睛】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．14．1【分析】延长CM交AB于H，证明△AMH≌△AMC，根据全等三角形的性质得到AH＝AC＝6，CM＝MH，根据三角形中位线定理解答.【详解】解：延长CM交AB于H，∵AM平分∠BAC，∠=∠∴MAH MAC在△AMH 和△AMC 中，MAH MAC AM AM AMH AMC 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△AMH ≌△AMC(ASA)∴AH ＝AC ＝6，CM ＝MH ，∴BH ＝AB ﹣AH ＝2，∵CM ＝MH ，CN ＝BN ，∴MN ＝12BH ＝1，故答案为：1.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．15．4或167【分析】首先设t 秒钟△ABC 与以A 、P 、Q 为顶点的三角形相似，则AP ＝2t ，CQ ＝3t ，AQ ＝AC ﹣CQ ＝16﹣3t ，然后分两种情况当△ABC ∽△APQ 和当△ACB ∽△APQ 讨论.【详解】解：设运动时间为t 秒.AP ＝2t ，CQ ＝3t ，AQ ＝AC ﹣CQ ＝16﹣3t ，当△ABC ∽△APQ ，AP AQ AB AC =，即2163816t t -=，解得t ＝167；当△ACB ∽△APQ ，AP AQ AC AB =，即2163168t t -=，解得t ＝4，故答案为4或167.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．16．533.【分析】先利用平方差公式、完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可.【详解】解：原式＝﹣(3﹣+1)＝2×(3﹣1)﹣33﹣＝4+533﹣4＝533.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟悉相关性质是解题的关键.17．(1)x 1＝4，x 2＝﹣12；(2)x 1＝12，x 2＝﹣34.【分析】(1)利用因式分解法求解即可；(2)开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【详解】解：(1)2x 2﹣7x ﹣4＝0，(x ﹣4)(2x+1)＝0，∴x ﹣4＝0或2x+1＝0，∴x 1＝4，x 2＝﹣12；(2)x 2+4x+4＝(3x+1)2，(x+2)2＝(3x+1)2，(x+2)＝±(3x+1)，解得：x1＝12，x2＝﹣34.【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．18．(1)见解析；A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3)；(2)见解析；A2(0，﹣2)，B2(﹣3，﹣1)，C2(﹣2，1)；(3)见解析，A3(﹣3，﹣3)，B2(3，﹣1)，C2(1，3).【分析】(1)将三角形的三点沿y轴正向平移2个单位，即是向上平移两个单位后得到新点，顺次连接得到新图；(2)分别将A，B，C向y轴作垂线，找对应点，顺次连接得到新图形；(3)延长BC、BA，并使其到点B的距离是他们的二倍，找到对应点A3，C3，然后顺次连接，即可得到新图.【详解】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；A1(0，0)，B1(3，1)，C1(2，3)；(2)如图所示，△AB2C2即为所求；A2(0，﹣2)，B2(﹣3，﹣1)，C2(﹣2，1)；(3)如图所示，△AB2C2即为所求；A3(﹣3，﹣3)，B2(3，﹣1)，C2(1，3).【点睛】本题主要考查了平移，轴对称，位似放大变换作图．注意：位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比．19．(1)k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；k＜﹣18时，原方程没有实数根；(2)k＝6，方程的另一根为﹣35.【分析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△＝8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于ba 及方程的一根为x＝﹣2，可求出方程的另一根.【详解】解：(1)a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k，∵△＝b2﹣4ac＝(2k+1)2﹣4×(k﹣1)×k＝8k+1，∴当k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；当k＜﹣18时，原方程没有实数根.(2)将x＝﹣2代入原方程，得：(k﹣1)×(﹣2)2+(2k+1)×(﹣2)+k＝0，解得：k＝6，∴原方程为5x2+13x+6＝0，∴方程的另一根为x＝﹣135﹣(﹣2)＝﹣35.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根”；（2）代入x=-2求出k值．20．这两年中获奖人次的年平均年增长率为50%.【分析】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据到九年级毕业时累计共有228人次获奖，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据题意得：48+48(1+x)+48(1+x)2＝228，解得：x1＝12＝50%，x2＝﹣72(不符合题意，舍去).答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为50%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．旗杆AB的高度是11米.【分析】作CE⊥AB于E，可得矩形BDCE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度.【详解】解：作CE⊥AB于E，∵DC⊥BD于D，AB⊥BD于B，∴四边形BDCE为矩形，∴CE＝BD＝11.2米，BE＝DC＝2米，∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，∴AEEC＝11.4，即11.2AE＝11.4，解得AE＝8，∴AB＝AE+EB＝8+3＝11(米).答：旗杆AB的高度是11米.【点睛】考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．22．(1)27；(2)证明见解析；(3)FCFH＝355.【分析】(1)由四边形ABCD ，AEFG 是正方形，得到∠BAC ＝∠GAF ＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC ＝∠FAC+∠GAC ＝45°，推出∠HAG ＝∠BAF ＝18°，由于∠DAG+∠GAH ＝∠DAC ＝45°，于是得到结论；(2)由四边形ABCD ，AEFG 是正方形，推出AD AC ＝AG AF ＝22，得AD AC ＝AG AF ，由于∠DAG ＝∠CAF ，得到△ADG ∽△CAF ，列比例式即可得到结果；(3)设BF ＝k ，CF ＝2k ，则AB ＝BC ＝3k ，根据勾股定理得到AF ＝k ，AC AB ＝k ，由于∠AFH ＝∠ACF ，∠FAH ＝∠CAF ，于是得到△AFH ∽△ACF ，得到比例式即可得到结论.【详解】解：(1)∵四边形ABCD ，AEFG 是正方形，∴∠BAC ＝∠GAF ＝45°，∴∠BAF+∠FAC ＝∠FAC+∠GAC ＝45°，∴∠HAG ＝∠BAF ＝18°，∵∠DAG+∠GAH ＝∠DAC ＝45°，∴∠DAG ＝45°﹣18°＝27°，故答案为：27.(2)∵四边形ABCD ，AEFG 是正方形，∴AD AC ＝2，AG AF ＝2，∴AD AC ＝AG AF，∵∠DAG+∠GAC ＝∠FAC+∠GAC ＝45°，∴∠DAG ＝∠CAF ，∴△AFC ∽△AGD ；(3)∵BF FC ＝12，设BF ＝k ，∴CF ＝2k ，则AB ＝BC ＝3k ，∴AF ＝k ，AC ＝AB ＝k ，∵四边形ABCD ，AEFG 是正方形，∴∠AFH ＝∠ACF ，∠FAH ＝∠CAF ，∴△AFH ∽△ACF ，∴AF FH AC CF=，∴FCFH ＝355.【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）233．【分析】（1）先根据矩形的性质可得90B C D ∠=∠=∠=︒，再根据翻折的性质可得90AFE D ∠=∠=︒，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得AFB FEC ∠=∠，最后根据相似三角形的判定即可得证；（2）设EC x =，先根据翻折的性质可得4AF AD ==，再根据勾股定理可得2BF =，从而可得2CF =，然后根据相似三角形的性质即可得．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由翻折的性质得：90AFE D ∠=∠=︒，∴90,90AFB EFC FEC EFC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴AFB FEC ∠=∠，在ABF 和FCE △中，B C AFB FEC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴ABF FCE ~ ；（2）设EC x =，由翻折的性质得：4AFAD ==，∴2BF ===，∵四边形ABCD 是矩形，4BC AD ∴==，∴2CF BC BF =-=，由（1）可知，ABF FCE ~ ，∴CF ECAB BF =2x =，解得233x =，即233EC =．【点睛】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24．(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析；(3)CE ＝CE ＝.【分析】(1)首先证明∠ACD ＝∠B ，∠EDC ＝∠BDF ，得到△DEC ∽△DFB.(2)方法和(1)一样，首先证明∠ACD ＝∠B ，∠EDC ＝∠BDF ，得到△DEC ∽△DFB.(3)由(2)的结论得出△ADE ∽△CDF ，判断出CF ＝2AE ，求出EF ，再利用勾股定理，分三种情形分别求解即可.【详解】(1)证明：如图1中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD+∠A ＝∠B+∠A ＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△DEC∽△DFB.(2)结论成立.理由：如图2中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴∠DCE＝∠A+90°，∠DBF=∠A+90°，，∴∠DCE＝∠DBF，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△DEC∽△DFB.(3)∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠BDC，∴△ADC∽△CDB∴CDBD＝ACBC＝12，由(2)有，△CDE∽△BDF，∵DEDF＝DCBD＝12，∴ADCD＝AECF＝DEDF＝12，∴CF＝2AE，在Rt △DEF 中，DE ＝，DF ＝，∴EF ＝，①当E 在线段AC 上时，在Rt △CEF 中，CF ＝2AE ＝2(AC ﹣CE)＝CE)，EF ＝，根据勾股定理得，CE 2+CF 2＝EF 2，∴CE 2+[2(﹣CE)]2＝40∴CE ＝CE （舍）而AC ＜CE ，∴此种情况不存在，②当E 在AC 延长线上时，在Rt △CEF 中，CF ＝2AE ＝2(AC+CE)＝，EF ＝，根据勾股定理得，CE 2+CF 2＝EF 2，∴CE 2+[2(+CE)]2＝40，∴CE ＝255，或CE ＝﹣舍)，③如图3中，当点E 在CA 延长线上时，CF ＝2AE ＝2(CE ﹣AC)＝2(CE ，EF ＝，根据勾股定理得，CE 2+CF 2＝EF 2，∴CE 2+[2(CE )]2＝40，∴CE ＝CE ＝﹣5(舍)即：CE ＝2或CE .【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。
(华师大版)初中数学九年级上册 期中测试试卷03及答案
期中测试一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.在平面直角坐标系中，点(1,2)M -与点N 关于原点对称，则点N 的坐标为（ ）A .()2,1-B .()1,2-C .()2,1-D .()1,2-2.已知m 是方程2270x x +-＝的一个根，则代数式22m m +=（ ）A .7-B .7C D .3.如图，点A 为函数()0ky x x=＞图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA ，如果AOB △的面积为2，那么k 的值为（ ）A .1B .2C .3D .44.如图，将ABC △绕点C 顺时针方向旋转40°，得''A B C △，若''AC A B ^，则A Ð等于（ ）A .50°B .60°C .70°D .80°5.将抛物线2y x =向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（ ）A .2y x 2=+B .22y x =-C .()22y x =+D .()22y x =-6.如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A 处向着路灯灯柱方向径直走到B 处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）A .逐渐变短B .逐渐变长C .先变短后变长D .先变长后变短7.如图，某人从O 点沿北偏东30°的方向走了20米到达A 点，B 在O 点的正东方，且在A 的正南方，则此时AB 间的距离是（ ）A .10米B .米C .米D 米8.如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++＜的解集是（ ）A .15x -＜＜B .5x ＞C .1x -＜且5x ＞D .1x -＜或5x ＞9.有n 支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）A .()115n n -=B .()115n n +=C .()130n n -=D .()130n n +=10.有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将A B C ¢¢¢△绕AC 的中点M 转动，斜边A B ¢¢刚好过ABC △的直角顶点C ，且与ABC △的斜边AB 交于点N ，连接AA ¢、C C ¢、AC ¢.若AC 的长为2，有以下五个结论：①1AA ¢=；②C C A B ¢^¢¢；③点N 是边AB 的中点；④四边形AA CC ¢¢为矩形；⑤12A NBC ¢=¢=，其中正确的有（ ）A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11.若22(2) 10mm x mx ---+=是一元二次方程，则m 的值为________.12.在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有________个.13.已知两个相似三角形相似比是3:4，那么它们的面积比是________.14.抛物线2()0y ax bx c a =++＞过点()1,0-和点()0,3-，且顶点在第四象限，则a 的取值范围是________.15.直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系式为________.16.如图，一段抛物线()(5)05y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点()2018,P m 在此“波浪线”上，则m 的值为________.三、解答题（共9小题，满分86分）17.（8分）计算：2cos30sin 45tan 60°+°-°.18.（8分）如图，ABC △中，DE BC ∥，如果2AD =，3DB =，4AE =，求AC 的长.19.（8分）解下列方程：（1）()()3323x x x +=+（2）22630x x --=20.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为(),2P m .（1）求k 的值；（2）()2,M a ，(),N n b 是双曲线上的两点，直接写出当a b ＞时，n 的取值范围.21.（8分）已知关于x 的一元二次方程22(20)1m m x mx --+=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若m 为整数且3m ＜，a 是方程的一个根，求代数式22212324a a a +--+的值.22.（10分）如图，已知ABC △和AEF △中，B E Ð=Ð，AB AE =，BC EF =，25EAB Ð=°，57F Ð=°；（1）请说明EAB FAC Ð=Ð的理由；（2）ABC △可以经过图形的变换得到AEF △，请你描述这个变换；（3）求AMB Ð的度数.23.（10分）如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF DE ^交BC 于点F ，连接DF ，已知4cm AB =，2cm AD =，设A ，E 两点间的距离为cm x ，DEF △面积为2cm y .小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是________；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如表：/cmx 00.511.522.533.5 (2)/cm y 4.03.73.93.83.32.0…（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当DEF △面积最大时，AE 的长度为________cm .24.（12分）如图，90BAD Ð=°，AB AD =，CB CD =，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .（1）在FCE Ð旋转的过程中，当FCA ECA Ð=Ð时，如图1，求证：AE AF =；（2）在FCE Ð旋转的过程中，当FCA ECA йÐ时，如图2，如果30B Ð=°，2CB =，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.图1图225.（14分）把函数21230()C y ax ax a a =--¹：的图象绕点0(),P m 旋转180°，得到新函数2C 的图象，我们称2C 是1C 关于点P 的相关函数.2C 的图象的对称轴与x 轴交点坐标为(0)t ，.（1）填空：t 的值为________（用含m 的代数式表示）（2）若1a =-，当12x t ≤≤时，函数1C 的最大值为1y ，最小值为2y ，且121y y -=，求2C 的解析式；（3）当0m =时，2C 的图象与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧）.与y 轴相交于点D .把线段AD 原点O 逆时针旋转90°，得到它的对应线段A D ¢¢，若线A D ¢¢与2C 的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.期中测试答案解析一、1.【答案】D【解析】解：Q 点2(1,)M -与点N 关于原点对称，点N 的坐标为()1,2-，故选：D .2.【答案】B【解析】解：m Q 是方程2270x x +-=的一个根，2270m m \+-=，227m m \+=.故选：B .3.【答案】D【解析】解：根据题意可知：122AOB S k ==△，又反比例函数的图象位于第一象限，0k ＞，则4k =.故选：D .4.【答案】A 【解析】解：如图，ACB Q △绕点C 顺时针方向旋转40°得A CB ¢¢△，点B 与B ¢对应，40BCB ACA \Т=Т=°，A A Ð=Т，AC A B ^¢¢Q ，90CDA \Т=°，904050A \Т=°-°=°，50A A \Ð=Т=°.故选：A .5.【答案】A【解析】解：Q 抛物线2y x =向上平移2个单位后的顶点坐标为(0,2)，\所得抛物线的解析式为22y x =+.故选：A .6.【答案】A【解析】解：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，故选：A .7.【答案】B【解析】解：根据题意知60AOB Ð=°、20OA =（米），则sin 20sin 6020AB OA AOB =Ð=°=（米），故选：B .8.【答案】D【解析】解：由对称性得：抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，由图象可知不等式20ax bx c ++＜的解集是：1x -＜或5x ＞，故选：D .9.【解析】解：设有n 支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为12()1n n -场，根据题意列出方程得：52()111n n -=，整理，得：即1(30)n n -=，故选：C .10.【解析】解：①Q 点M 是线段AC 、线段A C ¢¢的中点，2AC =，1AM MC A M MC \==¢=¢=，30MA C Т=°Q ，30MCA MA C \Т=Т=°，1803030120A MC \Т=°-°-°=°，180********A MA A MC \Т=°-¢=°-°=°，60AMA C MC \Т=Т=°，AA M \¢△是等边三角形，1AA AM \¢==，故①正确；②30A CM Т=°Q ，60MCC Т=°，90ACA A CM MCC \Т=Т+Т=°，CC A C \¢^¢，故②正确；③30A CA NAC Т=Ð=°Q ，60BCN CBN Ð=Ð=°，AN NC NB \==，故③正确；④AA M C CM ¢¢Q △≌△，AA CC \¢=¢，60MAA C CM Т=Т=°，AA CC \¢¢∥，\四边形AA CC ¢¢是平行四边形，90AA C AA M MA C Т=Т+Т=°Q ，四边形AA CC ¢¢为矩形，故④正确；⑤12AN AB ==，30NAA Т=°，90AA N Т=°，12'A N AN \==故选：C .二、11.【答案】2-【解析】解：根据题意得：22022m m -¹ìïí-=ïî，解得：2m =-.故答案是：2-.12.【答案】4【解析】解：①正方形是中心对称图形；②长方形是中心对称图形；③等边三角形不是中心对称图形；④线段是中心对称图形；⑤锐角，不是中心对称图形；⑥平行四边形是中心对称图形；所以，①②④⑥共4个.故答案为：4.13.【答案】9:16【解析】解：Q 两个相似三角形的相似比是3:4，\它们的面积为9:16.故答案为9:16.14.【答案】03a ＜＜【解析】解：Q 抛物线2()0y ax bx c a =++＞过点()1,0-和点()0,3-，03a b c c -+=ì\í=-î，所以，3a b -=，3b a =-，Q 顶点在第四象限，202404b aac b a ì-ïï\í-ïïî，即302a a--＞①，24(3)(3)04a a a×---②，解不等式①得，3a ＜，不等式②整理得，()230a +＞，所以，3a ¹-，所以，a 的取值范围是03a ＜＜.故答案为：03a ＜＜.15.【答案】6y x=【解析】解：根据题意知132xy =，则6xy =，6y x\=，故答案为：6y x=.16.【答案】6-【解析】解：Q 一段抛物线：()(5)05y x x x =--≤≤，\图象与x 轴交点坐标为：()0,0，()5,0，Q 将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；…如此进行下去，由201854033¸=L 可知抛物线404C 在x 轴下方，\抛物线404C 的解析式为()()20152020y x x =--，()2018,P m Q 在第404段抛物线404C 上，()()20182015201820206m \=--=-.故答案为6-.三、17.【答案】解：原式2=+，=，=.18.【答案】解：DE BC Q ∥，AD AE DB EC \=，即243EC=，解得：6EC =，4610AC AE EC \=+=+=；19.【答案】解：（1）()()3323x x x +=+Q ，()()3320x x \+-=，3x \=-或23x =.（2）22630x x --=Q ，2a \=，6b =-，3c =-，362460\=+=△，x \==.20.【答案】解：（1）Q 直线1y x =+与双曲线k y x =的一个交点为(),2P m .212m k m =+ìï\í=ïî1m \=，2k =（2）2k =Q ，\双曲线每个分支上y 随x 的增大而减小，当N 在第一象限时，a b Q ＞，2n \＞，当N 在第三象限时，0n \＜，综上所述：2n ＞或0n ＜.21.【答案】解：（1）由题意有：()2220440m m m m m ì-¹ïí--ïî＞，解得0m ＞且1m ¹；（2）0m Q ＞且1m ¹，而m 为小于3的整数，2m \=，当2m =时，方程化为22410x x -+=，a Q 是方程的一个根，22410a a \-+=，即2241a a =-，\原式41141324a a a -+=---+12a a =--+1=.22.【答案】解：（1）B E Ð=ÐQ ，AB AE =，BC EF =，ABC AEF \△≌△，C F \Ð=Ð，BAC EAF Ð=Ð，BAC PAF EAF PAF \Ð-Ð=Ð-Ð，25BAE CAF \Ð=Ð=°；（2）通过观察可知ABC △绕点A 顺时针旋转25°，可以得到AEF △；（3）由（1）知57C F Ð=Ð=°，25BAE CAF Ð=Ð=°，572582AMB C CAF \Ð=Ð+Ð=°+°=°.23.【答案】（1）04x ≤＜（2）3.8 4.0（3）描点，连线，画出如图所示的图象：（4）0 2【解析】解：（1）Q 点E 在AB 上，04x \≤＜，故答案为：04x ≤＜；（2）Q 四边形ABCD 是矩形，2BC AD \==，4CD AB ==，90A B Ð=Ð=°，90ADE AED \Ð+Ð=°，EF DE ^Q ，90AED BEF \Ð+Ð=°，ADE BEF \Ð=Ð，90A B Ð=Ð=°Q ，ADE BEF \△∽△，90A B Ð=Ð=°Q ，ADE BEF \△∽△，AD AE BE BF\=，AE x =Q ，4BE AB AE x \=-=-，24x x BF\=-，(4)2x x BF -\=，当1x =时，32BF =，22312CF BC BF \=-=-=，11311282134 3.75 3.22822ADE BEF CDF ABCD y S S S S =---=-´´-´´-´´=»△△△矩形，当2x =时，2BF =，0CF BC BF \=-=，此时，点F 和点C 重合，1182222 4.022ADE BEF ABCD y S S S =--=-´´-´´=△△矩形故答案为：3.8，4.0（3）描点，连线，画出如图所示的图象：（4）由图象可知，当0x =或2时，DEF △面积最大，即：当DEF △面积最大时，0AE =或2，故答案为0，2.24.【解析】（1）证明：AB AD =Q ，CB CD =，AC AC =，()ABC ADC SSS \△≌△，45BAC DAC \Ð=Ð=°，135FAC EAC \Ð=Ð=°，FCA ECA Ð=ÐQ ，()ACF ACE ASA \△≌△，AE AF \=.（2）证明：作CG AB ^于G .2BC =Q ，30B Ð=°，112CG BC \==，1AG AC ==Q ，AC \=，135FAC EAC Ð=Ð=°Q ，45ACF F \Ð+Ð=°，45ACF ACE Ð+Ð=°Q ，F ACE \Ð=Ð，ACF AEC\△∽△AC AF AE AC\=，2AC AE AF \=×，2AE AF \×=.图1图225.【解析】解：（1）()2212314C y ax ax a a x a =--=--：，顶点()1,4a -围绕点(),0P m 旋转180°的对称点为()21,4m a -，()22214C y a x m a =--++：，函数的对称轴为：21x m =-，21t m =-，故答案为：21m -；（2）1a =-时，()2114C y x =--+：①当112t ≤＜时，12x =时，有最小值2154y =，x t =时，有最大值()2114y t =--+，则()212151414y y t -=--+-=，无解；②312t ≤≤时，1x =时，有最大值14y =，12x =时，有最小值()2214y t =--+，12114y y -=¹（舍去）；③当32t ＞时，1x =时，有最大值14y =，x t =时，有最小值()2214y t =--+，()21211y y t -=-=，解得：0t =或2（舍去0），故()222244C y x x x =--=-：；（3）0m =，()2214C y a x a =-++：，点A 、B 、D 、A ¢、D ¢的坐标分别为()1,0、()3,0-、()0,3a 、()0,1、()3,0a -，当0a ＞时，a 越大，则OD 越大，则点D ¢越靠左，当2C 过点A ¢时，()20141y a a =-++=，解得：13a =，当2C 过点D ¢时，同理可得：1a =，故：103a ＜≤或1a ≥；当0a ＜时，当2C 过点D ¢时，31a -=，解得：13a =-，故：13a -≤；综上，故：103a ＜≤或1a ≥或13a -≤.。
新华师大版九年级上学期期中考试数学试卷(含参考答案和评分标准)
新华师大版九年级上学期期中备考数学试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 下列计算正确的是 【 】 （A ）022=- （B ）523=+ （C ）()222-=- （D ）224=÷2. 若关于x 的一元二次方程()235122+-++-m m x x m 的常数项为0,则m 的值为 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）03. 某养殖户的养殖成本逐年增长,已知第1年的养殖成本为13万元,第3年的养殖成本为20万元,设每年平均增长的百分率为x ,则下面所列方程正确的是 【 】 （A ）()201132=-x （B ）()131202=-x（C ）()131202=+x （D ）()201132=+x4. 将方程0562=--x x 化为()n m x =+2的形式,则 【 】（A ）5,3==n m （B ）5,3=-=n m （C ）14,3==n m （D ）14,3=-=n m5. 如图,在△ABC 中,BE 、CD 分别是AC 、AB 边上的中线,BE 与CD 相交于点O ,则BEBO的值为 【 】 第 5 题图OEDBCA（A ）32 （B ）53 （C ）31 （D ）21第 6 题图第 8 题图DEABC第 9 题图第 10 题图GMFACBE6. 如图,一个正六边形转盘被分成6个全等三角形, 任意转动这个转盘1次,当转盘停止时,指针指向阴 影区域的概率是 【 】（A ）61 （B ）41 （C ）31 （D ）217. 如图,下列四个三角形,与△ABC 相似的是 【 】CBA（A ） （B ） （C ） （D ） 8. 如图,在正△ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且BE AE AC AD ==,31,则有 【 】 （A ）△AED ∽△ABC （B ）△ADB ∽△BED（C ）△BCD ∽△ABC （D ）△AED ∽△CBD 9. 如图,在△ABC 中,︒=∠90ABC ,DE 垂直平分 AC ,垂足为O ,BC AD //,且4,3==BC AB ,则AD 的长为 【 】 （A ）425 （B ）825 （C ）415 （D ）815 10. 如图,在△ABC 中,︒=∠90ACB ,1==BC AC , E 、F 为线段AB 上两动点,且︒=∠45ECF ,过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ,垂足分别为H 、G .现有以下结论: ①2=AB ;②当点E 与点B 重合时,21=MH ;③EF BE AF =+;④21=⋅MH MG . 其中正确的结论为 【 】 （A ）①②③ （B ）①③④ （C ）①②④ （D ）①②③④二、填空题（每小题3分,共15分）11. 计算:()()=-+2212_________.12. 关于x 的方程022=--mx x 有一个根是2-,则=m _________.13. 从2-,1-, 0 , 1 , 2这五个数中任取一个数,作为关于x 的一元二次方程02=+-k x x 中的k 值,则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是______.14. 如图,小明在A 时测得某树的影长为3米,在B 时又测得该树的影长为12米,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为_________米.第 14 题图第 15 题图EDBCAM N15. 如图,在△ABC 中,AC AB =,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,M 、N 为BC 上的点,连结DN 、EM .若10=AB cm,12=BC cm,6=MN cm,则图中阴影部分的面积为_________cm 2.三、解答题（共75分）16.按要求答题:（1）（4分）用适当的方法解方程:()4222-=-x x ;（2）（5分）计算:()121430tan 312-⎪⎭⎫⎝⎛-+-+︒-π.17.（8分）先化简,再求值:x x x x x x x -++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-144214222,其中x 满足方程0342=+-x x .18.（9分）如图所示,可以自由转动的转盘被三等分,指针落在每个扇形内的机会均等.（1）现随机转动转盘一次,停止后,指针指向1的概率为_________;（2）小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则,你认为对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.游戏规则:随机转动转盘两次,停止后,指针各指向一个数字,若两数之积为偶数,则小明胜;否则小华胜.19.（9分）某淘宝网店销售台灯,成本每个30元.销售大数据分析表明:当每个台灯售价为40元时,平均每月售出600个;若售价每上涨1元,其月销量就减少20个;若售价每下降1元,其月销量就增加200个.（1）若售价上涨x)0x元,每月能售出__________个台灯;(>（2）为迎接“双十一”,该网店决定降价销售,在库存为1210个台灯的情况下,若预计月获利恰好为8400元,求每个台灯的售价.20.（9分）某中学九年级学生在学习“解直角三角形”时,组织开展测量物体高度的实践活动.要测量学校一幢教学楼AB的高度如图所示,他们先在点C测得教学楼的顶部A的仰角为︒2.36,然后向教学楼前进10米到达点D,又测得点A的仰角为45,请你根据这些数据,求出这幢教学楼AB的高度.（结果精确到1米）︒（参考数据:73sin≈362..0︒≈︒）≈︒59tan,362..0,81cos.0362.AC D B21.（10分）如图所示,在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点分别为)2,1()1,2()0,0( B A O 、、.（1）以原点O 为位似中心,在y 轴的右侧画出△OAB 的一个位似△11B OA ,使它与△OAB 的相似比为2 : 1,并分别写出点A 、B 的对应点11B A 、的坐标;（2）画出将△OAB 向左平移2个单位,再向上平移1个单位后的△222B A O ,并写出点A 、B 的对应点22B A 、的坐标;（3）判断△11B OA 与△222B A O 能否是关于某一点M 为位似中心的位似图形,若是,请在图中标出位似中心M ,并写出点M 的坐标.22.（10分）已知OB OA ⊥,点C 为OB 的中点,D 为AO 上一点,连结AC 、BD ,相交于点P .（1）如图1,当OB OA =且点D 为AO 的中点时,求PCAP的值; （2）如图2,当OB OA =,41=AO AD 时,求BPC ∠tan 的值. 图 1PDABO图 2PDA BO23.（11分）如图1,在△ABC 中,D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合）,连结AD .问题引入:如图1,当点D 是BC 边上的中点时,=∆∆ABC ABD S S :_________;当点D 为BC 边上任意一点时,=∆∆ABC ABD S S :_________（用图中已有线段表示）.探索探究:如图2,在△ABC 中,点O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合）,连结BO 、CO ,试猜想BOC S ∆与ABC S ∆之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.拓展应用:如图3,在△ABC 中,点O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合）,连结BO 并延长交AC 于点F ,连结CO 并延长交AB 于点E ,试猜想BFOFCE OE AD OD ++的值,并说明理由.图 1BCAD图 2BCAD O图 3EFBCAD O新华师大版九年级上学期期中备考数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. 2 12. 1- 13.5314. 6 15. 24 三、解答题（共75分）16.按要求答题:（1）（4分）用适当的方法解方程:()4222-=-x x ;解:()4222-=-x x()()()()()()042022222222=--=----=-x x x x x x ∴02=-x 或04=-x ∴4,221==x x （2）（5分）计算:()121430tan 312-⎪⎭⎫⎝⎛-+-+︒-π.解:原式2133332-+⨯-= 13-= 17.（8分）先化简,再求值:x x x x x x x -++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-144214222,其中x 满足方程0342=+-x x . 解:x x x x x x x -++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-144214222 ()2121122+-=+-⋅-+=x x xx x……………………………………4分 解方程0342=+-x x 得:3,121==x x……………………………………6分 ∵01≠-x∴1≠x ∴3=x……………………………………7分 当3=x 时 原式51231-=+-= ……………………………………8分 18.（9分）如图所示,可以自由转动的转盘被三等分,指针落在每个扇形内的机会均等.（1）现随机转动转盘一次,停止后,指针指向1的概率为_________; （2）小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则,你认为对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.游戏规则:随机转动转盘两次,停止后,指针各指向一个数字,若两数之积为偶数,则小明胜;否则小华胜.解:（1）31;……………………………………3分 （2）这个游戏对双方不公平. ……………………………………4分理由如下:如图所示.第二次32132321321第一次开 始……………………………………7分 ∵共有9种等可能的结果,其中两数之积为偶数的结果共有5种,之积为奇数的结果共有4种 ∴P （小明胜）95=,P （小华胜）94= ……………………………………8分 ∵9495> ∴该游戏对双方不公平.……………………………………9分19.（9分）某淘宝网店销售台灯,成本每个30元.销售大数据分析表明:当每个台灯售价为40元时,平均每月售出600个;若售价每上涨1元,其月销量就减少20个;若售价每下降1元,其月销量就增加200个.（1）若售价上涨x )0(>x 元,每月能售出__________个台灯;（2）为迎接“双十一”,该网店决定降价销售,在库存为1210个台灯的情况下,若预计月获利恰好为8400元,求每个台灯的售价.解:（1）()x 20600-;（不加小括号也对）……………………………………2分 （2）方法一:设每个台灯的售价为x 元,由题意可列方程:()()[]84006002004030=+⨯--x x……………………………………5分 解之得:37,3621==x x……………………………………8分 当36=x 时()121014006002003640>=+⨯-∵库存为1210个台灯 ∴36=x 舍去; 当37=x 时()121012006002003740<=+⨯-∴37=x答:每个台灯的售价为37元. ……………………………………9分 方法二:设每个台灯降价x 元,由题意可列方程:()()84006002003040=+--x x……………………………………5分 解之得:4,321==x x……………………………………8分 当3=x 时,37340=-121012006003200<=+⨯; 当4=x 时,36440=-121014006004200>=+⨯∵库存为1210个台灯 ∴4=x 舍去 ∴3=x答:每个台灯的售价为37元. ……………………………………9分 20.（9分）某中学九年级学生在学习“解直角三角形”时,组织开展测量物体高度的实践活动.要测量学校一幢教学楼AB 的高度如图所示,他们先在点C 测得教学楼的顶部A 的仰角为︒2.36,然后向教学楼前进10米到达点D ,又测得点A 的仰角为︒45,请你根据这些数据,求出这幢教学楼AB 的高度.（结果精确到1米） 参考数据:73.02.36tan ,81.02.36cos ,59.02.36sin ≈︒≈︒≈︒CD BA解:设x AB =m 在Rt △ABD 中 ∵︒=∠45ADB∴︒=︒-︒=∠454590BAD ∴BAD ADB ∠=∠ ∴x AB BD ==m……………………………………3分 ∴()10+=+=x CD BD BC m在Rt △ABC 中 ∵BCABACB =∠tan ∴︒=+2.36tan 10x x……………………………………6分 ∴73.010≈+x x解之得:27≈x……………………………………8分 ∴27≈AB m答:这幢教学楼AB 的高度约为27米. ……………………………………9分21.（10分）如图所示,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点分别为)2,1()1,2()0,0(-B A O 、、.（1）以原点O 为位似中心,在y 轴的右侧画出△OAB 的一个位似△11B OA ,使它与△OAB 的相似比为2 : 1,并分别写出点A 、B 的对应点11B A 、的坐标; （2）画出将△OAB 向左平移2个单位,再向上平移1个单位后的△222B A O ,并写出点A 、B 的对应点22B A 、的坐标; （3）判断△11B OA 与△222B A O 能否是关于某一点M 为位似中心的位似图形,若是,请在图中标出位似中心M ,并写出点M 的坐标. 解:（1）如图所示,……………………………………2分()2,41A ,()4,21-B ;……………………………………4分 （2）如图所示,……………………………………6分()2,02A ,()1,12--B ;……………………………………8分 （3）△11B OA 与△222B A O 是关于点()2,4-M 为位似中心的位似图形.……………………………………10分（问题:如何判断两个相似图形是否为位似图形?）22.（10分）已知OB OA ⊥,点C 为OB 的中点,D 为AO 上一点,连结AC 、BD ,相交于点P .（1）如图1,当OB OA =且点D 为AO 的中点时,求PCAP的值; （2）如图2,当OB OA =,41=AO AD 时,求BPC ∠tan 的值.图 1解:（1）作OA CE //,交BD 于点E ∴△BCE ∽△BOD……………………………………1分 ∴BOBCOD CE =∵点C 是OB 的中点∴OB BC 21=∴21==BO BC OD CE ……………………………………2分 ∵点D 是OA 的中点 ∴AD OD =∴21==OD CE AD CE ……………………………………3分 ∵OA CE // ∴AD CE // ∴△PCE ∽△P AD∴21==AD CE PA PC ∴2=PC PA; ……………………………………4分 （2）作OA CE //,交BD 于点E ∴△BCE ∽△BOD……………………………………5分图 2∴BD BEBO BC OD CE == ∵41=AO AD ,设x AD = ∴x OB OA 4== ∴x AD OA OD 3=-= ∵点C 是OB 的中点∴OB OC BC 21== ∴21===BD BE BO BC OD CE ∴BD BE DE 21==……………………………………6分∴213=x CE ∴x CE 23=在Rt △BOD 中,由勾股定理得:()()xx x OD OB BD 5342222=+=+=∴x BD DE 2521==∵OA CE // ∴AD CE // ∴△PCE ∽△P AD∴2323===x xAD CE PD PE∴x DE PE PD ===5232 ∴AD PD =∴A APD BPC ∠=∠=∠……………………………………8分 在Rt △AOC 中∵2121tan ===OA OBOA OC A∴21tan tan ==∠A BPC .……………………………………10分 23.（11分）如图1,在△ABC 中,D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合）,连结AD .问题引入:如图1,当点D 是BC 边上的中点时,=∆∆ABC ABD S S :_________;当点D 为BC边上任意一点时,=∆∆ABC ABD S S :_________（用图中已有线段表示）.探索探究:如图2,在△ABC 中,点O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合）,连结BO 、CO ,试猜想BOC S ∆与ABC S ∆之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.拓展应用:如图3,在△ABC 中,点O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合）,连结BO 并延长交AC 于点F ,连结CO 并延长交AB 于点E ,试猜想BFOFCE OE AD OD ++的值,并说明理由. 图 1BCAD解:问题引入: 1 : 2, BD : BC ;……………………………………4分探索探究:AD OD S S ABC BOC ::=∆∆.……………………………………5分 理由如下:如图2,作BC AF BC OE ⊥⊥,,垂足分别为点E 、F ∴AF OE // ∴△DOE ∽△DAF∴AFOEAD OD =∴AF OE AF BC OEBC S S ABC BOC =⋅⋅=∆∆2121∴ADODS S ABC BOC =∆∆.……………………7分 图 2拓展应用:1=++BFOFCE OE AD OD . ……………………………………8分图 3EFBC AD O理由如下:由（2）可得:ABC AOBABC BOC S S CE OE S S AD OD ∆∆∆∆==,, ABCAOCS S BF OF ∆∆= ∴ABC AOCAOB BOC S S S S BF OF CE OE AD OD ∆∆∆∆++=++ 1==∆∆ABCABC S S.……………………………………11分DEBCM NA图 1PC DABO图 2PDC A BO图 3EFBC AD O图 3EFBC AD O。
华师大版九年级上册数学期中考试试题附答案
华师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列计算中正确的是（ ）A =B 3=-C 4=D =2．方程2x x =的解是（ ）A ．1x =B ．0x =C ．11x =-，20x =D ．11x =，20x =3．如果两个相似三角形的相似比是1 那么这两个相似三角形的面积比是A ．2：1B ．1C ．1：2D ．1：4 4．用配方法解方程2420x x -+=，下列变形正确的是（ ）A ．()222x -=B ．()242x -=C ．()220x -=D ．()241x -= 5．一元二次方程4x 2+1=3x 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是 A ．560（1＋x ）2＝315B ．560（1－x ）2＝315C ．560（1－2x ）2＝315D ．560（1－x 2）＝3157．如图，在直角坐标系中，OAB ∆和OCD ∆是位似图形，O 为位似中心，若A 点的坐标为()1,1，B 点的坐标为()2,1，C 点的坐标为()3,3，那么点D 的坐标是（ ）A ．()4,2B ．()6,3C ．()8,4D ．()8,3 8．对于任意实数x ，代数式2610x x -+的值是一个（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．整数9．如图，在ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F .则下列结论：①EG AG GC GD =；②EF BF FC FD =；③FC BF GF FD=；④2CF GF EF =⋅.其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①② 10．如图，双曲线k y x=经过Rt BOC ∆斜边上的点A ，且满足12AO AB =，与BC 交于点D ，8BOD S ∆=，则k 的值为（ ）A ．19B ．1C ．2D ．8二、填空题11，则a 的取值范围为___．12．计算：(=______.13．若关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围________．14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 是AD 的中点，若ABD ∆的周长为6，则DOE ∆的周长为______.15．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别为边AB 、AC 上的一点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件使△FDB 与△ADE 相似，则添加的一个条件是_________．三、解答题16．计算17．解方程：2x 2x 350+-=.18．先化简，再求值：2222a b ab b a aa ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中2a =+2b = 19．如图，平行四边形ABCD 中，8BC =，3CD =，点E 在BA 的延长线上且1AE =，连结CE 交AD 于点F .（1）直接写出图中相似的三角形；（2）求DF 的长.20．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣3）x+m 2+1=0．（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；（2）若m 为负数，判断方程根的情况．21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金﹣各种费用）为275万元？22．如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F ，使EF ＝DE ，连接BF ．（1）求证：四边形ABFD 是平行四边形；（2）求证：BF ＝DC ．23．如图，已知ABC 中，//86DE BC AD AC BD AE ===，，，，求BD 的长.24．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，6AD =，若OA ，OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >.（1）直接写出：OA =______，OB =______；（2）若点E 为x 轴正半轴上的点，且163AOE S ∆=； ①求经过D ，E 两点的直线解析式；②求证：AOE DAO ∆∆.（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A ，C ，F ，M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F 点的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案1．D【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．【详解】AB |3|3=-=，故此选项不合题意；C ，故此选项不合题意；D ==.故选D.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．2．D【解析】试题分析：∵20x x -=，∴x （x ﹣1）=0，∴x=0或x ﹣1=0，∴11x =，20x =．故选D ． 考点：解一元二次方程-因式分解法．3．C【解析】如果两个相似三角形的相似比是1 那么这两个相似三角形的面积比是1∶2. 故选C.点睛：若两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方.4．A【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】2420x x -+=移项，得：242x x -=-，配方：24424x x -+=-+，即()222x -=.故选A.【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．A【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【详解】解：原方程可化为：4x 2﹣3x+1=0，∵△=32﹣4×4×1=-7＜0，∴方程没有实数根．故选A ．6．B【详解】试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为x ，可列方程为560（1-x ）²=315. 故选B7．B【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC 和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k ，△ABC 上一点的坐标是（x ，y ），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx ，ky ）或（-kx ，ky ），进而求出即可．【详解】∵A 点的坐标为()1,1，C 点的坐标为()3,3，∴位似比3k =，∵B 点的坐标为()2,1，∴点D 的坐标是：()23,13⨯⨯，即()6,3.故选B.【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．8．B【分析】先进行配方得到x 2-6x+10=x 2-6x+9+1=（x-3）2+1，由于（x-3）2≥0，则有（x-3）2+1＞0．【详解】22610691x x x x -+=-++()231x =-+，∵()230x -≥，∴()2310x -+>，即代数式2610x x -+的值是一个正数.故选B.【点睛】本题考查了配方法的应用：通过配方法把一个代数式变形为一个完全平方式，然后利用其非负数的性质解决问题．9．A【分析】根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BE CD ，//AD BC ， ∴EG AG GC GD=，故①正确， ∴EF BF FC FD=，故②正确， FC BF GG FD=，故③正确， ∵CF DF GF EF BF CF ==， ∴2CF EF GF =⋅，故④正确，故选A.【点睛】本题考查相平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.10．C【分析】作AE ⊥x 轴，易得S △AOE =S △DOC ，从而求出S 四边形BAEC =S △BOD =8，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S △AOE =1，即可求出k 的值．【详解】作AE x ⊥轴，则AE BC ∥，∴AOE BOC ∆∆，∵AOE DOC S S ∆∆=，∴8BOD BAEC S S ∆==四边形，∵AOE BOC ∆∆， ∴221139AOE BOC S AO S BO ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1AOE S ∆=，∴2k =.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．11．a≤0．【解析】试题分析：﹣a ，∴a≤0．考点：二次根式的性质与化简．12．-【分析】根据二次根式的乘法法则求出即可．【详解】(=-=-故答案为：-.【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简根式．13．1k <且0k ≠【分析】分析：关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根所以k≠0且△=b²-4ac>0,建立关于k 的不等式组,解得k 的取值范围即可. 详解：∵关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根,∴k≠0且△=b²-4ac=36-36k>0,解得k<1且k≠0.故答案为k<1且k≠0.点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1) △>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2) △=0⇔方程有两个相等的实数根;(3) △<0⇔方程没有实数根.【详解】请在此输入详解！14．3【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，BC=AD ，DC=AB ，AO=CO ，E 点是AD 的中点，可得OE 是△ACD 的中位线，可得OE=12CD ．从而得到结果．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =，∴O 是AC 中点，又∵E 是AD 中点，∴OE 是ACD ∆的中位线， ∴12OE CD =， 即DOE ∆的周长12ACD =∆的周长， ∴DOE ∆的周长12DAB =∆的周长. ∴DOE ∆的周长1632=⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用，判断出△DOE 的周长=12△ACD 的周长是解答本题的关键．15．∠DFB=∠ADE【分析】根据题意及图易得△ADE ∽△ACB ，进而由相似三角形的性质可得∠C=∠ADE ，∠B=∠AED ，欲证△FDB 与△ADE 相似则需添加角相等即可．【详解】 解： AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∠A=∠A ， ∴ADE ACB ∽，∴C ADE B AED ∠=∠∠=∠，， 又DFB ADE ∠=∠，∴FDB DAE ∽．故答案为DFB ADE ∠=∠．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．原式=3【解析】试题分析：先进行二次根式的乘除运算，再合并同类二次根式即可.==317．x 1=-7，x 2=5【分析】根据十字相乘法进行求解，即可得到答案.【详解】根据十字相乘法将2x 2x 350+-=变形得到(x 7)(x-5)0+=，解得x 1=-7，x 2=5.【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握十字相乘法.18．3- 【分析】先将所求式子中括号内的进行通分，再把除法转化为乘法进行约分，再将a ，b 的值代入化简的结果中进行计算即可求解．【详解】2222a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭， ()()()222a ab b a b a b a a--++-=÷ ()()()2a b a b a aa b +-=⋅-- a b a b +=--.当2a =2b =原式==【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是准确进行分式的化简，计算结果注意要分母有理化．19．（1）见解析；（2）6【分析】（1）利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定即可解决问题．（2）由△AEF ∽△DCF ，可得AE AF DC DF =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，即AE ∥DC ，AF ∥BC ，∴EAFEBC ∆∆，EAF CDF ∆∆， ∴CDF EBC ∆∆.所以，图中相似三角形有EAF EBC ∆∆，EAF CDF ∆∆，CDF EBC ∆∆.（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，8AD BC ==，∴AEFDCF ∆∆， ∴AE AF DC DF=， ∵3CD =，1AE =，183DF DF-=， 解得6DF =.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.20．(1) 13m =-; (2)方程有两个不相等的实根. 【详解】分析：（1）由方程根的定义，代入可得到关于m 的方程，则可求得m 的值；（2）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．详解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴m 2-（2m-3）m+m 2+1=0，∴m ＝−13； （2）△=b 2-4ac=-12m+5，∵m ＜0，∴-12m ＞0．∴△=-12m+5＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．点睛：考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21．（1）24；（2）10.5万元或15万元【详解】解：（1）∵()130000100006-÷500＝∴能租出30-6=24间（2）设每间商铺的年租金增加x 万元,则30103010.52750.50.50.5x x x x ⨯⨯⨯（－）（＋）－（－）－＝ 221150x x －＋＝∴5x ＝或0.5x ＝∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE ∥AB ，AB=2DE ，由EF=DE ，可得DF=AB ，即可证四边形ABFD 是平行四边形；（2）由平行四边形的性质可得AD=BF ，可得BF=CD ．【详解】（1）∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，∵EF=DE，∴DF=2DE，∴AB=DF，且AB∥DF，∴四边形ABFD是平行四边形；（2）∵四边形ABFD是平行四边形，∴AD=BF，且AD=CD，∴BF=DC．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及三角形中位线定理，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．23．4.【解析】试题分析：由DE∥BC可得AD:AB=AE:AC，结合BD=AE，AD=8，AC=6，可得8：（8+BD）=BD:6，解此方程可得BD的长.试题解析：∵DE∥BC，∴AD:AB=AE:AC，又∵BD=AE，AD=8，AC=6，∴AB=8+BD，∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.解得：BD=4或BD=-12（不合题意，舍去）.24．（1）4，3；（2）①61655y x=-；，②证明见解析；（3）()13,0F-；()23,8F；37522,147F⎛⎫--⎪⎝⎭；44244, 2525F ⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．【详解】（1）方程27120x x -+=，分解因式得：()()340x x --=，可得：30x -=，40x -=，解得：13x =，24x =，∵OA OB >，∴4OA =，3OB =；故答案为4，3；（2）①根据题意，设(),0E x ，则11164223AOE S OA x x ∆=⨯⨯=⨯=， 解得：83x =， ∴8,03E ⎛⎫⎪⎝⎭，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点D 的坐标是()6,4，设经过D 、E 两点的直线的解析式为y kx b =+， 则80364k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得：65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴解析式为61655y x =-；②如图，在AOE ∆与DAO ∆中，43823OA OE ==，6342AD OA ==， ∴OA AD OE OA=， 又∵90AOE OAD ∠=∠=︒，∴AOE DAO ∆∆；（3）根据计算的数据，3OB OC ==，∵AO BC ⊥，∴AO 平分BAC ∠，分四种情况考虑：①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，5AF AC ==，∴点F 与B 重合，即()3,0F -；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ， 此时点F 坐标为()3,8；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为443y x =-+，直线L 过3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1）， ∴L 解析式为3748y x =+， 联立直线L 与直线AB ，得：3748443y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：7514x =-，227y =-，∴7522,147F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ④AF 是对角线时，过C 作AB 垂线，垂足为N ，∵111222ABC S BC OA AB CN ∆=⋅=⋅=， ∴245BC OA CN AB ⋅==， 在BCN ∆中，6BC =，245CN =，根据勾股定理得185BN ==，即187555AN AB BN =-=-=， 做A 关于N 的对称点，记为F ，1425AF AN ==， 过F 做y 轴垂线，垂足为G ，14342sin 5525FG AF BAO =∠=⨯=， ∴4244,2525F ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，满足条件的点有四个：()13,0F -；()23,8F ；37522,147F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；44244,2525F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F 要根据AC 与AF 是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解．。
华师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
华师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 2．下列运算正确的是（ ）A =BC =D 23= 3．已知关于x 的方程2(1)210a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≠B ．2a ≤C ．2a ≤且1a ≠D ．无法确定4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是A ．12DE BC =B ．AD AEAB AC = C ．△ADE ∽△ABC D ．:1:2ADEABCS S=5．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）. A ．20%；B ．40%；C ．18%；D ．36%.6．如图，在△ABC 中，D 、F 分别是AB 、BC 上的点，且DF ∥AC ，若S △BDF ：S △DFC =1：4，则S △BDF ：S △DCA =（ ）A ．1：16B ．1：18C ．1：20D ．1：247．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆，CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论：①BAECAD ∆∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③22CB CP CM =⋅.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③8．在ABC 中，13,cos 2AB AC B ∠===BC 边长为（ ） A ．7B ．8C ．7或17D ．8或179．如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使12DC BD =，连接AC ，若tanB=53，则tan CAD ∠的值（ ）A B C ．13D ．1510．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且∠A ＝60°，∠B 1＝40°，则∠C 1的度数为（ ） A ．40° B ．60°C ．80°D ．100°二、填空题 11．若23b a =，则a ba b +=-______________． 12．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．13．如图，在一块长为22m 、宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m 2．若设道路宽为xm ，则根据题意可列方程为 ．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，点F 为射线AD 上一动点，A 'EF 与AEF 关于EF 所在直线对称，连接AC ，分别交E A '、EF 于点M 、N ，AB ＝AD ＝2．若EMN 与AEF 相似，则AF 的长为_____．三、解答题15．（1）计算： 2|1+-（2）解下列方程①2(2)24x x -=- ②2410x x --=（配方法）16．先化简，再求值：222444(2)11x x x x x x x-+++-+÷--，其中x 满足x 2﹣4x +3＝0．17．已知关于x 的一元二次方程22(22)(2)0x m x m m --+-=． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为12x x ，，且221210x x +=，求m 的值．18．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？19．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF=14DC ，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ，连结BE ． （1）求证：△ABE ∽△DEF ．（2）若正方形的边长为4，求BG 的长．20．如图，在ABCD 中，AM BC ⊥，AN CD ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：（1）~AMB AND ∆∆； （2）AM MNAB AC=．21．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y 2＋4y ＋8的最小值．解：y 2＋4y ＋8＝y 2＋4y ＋4＋4＝(y ＋2)2＋4，∵(y ＋2)2≥0，∴(y ＋2)2＋4≥4，∴y 2＋4y ＋8的最小值是4.(1)求代数式m2＋m＋4的最小值；(2)求代数式4－x2＋2x的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成．如图，设AB＝x(m)，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？22．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝12．（1）求△ABC的面积．（2）求tanC．23．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则PMPN=，请证明你的结论；（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则PMPN=；（3）如图3，若BDAB=k，BC=m，AC=n，请直接写出PMPN的值．（用k，m，n表示）参考答案1．A【分析】根据最简二次根式的定义，逐一验证排除即可．【详解】A是最简二次根式，故此选项正确；BCD=故选：A．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．2．C【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可．【详解】AB2-C=，故此选项正确； D= 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 3．B 【分析】根据方程2(1)210a x x -+-=有实数根，分情况讨论：方程为关于x 的一次方程时，则1a -=0计算可得；方程为关于x 的二次方程时，10a -≠且0∆≥计算即可得，综合二种情况即可． 【详解】根据题意知，若方程是关于x 的一次方程时，可得1a -=0，解得a =1；若方程为二次方程时，10a -≠且0∆≥，解得2a ≤且1a ≠，综合二种情况可得2a ≤， 故选：B ． 【点睛】本题考查了方程的根的判定，分情况讨论的思想，掌握分情况讨论思想是解题的关键． 4．D 【解析】∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，AD AEAB AC=， ∴21()4ADE ABCS DE SBC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误. 故选D. 5．A 【分析】可设降价的百分率为x ，第一次降价后的价格为()251x -，第一次降价后的价格为()2251x -，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为x根据题意可列方程为()225116x -= 解方程得115x =，295x =（舍） ∴每次降价得百分率为20% 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键. 6．C 【分析】根据等高三角形面积的比等于底的比和相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解出结果． 【详解】∵S △BDF ：S △DFC =1：4， ∴BF ：FC=1：4， ∴BF ：BC=1：5， ∵DF ∥AC ， ∴△BFD ∽△BCA ，∴2125BFD BCASBF SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 设S △BFD =k ，则S △DFC =4k ，S △ABC =25k ， ∴S △ADC =20k ，∴S △BDF ：S △DCA =1：20． 故选C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，注意各三角形面积之间的关系是解题的关键．7．A【详解】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．详解：由已知：，∴AC AD AB AE＝∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD∴MP ME MA MD＝∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵∴2CB 2=CP•CM 所以③正确 故选A ．点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． 8．C 【分析】由B 的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC 的长． 【详解】解：∵cos B ∠= ∴45B ∠=︒，如图，当ABC 是钝角三角形时，∵AB =，45B ∠=︒， ∴12AD BD ==， ∵13AC =， ∴5CD =，∴1257BC BD CD =-=-=， 如图，当ABC 是锐角三角形时，12517BC BD CD =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法，需要注意进行分类讨论．9．D【分析】延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，由5tan 3B =，即53AD AB =，设5AD x =，则3AB x =，然后可证明CDE BDA ∆∆∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得32CE x =，52DE x =，从而可求1tan 5EC CAD AE ∠==． 【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，5tan 3B =，即53AD AB =， ∴设5AD x =，则3AB x =，CDE BDA ∠=∠，CED BAD ∠=∠，CDE BDA ∴∆∆∽， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， 32CE x ∴=，52DE x =， 152AE x ∴=， 1tan 5EC CAD AE ∴∠==． 故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD ∠放在直角三角形中． 10．C【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．11．5【分析】根据题意，把23ba=化简整理得23b a=，代入所求代数式计算即可．【详解】由题意得，23b a=，代入所求代数式，可得原式=253352133a a aa a a+==-，故答案为：5.【点睛】本题考查了分式的化简求值，整体代换的思想，掌握整体代换的思想是解题的关键．12．12【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案. 【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 13．（22－x ）（17－x ）=300.【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【详解】设道路的宽应为x 米，由题意有（22﹣x ）（17﹣x ）=300，故答案为（22﹣x ）（17﹣x ）=300．14．1或3【分析】分两种情形①当EM ⊥AC 时，△EMN ∽△EAF ．②当EN ⊥AC 时，△ENM ∽△EAF ，分别求解．【详解】解：①当EM ⊥AC 时，△EMN ∽△EAF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠B ＝90°，∴tan ∠CAB ＝3BC AB =， ∴∠CAB ＝30°，∴∠AEM ＝60°，∴∠AEF ＝30°，∴AF ＝AE•tan30°1， ②当EN ⊥AC 时，△ENM ∽△EAF ，由（1）可知，∠CAB ＝30°，EN ⊥AC∴∠AEN=∠MEN=60°，∵1122AE AB ==⨯= ∴tan tan 60AF AEF AE ∠=︒=，= ∴AF ＝3，故答案为：1或3．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（1）②3；（2）①12x =，24x =；②12x =22x =【分析】（1）①先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，然后进行合并计算即可； ②先把每个式子进行化简，利用最简二次根式，二次根式平方的性质，绝对值的性质，化简后进行计算即可；（2）①先去括号，把一元二次方程化简为一般形式，然后利用因式分解法解方程即可； ②利用配方法直接求解一元二次方程即可．【详解】（1）①原式3=-，=②原式21=，3=，故答案为：3；（2）①把原方程化简为：244240x x x -+-+=，2680x x -+=，(2)(4)0x x --=，解得：12x =或24x =，故答案为：12x =或24x =；②原方程可化为：2445x x +=-，2(2)5x -=，2x =解得：12x =22x =故答案为：12x =22x =【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，绝对值的性质，二次根式平方的性质，一元二次方程的解法，掌握计算的方法是解题的关键．16．化简结果是12x -+，求值结果是：15-． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式＝2224(2)(1)1(112)⎛⎫-+---⋅ ⎪--⎝⎭-+x x x x x x x x ＝222243211(2)-+-+--⋅-+x x x x x x x ＝2211(2)+-⋅-+x x x x ＝12x -+， ∵x 满足x 2﹣4x +3＝0，∴(x -3)(x -1)＝0，∴x 1＝3，x 2＝1，当x ＝3时，原式＝﹣132+＝15-； 当x ＝1时，分母等于0，原式无意义．∴分式的值为15-． 故答案为：化简结果是12x -+，求值结果是：15-. 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的能力．17．（1）证明见详解．（2）m 的值为3或1-.【分析】（1）根据240b ac =->，即可证明方程有两个不相等的实数根（2）根据根与系数的关系，通过变形计算即可求出答案．【详解】解：（1）证明：∵22[(22)]4(2)m m m ∆=----=2248448m m m m -+-+=40>∴该方程有两个不相等的实数根．（2）由一元二次方程根与系数的关系，得：1222x x m +=-，2122x x m m ⋅=-．∵221210x x +=，∴21212()210x x x x +-=，即22(22)2(2)10m m m ---=，化简，得2230m m --=，解得13m =，21m =-，∴m 的值为3或1-.【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．18．解：设购买了x 件这种服装，根据题意得：()802x 10x 1200⎡⎤--=⎣⎦，解得：x 1=20，x 2=30．当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40（元）＜50不合题意舍去．答：她购买了30件这种服装．【详解】试题分析：根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．19．（1）见解析；（2）BG=BC+CG=10．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A =∠D ，根据已知可得AE ：AB =DF ：DE ，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE ∽△DEF ；（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF ∽△GCF ，再根据相似的性质即可求得CG 的长，那么BG 的长也就不难得到.【详解】（1）证明：∵ABCD 为正方形，∴AD =AB =DC =BC ，∠A =∠D =90 °.∵AE =ED ，∴AE ：AB =1：2.∵DF =14DC ， ∴DF ：DE =1：2，∴AE ：AB =DF ：DE ，∴△ABE ∽△DEF ；（2）解：∵ABCD 为正方形，∴ED ∥BG ，∴△EDF ∽△GCF ，∴ED ：CG =DF ：CF .又∵DF =14DC ，正方形的边长为4， ∴ED =2，CG =6，∴BG =BC+CG =10.【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得B D ∠=∠，AD BC =，再由AM BC ⊥，AN CD ⊥得到90AMB AND ∠=∠=︒，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；（2）由~AMB AND ∆∆得到AM AB AN AD=，再证明出B MAN ∠=∠，利用AD BC =，从而证明出~AMN BAC ∆∆即可得出结论．【详解】解：（1）四边形ABCD 为平行四边形，B D ∴∠=∠，AD BC =，AM BC ⊥，AN CD ⊥，90AMB AND ∴∠=∠=︒，~AMB AND ∴∆∆；（2）~AMB AND ∆∆，AM AB AN AD∴=， 而AD BC =， AM AB AN BC∴=①， //AD BC ， 90DAM AMB ∴∠=∠=︒，90MAN DAN ∠=︒-∠，而90D DAN ∠=︒-∠，MAN D ∴∠=∠，而D B ∠=∠，B MAN ∴∠=∠②，由①②得，~AMN BAC ∆∆，AM MN AB AC∴=． 【点睛】本题考查了平行四边行的性质应用，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．21．（1）154；（2）5；（3）当x =5m 时，花园的面积最大，最大面积是50m 2． 【详解】试题分析：(1)、将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最小值；(2)、将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最大值；(2)、根据题意得出代数式，然后进行配方得出最值.试题解析：(1)、m 2+m+4=（m+）2+， ∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+≥，则m 2+m+4的最小值是； (2)、4﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+5， ∵﹣（x ﹣1）2≤0， ∴﹣（x ﹣1）2+5≤5，则4﹣x 2+2x 的最大值为5；(3)、由题意，得花园的面积是x （20﹣2x ）=﹣2x 2+20x ，∵﹣2x 2+20x=﹣2（x ﹣5）2+50=﹣2（x ﹣5）2≤0， ∴﹣2（x ﹣5）2+50≤50，∴﹣2x 2+20x 的最大值是50，此时x=5， 则当x=5m 时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．考点：一元二次方程的应用22．（1）（2）【分析】（1）如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出AH 即可解决问题．（2）解直角三角形求出AH ，CH 即可解决问题．【详解】（1）如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∵cosB=12， ∴∠B=60°，∴BH=AB•cosB=812⨯=4，AH=•8AB sinB ==，∴S △ABC=12•BC•AH=12×6× （2）在Rt △ACH 中，∵∠AHC=90°，AH=CH=BC ﹣BH=7﹣4=2，∴tanC 2AH CH ===． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（1）1，证明见解析；（2）n m；（3）()1kn k m - . 【分析】（1）如图1中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，只需证明△PHM ∽△PGN ，根据相似三角形对应边成比例即可得；（2）如图2中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H 通过证明△PHM ∽△PGN ，可得PM PH PN PG =，再根据△PHC ∽△ACB ，PG=HC ，即可得PM n PN m=； （3）如图3中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，DT ⊥AC 于T ，DK ⊥BC 于K ，易证△PMH ∽△PGN ，可得PM PH PN PG =，由1·21·2ACD BCD AC DT S AD S BD BC DK==，得出()1DK kn DT k m =-，再根据DT ∥PG ，DK ∥PH ，可得PH CPPGDK CD DT ==，从而可推导得出()1PHDK knPG DT k m ==-，据此问题得以解决.【详解】（1）如图1中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，∵AC=BC ，∠ACB=90°，且D 为AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，∵PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，∴PG=PH ，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG ，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM ∽△PGN ，∴PM PHPN PG ==1，故答案为：1；（2）如图2中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，∴∠GPH=∠MPN=90°，∴∠MPH=∠NPG ，∵∠PHM=∠PGN=90°，∴△PHM ∽△PGN ， ∴PMPHPN PG =，∵PG=HC ， ∴C PMPHPN H =∵D 为AB 中点，∴DC=DB ，∴∠DBC=∠DCB ，∴△PHC ∽△ACB ， ∴PHACHC BC =， ∴HC PMPHACnPN BC m === 故答案为：nm ；（3）如图3中，作PG ⊥AC 于G ，PH ⊥BC 于H ，DT ⊥AC 于T ，DK ⊥BC 于K ，同（2）可得△PMH ∽△PGN ， ∴PMPHPN PG =， ∵1·21·2ACD BCD AC DTSAD S BDBC DK ==，∴()1DK kn DT k m=-， ∵DT ∥PG ，DK ∥PH ， ∴PH CP PG DK CD DT==， ∴()1PH DK kn PG DT k m==-， ∴()1PM kn PN k m=-． 【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所知识、添加辅助线构造直角三角形解决问题.。
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河南沈丘外语中学2013年九年级（上）期中数学试卷（华师版）
一.选择题（每小题3分，共27分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1、 下列计算正确的是（ ）
A.916916+=+
B. 2222-=
C. ()
2
23
6= D.
1515
533
==
2、二次根式3x - 有意义，则的取值范围是（ ）
A.3x >
B. 3x <
C. 3x ≤
D. 3x ≥ 3、方程x 2=3x 的解是（ ）
A ．x=3
B ． x=0
C ． x 1=3, x 2=0
D ． x 1=－3, x 2=0 4、方程232x x -=的两根之和与两根之积分别是（ ） A. 12和 B. 12--和 C. 1
233
-和-
D. 1233和-
5、关于 x 的一元二次方方程220x x m -+= 没有实数根，则 的取值范围是（ ） A. 1m >- B. 1m <- C. 1m > D.1m <
6、下列各式中，属于最简二次根式的是( )
A ．x 4
B ．12+x
C ．23x
D ．5.0
7.某超市一月份的营业额为200万元，三月份时营业额增长到288万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( )
A 、2002
)1(x +=288 B 、200x 2
=288
C 、200（1+2x ）2
=288 D 、200[1+(1+x)+ 2
)1(x +]=288
8如图1，AB ∥CD ，AD 交BC 于点O ，OA ：OD =1 ：2，，则下列结论： （1）OC
OB OD OA =（2）CD =2 AB （3）OAB OCD
S S ∆∆=2
其中正确的结论是（ ）
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ． （1）（2）（3） 9.下列四条线段为成比例线段的是（ ） A 7,4,5,10====d c b a B 2,6,3,1====d c b a
C 3,4,5,8====d c b a
D 6,3,3,9====d c b a
二.填空题（每小题3分，共30分）
10. 若
35=b a ，则__________=-b
b
a 11.已知a ，
b ，
c 在数轴上的位置如图：化简代数式c
b a
c b a a ++-++-22)(的值为
12. 方程x x 3122
=
-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
13.某学习小组选一名身高为1.6m 的同学直立于旗杆影子的顶端处，该同学的影长为1.2m ，同一时刻旗杆影长为9m ，那么旗杆的高度是________m.
14. 已知梯形ABCD 的面积是20平方厘米，高是5厘米，则此梯形中位线的长是 厘米.
15.如图，O 是△ABC 的重心，AN ，CM 相交于点O ，那么△MON 与△AOC 的面积的比是_______________ 16. m 是关于x 的方程02=++m nx x 的根，且0≠m ，则n m +的值是__________ 17.已知1632+n 是整数，则n 的最小整数值是________________
18.如图，△ABC 中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A 、P 、Q 为顶点 的三角形与△ABC 相似时，运动时间为_________________ 19. 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
ABC △与A B C '''△的相似比为 ．
三、解答题（共63分）
20.（本题满分25分，每小题5分） （1）、2
)2(-+
63
1
5
10⨯-
（2）、（5＋1）（5－1）＋
2
2
2-
（3）、
6
2416425x
x x -
+
（4）解方程：2
250x x +-=；（请用公式法解）
O
D
C
B
A
y
x
O A
B C A '
B '
C '
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
2
3
4 5 6 7 8 9 10 11
（5
）若3a =
，求2(((3)4a a a a -+--+的值。
21．（本题满分10分） 如图4，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是AD 上的一个动点，且与A 、D 不
重合，过C 作CQ ⊥PB ，垂足为Q ．设CQ 为x ，BP ＝y ， （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）画出第（1）题的函数图象．
22.（31、（9分）已知关于x 的一元二次方程
()03312
2=--+-+a a x x a 有一根是 1 （1）求a 的值
（2）求方程的另一根
23．（本题满分9分）
如图5，已知四边形ABCD ，AB ∥DC ，点F 在AB 的延长线上， 连结DF 交BC 于E 且S △DCE ＝S △FBE ． （1）求证：△DCE ≌△FBE ；
（2）若BE 是△ADF 的中位线，且BE ＋FB ＝6厘米， 求DC ＋AD ＋AB 的长．
24.（本题满分10分）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套。
（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表。
（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少元？
图5
F
E
D
C B A
图4
B C D P Q A
九年级数学参考答案
一.选择题
1. D 2、 C 3、 C 4、 D 5、 D 6、 B 7. A 8 A 9. B 二.
10. 3
2，
11. -a 12. 2，
3
-， -1
13. 6.75 14. 4 15.
4
1 16. —1 17. 0 18.
秒秒或47
16
19. （9,0） 2 三、解答题（共66分） 20.（1）、解
2)2(-+
222263
1
5
10=-+=⨯-
（2）、解：（5＋1）（5－1）＋
22
2-
=5-1+2-1 =3+2 （3）、 解：
x x x x x
x x 2
9242562416425=-+=-+ （4）解：2
6
22±-=
x （△算对独立给1分） 61,6121--=+-=x x
（5）解：24)3()2()2(+--+
+-a a a a
=4262
+-+-a a
∵=
a 32-，∴26112-=a
∴原式=4218262611+--++-
=25211-
21．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC , ∠A =90°，
∴∠APB=∠PBC ． 在△ABP 和△QCB 中，
∠A=∠BQC =90°, ∠APB=∠PBC ， ∴△ABP ∽△QCB ，
∴
QC
AB
CB BP = ， ∴
x
y 34=， ∴x
y 12=
（2）画直角坐标系．
画函数图象． 注：没有用空心点标出图象的端点扣去1分.
22.、解（1） 由关于x 的一元二次方程
()03312
2=--+-+a a x x a 有一根是 1 得 a+1≠0且()033112
=--+-+a a a
a=3
因此 a 的值为3
（2）当a 的值为3时已知方程为0342
=--x x
解得43
1-=x 12=x 方程的另一根4
3
-=x （本题可另解）
23．解：（1）∵AB ∥DC ，
∴∠DCE =∠FBE , ∠CDE =∠EFB ，
∴△DCE ∽△FBE ，
∴2
)(
FB
DC S S FBE DCE =∆∆． ∵S △DCE ＝S △FBE ∴1)(
2
=FB
DC ， ∴DC =FB ，
∴△DCE ≌△FBE ． (2) ∵ BE 是△ADF 的中位线，
∴BE ∥AD ，AD =2BE ，AB =FB ． ∵AB ∥DC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ． ∵BE ＋FB ＝6，
∴DC ＋AD ＋AB=AB+2BE+AB =2(BE ＋FB )=12(厘米) ． 24．解（10分）（1）若设第二个月的销售定价每套增加x 元，填写下表：
填对1项给1分
（2）解：若设第二个月的销售定价每套增加x 元，根据题意得：
4160)10180)(4052(180)4052(=--++⨯-x x ………………7分
解得：x 1 =－2, x 2=8
当x=－2时，52+x=50
当x=8时，52+x=60………………………9分
答：第二个月销售定价每套应为50元或60元. ……………………10分。