例析动能定理的一些解题方法

例析动能定理的一些解题方法

f动能定理是高中物理的重要知识，它是利用状态量来描述过程量。应用动能定理来解题时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化，这样显得更为简捷，下面谈谈动能定理在中学物理解题中的应用。

1. 物体的初、末状态已知，应考虑应用动能定理

（1）初、末状态物体静止（）

例1. 一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s（如图），不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的摩擦因数相同，求摩擦因数μ。

分析：以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，即。可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系。

解：设斜面倾角为α，斜坡长L，物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功（支持力不做功）分别为：

在平面上滑行时仅有摩擦力做功（重力和支持力不做功），设平面上滑行距离为，则

整个运动过程中所有外力的功为

根据动能定理：

式中为斜面底端与物体初位置间水平距离，故

这种从全过程考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在时，往往更为简捷。

（2）初、末状态动能已知（）

例2. 在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J。则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少？

分析：物体先做匀加速运动，后做匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零。根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后利用动能定理对全过程列式即可解。

解：物体从静止起受水平恒力作用，做匀加速运动，经一段时间t后的

速度为，以后受恒力，做匀减速运动，经同样时间后回到原处，整个时间内在联系物体的位移为零，于是

即

设在作用下物体的位移为s，对全过程用动能定理得：

即

所以，恒力甲和乙做的功分别为

（3）初、末速度已知

例3. 质量为5吨的汽车，以额定功率行驶，速度由10m/s增加到最大速度20m/s，行程为3 km，用时3 min，设汽车行驶过程中所受阻力不变，求汽车发动机的额定功率是多少？

解：根据动能定理：

而且当时速度最大，即

代入上式：

则：

代入数据得：（瓦）

2. 变力做功的动力学问题，应考虑应用动能定理

例4. 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体，，如图所示。绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上。设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计。开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H。提升时，车加速向左运动，

沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H。车过B点时的速度为。求车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。

分析：汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，拉力是变力。根据物体速度的变化和上升高度，由功与动能变化的关系即得。

解：以物体为研究对象，开始时其动能。随着车的加速拖动，重物

上升，同时速度也不断增加。当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量（如图），即

于是重物的动能增为

在这个提升过程中，重物受到绳中拉力T、重力mg。物体上升的高度和重力的功分别为

由动能定理得：

所以绳子拉力对物体做的功

3. 涉及位移、动能、功的动力学问题，应考虑应用动能定理

例5. 总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力；设运动的阻力与质量成正比，机车牵引力是恒定的。求当列车的两部分都停止时，它们间的距离为多少？

解：依题意作出草图，标明各部分运动的位移。对车头脱钩后的全过程，依动能定理列方程。设阻力，则有：

对末节车厢，依动能定理列方程：

又因为，由于原来列车匀速运动，所以牵引力

由以上各式联立得：

说明：如果物体运动有几个过程，关键是分清楚整个过程有几个力做功及其研究对象的初、末状态的动能。

另一解法：假设机车脱钩时，立即关闭油门，由于运动阻力与其质量成正比，所以两部分同时分别做加速度相同的匀减速运动，匀减速运动的初速度也相同，故两部分停止相距的距离为零。若以末节车厢为参照物，机车在运动L段时牵引力KMg所做的功为KMgL，使机车动能增加。那么，机车所增加的动能全部消耗在机车相对末节车厢克服阻力做功之中，其阻力相对末节车厢所做的功为

，故有方程成立。于是。