立体几何-利用空间向量求二面角的平面角

1A 利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]o o；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直引导：请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导．明确本节课的课题． 二.求二面角的平面角:【回顾复习定义法求二面角的平面角】例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小. 解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF = AB C DEF同理，Rt ACD ∆中，1522DE a =， ∴3102sin 51522aDF FED DE a ∠===， 所以，二面角B AC D --的正弦值为105． 通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33,cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515,cos 21=n n 所以，二面角B AC D --的正弦值为10． 三．归纳小结：本节课回忆巩固了求解二面角的一些方法，并且通过类比用空间向量知识求解二面角，我们感受到空间向量的巧妙之处，但要让同学们认识到法向量之间的夹角与二面角的平面角的异同之处。

四．作业求二面角专题l2n u u r 1n u u r βαcos θ=12cos ,<>u r u u rn n2n u u r 1n u u r βαθ=12>u r u r45如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。

而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。

本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量→a 、→b ，有cos ＜→a ，→b ＞=→→→→⋅⋅||||b a ba ．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．例1 在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1，依题意得AB −−→= (0，1，0)，是面VAD 的法向量，A BC VD xyz设n →= (1，y ，z)是面VDB 的法向量，则0,0.n VB n VB →−−→→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩⇒1,y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩⇒n →= (1，－1，－3)。

∴cos ＜AB −−→，n →＞||||AB nAB n −−→→−−→→⋅⋅=－7， 又由题意知，面VAD 与面VDB所成的二面角为锐角，所以其余弦值是7例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ．⑴求证CD ⊥平面BDM ；⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的余弦值． 解：⑴略⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G ，连结B 1G ，则依14，14)，BD −−→= (，12，12)，1B G −−→= (－4，－34，14)， ∴BD −−→·1B G −−→= 0，∴BD ⊥B 1G ．又CD ⊥BD ，∴CD −−→与1B G −−→的夹角θ等于所求二面角的平面角．∴ cos θ=11||||CD B G CD B G −−→−−→−−→−−→⋅⋅=例3如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．求二面角C —PB —D 的大小解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC = 设点F 的坐标为000()x y z ，，，PA −−→=PB λ−−→，则000()()x y z a a a a λ-=-，，，，．从而000(1)x a y a z a λλλ===-，，．所以PE −−→=00011(,,)(,(),())2222a a x y z a a a λλλ---=---．BB 1C 1A 1CADM由条件EF ⊥PB 知，PE −−→·PB −−→= 0，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ． ∴点F 的坐标为2()333a a a，，，且()366a a a PE −−→=--，，，2()333a a a FD −−→=---，，， ∴PB −−→·FD −−→22220333a a a =--+=，即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． ∵PE −−→·FD −−→=222291896a a a a =-+=，且||6PE −−→==，||3FD −−→==，∴21cos 2||||a PE FDEFD PE FD −−→−−→−−→−−→⋅∠===，∴3π=∠EFD ． 所以，二面角C —PB —D 的大小为3π． 例4 已知三棱柱OAB —1O A 1B 1中，平面11O OBB ⊥平面OAB ，∠AOB =︒90，∠OB O 1=︒60，且OB =1OO = 2，OA =3，求二面角1O —AB —O 的余弦值．解：以O 为原点，分别以OA ，OB 所在的直线为x ，y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．如图，则O (0，0，0)，1O (0，1，3)，A(3，0，0)，1A (3，1，3)，B(0，2，0)．∴−→−1AO = (－3，1，3)，−→−AB = (－3，2，0)．显然−→−OZ 为平面AOB 的法向量，取→1n = (0，0，1)，设平面AB O 1的法向量为→2n = (x ，y ，z)，则→2n ·−→−1AO = 0，→2n ·−→−AB = 0．即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-023033y x z y x ，令y =3，x = 2，z = 1，则→2n = (2，3，1)． ∴cos ＜→1n ，→2n ＞=||||2121→→→→⋅⋅n n n n =221=42， 故二面角1O —AB —O 的余弦值是42。