停留时间分布
1.4 停留时间分布及其测定
• 从式（1-36），即可由实验数据计算 F (τ)。 从式（ ） 。
例1-8：脉冲法 脉冲法
---1
某反应器， 某反应器，VR = 12 L，v = 0.8L/min，进口处，用脉冲法注入示踪 ， ，进口处，用脉冲法注入示踪 剂80g，在出口处测得示踪剂浓度变化如表1-5所示。 ，在出口处测得示踪剂浓度变化如表 所示。 所示
1.4.2.1 脉冲法： 测E (τ) --- 4 脉冲法： τ
∴
vC (τ )dτ = E (τ )dτ M0
vC (τ ) E (τ ) = M0
**（1-35） （ ）
即：
为加入示踪剂的量g； 式1-35中，M0： 为加入示踪剂的量 ； 中 v ：为物料的体积流量 3/s。 为物料的体积流量m 。
对于 CSTR
σ2 <1 对于 中间流 0 <
σ2 评价τ分布的离散度要比 τ2明确，它可以定量 评价τ分布的离散度要比σ 明确，它可以定量 反应器的返混程度 描述反应器的返混程度。 描述反应器的返混程度。
1.4.2 停留时间分布的测定
• 1.4.2.1 脉冲法： 测 E (τ) 脉冲法： τ • 1.4.2.2 阶跃法： 测 F (τ) 阶跃法： τ
1.4.2.1 脉冲法： 测E (τ) --- 1 脉冲法： τ
• 当设备内物料流动达到稳定状态 稳定状态后 某个瞬间将示踪剂一 当设备内物料流动达到稳定状态后，在某个瞬间将示踪剂一 次注入进料中 同时开始分析出口物料中示踪剂浓度的变化。 次注入进料中，同时开始分析出口物料中示踪剂浓度的变化。
操作示意图如下： 操作示意图如下：
---1
引子：在一连续式反应器中， 稳定时 突然加入 引子：在一连续式反应器中，在稳定时，突然加入100颗白色粒 连续式反应器中 颗 所示。 子，同时，在出口处检测白色粒子的流出状况，如表1-4所示。 同时，在出口处检测白色粒子的流出状况，如表 所示
停留时间分布函数
停留时间分布函数停留时间分布函数是用于描述一个个体在某个位置上停留的时间分布的统计模型。
它可以被应用于许多领域，例如交通流分析、行人流动模拟、网络流量调度等。
本文将介绍停留时间分布函数的定义、常见的分布类型以及一些参考文献。
1. 定义停留时间分布函数是指在一个位置上停留的时间间隔的概率分布函数，用于描述个体停留的持续时间。
2. 常见的分布类型（1）指数分布（Exponential distribution）：指数分布是最常见的停留时间分布函数之一，它假设停留时间是一个连续的随机变量，并且满足无记忆性。
指数分布的概率密度函数为f(t) = λe^(-λt)，其中λ是停留时间的强度参数。
（2）伽玛分布（Gamma distribution）：伽玛分布是指数分布的推广，它可以用于描述停留时间的持续性不同于指数分布的情况。
伽玛分布的概率密度函数为f(t) = (λ^k)/Γ(k) t^(k-1) e^(-λt)，其中λ是强度参数，k是形状参数。
（3）魏布尔分布（Weibull distribution）：魏布尔分布可以用于描述停留时间的持续性随时间变化的情况。
它的概率密度函数为f(t) = (k/β) (t/β)^(k-1) e^(-(t/β)^k)，其中β是形状参数，k 是尺度参数。
（4）对数正态分布（Log-normal distribution）：对数正态分布常用于描述停留时间的长尾分布情况。
它的概率密度函数为f(t) = (1/(tσ√(2π))) e^(-0.5 ((ln(t)-μ)/σ)^2)，其中μ和σ是对数正态分布的均值和标准差。
3. 参考文献（1）Kleiber, W., & Kotz, S. (2003). Statistical size distribution in economics and actuarial sciences. John Wiley & Sons.（2）Woo, J.-W., Ko, Y. D., & Cho, Y. (2009). Evaluation of traveler time for an urban network using a time-dependent queuing model. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 43(8), 745-757.（3）Montanino, M., Pfeiffer, J.-P., Weigel, R., & Chardon, B. (2012). Estimating urban traffic flows from observed vehicle trajectories: A macroscopic approach. IEEE Intelligent Transportation Systems Magazine, 4(1), 22-35.（4）Jiang, B., & Claramunt, C. (2004). A topological pattern for space?time interaction modeling. GIScience & Remote Sensing, 41(2), 185-204.（5）Helbing, D., Farkas, I., & Vicsek, T. (2000). Simulating dynamical features of escape panic. Nature, 407(6803), 487-490.以上是停留时间分布函数的定义、常见的分布类型以及一些参考文献。
3-停留时间分布
1. 数学期望 —均值 t
tE(t )dt
t
0
tE(t)dt
E(t )dt 0
0
t t1N1 t2N2 t3N3 tN N N N
SHANDONG UNIVERSITY
tE(t )t
离散型： t
0
E(t )t
0
t相 等
tE(t)
0
E(t)
0
E(t) c(t)
解 E(t )dt 0.01e 0.01dt
0
0
100
e 0.01 63.2% 0
即： 停留时间 < t 的物料所占分率为：
t
E(t )dt F (t)
0
SHANDONG UNIVERSITY
2. 停留时间分布函数 F(t) 定义： 连续流动系统内，在出口物流中：
Nt F(t) 0
qV ,0c(t )t
0
c(t )
c(t )t
0
若 t 同 E(t)
c(t )
t c(t)
0
SHANDONG UNIVERSITY
t
F (t) E(t)dt
0
t
qV ,0 c(t )dt
F(t)
0
qV ,0 c(t )dt
0
t
c(t )dt
0
c(t )dt
0
SHANDONG UNIVERSITY
N 停留时间 t 的物料量在总量中所占分率
SHANDONG UNIVERSITY
F (t ) 说明：
1.0
• F(t)是一累积的无因次函数
• F(t)曲线 — 单调递增
• F(t)表示分率大小
[化学反应工程原理]第十章__停留时间分布-数学期望及方差
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即
F(t) 0 E(t)dt
显然，t＝0时，F(t)＝0；
t＝∞， F(t)＝1。
F(t)与E(t)的关系为：
dF (t) E(t) dt
右图为F(t)与E(t)的曲线。
三、停留时间分布的测定方法
➢采用刺激应答技术，又称示踪法，即在反应器的进 口加入某种示踪物，同时在出口测定示踪物浓度等 的变化，确定流经反应器中物料的停留时间分布。
tE(ti )ti E(ti )ti
➢若读取实验数据时时间间隔∆t相等，则上式可简化为：
tm
tE(t) E(t)
2. 方差
➢方差描述物料质点各停留时间与平均停留时间的偏离程度，
即停留时间分布的离散程度。
➢定义为：各个物料质点停留时间t与平均停留时间 t差m 的
平方的加权平均值。
方差越小，越接近平推流；
➢测定时利用示踪物的光、电、化学或放射等特性。 示踪物除具有上述特性外，还需要具有不挥发、不吸 收、易溶于主流体，在很小的浓度下也能检测出的特 性。 ➢示踪物的输入方式主要有脉冲法和阶跃法。
示踪剂的选取原则
➢示踪剂不应与主流体发生反应； ➢除了显著区别于主流体的某一可检测性质外，
示踪剂应和主流体应尽可能具有相同的物理性 质，且两者易于溶为一体； ➢示踪剂浓度很低时也能够检测到信号； ➢用于多相系统检测的示踪剂不发生相间的转移； ➢示踪剂本身应具有或易于转变为电信号或光信 号的特点。
C(t)dt
0
C(t)dt
0
dF(t) dC(t)
E(t)
dt C0dt
可直接测得
四、停留时间分布的数字特征
研究不同流型的停留时间分布，通常是比较它们的统计特征
值。常用的特征值有两个：
停留时间分布
5.5.4 轴向扩散模型（续7）
对于扩散模型，则首先要根据模型的特点和反应动力
活塞流反应器的E(t)图
5.4.1 活塞流模型（续2）
活塞流反应器F(t)图
5.4.1 活塞流模型（续3）
最后得到活塞流的停留时间分布密度为：
E 1
相应的分布函数为：
F t 0 t t 或者F 0 1
1 tt
1 1
均值和方差分别为：
0
1 d
1
2
2
1
d
1
0
0
(最小值)
5.5.1 概述
建模的要求： 等效性（能够正确反映模拟 对象的物理实质）； 合理简化便于数学处理（模 型参数不应超过两个）
建模的依据： 反应器内停留时间分布
常用技巧：
对理想模型进行修正， 或将理想流动模型与滞 流区、短路和沟流等作 不同组合
常用的非理想流动模型：
离析流模型，多釜串联模型； 轴向扩散模型
逐釜计算求出最终转化率。
若为一级不可 逆反应，则
1
1 k
1
1 X AN
N
1
注意！为单釜空时
适用：微观流体
5.5.4 轴向扩散模型
非理想流动模型和非理想反应器的计算 基本假定 径向浓度分布均一 轴向上，流体的流速和扩散系数均为恒定值
5.5.4 轴向扩散模型（续1）
非理想流动模型和非理想反应器的计算
kCA0 1 X A kCA
停留时间分布与反应器的流动模型讲义
停留时间分布与反应器的流动模型讲义停留时间分布（RTD）是描述流体在反应器内停留时间的分布情况。
它对于理解反应器的性能和效率至关重要。
通过分析停留时间分布，可以评估反应过程中各种反应物的浓度分布，从而优化反应器设计和操作。
在反应器中，流体进入并通过反应器。
然而，由于流体的动力学特性和反应器的几何形状，不同流体分子停留在反应器中的时间是不一样的。
停留时间分布图描述了流动物质的停留时间的概率分布。
停留时间分布可以通过数学模型来描述。
最常用的数学模型是以连续搅拌反应器（CSTR）为基础的模型。
CSTR是一种理想化的反应器类型，其中反应物在反应器中均匀分布，并以恒定的速率混合。
CSTR模型假设反应物的停留时间服从完美的指数分布。
另一个常用的模型是斑点流动模型（PFR）。
在PFR中，流体在反应器中形成了一系列的“斑点”，每个斑点代表一个流体分子，它们按照一定的速率顺序通过反应器。
PFR模型假设反应物的停留时间服从完美的单谷型分布。
PFR模型更适用于流体通过小直径管道或多孔介质的情况。
反应器的流动模型是利用数学模型描述反应物在反应器内的运动和行为，从而揭示反应过程中的动力学特性。
通过结合停留时间分布和流动模型，可以研究反应器中的物质传递、反应速率、混合程度等重要参数。
总结一下，停留时间分布和反应器的流动模型对于理解反应器的性能和优化设计非常重要。
它们可以帮助我们预测和改进反应过程中的各种流体动力学参数，从而提高反应器的效率和产量。
停留时间分布（RTD）与反应器的流动模型在化学工程领域具有广泛的应用。
通过分析停留时间分布和建立合适的流动模型，可以有效地揭示反应器内复杂流动与反应过程之间的关系，优化反应器设计和流程操作。
首先，停留时间分布是评估反应器性能的一个重要指标。
它反映了反应物在反应器内停留的时间分布情况。
对于快速反应，需要较短的停留时间，而对于缓慢反应，则需要较长的停留时间。
停留时间分布可以通过实验测量或数值模拟来获得。
数学归纳 停留时间 分布
数学归纳停留时间分布停留时间分布是数学中的一个概念，用于描述某个事件在一定时间段内停留在不同状态的概率分布。
在实际应用中，停留时间分布常常被用来描述随机过程中的状态转移情况，对于理解和分析随机过程的行为具有重要意义。
在数学中，停留时间分布可以通过数学归纳法来推导。
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，通过证明命题在某个初始条件下成立，并且在满足递推关系的条件下也成立，从而推出命题对于所有情况都成立。
假设我们有一个随机过程，该过程在每个时刻都处于两个状态之一，分别记为状态A和状态B。
我们希望知道在随机过程中停留在状态A 的时间的分布情况。
我们需要定义一个随机变量X，表示我们感兴趣的停留时间。
假设X=k表示在随机过程中停留在状态A的时间为k个单位时间。
我们需要求得X=k的概率，即P(X=k)。
根据数学归纳法的思想，我们从最简单的情况开始推导。
当k=0时，表示在随机过程开始时就处于状态B，因此P(X=0)表示随机过程开始时就处于状态B的概率。
根据随机过程的定义，我们可以假设初始状态为B的概率为p，因此P(X=0)=p。
接下来，我们考虑k=1的情况。
假设随机过程开始时处于状态A的概率为q，那么在第一个单位时间内停留在状态A的概率就是q。
因此，P(X=1)=q。
现在我们假设对于任意正整数m，P(X=m)=q^m。
我们通过数学归纳法证明P(X=m+1)=q^(m+1)。
根据随机过程的定义，我们知道在第m个单位时间结束时，随机过程要么停留在状态A，要么转移到状态B。
如果在第m个单位时间结束时停留在状态A，那么停留时间就是m+1。
因此，P(X=m+1)=q^m * p。
根据数学归纳法的假设，我们有P(X=m)=q^m。
因此，P(X=m+1)=q^m * p = P(X=m) * p。
通过上述推导，我们可以得到P(X=k)=p*q^(k-1)。
这就是停留时间分布的数学表达式。
停留时间分布的计算对于理解随机过程的行为非常重要。
停留时间分布.
死区 模型：
化学工程系
( v )
e vm
平推和全 混串联组 和模型
化学工程系
化学工程系
4.停留时间分布曲线的定性应用 1.出峰太早
E(t) 短
路
沟流
t
原因：反应器存在沟流、短路现象，使出峰提前。
化学工程系
化学工程系
化学工程系
2.出现多峰，且递降 E（t）
tˆ
原因：反应器内有循环流
exp[ uL]
2EZ
2EZ
[1
4k( L)( EZ
1
)] 2
u uL
一级反应结果：
化学工程系
二级反应结果：
化学工程系
习题6 一封闭容器，已知流动时测得Ez/ul=0.2，若
用串联的全混流反应器能表达此系统，则串 联釜数为多少？（闭式边界）
3.组和模型:
化学工程系
化学工程系
采用阶跃示踪
2 Pe2
(1 ePe )
ˆ 1
对于开闭（闭开）边界：
2
2
1 Pe
3
1 Pe
2
ˆ=1+ 1
Pe
化学工程系
Pe准数表征了流体的轴向分散程度；
Pe准数越大，轴向返混越小，流体流动 越接近平推流；
Pe准数越小，轴向返混越大，流体流动 越接近全混流；
化学工程系
系数Ez表征该一维返混， Ez恒定；
④管内不存在死区或短路流。
化学工程系
2）轴向扩散模型建立
JA
EZ
dCA dz
设管横截面积为A，在管内轴向位置l 处截取微元长度dl，作
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t t
全混流模型
使用阶跃法建立全混流的流动模型，如果所示，将全釜作为 控制体，对示踪剂作物料衡算，有：
流入的摩尔流率=流出的摩尔流率+积累的摩尔流率
q v c0dt q v ct dt VR dc(t)
积分上式，得：
两边同除VRc0dt
qv q v c(t ) dc(t ) vR V R c0 c0 dt C t 由F(t)定义知： F t 所以 C0
t
tm
d. 晚出峰
t
tm
e. 出双峰
t
（有死区）
（示踪剂被吸附） （平行流股）
停留时间分布函数的数字特征
⑴ 数学期望 (平均停留时间)
定义：
0
tE(t)dt tE(t)dt 0 E(t)dt 0 因次：[时间]
E (t )
面积重心
t
其物理意义： 为E(t)曲线的分布中心，即E ~ t曲线所围面积的重 心在t坐标轴上的投影；数学上称： E(t)曲线对于坐标原点的一
示踪剂脉冲注入
示踪剂检测 系统
主流体 V0 c0(t)
δ(t)
c(t)
激励曲线
O
响应曲线
0
t =0
输入
t
输出
t
3. 由响应曲线计算停留时间分布曲线
出口处，停留时间在t ～ t+dt间的量： qvc(t)dt 入口处，t=0时刻 注入的量：m
由E(t)的定义：
q v c(t)dt E t dt m
则：
c(t) F(t) c0
——由阶跃法直接求得的是停留时间分布函数 F(t)
理想连续流动反应器的停留时间分布 活塞流模型
E(t) 面积＝1 宽度＝0 F(t) 1
t
停留时间分布密度函数E(t)
t
t
停留时间分布函数F(t)
t
0 E(t)
t t
0 F(t) 1
返混会造成：浓度分布和停留时间分布
停留时间分布密度函数
E(t)dt 定义为在t=0时刻进入反应器的流体微元， 在t至(t+dt)时间段内离开反应器的物料占总物料 的分率
E(t)由阴影面积表示
Βιβλιοθήκη 0E ( t )dt 1
停留时间分布
F(t) 函数定义为停留时间0-t 范围内的物料 （停留时间小于t的质点）占进料的分率。
对比时间（无因次时间）：
用θ 表示的方差为:
/
2 2 t
t
2
活塞流 严格划一的停留时间 全混流
2 t
0
2 2
2
0
t E(t)dt- 0 t
2
2
非理想流动
0 1
2
2 2 2 2 2 1
根据停留时间分布曲线的形状可以判断反应器中的流动状况 是接近于全混流反应器，还是接近于活塞流反应器。
此外，停留时间分布曲线还可用于诊断反应器中是否存在不 良流动。下图为接近活塞流反应器的几种停留时间分布曲线。
E(θ) E(θ) E(θ) E(θ) E(θ)
tm
a. 正常出峰
t
tm
b. 早出峰
t
tm
c. 出多峰 （内循环）
即：
q v c(t) E(t) m
4、 示踪剂加入量m的计算
m q vc(t)dt
0
qv为常数
所以
m q v c(t)dt
0
整理得：
E(t)
c(t)
0
c(t)dt
—由脉冲法直接测得的是停留时间分布密度函数E(t)
停留时间分布的实验测定
—— 阶跃示踪法
1. 操作：输入采用切换的方法
1
F ( ) 1
0, F (t ) 0
, F (t ) 1
F (t )
dF (t ) t E (t ) dt
t1
t
t
F(t)由纵坐标表示
dF ( t ) E (t) dt
F ( t ) E ( t )dt
0
4.2停留时间分布的实验测定
停留时间分布的测定一般采用示踪技术，示踪剂选用易检测其 浓度的物质，根据其光学、电学、化学及放射等特性，采用比 色、电导、放射检测等测定浓度。 选择示踪剂要求：
2 t
(t ) E(t)dt
2
0
E(t)dt
0
2 2 t E(t)dt ( ) (t ) E(t)dt 0
2
因次：[时间]2
2 t t2
E ( t )t t E (t )t -
2 2 t
2
2 方差 物理意义： t 反映停留时间分布的离散程度:
兰州理工大学 报告人：朱孔磊
停留时间分布的描述
活塞流和全混流是返混为零和返混为无穷 大的两种理想极端情况。
短路
u
沟 流 回 流
速度分布
死 角
偏离理想流动模式，反应结果与理想 反应器的计算值具有较大的差异。
返混：反应器中具有不同停留时间
的物料之间的混合。 停留时间：反应物料从反应器入口 到出口所经历的时间
次矩(t-0)
t E ( t ) t E ( t ) t
⑵ 方差
2 各个物料质点停留时间与平均停时间 差
的平方的加权平均值。 方差用来表示随机变量的分散程度，是描述停留时间分布的重 要参量。在数学上它表示E(t)曲线对于平均停留时间的二次 2 矩 ：
(t )
0
含示踪剂流体V ↓ 主流体V c0(t) c0 升阶法 t =0 (a) t 系统 V 检测示踪剂
c(t) c0
0 (b)
t
2. 阶跃输入的数学描述以及F(t)的计算
•输入函数：c0 (t) = 0
c0 = 常数 t＜ 0 t≥0
•t时刻，出料的示踪剂的量： qvc(t), 其停留时间小于t
0时刻，加入的的示踪剂的量：qvc0
2
1
2 dt e
-t
1) 与主流体物性相近，互溶，且与主流体不发生化学反应；
2) 高低浓度均易检测，以减少示踪剂的用量； 3) 示踪剂的加入不影响主流体的流动形态； 4)示踪剂应选择无毒、不燃、无腐蚀且价格较低的物质。
停留时间分布的实验测定
—— 脉冲示踪法
1、操作：定常态下，在t=0, 加入示踪剂，同时在出口 处检测示踪剂的浓度。 2、进、出口示踪物浓度随时间的变化
VR (τ ) qv
qv dF (t ) 1 [1 F (t )] [1 F (t )] dt vR t t dF(t) 1 τ E t e F(t ) 1 e dt τ
全混流的E(t)和F(t)图示
全混反应器的 E(t)、F(t)图
停留时间分布曲线的应用
，停留时间分布就越宽；
，停留时间分布越集中
小
2
2 0
C
E (t)
2大
A
B
0
A
B
C
不同方差的E(t)曲线
• 若采用无因次时间 ，则
E d
0
t
0
E t d
t
1
0
tE t dt
t
无因次方差
2
为：
E( ) 2 2 2 2 0 (t ) E(t)dt 0 1 d t 2 2 0 ( 1) E( )dt 2 2